Открытый набор

Базовое подмножество топологического пространства

Пример: синий круг представляет ^собой множество точек ( x , y ) , удовлетворяющих условию x2 + y2 = r2 . Красный диск представляет собой множество точек ( x , y ) ^, удовлетворяющих условию x2 ⁺ y2 ^< r2 ^. Красное множество является открытым множеством, синее множество является его ^{граничным} множеством , а объединение красного и синего множеств является замкнутым множеством .

В математике открытое множество — это обобщение открытого интервала на действительной прямой .

В метрическом пространстве ( множестве , в котором расстояние между каждыми двумя точками определено) открытое множество — это множество, которое вместе с каждой точкой P содержит все точки метрического пространства, которые достаточно близки к P (то есть все точки, расстояние до которых до P меньше некоторого значения, зависящего от P ).

В более общем смысле, открытое множество является членом заданного набора подмножеств заданного множества, набора, который обладает свойством содержать каждое объединение своих членов, каждое конечное пересечение своих членов, пустое множество и само множество. Множество, в котором задано такое множество, называется топологическим пространством , а само множество называется топологией . Эти условия очень свободны и допускают огромную гибкость в выборе открытых множеств. Например, каждое подмножество может быть открытым ( дискретная топология ), или ни одно подмножество не может быть открытым, кроме самого пространства и пустого множества ( недискретная топология ). ^[1]

На практике, однако, открытые множества обычно выбираются для предоставления понятия близости, похожего на понятие метрических пространств, без определения понятия расстояния. В частности, топология позволяет определять такие свойства, как непрерывность , связность и компактность , которые изначально определялись с помощью расстояния.

Наиболее распространенный случай топологии без какого-либо расстояния задается многообразиями , которые являются топологическими пространствами, которые вблизи каждой точки напоминают открытое множество евклидова пространства , но на которых расстояние в общем случае не определено. Менее интуитивные топологии используются в других разделах математики; например, топология Зарисского , которая является фундаментальной в алгебраической геометрии и теории схем .

Мотивация

Интуитивно открытое множество предоставляет метод различения двух точек . Например, если около одной из двух точек в топологическом пространстве существует открытое множество, не содержащее другую (отличную) точку, то две точки называются топологически различимыми . Таким образом, можно говорить о том, являются ли две точки или, в более общем смысле, два подмножества топологического пространства «близкими», не определяя конкретно расстояние . Поэтому топологические пространства можно рассматривать как обобщение пространств, снабженных понятием расстояния, которые называются метрическими пространствами .

В множестве всех действительных чисел имеется естественная евклидова метрика ; то есть функция, которая измеряет расстояние между двумя действительными числами: d ( x , y ) = | x − y | . Следовательно, если задано действительное число x , можно говорить о множестве всех точек, близких к этому действительному числу; то есть в пределах ε от x . По сути, точки в пределах ε от x приближают x с точностью до степени ε . Обратите внимание, что ε > 0 всегда, но по мере того, как ε становится все меньше и меньше, получаются точки, которые приближают x со все большей и большей степенью точности. Например, если x = 0 и ε = 1, то точки в пределах ε от x являются в точности точками интервала ( −1, 1); то есть множество всех действительных чисел между −1 и 1. Однако при ε = 0,5 точки в пределах ε от x являются в точности точками (−0,5, 0,5). Очевидно, что эти точки приближают x с большей степенью точности, чем при ε = 1.

Предыдущее обсуждение показывает, для случая x = 0, что можно приближать x к все более и более высоким степеням точности, определяя ε как все меньшее и меньшее. В частности, множества вида (− ε , ε ) дают нам много информации о точках, близких к x = 0. Таким образом, вместо того, чтобы говорить о конкретной евклидовой метрике, можно использовать множества для описания точек, близких к x . Эта новаторская идея имеет далеко идущие последствия; в частности, определяя различные наборы множеств, содержащих 0 (отличные от множеств (− ε , ε )), можно найти различные результаты относительно расстояния между 0 и другими действительными числами. Например, если бы мы определили R как единственное такое множество для «измерения расстояния», все точки были бы близки к 0, поскольку существует только одна возможная степень точности, которую можно достичь при приближении 0: быть членом R . Таким образом, мы обнаруживаем, что в некотором смысле каждое действительное число находится на расстоянии 0 от 0. В этом случае может быть полезно рассматривать меру как бинарное условие: все элементы в R одинаково близки к 0, в то время как любой элемент, который не находится в R, не близок к 0.

В общем, семейство множеств, содержащих 0, используемых для аппроксимации 0, называют базисом соседства ; член этого базиса соседства называется открытым множеством. Фактически, можно обобщить эти понятия на произвольное множество ( X ); а не только на действительные числа. В этом случае, если задана точка ( x ) этого множества, можно определить набор множеств «вокруг» (то есть содержащих) x , используемых для аппроксимации x . Конечно, этот набор должен удовлетворять определенным свойствам (известным как аксиомы ), иначе у нас может не быть четко определенного метода измерения расстояния. Например, каждая точка в X должна аппроксимировать x с некоторой степенью точности. Таким образом, X должен быть в этом семействе. Как только мы начинаем определять «меньшие» множества, содержащие x , мы стремимся аппроксимировать x с большей степенью точности. Имея это в виду, можно определить оставшиеся аксиомы, которым должно удовлетворять семейство множеств относительно x .

Определения

Здесь дано несколько определений в порядке возрастания технической сложности. Каждое из них является частным случаем следующего.

Евклидово пространство

Подмножество евклидова n -пространства R ⁿ открыто , если для каждой точки x в существует положительное действительное число ε (зависящее от x ) такое, что любая точка в R ^{n ,} евклидово расстояние от x которой меньше ε , принадлежит . [ 2 ^] Эквивалентно, подмножество R ⁿ открыто, если каждая точка в является центром открытого шара, содержащегося в ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$

Примером подмножества R , которое не является открытым, является замкнутый интервал [0,1] , поскольку ни 0 - ε, ни 1 + ε не принадлежат [0,1] ни для какого ε > 0 , каким бы малым оно ни было.

Метрическое пространство

Подмножество U метрического пространства ( M , d ) называется открытым , если для любой точки x из U существует действительное число ε > 0 такое, что любая точка, удовлетворяющая d ( x , y ) < ε , принадлежит U. Эквивалентно, U открыто, если каждая точка из U имеет окрестность, содержащуюся в U. ${\displaystyle y\in M}$

Это обобщает пример с евклидовым пространством, поскольку евклидово пространство с евклидовым расстоянием является метрическим пространством.

Топологическое пространство

Топология на множестве X — это множество подмножеств X со свойствами, указанными ниже. Каждый член множества называется открытым множеством . ^[3] ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

• ${\displaystyle X\in \tau }$и ${\displaystyle \varnothing \in \tau }$
• Любое объединение множеств в принадлежит : если тогда ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \left\{U_{i}:i\in I\right\}\subseteq \tau }$ $${\displaystyle \bigcup _{i\in I}U_{i}\in \tau }$$
• Любое конечное пересечение множеств в принадлежит : если тогда ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}\in \tau }$ $${\displaystyle U_{1}\cap \cdots \cap U_{n}\in \tau }$$

X вместе с называется топологическим пространством . ${\displaystyle \tau }$

Бесконечные пересечения открытых множеств не обязательно должны быть открытыми. Например, пересечение всех интервалов вида , где — положительное целое число, — это множество , которое не является открытым в вещественной прямой. ${\displaystyle \left(-1/n,1/n\right),}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{0\}}$

Метрическое пространство — это топологическое пространство, топология которого состоит из совокупности всех подмножеств, являющихся объединениями открытых шаров. Однако существуют топологические пространства, которые не являются метрическими пространствами.

Характеристики

Объединение любого числа открытых множеств или бесконечного числа открытых множеств открыто. [ ^4] Пересечение конечного числа открытых множеств открыто. [ ^4]

Дополнение открытого множества (относительно пространства, на котором определена топология) называется замкнутым множеством . Множество может быть как открытым, так и замкнутым (открыто -замкнутым множеством ). Пустое множество и полное пространство являются примерами множеств, которые являются как открытыми, так и замкнутыми. ^[5]

Множество никогда не может рассматриваться как открытое само по себе. Это понятие относится к содержащему его множеству и определенной топологии на нем.

Открытость множества зависит от рассматриваемой топологии . Отдав предпочтение краткости вместо ясности , мы называем множество X, наделенное топологией , «топологическим пространством X », а не «топологическим пространством », несмотря на то, что все топологические данные содержатся в Если на одном и том же множестве есть две топологии, множество U , открытое в первой топологии, может оказаться не открытым во второй топологии. Например, если X — любое топологическое пространство, а Y — любое подмножество X , множеству Y можно присвоить собственную топологию (называемую «топологией подпространства»), определяемую следующим образом: «множество U открыто в топологии подпространства на Y тогда и только тогда, когда U является пересечением Y с открытым множеством из исходной топологии на X » . ^[6] Это потенциально вводит новые открытые множества: если V открыто в исходной топологии на X , но не открыто в исходной топологии на X , то открыто в топологии подпространства на Y. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle V\cap Y}$ ${\displaystyle V\cap Y}$

В качестве конкретного примера этого, если U определяется как множество рациональных чисел в интервале , то U является открытым подмножеством рациональных чисел , но не действительных чисел . Это происходит потому, что когда окружающее пространство является рациональными числами, для каждой точки x в U существует положительное число a такое, что все рациональные точки в пределах расстояния a от x также находятся в U. С другой стороны, когда окружающее пространство является действительными числами, то для каждой точки x в U не существует положительного числа a такого, что все действительные точки в пределах расстояния a от x находятся в U (потому что U не содержит нерациональных чисел). ${\displaystyle (0,1),}$

Использует

Открытые множества имеют фундаментальное значение в топологии . Эта концепция необходима для определения и понимания топологического пространства и других топологических структур, которые имеют дело с понятиями близости и сходимости для таких пространств, как метрические пространства и равномерные пространства .

Каждое подмножество A топологического пространства X содержит (возможно, пустое) открытое множество; максимальное (упорядоченное по включению) такое открытое множество называется внутренностью A. Его можно построить, взяв объединение всех открытых множеств, содержащихся в A. [ 7 ^]

Функция между двумя топологическими пространствами и является непрерывной , если прообраз каждого открытого множества в открыт в [ ^8] Функция называется открытой , если образ каждого открытого множества в открыт в ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Открытое множество на действительной прямой обладает тем характерным свойством, что оно представляет собой счетное объединение непересекающихся открытых интервалов.

Специальные типы открытых множеств

Замкнутые множества и неоткрытые и/или незамкнутые множества

Множество может быть открытым, закрытым, обоими или ни тем, ни другим. В частности, открытые и закрытые множества не являются взаимоисключающими, что означает, что в общем случае возможно, чтобы подмножество топологического пространства одновременно было как открытым, так и закрытым подмножеством. Такие подмножества известны как открыто-замкнутые множества . Явно подмножество топологического пространства называется открыто-замкнутым , если и его дополнение являются открытыми подмножествами ; или, что эквивалентно, если и ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S\in \tau }$ ${\displaystyle X\setminus S\in \tau .}$

В любом топологическом пространстве пустое множество и само множество всегда являются открыто-замкнутыми. Эти два множества являются наиболее известными примерами открыто-замкнутых подмножеств, и они показывают, что открыто-замкнутые подмножества существуют в каждом топологическом пространстве. Чтобы увидеть это, достаточно заметить, что по определению топологии и оба являются открытыми, и что они также являются замкнутыми, поскольку каждое является дополнением другого. ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing }$

Открытые множества обычной евклидовой топологии действительной прямой — это пустое множество, открытые интервалы и любое объединение открытых интервалов. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Интервал открыт в по определению евклидовой топологии. Он не замкнут, поскольку его дополнение в есть , которое не является открытым; действительно, открытый интервал, содержащийся в , не может содержать 1 , и отсюда следует, что не может быть объединением открытых интервалов. Следовательно, является примером множества, которое открыто, но не замкнуто. ${\displaystyle I=(0,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I^{\complement }=(-\infty ,0]\cup [1,\infty ),}$ ${\displaystyle I^{\complement }}$ ${\displaystyle I^{\complement }}$ ${\displaystyle I}$
• По аналогичному аргументу интервал является замкнутым подмножеством, но не открытым подмножеством. ${\displaystyle J=[0,1]}$
• Наконец, ни , ни его дополнение не являются открытыми (потому что их нельзя записать в виде объединения открытых интервалов); это означает, что не является ни открытым, ни замкнутым. ${\displaystyle K=[0,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus K=(-\infty ,0)\cup [1,\infty )}$ ${\displaystyle K}$

Если топологическое пространство наделено дискретной топологией (так что по определению каждое подмножество открыто), то каждое подмножество является открыто-замкнутым подмножеством. Для более сложного примера, напоминающего дискретную топологию, предположим, что является ультрафильтром на непустом множестве Тогда объединение является топологией на со свойством, что каждое непустое собственное подмножество является либо открытым подмножеством, либо замкнутым подмножеством, но никогда обоими одновременно; то есть, если (где ), то верно только одно из следующих двух утверждений: либо (1) , либо (2) Иными словами, каждое подмножество является открытым или замкнутым, но единственными подмножествами, которые являются обоими одновременно (т.е. которые являются открыто-замкнутыми), являются и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau :={\mathcal {U}}\cup \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \neq S\subsetneq X}$ ${\displaystyle S\neq X}$ ${\displaystyle S\in \tau }$ ${\displaystyle X\setminus S\in \tau .}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X.}$

Регулярные открытые наборы

Подмножество топологического пространства называется регулярным открытым множеством , если или что эквивалентно, если , где , и обозначают соответственно топологическую границу , внутренность и замыкание в . Топологическое пространство, для которого существует база , состоящая из регулярных открытых множеств, называется полурегулярным пространством . Подмножество является регулярным открытым множеством тогда и только тогда, когда его дополнение в является регулярным замкнутым множеством, где по определению подмножество называется регулярным замкнутым множеством , если или что эквивалентно, если Каждое регулярное открытое множество (соответственно регулярное замкнутое множество) является открытым подмножеством (соответственно является замкнутым подмножеством), хотя в общем случае ^{[примечание 1]} обратное неверно . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} S}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S.}$

Обобщения открытых множеств

Всюду будет топологическое пространство. ${\displaystyle (X,\tau )}$

Подмножество топологического пространства называется: ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$

• α-открыто , если, а дополнение такого множества называется α-замкнутым . ^[9] ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)\right)}$
• предоткрытое , почти открытое или локально плотное , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right).}$^[10]
  2. Существуют подмножества , такие что открыто в является плотным подмножеством и [ ^10] ${\displaystyle D,U\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A=U\cap D.}$
  3. Существует открытое (в ) подмножество такое, что является плотным подмножеством ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U.}$

  Дополнение к предоткрытому множеству называется предзакрытым .

• b-открыто , если. Дополнение b-открытого множества называется b-замкнутым . ^[9] ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\cup ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$
• β-открытый или полупредоткрытый , если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\right)}$^[9]
  2. ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$является регулярным замкнутым подмножеством ^[10] ${\displaystyle X.}$
  3. Существует предоткрытое подмножество такое , что ^[10] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq A\subseteq \operatorname {cl} _{X}U.}$

  Дополнение β-открытого множества называется β-замкнутым .

• последовательно открывается , если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
  1. Всякий раз, когда последовательность в сходится к некоторой точке из , то эта последовательность в конечном итоге оказывается в . Явно это означает, что если — последовательность в , и если существует такое , что в , то в конечном итоге оказывается в (то есть существует некоторое целое число такое, что если , то ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j\geq i,}$ ${\displaystyle x_{j}\in A}$
  2. ${\displaystyle A}$равно его последовательной внутренней части , в которой по определению находится множество ${\displaystyle X,}$

     ${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqInt} _{X}A:&=\{a\in A~:~{\text{ whenever a sequence in }}X{\text{ converges to }}a{\text{ in }}(X,\tau ),{\text{ then that sequence is eventually in }}A\}\\&=\{a\in A~:~{\text{ there does NOT exist a sequence in }}X\setminus A{\text{ that converges in }}(X,\tau ){\text{ to a point in }}A\}\\\end{alignedat}}}$

  Дополнение последовательно открытого множества называется последовательно замкнутым . Подмножество последовательно замкнуто в тогда и только тогда, когда равно своему последовательному замыканию , которое по определению является множеством, состоящим из всех , для которых существует последовательность в , которая сходится к (в ). ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

• почти открыто и считается обладающим свойством Бэра , если существует открытое подмножество,такое чтоявляетсятощим подмножеством, гдеобозначаетсимметричную разность.^[11] ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle A\bigtriangleup U}$ ${\displaystyle \bigtriangleup }$
  • Говорят, что подмножество имеет свойство Бэра в ограниченном смысле , если для каждого подмножества пересечения имеет свойство Бэра относительно . ^[12] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap E}$ ${\displaystyle E}$
• полуоткрыто, еслиили, что эквивалентно,. Дополнение вполуоткрытого множества называется полузамкнутым множеством . [ ^13] ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$ ${\displaystyle X}$
  • Полузамкнутость (в ) подмножества, обозначенного как , является пересечением всех полузамкнутых подмножеств , которые содержат в качестве подмножества. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {sCl} _{X}A,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$
• полу-θ-открыто , если для каждогосуществует некоторое полуоткрытое подмножествотакое, что ^[13] ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in U\subseteq \operatorname {sCl} _{X}U\subseteq A.}$
• θ-открыто (соотв. δ-открыто ), если его дополнение вявляется θ-замкнутым (соотв. δ-замкнутым ) множеством, где по определению подмножество изназывается θ-замкнутым (соотв. δ-замкнутым ), если оно равно множеству всех своих точек θ-кластера (соотв. точек δ-кластера). Точканазывается точкой θ-кластера (соотв. точкой δ-кластера ) подмножества, если для каждой открытой окрестностивпересечениене пусто (соотв.непусто). ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B\cap \operatorname {cl} _{X}U}$ ${\displaystyle B\cap \operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}U\right)}$

Используя тот факт, что

${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}B}$     и     ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}B~\subseteq ~B}$

всякий раз, когда два подмножества удовлетворяют, можно вывести следующее: ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$

• Каждое α-открытое подмножество является полуоткрытым, полупредоткрытым, предоткрытым и b-открытым.
• Каждое b-открытое множество является полупредоткрытым (т.е. β-открытым).
• Каждый пре-открытый набор является b-открытым и полупре-открытым.
• Каждое полуоткрытое множество является b-открытым и полупредоткрытым.

Более того, подмножество является регулярным открытым множеством тогда и только тогда, когда оно является предоткрытым и полузакрытым. ^[10] Пересечение α-открытого множества и полупредоткрытого (соответственно полуоткрытого, предоткрытого, b-открытого) множества является полупредоткрытым (соответственно полуоткрытого, предоткрытого, b-открытого) множеством. ^[10] Предоткрытые множества не обязательно должны быть полуоткрытыми, а полуоткрытые множества не обязательно должны быть предоткрытыми. ^[10]

Произвольные объединения предоткрытых (соответственно α-открытых, b-открытых, полупредоткрытых) множеств снова являются предоткрытыми (соответственно α-открытыми, b-открытыми, полупредоткрытыми). ^[10] Однако конечные пересечения предоткрытых множеств не обязательно должны быть предоткрытыми. ^[13] Множество всех α-открытых подмножеств пространства образует топологию на , которая тоньше , чем ^[9] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$

Топологическое пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда каждое компактное подпространство является θ-замкнутым. ^[13] Пространство является полностью несвязным тогда и только тогда, когда каждое регулярное замкнутое подмножество является предоткрытым или, что эквивалентно, если каждое полуоткрытое подмножество является предоткрытым. Более того, пространство является полностью несвязным тогда и только тогда, когда замыкание каждого предоткрытого подмножества является открытым. ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Почти открытая карта  – карта, которая удовлетворяет условию, аналогичному условию открытой карты.
• База (топология)  – набор открытых множеств, используемых для определения топологии.
• Закрытое множество  – подмножество, которое одновременно открыто и замкнуто.
• Закрытое множество  – дополнение открытого подмножества
• Домен (математический анализ)  – Связное открытое подмножество топологического пространства.
• Локальный гомеоморфизм  – Математическая функция, обратимая вблизи каждой точки
• Открытая карта  – функция, которая отправляет открытые (соответственно, закрытые) подмножества в открытые (соответственно, закрытые) подмножества.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Подбаза  – набор подмножеств, которые генерируют топологию.

Примечания

1. Исключение составляет случай, когда топология , если , наделена дискретной топологией , в этом случае каждое подмножество является как регулярным открытым подмножеством, так и регулярным замкнутым подмножеством ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Ссылки

1. Манкрес 2000, стр. 76–77.
2. Уэно, Кэндзи и др. (2005). «Рождение многообразий». Математический дар: взаимодействие топологии, функций, геометрии и алгебры . Том 3. Американское математическое общество. стр. 38. ISBN 9780821832844.
3. Манкрес 2000, стр. 76.
4. Taylor, Joseph L. (2011). "Аналитические функции". Комплексные переменные . Серия Салли. Американское математическое общество. стр. 29. ISBN 9780821869017.
5. Кранц, Стивен Г. (2009). «Основы». Основы топологии с приложениями . CRC Press. стр. 3–4. ISBN 9781420089745.
6. Манкрес 2000, стр. 88.
7. Манкрес 2000, стр. 95.
8. Манкрес 2000, стр. 102.
9. Hart 2004, стр. 9.
10. Hart 2004, стр. 8–9.
11. Окстоби, Джон К. (1980), «4. Свойство Бэра», Мера и категория, Graduate Texts in Mathematics, т. 2 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 19–21, ISBN 978-0-387-90508-2.
12. Куратовский, Казимеж (1966), Топология. Том 1 , Academic Press и Польские научные издательства.
13. Харт 2004, стр. 8.

Библиография

• Харт, Клаас (2004). Энциклопедия общей топологии . Амстердам Бостон: Elsevier/North-Holland. ISBN 0-444-50355-2. OCLC  162131277.
• Харт, Клаас Питер; Нагата, Джун-ити; Воан, Джерри Э. (2004). Энциклопедия общей топологии . Эльзевир. ISBN 978-0-444-50355-8.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.

Внешние ссылки

• «Открытое множество», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]