Сингулярность (математика)

Точка, в которой функция, кривая или другой математический объект ведет себя нерегулярно

В математике сингулярность — это точка, в которой данный математический объект не определен, или точка, в которой математический объект перестает вести себя хорошо каким-либо определенным образом, например, из-за отсутствия дифференцируемости или аналитичности . ^{[1] [2] [3]}

Например, обратная функция имеет особенность при , где значение функции не определено, так как включает деление на ноль . Функция абсолютного значения также имеет особенность при , поскольку она там не дифференцируема . ^[4] ${\displaystyle f(x)=1/x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle g(x)=|x|}$ ${\displaystyle x=0}$

Алгебраическая кривая, определённая в системе координат, имеет особенность (называемую точкой возврата ) в точке . Для особенностей в алгебраической геометрии см. особую точку алгебраического многообразия . Для особенностей в дифференциальной геометрии см. теорию особенностей . ${\displaystyle \left\{(x,y):y^{3}-x^{2}=0\right\}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (0,0)}$

Реальный анализ

В реальном анализе сингулярности являются либо разрывами , либо разрывами производной ( иногда также разрывами производных более высокого порядка). Существует четыре вида разрывов: тип I , который имеет два подтипа, и тип II , который также может быть разделен на два подтипа (хотя обычно это не так).

Чтобы описать способ использования этих двух типов пределов, предположим, что является функцией действительного аргумента , и для любого значения ее аргумента, скажем , , тогда левосторонний предел , , и правосторонний предел , , определяются следующим образом: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(c^{-})}$ ${\displaystyle f(c^{+})}$

${\displaystyle f(c^{-})=\lim _{x\to c}f(x)}$, ограниченный и ${\displaystyle x<c}$

${\displaystyle f(c^{+})=\lim _{x\to c}f(x)}$, ограниченный . ${\displaystyle x>c}$

Значение — это значение , к которому стремится функция по мере приближения значения снизу , а значение — это значение , к которому стремится функция по мере приближения значения сверху , независимо от фактического значения функции в точке, где  . ${\displaystyle f(c^{-})}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(c^{+})}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x=c}$

Есть некоторые функции, для которых эти пределы вообще не существуют. Например, функция

${\displaystyle g(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$

не стремится ни к чему по мере приближения . Пределы в этом случае не бесконечны, а скорее неопределенны : нет значения, которое устанавливается на. Заимствуя из комплексного анализа, это иногда называют существенной сингулярностью . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle g(x)}$

Возможны следующие случаи при заданном значении аргумента. ${\displaystyle c}$

• Точка непрерывности — это значение , для которого , как и ожидается для гладкой функции. Все значения должны быть конечными. Если — не точка непрерывности, то разрыв происходит при . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$
• Разрыв типа I возникает, когда существуют и конечны оба значения , но также выполняется по крайней мере одно из следующих трех условий: ${\displaystyle f(c^{-})}$ ${\displaystyle f(c^{+})}$
  • ${\displaystyle f(c^{-})\neq f(c^{+})}$;
  • ${\displaystyle f(x)}$не определено для случая ; или ${\displaystyle x=c}$
  • ${\displaystyle f(c)}$имеет определенное значение, которое, однако, не совпадает со значением двух пределов.

  Разрывы типа I можно далее разделить на следующие подтипы:

  • Скачок разрыва происходит, когда , независимо от того, определено ли , и независимо от его значения, если оно определено. ${\displaystyle f(c^{-})\neq f(c^{+})}$ ${\displaystyle f(c)}$
  • Устранимый разрыв возникает, когда , также независимо от того, определено ли , и независимо от его значения, если оно определено (но которое не совпадает со значением двух пределов). ${\displaystyle f(c^{-})=f(c^{+})}$ ${\displaystyle f(c)}$
• Разрыв типа II происходит, когда либо не существует , либо отсутствует (возможно, оба). Он имеет два подтипа, которые обычно не рассматриваются отдельно: ${\displaystyle f(c^{-})}$ ${\displaystyle f(c^{+})}$
  • Бесконечный разрыв — это особый случай, когда либо левый, либо правый предел не существует, в частности, потому что он бесконечен, а другой предел либо также бесконечен, либо является некоторым хорошо определенным конечным числом. Другими словами, функция имеет бесконечный разрыв, когда ее график имеет вертикальную асимптоту .
  • Существенная сингулярность — это термин, заимствованный из комплексного анализа (см. ниже). Это тот случай, когда один или другой предел или не существует, но не потому, что это бесконечный разрыв . Существенные сингулярности не приближаются ни к какому пределу, даже если действительные ответы расширены, чтобы включить . ${\displaystyle f(c^{-})}$ ${\displaystyle f(c^{+})}$ ${\displaystyle \pm \infty }$

В реальном анализе особенность или разрыв являются свойством только функции. Любые особенности, которые могут существовать в производной функции, рассматриваются как принадлежащие производной, а не исходной функции.

Координатные особенности

Координатная сингулярность возникает, когда в одной системе координат возникает кажущаяся сингулярность или разрыв, которые можно устранить, выбрав другую систему координат. Примером этого является кажущаяся сингулярность на широте 90 градусов в сферических координатах . Объект, движущийся строго на север (например, вдоль линии 0 градусов долготы) на поверхности сферы, внезапно испытает мгновенное изменение долготы на полюсе (в случае примера, скачок с долготы 0 на долготу 180 градусов). Однако эта разрывность только кажущаяся; это артефакт выбранной системы координат, которая сингулярна на полюсах. Другая система координат устранила бы кажущуюся разрывность (например, заменив представление широты/долготы на представление n -вектора ).

Комплексный анализ

В комплексном анализе существует несколько классов особенностей. К ним относятся изолированные особенности, неизолированные особенности и точки ветвления.

Изолированные сингулярности

Предположим, что — функция, комплексно дифференцируемая в дополнении точки открытого подмножества комплексных чисел . Тогда: ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ a\ }$ ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {C} ~.}$

• Точка является устранимой особенностью , если существует голоморфная функция, определенная на всех из такая, что для всех из Функция является непрерывной заменой функции ^[3] ${\displaystyle \ a\ }$ ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ g\ }$ ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ f(z)=g(z)\ }$ ${\displaystyle \ z\ }$ ${\displaystyle \ U\smallsetminus \{a\}~.}$ ${\displaystyle \ g\ }$ ${\displaystyle \ f~.}$
• Точка является полюсом или несущественной особенностью , если существует голоморфная функция , определенная на с ненулевым значением и натуральным числом таким, что для всех в Наименьшее такое число называется порядком полюса . Производная в несущественной особенности сама имеет несущественную особенность, причем увеличена на 1 (за исключением случая, когда равно 0 , так что особенность устранима). ${\displaystyle \ a\ }$ ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ g\ }$ ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ g(a)\ }$ ${\displaystyle \ n\ }$ ${\displaystyle \ f(z)={\frac {g(z)}{\ (z-a)^{n}\ }}\ }$ ${\displaystyle \ z\ }$ ${\displaystyle \ U\smallsetminus \{a\}~.}$ ${\displaystyle \ n\ }$ ${\displaystyle \ n\ }$ ${\displaystyle \ n\ }$
• Точка является существенной особенностью , если она не является ни устранимой особенностью, ни полюсом. Точка является существенной особенностью тогда и только тогда, когда ряд Лорана имеет бесконечно много степеней отрицательной степени. ^[1] ${\displaystyle \ a\ }$ ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ a\ }$

Неизолированные сингулярности

Помимо изолированных сингулярностей, сложные функции одной переменной могут демонстрировать иное сингулярное поведение. Они называются неизолированными сингулярностями, которые бывают двух типов:

• Точки скопления : предельные точки изолированных сингулярностей. Если они все являются полюсами, несмотря на допущение разложений в ряд Лорана на каждом из них, то такое разложение невозможно на его пределе.
• Естественные границы : любое неизолированное множество (например, кривая), на котором функции не могут быть аналитически продолжены вокруг него (или за его пределы, если они являются замкнутыми кривыми на сфере Римана ).

Точки разветвления

Точки ветвления обычно являются результатом многозначной функции , такой как или , которые определены в пределах определенной ограниченной области, так что функция может быть сделана однозначной в пределах области. Разрез представляет собой линию или кривую, исключенную из области для введения технического разделения между разрывными значениями функции. Когда разрез действительно необходим, функция будет иметь отчетливо разные значения по обе стороны от разреза ветви. Форма разреза ветви является вопросом выбора, даже если она должна соединять две разные точки ветвления (такие как и для ) , которые зафиксированы на месте. ${\displaystyle \ {\sqrt {z\ }}\ }$ ${\displaystyle \ \log(z)\ ,}$ ${\displaystyle \ z=0\ }$ ${\displaystyle \ z=\infty \ }$ ${\displaystyle \ \log(z)\ }$

Конечная временная сингулярность

Обратная функция , демонстрирующая гиперболический рост .

Конечная временная сингулярность возникает, когда одна входная переменная — это время, а выходная переменная увеличивается до бесконечности за конечное время. Они важны в кинематике и уравнениях с частными производными — бесконечности не встречаются физически, но поведение вблизи сингулярности часто представляет интерес. Математически простейшие конечные временные сингулярности — это степенные законы для различных показателей вида, простейшим из которых является гиперболический рост , где показатель степени равен (отрицательный) 1: Точнее, чтобы получить сингулярность в положительное время по мере продвижения времени (так что выход растет до бесконечности), вместо этого используют (используя t для времени, изменяя направление на , чтобы время увеличивалось до бесконечности, и сдвигая сингулярность вперед от 0 до фиксированного времени ). ${\displaystyle x^{-\alpha },}$ ${\displaystyle x^{-1}.}$ ${\displaystyle (t_{0}-t)^{-\alpha }}$ ${\displaystyle -t}$ ${\displaystyle t_{0}}$

Примером может служить подпрыгивающее движение неупругого мяча на плоскости. Если рассматривать идеализированное движение, в котором при каждом отскоке теряется та же доля кинетической энергии , частота отскоков становится бесконечной, поскольку мяч останавливается за конечное время. Другие примеры сингулярностей с конечным временем включают различные формы парадокса Пенлеве (например, тенденцию мела подпрыгивать при протаскивании по доске) и то, как скорость прецессии монеты, вращающейся на плоской поверхности, ускоряется до бесконечности — перед тем, как резко остановиться (как изучалось с помощью игрушки «Диск Эйлера» ).

Гипотетические примеры включают шутливое « уравнение Судного дня » Хайнца фон Ферстера (упрощенные модели приводят к бесконечной численности населения за конечное время).

Алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра

В алгебраической геометрии особенность алгебраического многообразия — это точка многообразия, где касательное пространство может быть нерегулярно определено. Простейшим примером особенностей являются кривые, которые пересекают сами себя. Но есть и другие типы особенностей, такие как точки возврата . Например, уравнение y ² − x ³ = 0 определяет кривую, которая имеет точку возврата в начале координат x = y = 0. Можно было бы определить ось x как касательную в этой точке, но это определение не может быть таким же, как определение в других точках. Фактически, в этом случае ось x является «двойной касательной».

Для аффинных и проективных многообразий особенности — это точки, в которых матрица Якоби имеет ранг ниже, чем в других точках многообразия.

Можно дать эквивалентное определение в терминах коммутативной алгебры , которое распространяется на абстрактные многообразия и схемы : точка является особой, если локальное кольцо в этой точке не является регулярным локальным кольцом .

Смотрите также

• Теория катастроф
• Определенные и неопределенные
• Вырожденность (математика)
• Гиперболический рост
• Подвижная сингулярность
• Патологический (математика)
• Регулярная сингулярность
• Единственное решение

Ссылки

1. "Сингулярности, нули и полюса". mathfaculty.fullerton.edu . Получено 12.12.2019 .
2. "Сингулярность | комплексные функции". Encyclopedia Britannica . Получено 2019-12-12 .
3. Weisstein, Eric W. "Singularity". mathworld.wolfram.com . Получено 12.12.2019 .
4. Берресфорд, Джеффри С.; Рокетт, Эндрю М. (2015). Прикладное исчисление. Cengage Learning. стр. 151. ISBN 978-1-305-46505-3.