Кольцо (математика)

Область между двумя концентрическими окружностями

Кольцевое пространство

Иллюстрация метода визуального исчисления Мамикона, показывающая, что площади двух колец с одинаковой длиной хорды одинаковы независимо от внутреннего и внешнего радиусов. ^[1]

В математике кольцо ( мн. ч .: annuli или annuluses ) — это область между двумя концентрическими окружностями. Неформально оно имеет форму кольца или шайбы . Слово «annulus» заимствовано из латинского слова anulus или annulus , что означает «маленькое кольцо». Прилагательное имеет форму annular (как в annular eclipse ).

Открытое кольцо топологически эквивалентно как открытому цилиндру S1 × (0,1), ^так и проколотой плоскости .

Область

Площадь кольца равна разности площадей большего круга радиуса R и меньшего круга радиуса r :

${\displaystyle A=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$

Как следствие формулы хорды, площадь, ограниченная описанной и вписанной окружностями каждого единичного выпуклого правильного многоугольника, равна π /4.

Площадь кольца определяется длиной самого длинного отрезка линии внутри кольца, который является хордой , касательной к внутренней окружности, 2 d на прилагаемой диаграмме. Это можно показать с помощью теоремы Пифагора , поскольку эта линия касается меньшей окружности и перпендикулярна ее радиусу в этой точке, поэтому d и r являются сторонами прямоугольного треугольника с гипотенузой R , а площадь кольца определяется как

${\displaystyle A=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)=\pi d^{2}.}$

Площадь также можно получить с помощью исчисления , разделив кольцо на бесконечное число колец бесконечно малой ширины dρ и площади 2π ρ dρ , а затем проинтегрировав от ρ = r до ρ = R :

${\displaystyle A=\int _{r}^{R}\!\!2\pi \rho \,d\rho =\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$

Площадь кольцевого сектора угла θ , где θ измеряется в радианах, определяется по формуле

${\displaystyle A={\frac {\theta }{2}}\left(R^{2}-r^{2}\right).}$

Сложная структура

В комплексном анализе кольцо ann( a ; r , R ) в комплексной плоскости представляет собой открытую область, определяемую как

${\displaystyle r<|z-a|<R.}$

Если r равно 0 , то область называется проколотым диском ( диск с точечным отверстием в центре) радиусом R вокруг точки a .

Как подмножество комплексной плоскости , кольцо можно рассматривать как риманову поверхность . Комплексная структура кольца зависит только от отношения ⁠г/Р⁠ . Каждое кольцо ann( a ; r , R ) может быть голоморфно отображено в стандартное кольцо с центром в начале координат и внешним радиусом 1 с помощью отображения

${\displaystyle z\mapsto {\frac {z-a}{R}}.}$

Тогда внутренний радиус равен ⁠г/Р⁠ < 1 .

Теорема Адамара о трех кругах — это утверждение о максимальном значении, которое голоморфная функция может принимать внутри кольца.

Преобразование Жуковского конформно отображает кольцо на эллипс с разрезом между фокусами.

Смотрите также

• Кольцевая фреза  – Форма корончатого сверла
• Теорема/гипотеза о кольце  – в математике, о области между двумя хорошо ведущими себя сферами.
• Список геометрических фигур
• Сферическая оболочка  – Трехмерная геометрическая форма
• Тор  – поверхность вращения в форме бублика

Ссылки

1. Хаунспергер, Динна; Кеннеди, Стивен (2006). Край Вселенной: празднование десяти лет математических горизонтов. ISBN 9780883855553. Получено 9 мая 2017 г.

Внешние ссылки

• Определение и свойства кольца с интерактивной анимацией
• Площадь кольца, формула С интерактивной анимацией