Сферически симметричное пространство-время

В физике сферически симметричные пространства-времена обычно используются для получения аналитических и численных решений уравнений поля Эйнштейна в присутствии радиально движущейся материи или энергии. Поскольку сферически симметричные пространства-времена по определению безвихревые, они не являются реалистичными моделями черных дыр в природе. Однако их метрики значительно проще, чем у вращающихся пространств-времен, что делает их гораздо более простыми для анализа.

Сферически симметричные модели не совсем не подходят: многие из них имеют диаграммы Пенроуза, похожие на диаграммы вращающегося пространства-времени, и они обычно имеют качественные характеристики (например, горизонты Коши ), которые не подвержены влиянию вращения. Одним из таких приложений является изучение инфляции массы из-за встречных потоков падающей материи внутри черной дыры.

Формальное определение

Сферически симметричное пространство-время — это пространство-время , группа изометрий которого содержит подгруппу, изоморфную группе вращений SO(3) , а орбиты этой группы являются 2-сферами (обычными 2-мерными сферами в 3-мерном евклидовом пространстве ). Изометрии затем интерпретируются как вращения, а сферически симметричное пространство-время часто описывается как пространство, метрика которого «инвариантна относительно вращений». Метрика пространства-времени индуцирует метрику на каждой орбите 2-сферы (и эта индуцированная метрика должна быть кратна метрике 2-сферы). Условно метрика на 2-сфере записывается в полярных координатах как

${\displaystyle g_{\Omega }=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$,

и поэтому полная метрика включает в себя член, пропорциональный этому.

Сферическая симметрия является характерной чертой многих решений уравнений поля Эйнштейна общей теории относительности , особенно решения Шварцшильда и решения Рейсснера–Нордстрёма . Сферически симметричное пространство-время можно охарактеризовать другим способом, а именно, используя понятие векторных полей Киллинга , которые в очень точном смысле сохраняют метрику . Изометрии, упомянутые выше, на самом деле являются локальными диффеоморфизмами потока векторных полей Киллинга и, таким образом, порождают эти векторные поля. Для сферически симметричного пространства-времени существует ровно 3 вращательных векторных поля Киллинга. Другими словами, размерность алгебры Киллинга равна 3; то есть, . В общем случае ни одно из них не является времениподобным, поскольку это подразумевало бы статическое пространство-время . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K(M)}$ ${\displaystyle \dim K(M)=3}$

Известно (см. теорему Биркгофа ), что любое сферически симметричное решение уравнений вакуумного поля обязательно изометрично подмножеству максимально расширенного решения Шварцшильда . Это означает, что внешняя область вокруг сферически симметричного гравитирующего объекта должна быть статической и асимптотически плоской .

Сферически симметричные метрики

Традиционно, для записи метрики ( элемента линии ) используются сферические координаты . Возможны несколько диаграмм координат ; они включают: ${\displaystyle x^{\mu }=(t,r,\theta ,\phi )}$

• Координаты Шварцшильда
• Изотропные координаты , в которых световые конусы круглые, и поэтому полезны для изучения нулевой пыли .
• Гауссовы полярные координаты , иногда используемые для изучения статических сферически-симметричных идеальных жидкостей.
• Радиус окружности, указанный ниже, удобен для изучения инфляции массы.

Окружной радиус метрический

Одной из популярных метрик, ^[1] используемых при изучении массовой инфляции, является

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=-{\frac {dt^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {1}{\beta _{r}^{2}}}\left(dr-\beta _{t}{\frac {dt}{\alpha }}\right)^{2}+r^{2}\,g(\Omega ).}$

Здесь — стандартная метрика на единичном радиусе 2-сферы . Радиальная координата определяется так, что она является окружным радиусом, то есть, так, что собственная окружность при радиусе равна . При таком выборе координат параметр определяется так, что — собственная скорость изменения окружного радиуса (то есть, где — собственное время ). Параметр можно интерпретировать как радиальную производную окружного радиуса в свободно падающей системе отсчета; это становится явным в формализме тетрады . ${\displaystyle g(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 2\pi r}$ ${\displaystyle \beta _{t}}$ ${\displaystyle \beta _{t}=dr/d\tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \beta _{r}}$

Ортонормальный тетрадный формализм

Обратите внимание, что указанная выше метрика записана как сумма квадратов, и поэтому ее можно понимать как явное кодирование вирбейна и , в частности, ортонормированной тетрады . То есть, метрический тензор можно записать как обратный путь метрики Минковского : ${\displaystyle \eta _{ij}}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{ij}\,e_{\;\mu }^{i}\,e_{\;\nu }^{j}}$

где — обратный вирбейн. Соглашение здесь и далее заключается в том, что римские индексы относятся к плоской ортонормальной тетрадной системе отсчета, тогда как греческие индексы относятся к системе координат. Обратный вирбейн можно напрямую прочитать из приведенной выше метрики как ${\displaystyle e_{\;\mu }^{i}}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{t}dx^{\mu }={\frac {dt}{\alpha }}}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{r}dx^{\mu }={\frac {1}{\beta _{r}}}\left(dr-\beta _{t}{\frac {dt}{\alpha }}\right)}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{\theta }dx^{\mu }=rd\theta }$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{\phi }dx^{\mu }=r\sin \theta d\phi }$

где подпись была взята как . Записанный в виде матрицы, обратный вирбейн есть ${\displaystyle (-+++)}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{i}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\alpha }}&0&0&0\\-{\frac {\beta _{t}}{\alpha \beta _{r}}}&{\frac {1}{\beta _{r}}}&0&0\\0&0&r&0\\0&0&0&r\sin \theta \\\end{bmatrix}}}$

Сам вирбейн является инверсией (-транспонированием) обратного вирбейна.

${\displaystyle e_{i}^{\;\mu }={\begin{bmatrix}\alpha &\beta _{t}&0&0\\0&\beta _{r}&0&0\\0&0&{\frac {1}{r}}&0\\0&0&0&{\frac {1}{r\sin \theta }}\\\end{bmatrix}}}$

То есть это единичная матрица. ${\displaystyle (e_{\;\mu }^{i})^{T}e_{i}^{\;\nu }=e_{\mu }^{\;\;i}e_{i}^{\;\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }}$

Простая форма вышеизложенного является главным мотивирующим фактором для работы с данной метрикой.

Вирбейн связывает векторные поля в системе координат с векторными полями в системе тетрады, как

${\displaystyle \partial _{i}=e_{i}^{\;\mu }{\frac {\partial \;\;}{\partial x^{\mu }}}}$

Наиболее интересными из этих двух являются то, что является собственным временем в системе покоя, а что является радиальной производной в системе покоя. По построению, как отмечалось ранее, была собственная скорость изменения окружного радиуса; теперь это можно явно записать как ${\displaystyle \partial _{t}}$ ${\displaystyle \partial _{r}}$ ${\displaystyle \beta _{t}}$

${\displaystyle \beta _{t}=\partial _{t}r}$

Аналогично, есть

${\displaystyle \beta _{r}=\partial _{r}r}$

который описывает градиент (в свободно падающей тетрадной системе отсчета) окружного радиуса вдоль радиального направления. Это не в общем единстве; сравните, например, со стандартным решением Сваршильда или решением Рейсснера–Нордстрема. Знак эффективно определяет «какой путь вниз»; знак различает входящие и исходящие системы отсчета, так что — входящая система отсчета, а — исходящая система отсчета. ${\displaystyle \beta _{r}}$ ${\displaystyle \beta _{r}}$ ${\displaystyle \beta _{r}>0}$ ${\displaystyle \beta _{r}<0}$

Эти два соотношения окружного радиуса дают еще одну причину, по которой данная параметризация метрики удобна: она имеет простую интуитивную характеристику.

Форма подключения

Форму связи в тетрадной системе отсчета можно записать в терминах символов Кристоффеля в тетрадной системе отсчета, которые задаются формулой ${\displaystyle \Gamma _{ijk}}$

${\displaystyle \Gamma _{rtt}=-\partial _{r}\ln \alpha }$

${\displaystyle \Gamma _{rtr}=-\beta _{t}{\frac {\partial \ln \alpha }{\partial r}}+{\frac {\partial \beta _{t}}{\partial r}}-\partial _{t}\ln \beta _{r}}$

${\displaystyle \Gamma _{\theta t\theta }=\Gamma _{\phi t\phi }={\frac {\beta _{t}}{r}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\theta r\theta }=\Gamma _{\phi r\phi }={\frac {\beta _{r}}{r}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\phi \theta \phi }={\frac {\cot \theta }{r}}}$

а все остальные ноль.

Уравнения Эйнштейна

Полный набор выражений для тензора Римана , тензора Эйнштейна и скаляра кривизны Вейля можно найти в книге Гамильтона и Авелино. ^[1] Уравнения Эйнштейна принимают вид

${\displaystyle \nabla _{t}\beta _{t}=-{\frac {M}{r^{2}}}-4\pi rp}$

${\displaystyle \nabla _{t}\beta _{r}=4\pi rf}$

где - ковариантная производная по времени (и связь Леви -Чивиты ), радиальное давление ( не изотропное давление!) и радиальный поток энергии. Масса - это масса Мизнера-Торна или внутренняя масса, заданная как ${\displaystyle \nabla _{t}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M(r)}$

${\displaystyle {\frac {2M}{r}}-1=\beta _{t}^{2}-\beta _{r}^{2}}$

Поскольку эти уравнения фактически двумерны, их можно решить без особых трудностей для различных предположений о природе падающего материала (то есть для предположения о сферически симметричной черной дыре, которая аккрецирует заряженную или нейтральную пыль, газ, плазму или темную материю высокой или низкой температуры, т. е. материал с различными уравнениями состояния ).

Смотрите также

• Статическое пространство-время
• Стационарное пространство-время
• Симметрии пространства-времени
• Пространство Де Ситтера

Ссылки

1. Эндрю Дж. С. Гамильтон и Педро П. Авелино, «Физика релятивистской встречной неустойчивости, которая приводит к массовой инфляции внутри черных дыр» (2008), arXiv :0811.1926

• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-87033-2. См. раздел 6.1 для обсуждения сферической симметрии .