Диск (математика)

Плоская фигура, ограниченная окружностью

Диск с

  окружность С

  диаметр D

  радиус R

  центр или начало O

В геометрии диск ( также пишется как диск ) ^[1] — это область на плоскости, ограниченная окружностью . Диск называется замкнутым , если он содержит окружность, составляющую его границу, и открытым, если не содержит. ^[2]

Для радиуса открытый диск обычно обозначается как , а замкнутый диск — . Однако в области топологии замкнутый диск обычно обозначается как , а открытый диск — . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle D_{r}}$ ${\displaystyle {\overline {D_{r}}}}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {int} D^{2}}$

Формулы

В декартовых координатах открытый диск с центром и радиусом R задается формулой: ^[1] ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<R^{2}\}}$

в то время как замкнутый диск с тем же центром и радиусом определяется выражением:

${\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leq R^{2}\}.}$

Площадь замкнутого или открытого диска радиусом R равна π R ² (см. площадь диска ). ^[3]

Характеристики

Диск имеет круговую симметрию . ^[4]

Открытый диск и закрытый диск топологически не эквивалентны (то есть они не гомеоморфны ), поскольку обладают различными топологическими свойствами. Например, каждый закрытый диск компактен , тогда как каждый открытый диск не компактен. ^[5] Однако с точки зрения алгебраической топологии они обладают многими общими свойствами: оба они стягиваемы ^[6] и, следовательно, гомотопически эквивалентны одной точке. Это подразумевает, что их фундаментальные группы тривиальны, и все группы гомологии тривиальны, за исключением 0-й, которая изоморфна Z. Эйлерова характеристика точки (и, следовательно, также замкнутого или открытого диска) равна 1. ^[7]

Каждое непрерывное отображение из замкнутого диска в себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку (мы не требуем, чтобы отображение было биективным или даже сюръективным ); это случай n = 2 теоремы Брауэра о неподвижной точке . ^[8] Утверждение ложно для открытого диска: ^[9]

Рассмотрим, например, функцию, которая отображает каждую точку открытого единичного круга в другую точку открытого единичного круга справа от заданной. Но для замкнутого единичного круга она фиксирует каждую точку на полукруге ${\displaystyle f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,x>0.}$

Как статистическое распределение

Среднее расстояние до местоположения от точек на диске

Равномерное распределение на единичном круговом диске иногда встречается в статистике. Чаще всего оно встречается в исследовании операций в математике городского планирования, где его можно использовать для моделирования населения в городе. Другие применения могут использовать тот факт, что это распределение, для которого легко вычислить вероятность того, что заданный набор линейных неравенств будет удовлетворен. ( Гауссовские распределения на плоскости требуют числовой квадратуры .)

«Гениальный аргумент с помощью элементарных функций» показывает, что среднее евклидово расстояние между двумя точками в круге равно ⁠128/45π⁠ ≈ 0,90541 , ^[10] в то время как прямое интегрирование в полярных координатах показывает, что среднеквадратичное расстояние равно 1 .

Если нам дано произвольное местоположение на расстоянии q от центра диска, также интересно определить среднее расстояние b ( q ) от точек в распределении до этого местоположения и средний квадрат таких расстояний. Последнее значение можно вычислить напрямую как q ² + ⁠1/2⁠ .

Среднее расстояние до произвольной внутренней точки

Среднее расстояние от диска до внутренней точки

Чтобы найти b ( q ), нам нужно отдельно рассмотреть случаи, когда местоположение является внутренним или внешним, т.е. когда q ≶ 1 , и мы обнаруживаем, что в обоих случаях результат может быть выражен только через полные эллиптические интегралы .

Если мы рассматриваем внутреннее расположение, наша цель (глядя на диаграмму) — вычислить ожидаемое значение r при распределении, плотность которого равна ⁠1/π⁠ для 0 ≤ r ≤ s (θ) , интегрируя в полярных координатах с центром в фиксированном месте, для которого площадь ячейки равна r d r dθ  ; следовательно $${\displaystyle b(q)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\textrm {d}}\theta \int _{0}^{s(\theta )}r^{2}{\textrm {d}}r={\frac {1}{3\pi }}\int _{0}^{2\pi }s(\theta )^{3}{\textrm {d}}\theta .}$$

Здесь s (θ) можно найти через q и θ , используя закон косинусов . Шаги, необходимые для вычисления интеграла, вместе с несколькими ссылками, можно найти в статье Лью и др.; ^[10] результат таков, что где K и E — полные эллиптические интегралы первого и второго рода. ^[11] b (0) = ⁠ $${\displaystyle b(q)={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}4(q^{2}-1)K(q^{2})+(q^{2}+7)E(q^{2}){\biggr \}}}$$ 2/3⁠ ; б (1) = ⁠32/9π⁠ ≈ 1,13177 .

Среднее расстояние до произвольной внешней точки

Среднее расстояние от диска до внешней точки

Переходя к внешнему положению, мы можем составить интеграл аналогичным образом, на этот раз получив

$${\displaystyle b(q)={\frac {2}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}s_{+}(\theta )^{3}-s_{-}(\theta )^{3}{\biggr \}}{\textrm {d}}\theta }$$где закон косинусов говорит нам, что s ₊ (θ) и s _– (θ) являются корнями для s уравнения Следовательно, мы можем подставить u = q sinθ, чтобы получить, используя стандартные интегралы. ^[12] $${\displaystyle s^{2}-2qs\,{\textrm {cos}}\theta +q^{2}\!-\!1=0.}$$ $${\displaystyle b(q)={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}3q^{2}{\textrm {cos}}^{2}\theta {\sqrt {1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta }}+{\Bigl (}1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta {\Bigr )}^{\tfrac {3}{2}}{\biggl \}}{\textrm {d}}\theta .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}b(q)&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}3{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}+{\frac {(1-u^{2})^{\tfrac {3}{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}4{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}-{\frac {q^{2}-1}{q}}{\frac {\sqrt {1-u^{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}{\biggl \{}{\frac {4q}{3}}{\biggl (}(q^{2}+1)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-(q^{2}-1)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}-(q^{2}-1){\biggl (}qE({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}{\biggr \}}\\[0.6ex]&={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}q(q^{2}+7)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}(q^{2}+3)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr \}}\end{aligned}}}$$

Следовательно, снова b (1) = ⁠32/9π⁠ , в то время как также ^[13] $${\displaystyle \lim _{q\to \infty }b(q)=q+{\tfrac {1}{8q}}.}$$

Смотрите также

• Единичный диск , диск с радиусом один
• Кольцо (математика) , область между двумя концентрическими окружностями
• Шар (математика) , обычный термин для трехмерного аналога диска.
• Дисковая алгебра , пространство функций на диске
• Круговой сегмент
• Ортоцентроидальный диск , содержащий определенные центры треугольника

Ссылки

1. Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (2014), Краткий Оксфордский словарь математики, Oxford University Press, стр. 138, ISBN 9780199679591.
2. Арнольд, Б. Х. (2013), Интуитивные концепции элементарной топологии, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 58, ISBN 9780486275765.
3. Ротман, Джозеф Дж. (2013), Путешествие в математику: Введение в доказательства, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 44, ISBN 9780486151687.
4. Альтманн, Саймон Л. (1992). Иконы и симметрии . Oxford University Press. ISBN 9780198555995. круговая симметрия диска.
5. Модлин, Тим (2014), Новые основы физической геометрии: теория линейных структур, Oxford University Press, стр. 339, ISBN 9780191004551.
6. Коэн, Дэниел Э. (1989), Комбинаторная теория групп: топологический подход, Лондонское математическое общество, студенческие тексты, т. 14, Cambridge University Press, стр. 79, ISBN 9780521349369.
7. В более высоких размерностях эйлерова характеристика замкнутого шара остается равной +1, но эйлерова характеристика открытого шара равна +1 для четномерных шаров и −1 для нечетномерных шаров. См. Klain, Daniel A.; Rota, Gian-Carlo (1997), Introduction to Geometric Probability , Lezioni Lincee, Cambridge University Press, стр. 46–50.
8. Арнольд (2013), стр. 132.
9. Арнольд (2013), Пример 1, стр. 135.
10. JS Lew et al., «О средних расстояниях в круглом диске» (1977).
11. Абрамовиц и Стигун , 17.3.
12. Градштейн и Рыжик 3.155.7 и 3.169.9, с учетом разницы в обозначениях у Абрамовица и Стигуна. (Сравните A&S 17.3.11 с G&R 8.113.) В этой статье используется обозначение A&S.
13. Абрамовиц и Стигун, 17.3.11 и далее.