Метрика Керра – Ньюмана

Решение уравнений поля Эйнштейна

Метрика Керра-Ньюмана — это наиболее общее асимптотически плоское и стационарное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла в общей теории относительности , которое описывает геометрию пространства-времени в области, окружающей электрически заряженную и вращающуюся массу. Он обобщает метрику Керра , принимая во внимание энергию электромагнитного поля , помимо описания вращения. Это одно из большого количества различных электровакуумных решений ; то есть это решение уравнений Эйнштейна – Максвелла, которые учитывают энергию электромагнитного поля . Такие растворы не содержат никаких электрических зарядов, кроме тех, которые связаны с гравитационным полем, и поэтому называются вакуумными растворами .

Это решение не оказалось особенно полезным для описания астрофизических явлений, поскольку наблюдаемые астрономические объекты не обладают заметным чистым ^{электрическим зарядом} , а магнитные поля звезд возникают в результате других процессов ^. Как модель реалистичных черных дыр, она опускает какое-либо описание падающей барионной материи , света ( нулевой пыли ) или темной материи и, таким образом, дает в лучшем случае неполное описание черных дыр звездной массы и активных галактических ядер . Решение представляет теоретический и математический интерес, поскольку оно представляет собой довольно простой краеугольный камень для дальнейших исследований. ^{[ нужна цитата ]}

Решение Керра-Ньюмана представляет собой частный случай более общих точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла с ненулевой космологической постоянной . ^[1]

История

В декабре 1963 года Рой Керр и Альфред Шильд нашли метрику Керра–Шилда, которая определила все пространства Эйнштейна , которые являются точными линейными возмущениями пространства Минковского . В начале 1964 года Керр искал все пространства Эйнштейна–Максвелла, обладающие этим же свойством. К февралю 1964 года был известен частный случай, когда пространства Керра-Шилда были заряжены (включая решение Керра-Ньюмана), но общий случай, когда специальные направления не были геодезическими основного пространства Минковского, оказался очень трудным. Задача была поручена Джорджу Дебни, чтобы попытаться решить ее, но к марту 1964 года от нее отказались. Примерно в это же время Эзра Т. Ньюман нашел решение для обвиненного Керра путем догадок. В 1965 году Эзра «Тед» Ньюман нашел осесимметричное решение уравнения поля Эйнштейна для черной дыры, которая одновременно вращается и электрически заряжена. ^{[2] [3]} Эта формула для метрического тензора называется метрикой Керра – Ньюмана. Это обобщение метрики Керра для незаряженной вращающейся точечной массы, открытой Роем Керром двумя годами ранее. ^[4] ${\displaystyle g_{\mu \nu }\!}$

Четыре связанных решения можно резюмировать в следующей таблице:

где Q представляет электрический заряд тела , а J представляет его угловой момент вращения .

Обзор решения

Результат Ньюмана представляет собой простейшее стационарное , осесимметричное , асимптотически плоское решение уравнений Эйнштейна в присутствии электромагнитного поля в четырех измерениях. Иногда его называют «электровакуумным» решением уравнений Эйнштейна.

У любого источника Керра-Ньюмана ось вращения совмещена с магнитной осью. ^[5] Таким образом, источник Керра-Ньюмана отличается от обычно наблюдаемых астрономических тел, для которых существует существенный угол между осью вращения и магнитным моментом . ^[6] В частности, ни Солнце , ни какая-либо из планет Солнечной системы не имеют магнитных полей, ориентированных по оси вращения. Таким образом, если решение Керра описывает гравитационное поле Солнца и планет, то магнитные поля возникают в результате другого процесса.

Если потенциал Керра-Ньюмана рассматривать как модель классического электрона, он предсказывает электрон, имеющий не только магнитный дипольный момент, но и другие мультипольные моменты, такие как электрический квадрупольный момент. ^[7] Квадрупольный момент электрона пока экспериментально не обнаружен; кажется, что он равен нулю. ^[7]

В пределе G  = 0 электромагнитные поля представляют собой поля заряженного вращающегося диска внутри кольца, где поля бесконечны. Полная энергия поля для этого диска бесконечна, и поэтому предел G  = 0 не решает проблему бесконечной собственной энергии . ^[8]

Подобно метрике Керра для незаряженной вращающейся массы, внутреннее решение Керра-Ньюмана существует математически, но, вероятно, не отражает реальную метрику физически реалистичной вращающейся черной дыры из-за проблем со стабильностью горизонта Коши из-за инфляции массы. путем падения материи. Хотя она представляет собой обобщение метрики Керра, она не считается очень важной для астрофизических целей, поскольку никто не ожидает, что реалистичные черные дыры будут иметь значительный электрический заряд (ожидается, что они будут иметь незначительный положительный заряд, но только потому, что протон имеет гораздо больший импульс, чем электрон, и поэтому с большей вероятностью преодолеет электростатическое отталкивание и перенесется за счет импульса через горизонт).

Метрика Керра-Ньюмана определяет черную дыру с горизонтом событий только тогда, когда совокупный заряд и угловой момент достаточно малы: ^[9]

${\displaystyle J^{2}/M^{2}+Q^{2}\leq M^{2}.}$

Угловой момент электрона J и заряд Q (соответственно заданные в геометризированных единицах ) превышают его массу M , и в этом случае метрика не имеет горизонта событий. Таким образом, не может быть такой вещи, как электрон черной дыры — только сингулярность голого вращающегося кольца . ^[10] Такая метрика имеет несколько, казалось бы, нефизических свойств, таких как нарушение кольца гипотезы космической цензуры , а также появление нарушающих причинность замкнутых времяподобных кривых в непосредственной близости от кольца. ^[11]

В статье российского теоретика Александра Буринского 2009 года электрон рассматривается как обобщение предыдущих моделей Израиля (1970) ^[12] и Лопеса (1984), ^[13] , которые усекли «отрицательный» лист метрики Керра-Ньюмана, получив источник решения Керра-Ньюмана в виде релятивистски вращающегося диска. Усечение Лопеса упорядочило метрику Керра-Ньюмана путем обрезки в точке : , заменив сингулярность плоским регулярным пространством-временем, так называемым «пузырем». Полагая, что пузырь Лопеса соответствует фазовому переходу, подобному механизму нарушения симметрии Хиггса, Буринский показал, что созданная гравитацией кольцевая сингулярность формируется за счет регуляризации сверхпроводящего ядра электронной модели ^[14] и должна описываться суперсимметричной моделью Ландау-Гинзбурга. полевая модель фазового перехода: ${\displaystyle r=r_{e}=e^{2}/2M}$

Опуская промежуточную работу Буринского, мы приходим к недавнему новому предложению: считать усеченный Израилем и Лопесом отрицательный лист решения КН листом позитрона. ^[15]

Эта модификация объединяет решение КН с моделью КЭД и показывает важную роль линий Вильсона, образующихся в результате перетаскивания векторного потенциала.

В результате модифицированное решение КН приобретает сильное взаимодействие с керровской гравитацией, вызванное дополнительным энергетическим вкладом электрон-позитронного вакуума, и создает релятивистскую круговую струну Керра-Ньюмана комптоновского размера.

Предельные случаи

Можно видеть, что метрика Керра – Ньюмана в предельных случаях сводится к другим точным решениям в общей теории относительности . Это сводится к

• метрика Керра , когда заряд Q стремится к нулю;
• метрика Рейсснера –Нордстрема как угловой момент J (или a  = Дж/М ) стремится к нулю;
• метрика Шварцшильда , поскольку и заряд Q , и угловой момент J (или a ) приравниваются к нулю; и
• Пространство Минковского , если масса M , заряд Q и параметр вращения a равны нулю.

С другой стороны, если предполагается устранить гравитацию, пространство Минковского возникает, если гравитационная постоянная G равна нулю, без приведения массы и заряда к нулю. В этом случае электрические и магнитные поля сложнее, чем просто поля заряженного магнитного диполя ; предел невесомости нетривиален.

Метрика

Метрика Керра-Ньюмана описывает геометрию пространства-времени для вращающейся заряженной черной дыры с массой M , зарядом Q и угловым моментом J. Формула для этой метрики зависит от того, какие координаты или условия координат выбраны. Ниже приведены две формы: координаты Бойера – Линдквиста и координаты Керра – Шильда. Одной гравитационной метрики недостаточно для определения решения уравнений поля Эйнштейна; Также необходимо задать тензор электромагнитных напряжений. Оба представлены в каждом разделе.

Координаты Бойера – Линдквиста

Один из способов выразить эту метрику — записать ее линейный элемент в определенный набор сферических координат , ^[16] также называемых координатами Бойера – Линдквиста :

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=-\left({\frac {dr^{2}}{\Delta }}+d\theta ^{2}\right)\rho ^{2}+\left(c\,dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)^{2}{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}-\left(\left(r^{2}+a^{2}\right)d\phi -ac\,dt\right)^{2}{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}},}$

где координаты ( r , θ , φ ) — стандартная сферическая система координат , а масштабы длин:

${\displaystyle a={\frac {J}{Mc}}\,,}$

${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \,,}$

${\displaystyle \Delta =r^{2}-r_{\text{s}}r+a^{2}+r_{Q}^{2}\,,}$

были введены для краткости. Здесь r _s — радиус Шварцшильда массивного тела, который связан с его полным эквивалентом массы M соотношением

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

где G — гравитационная постоянная , а r _Q — масштаб длины, соответствующий электрическому заряду Q массы.

${\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \epsilon _{0}c^{4}}},}$

где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума .

Тензор электромагнитного поля в форме Бойера – Линдквиста

Электромагнитный потенциал в координатах Бойера–Линдквиста равен ^{[17] [18]}

${\displaystyle A_{\mu }=\left({\frac {r\ r_{Q}}{\rho ^{2}}},0,0,-{\frac {\ a\ r\ r_{Q}\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\right)}$

а тензор Максвелла определяется формулой

${\displaystyle F_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}\ \to \ F^{\mu \nu }=g^{\mu \sigma }\ g^{\nu \kappa }\ F_{\sigma \kappa }}$

В сочетании с символами Кристоффеля уравнения движения второго порядка можно вывести с помощью

${\displaystyle {{{\ddot {x}}^{i}=-\Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}^{j}}}\ {g_{jk}}},}$

где – заряд, приходящийся на массу пробной частицы. ${\displaystyle q}$

Координаты Керра – Шилда

Метрика Керра-Ньюмана может быть выражена в форме Керра-Шилда , используя определенный набор декартовых координат , предложенный Керром и Шильдом в 1965 году. Метрика выглядит следующим образом. ^{[19] [20] [21]}

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\!}$

${\displaystyle f={\frac {Gr^{2}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]}$

${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {rx+ay}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {ry-ax}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {z}{r}}\right)}$

${\displaystyle k_{0}=1.\!}$

Обратите внимание, что k — единичный вектор . Здесь M — постоянная масса вращающегося объекта, Q — постоянный заряд вращающегося объекта, η — метрика Минковского , а a  =  J / M — постоянный параметр вращения вращающегося объекта. Подразумевается, что вектор направлен вдоль положительной оси z, т.е. Величина r не является радиусом, а неявно определяется соотношением ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {z}}}$

${\displaystyle 1={\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}.}$

Обратите внимание, что величина r становится обычным радиусом R

${\displaystyle r\to R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

когда параметр вращения a приближается к нулю. В этом виде решения единицы выбираются так, чтобы скорость света была равна единице ( c = 1). Чтобы обеспечить полное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла , решение Керра-Ньюмана включает не только формулу для метрического тензора, но и формулу для электромагнитного потенциала: ^{[19] [22]}

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {Qr^{3}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}k_{\mu }}$

На больших расстояниях от источника ( R  ≫  a ) эти уравнения сводятся к метрике Рейсснера – Нордстрема с:

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {Q}{R}}k_{\mu }}$

В форме Керра–Шилда метрики Керра–Ньюмана определитель метрического тензора всюду равен отрицательному, даже вблизи источника. ^[1]

Электромагнитные поля в форме Керра – Шильда.

Электрическое и магнитное поля можно получить обычным способом, дифференцируя четырехпотенциал и получая тензор напряженности электромагнитного поля . Будет удобно перейти к трехмерной векторной записи.

${\displaystyle A_{\mu }=\left(-\phi ,A_{x},A_{y},A_{z}\right)\,}$

Статические электрические и магнитные поля получаются из векторного потенциала и скалярного потенциала следующим образом:

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi \,}$

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}\,}$

Использование формулы Керра–Ньюмана для четырехпотенциала в форме Керра–Шилда в пределе стремления массы к нулю дает следующую краткую комплексную формулу для полей: ^[23]

${\displaystyle {\vec {E}}+i{\vec {B}}=-{\vec {\nabla }}\Omega \,}$

${\displaystyle \Omega ={\frac {Q}{\sqrt {({\vec {R}}-i{\vec {a}})^{2}}}}\,}$

Величина омега ( ) в этом последнем уравнении аналогична кулоновскому потенциалу , за исключением того, что радиус-вектор сдвинут на мнимую величину. Этот сложный потенциал обсуждался еще в девятнадцатом веке французским математиком Полем Эмилем Аппелем . ^[24] ${\displaystyle \Omega }$

Неуменьшаемая масса

Полный эквивалент массы M , который содержит энергию электрического поля и энергию вращения , и неприводимую массу M _irr связаны соотношением ^{[25] [26]}

${\displaystyle M_{\rm {irr}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2M^{2}-r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-(r_{Q}^{2}+a^{2})c^{4}/G^{2}}}}}}$

который можно инвертировать, чтобы получить

${\displaystyle M={\frac {4M_{\rm {irr}}^{2}+r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}}{2{\sqrt {4M_{\rm {irr}}^{2}-a^{2}c^{4}/G^{2}}}}}}$

Чтобы электрически зарядить и/или вращать нейтральное и статичное тело, к системе необходимо приложить энергию. Благодаря эквивалентности массы и энергии эта энергия также имеет эквивалент массы; поэтому M всегда выше, чем M _irr . Если, например, энергия вращения черной дыры извлекается посредством процессов Пенроуза , ^{[27] [28]} оставшаяся масса-энергия всегда будет оставаться больше или равной M _irr .

Важные поверхности

Горизонты событий и эргосферы заряженной и вращающейся черной дыры в псевдосферических координатах r , θ , φ и декартовых координатах x , y , z .

Установка значения 0 и решение для дает внутренний и внешний горизонт событий , который расположен в координате Бойера – Линдквиста. ${\displaystyle 1/g_{rr}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r_{\text{H}}^{\pm }={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {r_{\rm {s}}^{2}}{4}}-a^{2}-r_{Q}^{2}}}.}$

Повторение этого шага дает внутреннюю и внешнюю эргосферу . ${\displaystyle g_{tt}}$

${\displaystyle r_{\text{E}}^{\pm }={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {r_{\rm {s}}^{2}}{4}}-a^{2}\cos ^{2}\theta -r_{Q}^{2}}}.}$

Тестовая частица на орбите вращающейся заряженной черной дыры ( a / M  = 0,9, Q / M  = 0,4)

Уравнения движения

Для краткости далее мы используем безразмерные величины, нормированные по , и , где сводятся к и к , а уравнения движения пробной заряженной частицы принимают вид [ ^{29] [30]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Jc/G/M^{2}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\textstyle Q/(M{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}})}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\dot {t}}={\frac {\csc ^{2}\theta \ ({L_{z}}(a\ \Delta \sin ^{2}\theta -a\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta +E((a^{2}+r^{2})^{2}\sin ^{2}\theta -a^{2}\Delta \sin ^{4}\theta ))}{\Delta \rho ^{2}}}}$

${\displaystyle {\dot {r}}=\pm {\frac {\sqrt {((r^{2}+a^{2})\ E-a\ L_{z}-q\ Q\ r)^{2}-\Delta \ (C+r^{2})}}{\rho ^{2}}}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}=\pm {\frac {\sqrt {C-(a\cos \theta )^{2}-(a\ \sin ^{2}\theta \ E-L_{z})^{2}/\sin ^{2}\theta }}{\rho ^{2}}}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {E\ (a\ \sin ^{2}\theta \ (r^{2}+a^{2})-a\ \sin ^{2}\theta \ \Delta )+L_{z}\ (\Delta -a^{2}\ \sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ a\ \sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta }}}$

с для полной энергии и для осевого углового момента. постоянная Картера : ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}\delta +L_{z}^{2}\ \tan ^{2}\delta ={\rm {const}},}$

где – полоидальная составляющая углового момента пробной частицы и угол наклона орбиты. ${\displaystyle p_{\theta }={\dot {\theta }}\ \rho ^{2}}$ ${\displaystyle \delta }$

Рэй проследил тень вращающейся и заряженной черной дыры с аккреционным диском и параметрами a / M = 0,95, Q / M = 0,3. Левая сторона черной дыры вращается в сторону наблюдателя, наклон оси вращения относительно наблюдателя составляет 45°.

${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }=-g_{\phi \phi }{\dot {\phi }}-g_{t\phi }{\dot {t}}-q\ A_{\phi }={\frac {v^{\phi }\ {\bar {R}}}{\sqrt {1-\mu ^{2}v^{2}}}}+{\frac {(1-\mu ^{2}v^{2})\ a\ r\ \mho \ q\ \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}={\rm {const.}}}$

и

${\displaystyle E=-p_{t}=g_{tt}{\dot {t}}+g_{t\phi }{\dot {\phi }}+q\ A_{t}={\sqrt {\frac {\Delta \ \rho ^{2}}{(1-\mu ^{2}v^{2})\ \chi }}}+\Omega \ L_{z}+{\frac {\mho \ q\ r}{\Sigma }}={\rm {const.}}}$

с и для частиц также являются сохраняющимися величинами. ${\displaystyle \mu ^{2}=0}$ ${\displaystyle \mu ^{2}=1}$

${\displaystyle \Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {a\left(2r-Q^{2}\right)}{\chi }}}$

– угловая скорость, вызванная перетаскиванием рамы. Сокращенный термин определяется ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta .}$

Связь между производными координат и локальной 3-скоростью имеет вид ${\displaystyle {\dot {r}},\ {\dot {\theta }},\ {\dot {\phi }}}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v^{r}={\dot {r}}\ {\sqrt {\frac {\rho ^{2}\ (1-\mu ^{2}v^{2})}{\Delta }}}}$

для радиального,

${\displaystyle v^{\theta }={\dot {\theta }}\ {\sqrt {\rho ^{2}\ (1-\mu ^{2}v^{2})}}}$

для полоидиала,

${\displaystyle v^{\phi }={\frac {{\sqrt {1-\mu ^{2}v^{2}}}\left(L_{z}\ \Sigma -a\ q\ Q\ r\left(1-\mu ^{2}v^{2}\right)\sin ^{2}\theta \right)}{{\bar {R}}\ \Sigma }}}$

для осевого и

${\displaystyle v={\frac {\sqrt {{\dot {t}}^{2}-\varsigma ^{2}}}{\dot {t}}}={\sqrt {\frac {\chi \ (E-L_{z}\ \Omega )^{2}-\Delta \ \rho ^{2}}{\chi \ (E-L_{z}\ \Omega )^{2}}}}}$

для полной локальной скорости, где

${\displaystyle {\bar {R}}={\sqrt {-g_{\phi \phi }}}={\sqrt {\frac {\chi }{\rho ^{2}}}}\ \sin \theta }$

- осевой радиус вращения (локальная окружность, деленная на 2π), и

${\displaystyle \varsigma ={\sqrt {g^{tt}}}={\frac {\chi }{\Delta \ \rho ^{2}}}}$

компонент гравитационного замедления времени. Следовательно, локальная радиальная скорость убегания нейтральной частицы равна

${\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}{\varsigma }}.}$

Рекомендации

1. Стефани, Ганс и др. Точные решения уравнений поля Эйнштейна (Cambridge University Press, 2003). См. страницу 485 относительно определителя метрического тензора. См. стр. 325 относительно обобщений.
2. Ньюман, Эзра; Дженис, Аллен (1965). «Заметка о метрике вращающихся частиц Керра». Журнал математической физики . 6 (6): 915–917. Бибкод : 1965JMP.....6..915N. дои : 10.1063/1.1704350.
3. Ньюман, Эзра; Коуч, Э.; Чиннапаред, К.; Экстон, А.; Пракаш, А.; Торренс, Р. (1965). «Метрика вращающейся заряженной массы». Журнал математической физики . 6 (6): 918–919. Бибкод : 1965JMP.....6..918N. дои : 10.1063/1.1704351.
4. Керр, Р.П. (1963). «Гравитационное поле вращающейся массы как пример алгебраически специальной метрики». Письма о физических отзывах . 11 (5): 237–238. Бибкод : 1963PhRvL..11..237K. doi :10.1103/PhysRevLett.11.237.
5. Пансли, Брайан (10 мая 1998 г.). «Высокоэнергетическое гамма-излучение галактических черных дыр Керра – Ньюмана. I. Центральный двигатель». Астрофизический журнал . 498 (2): 646. Бибкод : 1998ApJ...498..640P. дои : 10.1086/305561 . Все черные дыры Керра – Ньюмана имеют совмещенные оси вращения и магнитные оси; они не могут пульсировать.
6. Ланг, Кеннет (2003). Кембриджский путеводитель по Солнечной системе . Издательство Кембриджского университета. п. 96. ИСБН 9780521813068– через Интернет-архив. магнитный дипольный момент и ось и Солнце.
7. Росквист, Кьелл (2006). «Гравитационно-индуцированный электромагнетизм в масштабе Комптона». Классическая и квантовая гравитация . 23 (9): 3111–3122. arXiv : gr-qc/0412064 . Бибкод : 2006CQGra..23.3111R. дои : 10.1088/0264-9381/23/9/021. S2CID  15285753.
8. Линден-Белл, Д. (2004). «Электромагнитная магия: релятивистски вращающийся диск». Физический обзор D . 70 (10): 105017. arXiv : gr-qc/0410109 . Бибкод : 2004PhRvD..70j5017L. doi :10.1103/PhysRevD.70.105017. S2CID  119091075.
9. Мейнель, Рейнхард (29 октября 2015 г.). «Физический вывод решения черной дыры Керра – Ньюмана». В Николини П.; Каминский М.; Мурейка Ж.; Блейхер М. (ред.). 1-е совещание Карла Шварцшильда по гравитационной физике . Спрингеровские труды по физике. Том. 170. стр. 53–61. arXiv : 1310.0640 . дои : 10.1007/978-3-319-20046-0_6. ISBN 978-3-319-20045-3. S2CID  119200468.
10. Буринский, Александр (2008). «Электрон Дирака – Керра». Гравитация и космология . 14 : 109–122. arXiv : hep-th/0507109 . дои : 10.1134/S0202289308020011. S2CID  119084073.
11. Картер, Брэндон (1968). «Глобальная структура керровского семейства гравитационных полей». Физический обзор . 174 (5): 1559. Бибкод : 1968PhRv..174.1559C. дои : 10.1103/PhysRev.174.1559.
12. Израиль, Вернер (1970). «Источник метрики Керра». Физический обзор D . 2 (4): 641. Бибкод : 1970PhRvD...2..641I. doi : 10.1103/PhysRevD.2.641.
13. Лопес, Карлос (1984). «Расширенная модель электрона в общей теории относительности». Физический обзор D . 30 (2): 313. Бибкод : 1984PhRvD..30..313L. doi :10.1103/PhysRevD.30.313.
14. Буринский, Александр (2009). «Сверхпроводящий источник электрона Керра-Ньюмана». arXiv : 0910.5388 [геп-й].
15. Буринский, Александр (2022). «Гравитирующий электрон на основе перевращающегося решения Керра-Ньюмана». Вселенная . 8 (11): 553. Бибкод : 2022Унив....8..553Б. дои : 10.3390/universe8110553 .
16. Гайчек, Петр и др. Введение в релятивистскую теорию гравитации, стр. 243 (Springer 2008).
17. Брэндон Картер: Глобальная структура гравитационных полей семейства Керра (1968)
18. Луонго, Орландо; Кеведо, Эрнандо (2014). «Характеристика отталкивающей гравитации собственными значениями кривизны». Физический обзор D . 90 (8): 084032. arXiv : 1407.1530 . Бибкод : 2014PhRvD..90х4032L. doi : 10.1103/PhysRevD.90.084032. S2CID  118457584.
19. Дебни, GC; Керр, РП; Шильд, А. (1969). «Решения уравнений Эйнштейна и Эйнштейна-Максвелла». Журнал математической физики . 10 (10): 1842–1854. Бибкод : 1969JMP....10.1842D. дои : 10.1063/1.1664769.. В частности, см. уравнения (7.10), (7.11) и (7.14).
20. Баласин, Герберт; Нахбагауэр, Герберт (1994). «Тензор распределения энергии-импульса семейства пространства-времени Керра – Ньюмана». Классическая и квантовая гравитация . 11 (6): 1453–1461. arXiv : gr-qc/9312028 . Бибкод : 1994CQGra..11.1453B. дои : 10.1088/0264-9381/11/6/010. S2CID  6041750.
21. Берман, Марсело. «Энергия черных дыр и Вселенная Хокинга» в журнале « Тенденции в исследованиях черных дыр » , стр. 148 (изд. Крейтлера, Nova Publishers, 2006).
22. Буринский, А. «Геометрия Керра за пределами квантовой теории» в книге Beyond the Quantum , стр. 321 (под ред. Тео Ньювенхейзена, World Scientific 2007). Формула векторного потенциала Буринского отличается от формулы Дебни и др. просто градиентом, который не влияет на поля.
23. Гейр, Джонатан. «Граничные состояния в безмассовом потенциале Керра – Ньюмана». Архивировано 26 сентября 2011 г. в Wayback Machine .
24. Аппелл, Математика. Анна. xxx (1887), стр. 155–156. Обсуждается Уиттакером, Эдмундом и Уотсоном, Джорджем. Курс современного анализа , стр. 400 (издательство Кембриджского университета, 1927).
25. Тибо Дамур : Черные дыры: энергетика и термодинамика, страница 11
26. Уравнение. 57 в Прадхане, Партапратим (2014). «Формула внутренней массы черной дыры». Европейский физический журнал C . 74 (5): 2887. arXiv : 1310.7126 . Бибкод : 2014EPJC...74.2887P. doi : 10.1140/epjc/s10052-014-2887-2. S2CID  46448376.
27. Чарльз Миснер , Кип С. Торн , Джон. А. Уилер : Гравитация. Архивировано 1 июля 2019 г. в Wayback Machine , страницы 877 и 908.
28. Бхат, Манджири; Дхурандхар, Санджив; Дадхич, Нареш (1985). «Энергетика черной дыры Керра – Ньюмана в процессе Пенроуза». Журнал астрофизики и астрономии . 6 (2): 85–100. Бибкод : 1985JApA....6...85B. дои : 10.1007/BF02715080. S2CID  53513572.
29. Чебечи, Хакан; и другие. «Движение заряженных тестовых частиц в пространстве-времени Керра – Ньюмана – Тауба – НУТ и аналитические решения».
30. Хакманн, Ева; Сюй, Хунсяо (2013). «Движение заряженных частиц в пространстве-времени Керра – Ньюмана». Физический обзор D . 87 (12): 4. arXiv : 1304.2142 . Бибкод : 2013PhRvD..87l4030H. doi : 10.1103/PhysRevD.87.124030. S2CID  118576540.

Библиография

• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета. стр. 312–324. ISBN 978-0-226-87032-8.

Внешние ссылки

• Адамо, Тим; Ньюман, Эзра (2014). «Метрика Керра – Ньюмана». Схоларпедия . 9 (10): 31791. arXiv : 1410,6626 . Бибкод : 2014SchpJ...931791N. doi : 10.4249/scholarpedia.31791 .в соавторстве с самим Эзрой Т. Ньюманом
• SR Made Easy, глава 11: Заряженные и вращающиеся черные дыры и их термодинамика