Изотропные координаты

В теории лоренцевых многообразий сферически -симметричные пространства-времени допускают семейство вложенных круглых сфер . Существует несколько различных типов координатных диаграмм, адаптированных к этому семейству вложенных сфер; наиболее известной является диаграмма Шварцшильда , но часто бывает полезна и изотропная диаграмма . Определяющей характеристикой изотропной карты является то, что ее радиальная координата (которая отличается от радиальной координаты карты Шварцшильда) определяется так, что световые конусы выглядят круглыми . Это означает, что (за исключением тривиального случая локально плоского многообразия) угловые изотропные координаты не точно представляют расстояния внутри вложенных сфер, а радиальная координата не точно представляет радиальные расстояния. С другой стороны, углы в гиперсрезах постоянного времени представлены без искажений, отсюда и название диаграммы.

Изотропные диаграммы чаще всего применяются к статическим сферически-симметричным пространствам-временям в метрических теориях гравитации, таких как общая теория относительности , но их также можно использовать, например, при моделировании сферически пульсирующего жидкого шара. Для изолированных сферически-симметричных решений уравнения поля Эйнштейна на больших расстояниях изотропная и Шварцшильдовская карты становятся все более похожими на обычную полярную сферическую карту в пространстве-времени Минковского .

Определение

В изотропной карте (на статическом сферически-симметричном пространстве-времени) метрика ( она же линейный элемент ) принимает вид

${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,\left(dr^{2}+r^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right)\right),}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\varphi <\pi }$

В зависимости от контекста может быть уместно рассматривать как неопределенные функции радиальной координаты (например, при выводе точного статического сферически-симметричного решения уравнения поля Эйнштейна ). В качестве альтернативы мы можем подключить определенные функции (возможно, в зависимости от некоторых параметров), чтобы получить диаграмму изотропных координат в определенном лоренцевом пространстве-времени. ${\displaystyle a,\,b}$

Уничтожение векторных полей

Алгебра Ли векторных полей Киллинга сферически -симметричного статического пространства-времени принимает в изотропной карте тот же вид, что и в карте Шварцшильда. А именно, эта алгебра порождается времениподобным безвихревым векторным полем Киллинга

${\displaystyle \partial _{t}}$

и три пространственноподобных векторных поля Киллинга

${\displaystyle \partial _{\varphi }}$

${\displaystyle \sin(\varphi )\,\partial _{\theta }+\cot(\theta )\,\cos(\varphi )\partial _{\varphi }}$

${\displaystyle \cos(\varphi )\,\partial _{\theta }-\cot(\theta )\,\sin(\varphi )\partial _{\varphi }}$

Здесь утверждение, что это безвихревость, означает, что тензор завихренности соответствующей времениподобной конгруэнции исчезает; таким образом, это векторное поле Киллинга ортогонально гиперповерхности . Тот факт, что пространство-время допускает безвихревое времяподобное векторное поле Киллинга, фактически является определяющей характеристикой статического пространства-времени . Одним из непосредственных последствий является то, что координатные поверхности постоянного времени образуют семейство (изометрических) пространственных гиперсрезов (пространственноподобных гиперповерхностей). ${\displaystyle {\vec {X}}=\partial _{t}}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

В отличие от диаграммы Шварцшильда, изотропная диаграмма не очень подходит для построения диаграмм встраивания этих гиперсрезов.

Семейство статических вложенных сфер

Поверхности выглядят как круглые сферы (когда мы рисуем локусы в полярной сферической форме), и по форме линейного элемента мы видим, что метрика, ограниченная любой из этих поверхностей, равна ${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0}}$

${\displaystyle g|_{t=t_{0},r=r_{0}}=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}g_{\Omega }=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,-\pi <\varphi <\pi }$

где – координаты, – риманова метрика на сфере 2 единичного радиуса. То есть эти вложенные координатные сферы на самом деле представляют собой геометрические сферы, но внешний вид показывает , что радиальная координата не соответствует площади так же, как для сфер в обычном евклидовом пространстве . Сравните координаты Шварцшильда, где радиальная координата имеет естественную интерпретацию в терминах вложенных сфер. ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle g_{\Omega }}$ ${\displaystyle b(r_{0})\,r}$ ${\displaystyle r}$

Координатные особенности

Локусы отмечают границы изотропной карты, и, как и в карте Шварцшильда, мы молчаливо предполагаем, что эти два локуса идентифицированы, так что наши предполагаемые круглые сферы действительно являются топологическими сферами. ${\displaystyle \varphi =-\pi ,\,\pi }$

Как и в случае с диаграммой Шварцшильда, диапазон радиальной координаты может быть ограничен, если метрика или обратная ей метрика разрушается при некотором значении(ях) этой координаты.

Метрический анзац

Приведенный выше линейный элемент с f,g, рассматриваемый как неопределенные функции изотропной координаты r, часто используется в качестве метрического анзаца при выводе статических сферически симметричных решений в общей теории относительности (или других метрических теориях гравитации ).

В качестве иллюстрации мы нарисуем, как вычислить связь и кривизну, используя метод внешнего исчисления Картана. Сначала мы считываем из линейного элемента поле кофрейма ,

${\displaystyle \sigma ^{0}=-a(r)\,dt}$

${\displaystyle \sigma ^{1}=b(r)\,dr}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=b(r)\,r\,d\theta }$

${\displaystyle \sigma ^{3}=b(r)\,r\,\sin(\theta )\,d\varphi }$

где мы рассматриваем как неопределенные гладкие функции от . (Тот факт, что наше пространство-время допускает систему отсчета, имеющую эту конкретную тригонометрическую форму, является еще одним эквивалентным выражением понятия изотропной карты в статическом, сферически симметричном лоренцевом многообразии). Взяв внешние производные и используя первое структурное уравнение Картана, находим ненулевые одноформы связности ${\displaystyle a,\,b}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{1}={\frac {f'\,dt}{g}}}$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=-\left(1+{\frac {r\,b'}{b}}\right)\,d\theta }$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{3}=-\left(1+{\frac {r\,b'}{b}}\right)\,\sin(\theta )\,d\varphi }$

${\displaystyle {\omega ^{2}}_{3}=-\cos(\theta )\,d\varphi }$

Снова взяв внешние производные и подставив их во второе структурное уравнение Картана, мы находим две формы кривизны .

Смотрите также

• статическое пространство-время ,
• сферически-симметричное пространство-время ,
• статические сферически-симметричные идеальные жидкости ,
• Координаты Шварцшильда , еще одна популярная диаграмма для статического сферически-симметричного пространства-времени.
• поля фреймов в общей теории относительности , чтобы узнать больше о полях фреймов и полях кофреймов.

Рекомендации

• Миснер, Торн, Уилер (1973). Гравитация . WH Фриман и компания. ISBN 0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)