Аналитичность голоморфных функций

Теорема

В комплексном анализе комплекснозначная функция комплексной переменной : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z}$

• называется голоморфным в точке, если он дифференцируем в каждой точке внутри некоторого открытого круга с центром в , и ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$
• называется аналитической в ​​, если в некотором открытом круге с центром в ее можно разложить в сходящийся степенной ряд (это подразумевает, что радиус сходимости положителен). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}$$

Одна из важнейших теорем комплексного анализа заключается в том, что голоморфные функции являются аналитическими и наоборот . Среди следствий этой теоремы есть

• теорема о тождестве , согласно которой две голоморфные функции, которые совпадают в каждой точке бесконечного множества с точкой накопления внутри пересечения их областей определения, также совпадают всюду в каждом связном открытом подмножестве их областей определения, содержащем множество , и ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
• тот факт, что, поскольку степенные ряды бесконечно дифференцируемы , то таковыми являются и голоморфные функции (в отличие от случая действительных дифференцируемых функций), и
• тот факт, что радиус сходимости всегда равен расстоянию от центра до ближайшей неустранимой особенности ; если особенностей нет (т.е. если — целая функция ), то радиус сходимости бесконечен. Строго говоря, это не следствие теоремы, а скорее побочный продукт доказательства. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$
• Никакая функция выпуклости на комплексной плоскости не может быть целой. В частности, на любом связном открытом подмножестве комплексной плоскости не может быть никакой функции выпуклости, определенной на этом множестве, которая была бы голоморфной на множестве. Это имеет важные последствия для изучения комплексных многообразий , поскольку исключает использование разбиений единицы . Напротив, разбиение единицы является инструментом, который можно использовать на любом действительном многообразии.

Доказательство

Аргумент, впервые высказанный Коши, основан на интегральной формуле Коши и разложении выражения в степенной ряд

${\displaystyle {\frac {1}{w-z}}.}$

Пусть будет открытым диском с центром в и предположим, что дифференцируемо всюду внутри открытой окрестности , содержащей замыкание . Пусть будет положительно ориентированной (т.е. против часовой стрелки) окружностью, которая является границей , и пусть будет точкой в ​​. Начиная с интегральной формулы Коши, мы имеем ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over w-z}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)-(z-a)}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {1 \over 1-{z-a \over w-a}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {\sum _{n=0}^{\infty }\left({z-a \over w-a}\right)^{n}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2\pi i}\int _{C}{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\,\mathrm {d} w.\end{aligned}}}$

Взаимозамена интеграла и бесконечной суммы оправдана наблюдением, что ограничено некоторым положительным числом , тогда как для всех в ${\displaystyle f(w)/(w-a)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \left|{\frac {z-a}{w-a}}\right|\leq r<1}$

для некоторых положительных также. Поэтому мы имеем ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \left|{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\right|\leq Mr^{n},}$

на , и как показывает М-тест Вейерштрасса, ряд сходится равномерно по , сумму и интеграл можно поменять местами. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Поскольку фактор не зависит от переменной интегрирования , его можно вынести за скобки, получив ${\displaystyle (z-a)^{n}}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(z-a)^{n}{1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w,}$

который имеет желаемую форму степенного ряда : ${\displaystyle z}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}$

с коэффициентами

${\displaystyle c_{n}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w.}$

Замечания

• Поскольку степенной ряд можно дифференцировать почленно, применение приведенного выше аргумента в обратном направлении и выражение степенного ряда для дает Это интегральная формула Коши для производных. Поэтому степенной ряд, полученный выше, является рядом Тейлора для . $${\displaystyle {\frac {1}{(w-z)^{n+1}}}}$$ $${\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,dw.}$$ ${\displaystyle f}$
• Аргумент работает, если — любая точка, которая ближе к центру, чем любая сингулярность . Следовательно, радиус сходимости ряда Тейлора не может быть меньше расстояния от до ближайшей сингулярности (и не может быть больше, поскольку степенные ряды не имеют сингулярностей внутри своих кругов сходимости). ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$
• Из предыдущего замечания следует частный случай теоремы о тождестве . Если две голоморфные функции совпадают в (возможно, довольно малой) открытой окрестности , то они совпадают в открытом круге , где — расстояние от до ближайшей сингулярности. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B_{d}(a)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle a}$

Внешние ссылки

• «Существование степенных рядов». PlanetMath .