постоянная Картера

Константа движения в пространстве-времени Керра-Ньюмана.

Постоянная Картера — это сохраняющаяся величина для движения вокруг черных дыр в общей релятивистской формулировке гравитации. Базовые единицы измерения в системе СИ — кг ² ⋅м ⁴ ⋅с ⁻² . Константа Картера была выведена для вращающейся заряженной черной дыры австралийским физиком - теоретиком Брэндоном Картером в 1968 году . Пространство-время Ньюмена (даже заряженных частиц). ${\displaystyle p_{t}}$ ${\displaystyle p_{\phi }}$ ${\displaystyle {\sqrt {|p_{\mu }p^{\mu }|}}}$

Формулировка

Картер заметил, что гамильтониан движения в пространстве-времени Керра разделим в координатах Бойера-Линдквиста , что позволяет легко идентифицировать константы такого движения с помощью теории Гамильтона-Якоби . ^[1] Константу Картера можно записать следующим образом:

${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta {\Bigg (}a^{2}(m^{2}-E^{2})+\left({\frac {L_{z}}{\sin \theta }}\right)^{2}{\Bigg )}}$,

где – широтная составляющая углового момента частицы, – сохраняющаяся энергия частицы, – сохраняющийся осевой угловой момент частицы, – масса покоя частицы, – параметр вращения черной дыры. ^[2] Обратите внимание, что здесь обозначены ковариантные компоненты четырехимпульса в координатах Бойера-Линдквиста , которые могут быть рассчитаны из положения частицы, параметризованного собственным временем частицы, с использованием ее четырехскорости, например , где - четырехимпульс и - Керра метрика . Таким образом, сохраняющуюся постоянную энергии и постоянную углового момента не следует путать с энергией, измеренной наблюдателем, и угловым моментом . Компонента момента импульса вдоль равна . ${\displaystyle p_{\theta }}$ ${\displaystyle E=p_{t}}$ ${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }}$ ${\displaystyle m={\sqrt {|p_{\mu }p^{\mu }|}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p_{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\mu }=(t,r,\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle U^{\mu }=dX^{\mu }/d\tau }$ ${\displaystyle p_{\mu }=g_{\mu \nu }p^{\nu }}$ ${\displaystyle p^{\mu }=mU^{\mu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle U_{\rm {obs}}^{\mu }p_{\mu }}$ ${\displaystyle \mathbf {L} ={\boldsymbol {x}}\wedge {\boldsymbol {p}}=rp_{\theta }{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\theta }}+rp_{\phi }{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\phi }}=mr^{3}{\dot {\theta }}{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\theta }}+mr^{3}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}\,{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\phi }}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle L_{xy}}$ ${\displaystyle p_{\phi }}$

Поскольку функции сохраняющихся величин также сохраняются, любую функцию и трех других констант движения можно использовать в качестве четвертой константы вместо . Это приводит к некоторой путанице относительно формы постоянной Картера. Например, иногда удобнее использовать: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle K=C+(L_{z}-aE)^{2}}$

на месте . Величина полезна, потому что она всегда неотрицательна. В общем, любую четвертую сохраняющуюся величину движения в пространстве-времени Керра можно назвать «постоянной Картера». В пределе и , где норма вектора углового момента, см. предел Шварцшильда ниже. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle C=L^{2}-L_{z}^{2}}$ ${\displaystyle K=L^{2}}$ ${\displaystyle L}$

Созданный тензором Киллинга

Теорема Нётер утверждает, что каждая сохраняющаяся величина системы порождает непрерывную симметрию этой системы. Константа Картера связана с симметрией более высокого порядка метрики Керра, порожденной тензорным полем Киллинга второго порядка (отличным от использованного выше). В виде компонента: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle C=K^{\mu \nu }u_{\mu }u_{\nu }}$,

где – четырехскорость движущейся частицы. Компонентами тензора Киллинга в координатах Бойера – Линдквиста являются: ${\displaystyle u}$

${\displaystyle K^{\mu \nu }=2\Sigma \ l^{(\mu }n^{\nu )}+r^{2}g^{\mu \nu }}$,

где – компоненты метрического тензора, а – компоненты главных нулевых векторов: ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle l^{\mu }}$ ${\displaystyle n^{\nu }}$

${\displaystyle l^{\mu }=\left({\frac {r^{2}+a^{2}}{\Delta }},1,0,{\frac {a}{\Delta }}\right)}$

${\displaystyle n^{\nu }=\left({\frac {r^{2}+a^{2}}{2\Sigma }},-{\frac {\Delta }{2\Sigma }},0,{\frac {a}{2\Sigma }}\right)}$

с

${\displaystyle \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \ ,\ \ \Delta =r^{2}-r_{s}\ r+a^{2}}$.

Круглые скобки обозначают симметризацию: ${\displaystyle l^{(\mu }n^{\nu )}}$

${\displaystyle l^{(\mu }n^{\nu )}={\frac {1}{2}}(l^{\mu }n^{\nu }+l^{\nu }n^{\mu })}$

Предел Шварцшильда

Сферическая симметрия метрики Шварцшильда для невращающихся черных дыр позволяет свести задачу поиска траекторий частиц к трем измерениям. В этом случае для определения движения достаточно только , , и ; однако симметрия, приводящая к константе Картера, все еще существует. Константа Картера для пространства Шварцшильда равна: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+L_{z}^{2}\cot ^{2}\theta }$.

Чтобы увидеть, как это связано с двухформой углового момента в сферических координатах где и , где и и где и аналогично для , мы имеем ${\displaystyle L_{ij}=x_{i}\wedge p_{j}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=r{\boldsymbol {dr}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=p_{r}{\boldsymbol {dr}}+p_{\theta }{\boldsymbol {d\theta }}+p_{\phi }{\boldsymbol {d\phi }}}$ ${\displaystyle p_{\theta }=g_{\theta \theta }p^{\theta }=r^{2}m{\dot {\theta }}}$ ${\displaystyle p_{\phi }=g_{\phi \phi }p^{\phi }=r^{2}\sin ^{2}\theta \,m{\dot {\phi }}}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}=d\phi /d\tau }$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$

${\displaystyle \mathbf {L} ={\boldsymbol {x}}\wedge {\boldsymbol {p}}=rp_{\theta }{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\theta }}+rp_{\phi }{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\phi }}=mr^{3}{\dot {\theta }}{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\theta }}+mr^{3}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}\,{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\phi }}}$.

Поскольку и представляют собой ортонормированный базис, двойственным к Ходжу в ортонормированном базисе является ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=r{\boldsymbol {d\theta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\phi }}}=r\sin \theta \,{\boldsymbol {d\phi }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {L^{*}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+mr^{2}\sin \theta \,{\dot {\phi }}\,{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$

согласуются с хотя здесь и относительно собственного времени. Его норма ${\displaystyle {\vec {\boldsymbol {r}}}\times m{\vec {\boldsymbol {v}}}}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}}$

${\displaystyle L^{2}=g^{\theta \theta }r^{2}p_{\theta }^{2}+g^{\phi \phi }r^{2}p_{\phi }^{2}=g_{\theta \theta }r^{2}(p^{\theta })^{2}+g_{\phi \phi }r^{2}(p^{\phi })^{2}=m^{2}r^{4}{\dot {\theta }}^{2}+m^{2}r^{4}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}}$.

Далее, так как и , при замене получим ${\displaystyle p_{\theta }=g_{\theta \theta }p^{\theta }=mr^{2}{\dot {\theta }}}$ ${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }=g_{\phi \phi }p^{\phi }=mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}}$

${\displaystyle C=m^{2}r^{4}{\dot {\theta }}^{2}+m^{2}r^{4}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}=m^{2}r^{4}{\dot {\theta }}^{2}+m^{2}r^{4}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}-m^{2}r^{4}\sin ^{4}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}=L^{2}-L_{z}^{2}}$.

В случае Шварцшильда все компоненты вектора углового момента сохраняются, поэтому оба и сохраняются, следовательно, явно сохраняются. Для Керра сохраняется, но и не сохраняется . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L_{z}^{2}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }}$ ${\displaystyle p_{\theta }}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle C}$

Другая форма постоянной Картера:

${\displaystyle K=C+(L_{z}-aE)^{2}=(L^{2}-L_{z}^{2})+(L_{z}-aE)^{2}=L^{2}}$

так как здесь . Это также явно сохраняется. В случае Шварцшильда и и , где – радиальные орбиты и с соответствуют орбитам, приуроченным к экваториальной плоскости системы координат, т.е. для всех времен. ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle C\geq 0}$ ${\displaystyle K\geq 0}$ ${\displaystyle K=0}$ ${\displaystyle C=0}$ ${\displaystyle K>0}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Метрика Керра
• Метрика Керра – Ньюмана
• Координаты Бойера – Линдквиста
• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Задача трех тел Эйлера

Рекомендации

1. Картер, Брэндон (1968). «Глобальная структура керровского семейства гравитационных полей». Физический обзор . 174 (5): 1559–1571. Бибкод : 1968PhRv..174.1559C. дои : 10.1103/PhysRev.174.1559.
2. Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Нью-Йорк: WH Freeman and Co., с. 899. ИСБН 0-7167-0334-3.