Четырехимпульсный

4D релятивистская энергия и импульс

В специальной теории относительности четырехмерный импульс (также называемый импульсом-энергией или моэнергией ^[1] ) является обобщением классического трехмерного импульса на четырехмерное пространство-время . Импульс — это трехмерный вектор ; аналогично четыре импульса — это четыре вектора в пространстве-времени . Контравариантный четырехимпульс частицы с релятивистской энергией E и трехимпульсом p = ( p _x , p _y , p _z ) = γm v , где v — трехскорость частицы, а γ — фактор Лоренца , равен

$${\displaystyle p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right).}$$

Величина m v , указанная выше, представляет собой обычный нерелятивистский импульс частицы, а m — ее массу покоя . Четырехимпульс полезен в релятивистских расчетах, поскольку это ковариантный вектор Лоренца . Это значит, что легко проследить, как она преобразуется при преобразованиях Лоренца .

Приведенное выше определение применяется в соответствии с соглашением о координатах, согласно которому x ⁰ = ct . Некоторые авторы используют соглашение x0 = t , которое дает модифицированное определение с p0 ^{= E} / c2 ^. Также возможно определить ковариантный четырехимпульс p _µ , где знак энергии (или знак трехимпульса, в зависимости от выбранной метрической сигнатуры ) меняется на противоположный.

Норма Минковского

Вычисление квадрата нормы Минковского четырехимпульса дает лоренц-инвариантную величину, равную (с точностью до кратности скорости света c ) квадрату собственной массы частицы :

$${\displaystyle p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \over c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}}$$

$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$

метрический тензортеории относительностиметрической сигнатурой(–1, 1, 1, 1)времяподобный

Норма Минковского является лоренц-инвариантом, то есть ее значение не изменяется в результате преобразований/повышения Лоренца в разные системы отсчета. В более общем смысле, для любых двух четырехимпульсов p и q величина p ⋅ q инвариантна.

Отношение к четырехскоростному

Для массивной частицы четырехкратный импульс определяется инвариантной массой частицы m , умноженной на четырехскоростную скорость частицы :

$${\displaystyle p^{\mu }=mu^{\mu },}$$

u

$${\displaystyle u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\gamma _{v}\left(c,v_{x},v_{y},v_{z}\right),}$$

$${\displaystyle \gamma _{v}:={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

cскорость света ${\displaystyle v}$

Вывод

Есть несколько способов прийти к правильному выражению для четырехимпульса. Один из способов - сначала определить четырехскоростной вектор u = dx / dτ и просто определить p = mu , довольствуясь тем, что это четырех-вектор с правильными единицами измерения и правильным поведением. Другой, более удовлетворительный подход — начать с принципа наименьшего действия и использовать лагранжеву структуру для получения четырехимпульса, включая выражение для энергии. ^[2] Можно сразу, используя наблюдения, подробно описанные ниже, определить четырехимпульс по действию S . Учитывая, что в общем случае для замкнутой системы с обобщенными координатами q _i и каноническими импульсами p _i , ^[3]

$${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial S}{\partial x_{i}}},\quad E=-{\frac {\partial S}{\partial t}}=-c\cdot {\frac {\partial S}{\partial x_{0}}},}$$

x ⁰ = ctx ¹ = xx ² = yx ³ = zx ₀ = − x ⁰x ₁ = x ¹x ₂ = x ²x ₃ = x ³

$${\displaystyle p_{\mu }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}=\left({E \over c},-\mathbf {p} \right)}$$

Наблюдения

Рассмотрим сначала систему одной степени свободы q . При выводе уравнений движения из действия с использованием принципа Гамильтона на промежуточной стадии изменения действия (обычно) находят :

$${\displaystyle \delta S=\left.\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]\right|_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta qdt.}$$

Тогда предполагается, что различные пути удовлетворяют условию δq ( t ₁ ) = δq ( t ₂ ) = 0 , из которого сразу следуют уравнения Лагранжа . Когда уравнения движения известны (или просто предполагается, что они выполнены), можно отказаться от требования δq ( t ₂ ) = 0 . В этом случае предполагается , что путь удовлетворяет уравнениям движения, а действие является функцией верхнего предела интегрирования δq ( t ₂ ) , но t ₂ все еще фиксировано. Приведенное выше уравнение принимает вид S = S ( q ) и определяет δq ( t ₂ ) = δq и допускает больше степеней свободы:

$${\displaystyle \delta S=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta q_{i}=\sum _{i}p_{i}\delta q_{i}.}$$

Наблюдая за этим

$${\displaystyle \delta S=\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial {q}_{i}}}\delta q_{i},}$$

делается вывод

$${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}.}$$

Аналогично, оставьте конечные точки фиксированными, но пусть t ₂ = t варьируется. На этот раз системе разрешено двигаться через конфигурационное пространство с «произвольной скоростью» или с «большей или меньшей энергией», уравнения поля по-прежнему предполагаются верными, и изменение может выполняться в интеграле, но вместо этого наблюдать

$${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=L}$$

по основной теореме исчисления . Вычислите, используя приведенное выше выражение для канонических импульсов:

$${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}=L.}$$

Теперь использую

$${\displaystyle H=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L,}$$

где H — гамильтониан , приводит, поскольку в данном случае E = H ,

$${\displaystyle E=H=-{\frac {\partial S}{\partial t}}.}$$

Кстати, используя H = H ( q , p , t ) с p =∂ С/∂ qв приведенном выше уравнении дает уравнения Гамильтона – Якоби . В этом контексте S называется главной функцией Гамильтона .

---

Действие S определяется выражением

$${\displaystyle S=-mc\int ds=\int Ldt,\quad L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}$$

Lлагранжиан

замалчивая эти детали,

Вариация действия есть

$${\displaystyle \delta S=-mc\int \delta ds.}$$

Чтобы вычислить δds , сначала заметим, что δds ² = 2 dsδds и что

$${\displaystyle \delta ds^{2}=\delta \eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\left(\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }+dx^{\mu }\delta \left(dx^{\nu }\right)\right)=2\eta _{\mu \nu }\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }.}$$

Так

$${\displaystyle \delta ds=\eta _{\mu \nu }\delta dx^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=\eta _{\mu \nu }d\delta x^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}},}$$

или

$${\displaystyle \delta ds=\eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{cd\tau }}d\tau ,}$$

и поэтому

$${\displaystyle \delta S=-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}u^{\nu }d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }\left[{\frac {d}{d\tau }}\left(\delta x^{\mu }u^{\nu }\right)-\delta x^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}u^{\nu }\right]d\tau }$$

что просто

$${\displaystyle \delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds}$$

---

$${\displaystyle \delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds=-mu_{\mu }\delta x^{\mu }={\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}\delta x^{\mu }=-p_{\mu }\delta x^{\mu },}$$

где на втором этапе используются уравнения поля du ^µ / ds = 0 , ( δx ^µ ) _{t 1} = 0 и ( δx ^µ ) _{t 2} ≡ δx ^µ , как в наблюдениях выше. Теперь сравните последние три выражения и найдите

$${\displaystyle p^{\mu }=-\partial ^{\mu }[S]=-{\frac {\partial S}{\partial x_{\mu }}}=mu^{\mu }=m\left({\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{z}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right),}$$

− m ² c ²

${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=m_{r}c^{2},}$

где m _r — вышедшая из моды релятивистская масса , следует. Сравнивая выражения для импульса и энергии напрямую, получаем

${\displaystyle \mathbf {p} =E{\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}},}$

это справедливо и для безмассовых частиц. Возведение в квадрат выражений для энергии и трёхимпульса и их связь дают соотношение энергия-импульс :

${\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +m^{2}c^{2}.}$

Замена

$${\displaystyle p_{\mu }\leftrightarrow -{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}}$$

уравнение Гамильтона–Якоби^[4]

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}}=-m^{2}c^{2}.}$

Также возможно получить результаты непосредственно из лагранжиана. По определению ^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=\left({\partial L \over \partial {\dot {x}}},{\partial L \over \partial {\dot {y}}},{\partial L \over \partial {\dot {z}}}\right)=m(\gamma v_{x},\gamma v_{y},\gamma v_{z})=m\gamma \mathbf {v} =m\mathbf {u} ,\\[3pt]E&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} -L={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\end{aligned}}}$$

Энергия и трехимпульс являются отдельно сохраняющимися величинами для изолированных систем в лагранжевой системе. Следовательно, четырехимпульс также сохраняется. Подробнее об этом ниже.

Более скучные подходы включают ожидаемое поведение в электродинамике. ^[6] В этом подходе отправной точкой является применение закона сил Лоренца и второго закона Ньютона в системе покоя частицы. Свойства преобразования тензора электромагнитного поля, включая инвариантность электрического заряда , затем используются для преобразования в лабораторную систему координат, а полученное выражение (снова закон силы Лоренца) интерпретируется в духе второго закона Ньютона, что приводит к правильному выражению для релятивистского трехимпульса. Недостаток, конечно, в том, что не сразу ясно, применим ли результат ко всем частицам, независимо от того, заряжены они или нет, и что он не дает полного четырехвектора.

Также возможно избежать электромагнетизма и использовать хорошо спланированные мыслительные эксперименты с участием хорошо обученных физиков, бросающих бильярдные шары, используя знание формулы сложения скоростей и предполагая сохранение импульса. ^{[7] [8]} Это тоже дает только трехвекторную часть.

Сохранение четырехимпульса

Как было показано выше, существуют три закона сохранения (не независимые, из двух последних следует первый и наоборот):

• Четырехимпульс p (ковариантный или контравариантный ) сохраняется.
• Полная энергия E = p ⁰ c сохраняется.
• Импульс в трехмерном пространстве сохраняется (не путать с классическим нерелятивистским импульсом ). ${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)}$ ${\displaystyle m\mathbf {v} }$

Обратите внимание, что инвариантная масса системы частиц может быть больше, чем сумма масс покоя частиц, поскольку кинетическая энергия в системе центра масс системы и потенциальная энергия сил между частицами вносят вклад в инвариантную массу. Например, две частицы с четырьмя импульсами (5 ГэВ/ с , 4 ГэВ/ с , 0, 0) и (5 ГэВ/ с , −4 ГэВ/ с , 0, 0) каждая имеют массу (покоя) 3  ГэВ. / c ² по отдельности, но их общая масса (масса системы) равна 10  ГэВ/ c ² . Если бы эти частицы столкнулись и слиплись, масса составного объекта составила бы 10  ГэВ/ с ² .

Одно из практических применений сохранения инвариантной массы в физике элементарных частиц включает объединение четырехимпульсов p _A и p _B двух дочерних частиц, образующихся при распаде более тяжелой частицы, с четырехимпульсом p _C , чтобы найти массу более тяжелой частицы. . Сохранение четырехимпульса дает p _C ^µ = p _A ^µ + p _B ^µ , а масса M более _{тяжелой} частицы определяется выражением − PC ⋅ PC = M ² _c 2 ^. Измеряя энергии и трехимпульсы дочерних частиц, можно восстановить инвариантную массу двухчастичной системы, которая должна быть равна M . Этот метод используется, например, при экспериментальном поиске Z'-бозонов на коллайдерах частиц высоких энергий , где Z'-бозон проявляется как выступ в инвариантном спектре масс пар электрон - позитрон или мюон -антимюон.

Если масса объекта не меняется, скалярное произведение Минковского его четырехимпульса и соответствующего четырехкратного ускорения A ^μ просто равно нулю. Четырехкратное ускорение пропорционально собственной производной по времени четырехимпульса, деленной на массу частицы, поэтому

$${\displaystyle p^{\mu }A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }A^{\nu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}{\frac {p^{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}p\cdot p={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}\left(-m^{2}c^{2}\right)=0.}$$

Канонический импульс при наличии электромагнитного потенциала

Для заряженной частицы с зарядом q , движущейся в электромагнитном поле, заданном электромагнитным четырехпотенциалом :

$${\displaystyle A=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left({\phi \over c},A_{x},A_{y},A_{z}\right)}$$

φскалярный потенциалA = ( A _x , A _y , A _z )потенциалкалибровочно-инвариантногоP

$${\displaystyle P^{\mu }=p^{\mu }+qA^{\mu }.}$$

Это, в свою очередь, позволяет компактно включить потенциальную энергию заряженной частицы в электростатический потенциал и силу Лоренца, действующую на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, в релятивистской квантовой механике .

Смотрите также

• Физический портал

• Четыре силы
• Четырехградиентный
• Псевдовектор Паули – Любанского

Рекомендации

1. Тейлор, Эдвин; Уилер, Джон (1992). Введение в физику пространства-времени в специальную теорию относительности . Нью-Йорк: WH Freeman and Company. п. 191. ИСБН 978-0-7167-2327-1.
2. Ландау и Лифшиц 2000, стр. 25–29.
3. Ландау и Лифшиц 1975, стр. 139.
4. Ландау и Лифшиц 1975, с. 30
5. Ландау и Лифшиц 1975, стр. 15–16.
6. Сард 1970, раздел 3.1.
7. Сард 1970, раздел 3.2.
8. Льюис и Толман, 1909 г., версия Wikisource

• Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Паб Addison – Wesley. ISBN компании 978-0201029185.
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1975) [1939]. Механика . Перевод с русского Дж. Б. Сайкса и Дж. С. Белла . (3-е изд.). Амстердам: Эльзевир. ISBN 978-0-7506-28969.
• Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (2000). Классическая теория полей . 4-е изд. Английское издание, перепечатанное с исправлениями; перевод с русского Мортона Хамермеша. Оксфорд: Баттерворт Хайнеманн. ISBN 9780750627689.
• Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853952-0.
• Сард, Р.Д. (1970). Релятивистская механика - Специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN 978-0805384918.
• Льюис, Дж.Н .; Толман, RC (1909). «Принцип относительности и неньютоновская механика». Фил. Маг . 6. 18 (106): 510–523. дои : 10.1080/14786441008636725.Версия вики-ресурса