Численное интегрирование

Методы вычисления определенных интегралов

Численное интегрирование используется для вычисления численного приближения для значения , площади под кривой, определяемой . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(x)}$

В анализе численное интегрирование охватывает обширное семейство алгоритмов для вычисления числового значения определенного интеграла . Термин численная квадратура (часто сокращенно квадратура ) является более или менее синонимом «численного интегрирования», особенно применительно к одномерным интегралам. Некоторые авторы называют численное интегрирование по более чем одному измерению кубатурой ; [ ^1] другие считают, что «квадратура» включает в себя многомерное интегрирование.

Основная задача численного интегрирования — вычислить приближенное решение определенного интеграла.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

с заданной степенью точности. Если f ( x ) — гладкая функция, интегрированная по небольшому числу измерений, и область интегрирования ограничена, существует много методов приближения интеграла к желаемой точности.

Численное интегрирование имеет корни в геометрической задаче нахождения квадрата с той же площадью, что и заданная плоская фигура ( квадратура или возведение в квадрат ), как в квадратуре круга . Термин также иногда используется для описания численного решения дифференциальных уравнений .

Мотивация и потребность

Существует несколько причин для проведения численного интегрирования, в отличие от аналитического интегрирования путем нахождения первообразной :

1. Интегральная функция f ( x ) может быть известна только в определенных точках, например, полученная путем выборки . Некоторые встроенные системы и другие компьютерные приложения могут нуждаться в численном интегрировании по этой причине.
2. Формула для подынтегральной функции может быть известна, но может быть трудно или невозможно найти первообразную, которая является элементарной функцией . Примером такой подынтегральной функции является f ( x ) = exp(− x ² ) , первообразная которой ( функция ошибки , умноженная на константу) не может быть записана в элементарной форме .
3. Может быть возможно найти первообразную символически, но может быть проще вычислить численное приближение, чем вычислить первообразную. Это может быть в случае, если первообразная задана как бесконечный ряд или произведение, или если ее оценка требует специальной функции , которая недоступна.

История

Термин «численное интегрирование» впервые появляется в 1915 году в публикации «Курс интерполяции и численного интегрирования для математической лаборатории» Дэвида Гибба . ^[2]

«Квадратура» — исторический математический термин, означающий вычисление площади. Квадратурные задачи послужили одним из основных источников математического анализа . Математики Древней Греции , согласно учению Пифагора , понимали вычисление площади как процесс геометрического построения квадрата, имеющего ту же площадь ( возведение в квадрат ). Именно поэтому процесс получил название «квадратура». Например, квадратура круга , Луна Гиппократа , Квадратура параболы . Это построение должно выполняться только с помощью циркуля и линейки .

Древние вавилоняне использовали правило трапеций для интегрирования движения Юпитера вдоль эклиптики . ^[3]

Античный метод нахождения среднего геометрического

Для квадратуры прямоугольника со сторонами a и b необходимо построить квадрат со стороной ( средним геометрическим a и b ). Для этого можно воспользоваться следующим фактом: если провести окружность, диаметр которой — сумма a и b , то высота BH (от точки их соединения до пересечения с окружностью) будет равна их среднему геометрическому. Аналогичное геометрическое построение решает задачу квадратуры для параллелограмма и треугольника. ${\displaystyle x={\sqrt {ab}}}$

Площадь сегмента параболы

Задачи квадратуры для криволинейных фигур гораздо сложнее. Квадратура круга с помощью циркуля и линейки была доказана в 19 веке как невозможная. Тем не менее, для некоторых фигур (например, Луны Гиппократа ) квадратуру выполнить можно. Квадратуры поверхности сферы и сегмента параболы, выполненные Архимедом, стали высшим достижением античного анализа.

• Площадь поверхности сферы равна учетверенной площади большого круга этой сферы.
• Площадь сегмента параболы, отсекаемого от нее прямой линией, составляет 4/3 площади треугольника, вписанного в этот сегмент.

Для доказательства результатов Архимед использовал метод исчерпывания Евдокса .

В средневековой Европе квадратура означала вычисление площади любым методом. Чаще использовался метод неделимых ; он был менее строгим, но более простым и мощным. С его помощью Галилео Галилей и Жиль де Роберваль нашли площадь циклоидальной дуги, Грегуар де Сен-Венсан исследовал площадь под гиперболой ( Opus Geometricum , 1647), а Альфонс Антонио де Сараса , ученик и комментатор де Сен-Венсана, отметил связь этой площади с логарифмами .

Джон Уоллис алгебраизировал этот метод: он написал в своей Arithmetica Infinitorum (1656) ряд, который мы теперь называем определенным интегралом , и вычислил их значения. Исаак Барроу и Джеймс Грегори добились дальнейшего прогресса: квадратуры для некоторых алгебраических кривых и спиралей . Христиан Гюйгенс успешно выполнил квадратуру некоторых тел вращения .

Квадратура гиперболы, разработанная Сен-Венсентом и де Сарасой, дала новую функцию — натуральный логарифм , имеющую решающее значение.

С изобретением интегрального исчисления появился универсальный метод вычисления площади. В ответ на это термин «квадратура» стал традиционным, и вместо него более распространена современная фраза « вычисление определенного одномерного интеграла ».

Методы одномерных интегралов

Квадратурная формула — это приближение определенного интеграла функции , обычно выражаемое как взвешенная сумма значений функции в определенных точках внутри области интегрирования.

Методы численного интегрирования в целом можно описать как объединение оценок подынтегральной функции для получения приближения к интегралу. Подынтегральная функция оценивается в конечном наборе точек, называемых точками интегрирования , и взвешенная сумма этих значений используется для приближения интеграла. Точки интегрирования и веса зависят от конкретного используемого метода и точности, требуемой от приближения.

Важной частью анализа любого метода численного интегрирования является изучение поведения ошибки аппроксимации как функции количества оценок подынтегральной функции. Метод, который дает небольшую ошибку для небольшого количества оценок, обычно считается лучшим. Уменьшение количества оценок подынтегральной функции уменьшает количество задействованных арифметических операций и, следовательно, уменьшает общую ошибку округления . Кроме того, каждая оценка занимает время, а подынтегральная функция может быть произвольно сложной.

Квадратурные правила, основанные на ступенчатых функциях

Если подынтегральное выражение достаточно хорошо себя ведет (т.е. кусочно -непрерывно и имеет ограниченную вариацию ), то можно выполнить численное интегрирование методом «грубой силы», оценивая подынтегральное выражение с очень малыми приращениями.

Иллюстрация правила прямоугольника.

Этот простейший метод аппроксимирует функцию ступенчатой ​​функцией (кусочно-постоянной функцией или сегментированным полиномом нулевой степени), которая проходит через точку . Это называется правилом средней точки или правилом прямоугольника ${\textstyle \left({\frac {a+b}{2}},f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right)}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right).}$$

Квадратурные правила, основанные на интерполирующих функциях

Большой класс квадратурных правил может быть получен путем построения интерполирующих функций, которые легко интегрировать. Обычно эти интерполирующие функции являются полиномами . На практике, поскольку полиномы очень высокой степени имеют тенденцию к сильным колебаниям , используются только полиномы низкой степени, обычно линейные и квадратичные.

Иллюстрация правила трапеции.

Интерполирующая функция может быть прямой линией ( аффинной функцией , т.е. многочленом степени 1), проходящей через точки и . Это называется правилом трапеции. ${\displaystyle \left(a,f(a)\right)}$ ${\displaystyle \left(b,f(b)\right)}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}\right).}$$

Иллюстрация правила Симпсона.

Для любого из этих правил мы можем сделать более точное приближение, разбив интервал на некоторое количество подынтервалов, вычислив приближение для каждого подынтервала, а затем сложив все результаты. Это называется составным правилом , расширенным правилом или итерированным правилом . Например, составное трапециевидное правило можно сформулировать как ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{n}}\left({f(a) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right)+{f(b) \over 2}\right),}$$

где подынтервалы имеют вид с и Здесь мы использовали подынтервалы одинаковой длины , но можно также использовать интервалы различной длины . ${\displaystyle [a+kh,a+(k+1)h]\subset [a,b],}$ ${\textstyle h={\frac {b-a}{n}}}$ ${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1.}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \left(h_{k}\right)_{k}}$

Интерполяция с полиномами, вычисленными в равноотстоящих точках в , дает формулы Ньютона–Котеса , примерами которых являются правило прямоугольника и правило трапеции. Правило Симпсона , которое основано на полиноме 2-го порядка, также является формулой Ньютона–Котеса. ${\displaystyle [a,b]}$

Квадратурные правила с равноотстоящими точками обладают очень удобным свойством вложенности . Соответствующее правило с каждым подразделенным интервалом включает все текущие точки, поэтому эти подынтегральные значения можно использовать повторно.

Если мы позволим интервалам между точками интерполяции изменяться, мы найдем другую группу квадратурных формул, таких как квадратурные формулы Гаусса . Правило квадратуры Гаусса обычно точнее правила Ньютона–Котеса, которое использует то же количество оценок функции, если подынтегральное выражение является гладким (т. е. если оно достаточно дифференцируемо). Другие квадратурные методы с изменяющимися интервалами включают методы квадратуры Кленшоу–Кертиса (также называемые квадратурой Фейера), которые вкладывают друг в друга.

Квадратурные формулы Гаусса–Кронрода не вкладывают друг в друга, но связанные с ними квадратурные формулы Гаусса–Кронрода вкладывают друг в друга.

Адаптивные алгоритмы

Адаптивная квадратура — это метод численного интегрирования, в котором интеграл функции аппроксимируется с помощью статических квадратурных правил на адаптивно уточненных подынтервалах области интегрирования. Как правило, адаптивные алгоритмы столь же эффективны и действенны , как и традиционные алгоритмы для «хорошо себя ведущих» интегрантов, но также эффективны для «плохо себя ведущих» интегрантов, для которых традиционные алгоритмы могут потерпеть неудачу. ${\displaystyle f(x)}$

Методы экстраполяции

Точность квадратурной формулы типа Ньютона-Котеса обычно является функцией количества точек оценки. Результат обычно более точен по мере увеличения количества точек оценки или, что эквивалентно, по мере уменьшения ширины шага между точками. Естественно спросить, каким был бы результат, если бы размер шага приближался к нулю. На этот вопрос можно ответить, экстраполируя результат из двух или более ненулевых размеров шага, используя методы ускорения ряда, такие как экстраполяция Ричардсона . Функция экстраполяции может быть полиномиальной или рациональной функцией . Методы экстраполяции более подробно описаны Штёром и Булиршем (раздел 3.4) и реализованы во многих подпрограммах библиотеки QUADPACK .

Консервативная (априорная) оценка погрешности

Пусть имеет ограниченную первую производную по т.е. Теорема о среднем значении для , где дает для некоторых в зависимости от . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle f\in C^{1}([a,b]).}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle x\in [a,b),}$ $${\displaystyle (x-a)f'(\xi _{x})=f(x)-f(a),}$$ ${\displaystyle \xi _{x}\in (a,x]}$ ${\displaystyle x}$

Если проинтегрировать по от до с обеих сторон и взять абсолютные значения, то получим ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx-(b-a)f(a)\right|=\left|\int _{a}^{b}(x-a)f'(\xi _{x})\,dx\right|.}$$

Мы можем дополнительно аппроксимировать интеграл в правой части, подставив абсолютное значение подынтегральному выражению и заменив член в верхней границей ${\displaystyle f'}$

где супремум использовался для аппроксимации.

Следовательно, если мы аппроксимируем интеграл квадратурным правилом, наша ошибка не будет больше правой части 1 . Мы можем преобразовать это в анализ ошибок для суммы Римана , что даст верхнюю границу для погрешности этого конкретного приближения. (Обратите внимание, что это именно та ошибка, которую мы вычислили для примера .) Используя больше производных и настраивая квадратуру, мы можем сделать аналогичный анализ ошибок с использованием ряда Тейлора (используя частичную сумму с остаточным членом) для f . Этот анализ ошибок дает строгую верхнюю границу ошибки, если производные f доступны. ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ ${\displaystyle (b-a)f(a)}$ $${\displaystyle {\frac {n^{-1}}{2}}\sup _{0\leq x\leq 1}\left|f'(x)\right|}$$ ${\displaystyle f(x)=x}$

Этот метод интеграции можно комбинировать с интервальной арифметикой для получения компьютерных доказательств и проверенных вычислений.

Интегралы по бесконечным интервалам

Существует несколько методов приближенного интегрирования по неограниченным интервалам. Стандартный метод включает специально выведенные квадратурные правила, такие как квадратура Гаусса-Эрмита для интегралов по всей действительной прямой и квадратура Гаусса-Лагерра для интегралов по положительным действительным числам. ^[4] Также могут использоваться методы Монте-Карло или замена переменных на конечный интервал; например, для всей прямой можно использовать и для полубесконечных интервалов можно использовать в качестве возможных преобразований. $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{-1}^{+1}f\left({\frac {t}{1-t^{2}}}\right){\frac {1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\,dt,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a+{\frac {t}{1-t}}\right){\frac {dt}{(1-t)^{2}}},\\\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a-{\frac {1-t}{t}}\right){\frac {dt}{t^{2}}},\end{aligned}}}$$

Многомерные интегралы

Все рассмотренные до сих пор квадратурные правила предназначены для вычисления одномерных интегралов. Для вычисления интегралов в нескольких измерениях один из подходов состоит в том, чтобы сформулировать многомерный интеграл как повторяющиеся одномерные интегралы, применяя теорему Фубини (правило тензорного произведения). Этот подход требует, чтобы оценки функций росли экспоненциально по мере увеличения числа измерений. Известно три метода преодоления этого так называемого проклятия размерности .

Большое количество дополнительных методов формирования правил многомерной кубатурной интеграции для различных весовых функций приведено в монографии Страуда. ^[5] Интеграция на сфере была рассмотрена Гессе и др. (2015). ^[6]

Монте-Карло

Методы Монте-Карло и квази-Монте-Карло легко применять к многомерным интегралам. Они могут давать большую точность для того же числа оценок функций, чем повторные интегрирования с использованием одномерных методов. ^{[ необходима цитата ]}

Большой класс полезных методов Монте-Карло представляют собой так называемые алгоритмы Монте-Карло с цепями Маркова , которые включают алгоритм Метрополиса–Гастингса и выборку Гиббса .

Разреженные сетки

Разреженные сетки были первоначально разработаны Смоляком для квадратуры многомерных функций. Метод всегда основан на одномерном квадратурном правиле, но выполняет более сложную комбинацию одномерных результатов. Однако, в то время как правило тензорного произведения гарантирует, что веса всех кубатурных точек будут положительными, если веса квадратурных точек были положительными, правило Смоляка не гарантирует, что все веса будут положительными.

байесовская квадратура

Байесовская квадратура представляет собой статистический подход к численной задаче вычисления интегралов и относится к области вероятностной численной математики . Она может обеспечить полную обработку неопределенности решения интеграла, выраженного как апостериорная дисперсия гауссовского процесса .

Связь с дифференциальными уравнениями

Задача вычисления определенного интеграла

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(u)\,du}$

можно свести к задаче начального значения для обыкновенного дифференциального уравнения , применив первую часть фундаментальной теоремы исчисления . Дифференцируя обе стороны вышеприведенного уравнения по аргументу x , можно увидеть, что функция F удовлетворяет

${\displaystyle {\frac {dF(x)}{dx}}=f(x),\quad F(a)=0.}$

Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений , такие как методы Рунге–Кутты , могут быть применены к переформулированной задаче и, таким образом, могут быть использованы для оценки интеграла. Например, стандартный метод Рунге–Кутты четвертого порядка, примененный к дифференциальному уравнению, дает правило Симпсона сверху.

Дифференциальное уравнение имеет специальную форму: правая часть содержит только независимую переменную (здесь ) и не содержит зависимую переменную (здесь ). Это значительно упрощает теорию и алгоритмы. Таким образом, задачу оценки интегралов лучше всего изучать самостоятельно. ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$

Наоборот, термин «квадратура» может также использоваться для решения дифференциальных уравнений: « решение с помощью квадратуры » или « приведение к квадратуре » означает выражение решения через интегралы .

Смотрите также

• Ошибка усечения (численное интегрирование)
• Квадратура Кленшоу–Кертиса
• квадратура Гаусса-Кронрода
• Сумма Римана или интеграл Римана
• Правило трапеции
• Метод Ромберга
• квадратура Тан-син
• Неэлементарный интеграл

Ссылки

1. Вайсштейн, Эрик В. «Кубатура». MathWorld .
2. "Самые ранние известные применения некоторых слов математики (Q)". jeff560.tripod.com . Получено 31 марта 2018 г. .
3. Матье Оссендривер (29 января 2016 г.). «Древние вавилонские астрономы вычислили положение Юпитера из области под графиком времени-скорости». Science . 351 (6272): 482–484. Bibcode :2016Sci...351..482O. doi :10.1126/science.aad8085. PMID  26823423. S2CID  206644971.
4. Лидер, Джеффри Дж. (2004). Численный анализ и научные вычисления . Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-201-73499-7.
5. Страуд, AH (1971). Приближенное вычисление кратных интегралов . Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall Inc. ISBN 9780130438935.
6. Керстин Гессе, Ян Х. Слоан и Роберт С. Уомерсли: Численное интегрирование на сфере. В W. Freeden et al. (ред.), Handbook of Geomathematics, Springer: Berlin 2015, doi :10.1007/978-3-642-54551-1_40

• Филип Дж. Дэвис и Филип Рабинович , Методы численного интегрирования .
• Джордж Э. Форсайт , Майкл А. Малкольм и Клив Б. Молер , Компьютерные методы математических вычислений . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, 1977. (См. Главу 5.)
• Press, WH ; Teukolsky, SA ; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Глава 4. Интеграция функций», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Йозеф Стоер и Роланд Булирш , Введение в численный анализ . Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1980. (См. Главу 3.)
• Бойер, К. Б. , История математики , 2-е изд., перераб. Уты К. Мерцбах , Нью-Йорк: Wiley, 1989 ISBN 0-471-09763-2 (1991 г., печатное издание ISBN 0-471-54397-7 ).  
• Ивс, Говард , Введение в историю математики , Сондерс, 1990, ISBN 0-03-029558-0 , 

Внешние ссылки

• Интеграция: Предыстория, Моделирование и т.д. в Институте целостных численных методов
• Квадратура Лобатто от Wolfram Mathworld
• Квадратурная формула Лобатто из Энциклопедии математики
• Реализации многих квадратурных и кубатурных формул в бесплатной библиотеке компонентов Tracker.
• Онлайн-интегратор SageMath