Четырехвекторный

4-мерный вектор в теории относительности

В специальной теории относительности четырехвектор (или 4-вектор , иногда вектор Лоренца ) ^{[1] — это объект с четырьмя} компонентами , которые определенным образом преобразуются при преобразованиях Лоренца . В частности, четырехвектор - это элемент четырехмерного векторного пространства , рассматриваемого как пространство представления стандартного представления группы Лоренца , (1/2,1/2) представление. Он отличается от евклидова вектора тем, как определяется его величина. Преобразования, сохраняющие эту величину, — это преобразования Лоренца, включающие пространственные вращения и ускорения (переход с постоянной скоростью в другую инерциальную систему отсчета ). ^{[2] : канал 1}

Четыре-векторы описывают, например, положение x ^µ в пространстве-времени, смоделированное как пространство Минковского , четырехимпульс частицы p ^µ , амплитуду электромагнитного четырехпотенциала A ^µ ( x ) в точке x в пространстве-времени и элементы подпространство, натянутое гамма-матрицами внутри алгебры Дирака .

Группа Лоренца может быть представлена ​​матрицами 4×4 Λ . Действие преобразования Лоренца на общий контравариантный четырехвектор X (как в примерах выше), рассматриваемый как вектор-столбец с декартовыми координатами относительно инерциальной системы отсчета в записях, определяется выражением

$${\displaystyle X'=\Lambda X,}$$

(умножение матрицы), где компоненты выделенного объекта относятся к новому кадру. Что касается приведенных выше примеров, которые даны в виде контравариантных векторов, существуют также соответствующие ковариантные векторы x _µ , p _µ и A _µ ( x ) . Они преобразуются по правилу

$${\displaystyle X'=\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\textrm {T}}X,}$$

где ^T обозначает транспонирование матрицы . Это правило отличается от приведенного выше правила. Это соответствует двойственному представлению стандартного представления. Однако для группы Лоренца двойственное любому представлению эквивалентно исходному представлению. Таким образом, объекты с ковариантными индексами также являются четырехвекторами.

Пример четырехкомпонентного объекта с хорошим поведением в специальной теории относительности, который не является четырехвектором, см. в разделе «Биспинор» . Оно определяется аналогично, с той разницей, что правило преобразования при преобразованиях Лоренца задается представлением, отличным от стандартного представления. В этом случае правило гласит: X ′ = Π(Λ) X , где Π(Λ) — матрица 4×4, отличная от Λ . Аналогичные замечания применимы к объектам с меньшим или большим количеством компонентов, которые хорошо себя ведут при преобразованиях Лоренца. К ним относятся скаляры , спиноры , тензоры и спинор-тензоры.

В статье рассматриваются четырехвекторы в контексте специальной теории относительности. Хотя концепция четырехвекторов распространяется и на общую теорию относительности , некоторые результаты, изложенные в этой статье, требуют модификации в общей теории относительности.

Обозначения

Обозначения в этой статье: строчные жирные буквы для трехмерных векторов, шляпки для трехмерных единичных векторов , заглавные жирные буквы для четырехмерных векторов (за исключением четырехмерного градиента) и обозначение тензорного индекса .

Четырехвекторная алгебра

Четырехвекторы в действительном базисе

Четырехвектор A представляет собой вектор с «времяподобным» компонентом и тремя «пространственноподобными» компонентами и может быть записан в различных эквивалентных обозначениях: ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3}\right)\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{1}\mathbf {E} _{1}+A^{2}\mathbf {E} _{2}+A^{3}\mathbf {E} _{3}\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{i}\mathbf {E} _{i}\\&=A^{\alpha }\mathbf {E} _{\alpha }\end{aligned}}}$$

где A ^α — компонент магнитуды, а E _α — компонент базисного вектора ; обратите внимание, что оба необходимы для создания вектора, и что когда A ^α рассматривается отдельно, это относится строго к компонентам вектора.

Верхние индексы указывают на контравариантные компоненты. Здесь стандартное соглашение заключается в том, что латинские индексы принимают значения для пространственных компонентов, так что i = 1, 2, 3, а греческие индексы принимают значения для компонентов пространства и времени , поэтому α = 0, 1, 2, 3, используемые при суммировании. соглашение . Разделение между временным компонентом и пространственными компонентами полезно делать при определении сокращений вектора одной четверки с другими тензорными величинами, например, для расчета инвариантов Лоренца в скалярных произведениях (примеры приведены ниже) или повышения и понижения индексов .

В специальной теории относительности пространственноподобный базис E ₁ , E ₂ , E ₃ и компоненты A ¹ , A ² , A ³ часто являются декартовым базисом и компонентами:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z}\right)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{x}\mathbf {E} _{x}+A_{y}\mathbf {E} _{y}+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned}}}$$

хотя, конечно, можно использовать любую другую основу и компоненты, например сферические полярные координаты

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{\phi }\right)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{\theta }\mathbf {E} _{\theta }+A_{\phi }\mathbf {E} _{\phi }\\\end{aligned}}}$$

или цилиндрические полярные координаты ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{z})\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{\theta }\mathbf {E} _{\theta }+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned}}}$$

или любые другие ортогональные координаты , или даже общие криволинейные координаты . Обратите внимание, что метки координат всегда имеют индексы как метки и не являются индексами, принимающими числовые значения. В общей теории относительности необходимо использовать локальные криволинейные координаты в локальном базисе. Геометрически четырехвектор еще можно интерпретировать как стрелку, но в пространстве-времени – не только пространстве. В теории относительности стрелки рисуются как часть диаграммы Минковского (также называемой диаграммой пространства-времени ). В этой статье четырехвекторы будут называться просто векторами.

Также принято представлять основания векторами-столбцами :

$${\displaystyle \mathbf {E} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}$$

так что:

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$$

Связь между ковариантными и контравариантными координатами осуществляется через метрический тензор Минковского (называемый метрикой) η , который повышает и понижает индексы следующим образом:

$${\displaystyle A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu }\,,}$$

и в различных эквивалентных обозначениях ковариантные компоненты:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3})\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{1}\mathbf {E} ^{1}+A_{2}\mathbf {E} ^{2}+A_{3}\mathbf {E} ^{3}\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{i}\mathbf {E} ^{i}\\&=A_{\alpha }\mathbf {E} ^{\alpha }\\\end{aligned}}}$$

где пониженный индекс указывает на ковариантность . Часто метрика диагональная, как в случае ортогональных координат (см. элемент линии ), но не в общих криволинейных координатах .

Базисы могут быть представлены векторами-строками :

$${\displaystyle \mathbf {E} ^{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} ^{1}={\begin{pmatrix}0&1&0&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} ^{2}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}}$$

Мотивацией для вышеупомянутых соглашений является то, что внутренний продукт является скаляром, подробности см. ниже.

Преобразование Лоренца

Учитывая две инерциальные или повернутые системы отсчета , четырехвектор определяется как величина, которая преобразуется в соответствии с матрицей  преобразования Лоренца Λ :

$${\displaystyle \mathbf {A} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {A} }$$

В индексной записи контравариантные и ковариантные компоненты преобразуются соответственно:

$${\displaystyle {A'}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }A^{\nu }\,,\quad {A'}_{\mu }=\Lambda _{\mu }{}^{\nu }A_{\nu }}$$

^вΛΛ ^µ _νµν( Λ ⁻¹ ) ^TΛ _νµν

Дополнительную информацию о природе этого определения преобразования см. в разделе tensor . Все четырехвекторы преобразуются одинаково, и это можно обобщить на четырехмерные релятивистские тензоры; см. специальную теорию относительности .

Чистые вращения вокруг произвольной оси

Для двух кадров, повернутых на фиксированный угол θ вокруг оси, определяемой единичным вектором :

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}=\left({\hat {n}}_{1},{\hat {n}}_{2},{\hat {n}}_{3}\right)\,,}$$

без каких-либо повышений матрица Λ имеет компоненты, определяемые следующим образом: ^[4]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=1\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=0\\\Lambda _{ij}&=\left(\delta _{ij}-{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}\right)\cos \theta -\varepsilon _{ijk}{\hat {n}}_{k}\sin \theta +{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}\end{aligned}}}$$

где δij — дельта Кронекера , а _εijk — трехмерный символ Леви- _Чивита . Пространственноподобные компоненты четырехвекторов вращаются, а времениподобные остаются неизменными.

Только для случая вращения вокруг оси z пространственноподобная часть матрицы Лоренца сводится к матрице вращения вокруг оси z :

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}{A'}^{0}\\{A'}^{1}\\{A'}^{2}\\{A'}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}\ .}$$

Чистый буст в произвольном направлении

Стандартная конфигурация систем координат; для усиления Лоренца в направлении x .

Для двух кадров, движущихся с постоянной относительной трехскоростью v (а не четырехскоростью, см. ниже), относительную скорость удобно обозначать и определять в единицах c следующим образом:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{1},\,\beta _{2},\,\beta _{3})={\frac {1}{c}}(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})={\frac {1}{c}}\mathbf {v} \,.}$$

Тогда без вращений матрица Λ имеет компоненты, определяемые следующим образом: ^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=\gamma ,\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=-\gamma \beta _{i},\\\Lambda _{ij}=\Lambda _{ji}&=(\gamma -1){\frac {\beta _{i}\beta _{j}}{\beta ^{2}}}+\delta _{ij}=(\gamma -1){\frac {v_{i}v_{j}}{v^{2}}}+\delta _{ij},\\\end{aligned}}}$$

фактор Лоренца

$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}}}\,,}$$

δij _—Кронекера

Только в случае повышения в направлении x матрица уменьшается до; ^{[6] [7]}

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A'^{0}\\A'^{1}\\A'^{2}\\A'^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi &0&0\\-\sinh \phi &\cosh \phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$$

Там, где использовалось выражение быстроты φ , записанное в терминах гиперболических функций :

$${\displaystyle \gamma =\cosh \phi }$$

Эта матрица Лоренца иллюстрирует усиление как гиперболическое вращение в четырехмерном пространстве-времени, аналогичное круговому вращению, описанному выше в трехмерном пространстве.

Характеристики

Линейность

Четырехвекторы обладают теми же свойствами линейности , что и евклидовы векторы в трех измерениях . Их можно добавить обычным по записи способом:

$${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)+\left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3}\right)=\left(A^{0}+B^{0},A^{1}+B^{1},A^{2}+B^{2},A^{3}+B^{3}\right)}$$

скалярное умножениескаляр λ

$${\displaystyle \lambda \mathbf {A} =\lambda \left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left(\lambda A^{0},\lambda A^{1},\lambda A^{2},\lambda A^{3}\right)}$$

Тогда вычитание — это операция, обратная сложению, определяемая поэлементно следующим образом:

$${\displaystyle \mathbf {A} +(-1)\mathbf {B} =\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)+(-1)\left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3}\right)=\left(A^{0}-B^{0},A^{1}-B^{1},A^{2}-B^{2},A^{3}-B^{3}\right)}$$

Тензор Минковского

Применяя тензор Минковского η _μν к двум четырехвекторам A и B и записывая результат в виде скалярного произведения , мы имеем, используя обозначения Эйнштейна :

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }B^{\nu }\mathbf {E} _{\mu }\cdot \mathbf {E} _{\nu }=A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}$$

в специальной теории относительности. Скалярное произведение базисных векторов представляет собой метрику Минковского, в отличие от дельты Кронекера, как в евклидовом пространстве. Удобно переписать определение в матричной форме:

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\eta _{00}&\eta _{01}&\eta _{02}&\eta _{03}\\\eta _{10}&\eta _{11}&\eta _{12}&\eta _{13}\\\eta _{20}&\eta _{21}&\eta _{22}&\eta _{23}\\\eta _{30}&\eta _{31}&\eta _{32}&\eta _{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}}$$

η _µνµνевклидовой метрикойподпись метрикиAB. AB

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }}$$

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}B_{0}&B_{1}&B_{2}&B_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$$

AB

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{\mu }\eta ^{\mu \nu }B_{\nu }}$$

Применяя тензор Минковского к четырехвектору A с самим собой, получаем:

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }}$$

Ниже приведены два распространенных варианта метрического тензора в стандартном базисе (по сути, в декартовых координатах). Если используются ортогональные координаты, то вдоль диагональной части пространственноподобной части метрики будут масштабные коэффициенты, тогда как для общих криволинейных координат вся пространственноподобная часть метрики будет иметь компоненты, зависящие от используемого криволинейного базиса.

Стандартный базис, (+---) сигнатура

В сигнатуре метрики (+---) оценка суммирования по индексам дает:

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}}$$

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}}$$

В специальной теории относительности постоянно используется выражение

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}=C}$$

системе отсчетаC

$${\displaystyle \mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}=C'}$$

C

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '}$$

$${\displaystyle C=A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}}$$

Учитывая, что физические величины в теории относительности являются четырехвекторными, это уравнение имеет вид « закона сохранения », но в нем нет никакого «сохранения». Основное значение внутреннего продукта Минковского состоит в том, что для любых двух четырехвекторов его значение инвариантно для всех наблюдателей; изменение координат не приводит к изменению значения внутреннего продукта. Компоненты четырехвекторов меняются от одного кадра к другому; A и A ′ связаны преобразованием Лоренца , и аналогично для B и B ′, хотя скалярные произведения одинаковы во всех системах отсчета. Тем не менее, этот тип выражения используется в релятивистских расчетах наравне с законами сохранения, поскольку величины компонент могут быть определены без явного выполнения каких-либо преобразований Лоренца. Конкретным примером является энергия и импульс в соотношении энергия-импульс , полученном из вектора четырех импульсов (см. Также ниже).

В этой подписи мы имеем:

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =\left(A^{0}\right)^{2}-\left(A^{1}\right)^{2}-\left(A^{2}\right)^{2}-\left(A^{3}\right)^{2}}$$

С сигнатурой (+---) четырехвекторы могут быть классифицированы как пространственноподобные if , времениподобные if и нулевые векторы if . ${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} <0}$ ${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} >0}$ ${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =0}$

Стандартный базис, (−+++) сигнатура

Некоторые авторы определяют η с противоположным знаком, и в этом случае мы имеем метрическую сигнатуру (−+++). Оценка суммирования с помощью этой сигнатуры:

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}}$$

в то время как матричная форма:

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =\left({\begin{matrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{matrix}}\right)}$$

Обратите внимание, что в данном случае в одном кадре:

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}=-C}$$

а в другом:

$${\displaystyle \mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}=-C'}$$

так что:

$${\displaystyle -C=-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}}$$

что эквивалентно приведенному выше выражению для C через A и B. Любая конвенция будет работать. Поскольку метрика Минковского определена двумя способами, описанными выше, единственная разница между ковариантными и контравариантными четырехвекторными компонентами - это знаки, поэтому знаки зависят от того, какое соглашение о знаках используется.

У нас есть:

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =-\left(A^{0}\right)^{2}+\left(A^{1}\right)^{2}+\left(A^{2}\right)^{2}+\left(A^{3}\right)^{2}}$$

С сигнатурой (-+++) четырехвекторы могут быть классифицированы как пространственноподобные if , времениподобные if и нулевые if . ${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} >0}$ ${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} <0}$ ${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =0}$

Двойные векторы

Применение тензора Минковского часто выражается как влияние двойственного вектора одного вектора на другой:

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =A^{*}(\mathbf {B} )=A{_{\nu }}B^{\nu }.}$$

Здесь A _ν s являются компонентами двойственного вектора A * к A в двойственном базисе и называются ковариантными координатами A , а исходные компоненты A ^ν называются контравариантными координатами.

Четырехвекторное исчисление

Производные и дифференциалы

В специальной теории относительности (но не в общей теории относительности) производная четырехвектора по скаляру λ (инварианту) сама является четырехвектором. Также полезно взять дифференциал четырехвектора d A и разделить его на дифференциал скаляра dλ :

$${\displaystyle {\underset {\text{differential}}{d\mathbf {A} }}={\underset {\text{derivative}}{\frac {d\mathbf {A} }{d\lambda }}}{\underset {\text{differential}}{d\lambda }}}$$

где контравариантные компоненты:

$${\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA^{0},dA^{1},dA^{2},dA^{3}\right)}$$

а ковариантные компоненты:

$${\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA_{0},dA_{1},dA_{2},dA_{3}\right)}$$

В релятивистской механике часто берут дифференциал четырехвектора и делят на дифференциал в нужное время (см. ниже).

Фундаментальные четырехвекторы

Четырехпозиционный

Точка в пространстве Минковского — это временное и пространственное положение, называемое «событием», а иногда и положение четырехвекторное, или четырехпозиционное, или 4-позиционное, описываемое в некоторой системе отсчета набором из четырех координат:

$${\displaystyle \mathbf {R} =\left(ct,\mathbf {r} \right)}$$

где r — вектор положения трехмерного пространства . Если r является функцией координатного времени t в той же системе отсчета, т.е. r = r ( t ), это соответствует последовательности событий при изменении t . Определение R ⁰ = ct гарантирует, что все координаты имеют одинаковые единицы измерения (расстояния). ^{[8] [9] [10]} Эти координаты являются компонентами четырех-вектора положения события.

Четырехвектор смещения определяется как «стрелка», связывающая два события:

$${\displaystyle \Delta \mathbf {R} =\left(c\Delta t,\Delta \mathbf {r} \right)}$$

Для дифференциальной четырехпозиции на мировой линии мы имеем, используя обозначение нормы :

$${\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=\mathbf {dR\cdot dR} =dR^{\mu }dR_{\mu }=c^{2}d\tau ^{2}=ds^{2}\,,}$$

определяющий элемент дифференциальной линии d s и приращение собственного времени d τ , но эта «норма» также является:

$${\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,,}$$

так что:

$${\displaystyle (cd\tau )^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,.}$$

При рассмотрении физических явлений естественным образом возникают дифференциальные уравнения; однако при рассмотрении производных функций по пространству и времени неясно, по отношению к какой системе отсчета берутся эти производные. Принято считать, что производные по времени берутся по собственному времени . Поскольку собственное время является инвариантом, это гарантирует, что производная по собственному времени любого четырехвектора сама является четырехвектором. Затем важно найти связь между этой производной по собственному времени и другой производной по времени (используя координатное время t инерциальной системы отсчета). Это соотношение обеспечивается путем взятия вышеуказанного дифференциально-инвариантного пространственно-временного интервала, а затем его деления на ( cdt ) ² для получения: ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \left({\frac {cd\tau }{cdt}}\right)^{2}=1-\left({\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\right)=1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {u} )^{2}}}\,,}$$

где u = d r / dt — координата 3- скорость объекта, измеренная в той же системе отсчета, что и координаты x , y , z и координатное время t , и

$${\displaystyle \gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}}$$

является фактором Лоренца . Это обеспечивает полезную связь между дифференциалами координатного и собственного времени:

$${\displaystyle dt=\gamma (\mathbf {u} )d\tau \,.}$$

Это соотношение также можно найти из преобразования времени в преобразованиях Лоренца .

Важные четырехвекторы в теории относительности могут быть определены с помощью этого дифференциала . ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$

Четырехградиентный

Учитывая, что частные производные являются линейными операторами , можно сформировать четырехградиент из частной производной по времени ∂ / ∂t и пространственного градиента ∇. Используя стандартную основу, в индексных и сокращенных обозначениях, контравариантными компонентами являются:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x_{0}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\right)\\&=(\partial ^{0},\,-\partial ^{1},\,-\partial ^{2},\,-\partial ^{3})\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{1}\partial ^{1}-\mathbf {E} _{2}\partial ^{2}-\mathbf {E} _{3}\partial ^{3}\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{i}\partial ^{i}\\&=\mathbf {E} _{\alpha }\partial ^{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,-\nabla \right)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\\&=\mathbf {E} _{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\nabla \\\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что базисные векторы помещаются перед компонентами, чтобы избежать путаницы между взятием производной базисного вектора или просто указанием, что частная производная является компонентом этого четырехвектора. Ковариантные компоненты:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\right)\\&=(\partial _{0},\,\partial _{1},\,\partial _{2},\,\partial _{3})\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{1}\partial _{1}+\mathbf {E} ^{2}\partial _{2}+\mathbf {E} ^{3}\partial _{3}\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{i}\partial _{i}\\&=\mathbf {E} ^{\alpha }\partial _{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,\nabla \right)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\nabla \right)\\&=\mathbf {E} ^{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\nabla \\\end{aligned}}}$$

Поскольку это оператор, у него нет «длины», но вычисление внутреннего продукта оператора на самого себя дает другой оператор:

$${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}={\frac {{\partial _{t}}^{2}}{c^{2}}}-\nabla ^{2}}$$

называется оператором Даламбера .

Кинематика

Четырехскоростной

Четырехскоростная скорость частицы определяется следующим образом:

$${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}={\frac {d\mathbf {X} }{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left(c,\mathbf {u} \right),}$$

Геометрически U представляет собой нормированный вектор, касательный к мировой линии частицы. Используя дифференциал четырехпозиционной, можно получить величину четырехскоростной:

$${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=U^{\mu }U_{\mu }={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX_{\mu }}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }dX_{\mu }}{d\tau ^{2}}}=c^{2}\,,}$$

Короче говоря, величина четырехскорости для любого объекта всегда является фиксированной константой:

$${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=c^{2}}$$

Также нормой является:

$${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,}$$

так что:

$${\displaystyle c^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,}$$

что сводится к определению фактора Лоренца .

Единицами четырехскорости являются м/с в системе СИ и 1 в геометрической системе единиц . Четырехскоростной вектор — контравариантный.

Четырехскоростной

Четырехкратное ускорение определяется:

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,{\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right).}$$

где a = d u / dt – координата 3-ускорения. Поскольку величина U является постоянной, четыре ускорения ортогональны четырем скоростям, т. е. внутренний продукт Минковского четырех ускорений и четырех скоростей равен нулю:

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {U} =A^{\mu }U_{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}U_{\mu }={\frac {1}{2}}\,{\frac {d}{d\tau }}\left(U^{\mu }U_{\mu }\right)=0\,}$$

что справедливо для всех мировых линий. Геометрический смысл четырехускорения — вектор кривизны мировой линии в пространстве Минковского.

Динамика

Четырехимпульсный

Для массивной частицы с массой покоя (или инвариантной массой ) m ₀ четырехимпульс определяется выражением :

$${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )(c,\mathbf {u} )=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)}$$

где полная энергия движущейся частицы равна:

$${\displaystyle E=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2}}$$

а полный релятивистский импульс равен:

$${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} }$$

Взяв с собой внутренний продукт четырехимпульса:

$${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}=P^{\mu }P_{\mu }=m_{0}^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m_{0}^{2}c^{2}}$$

а также:

$${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }$$

что приводит к соотношению энергия-импульс :

$${\displaystyle E^{2}=c^{2}\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}$$

Это последнее соотношение полезно для релятивистской механики , оно существенно для релятивистской квантовой механики и релятивистской квантовой теории поля , а также для приложений к физике элементарных частиц .

Четыре силы

Четырехсила , действующая на частицу, определяется аналогично 3-силе как производная по времени 3-импульса во втором законе Ньютона :

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {P} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {1}{c}}{\frac {dE}{dt}},{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {P}{c}},\mathbf {f} \right)}$$

где P — мощность , передаваемая для перемещения частицы, а f — 3-сила, действующая на частицу. Для частицы постоянной инвариантной массы m ₀ это эквивалентно

$${\displaystyle \mathbf {F} =m_{0}\mathbf {A} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right)\right)}$$

Инвариант, полученный из четырех сил:

$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {U} =F^{\mu }U_{\mu }=m_{0}A^{\mu }U_{\mu }=0}$$

из приведенного выше результата.

Термодинамика

Четырехтепловой поток

Четырехмерное векторное поле теплового потока по существу аналогично трехмерному векторному полю теплового потока q в локальной системе отсчета жидкости: ^[11]

$${\displaystyle \mathbf {Q} =-k{\boldsymbol {\partial }}T=-k\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial T}{\partial t}},\nabla T\right)}$$

где T — абсолютная температура , а k — теплопроводность .

Поток четырехбарионных чисел

Поток барионов равен: ^[12]

$${\displaystyle \mathbf {S} =n\mathbf {U} }$$

nплотность числа барионовсистеме покояантибарионовUчетырех скоростей

Четырехэнтропийный

Вектор четырехэнтропии определяется следующим образом: [ ^13]

$${\displaystyle \mathbf {s} =s\mathbf {S} +{\frac {\mathbf {Q} }{T}}}$$

sTабсолютная температура^[14]

Электромагнетизм

Примеры четырехвекторов в электромагнетизме включают следующее.

Четырехточечный

Электромагнитный четырехток (или, точнее, плотность четырехтоков) ^[15] определяется выражением

$${\displaystyle \mathbf {J} =\left(\rho c,\mathbf {j} \right)}$$

плотности тока jплотности заряда ρ

Четырехпотенциальный

Электромагнитный четырехпотенциал (или, точнее, векторный потенциал с четырьмя ЭМ), определяемый формулой

$${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {a} \right)}$$

векторного потенциала aφ

Четырехпотенциал не определен однозначно, так как зависит от выбора калибровки .

В волновом уравнении электромагнитного поля:

• В вакууме,
  $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =0}$$
• С четырехточечным источником и с использованием калибровочного условия Лоренца , ${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} )=0}$
  $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }$$

Волны

Четырехчастотный

Фотонная плоская волна может быть описана четырехчастотой, определяемой как

$${\displaystyle \mathbf {N} =\nu \left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)}$$

где ν — частота волны и — единичный вектор направления движения волны. Сейчас: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

$${\displaystyle \|\mathbf {N} \|=N^{\mu }N_{\mu }=\nu ^{2}\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)=0}$$

поэтому четырехчастота фотона всегда является нулевым вектором.

Четырехволновой вектор

Величинами, обратными времени t и пространству r , являются угловая частота ω и угловой волновой вектор k соответственно. Они образуют компоненты четырехволнового вектора или волнового четырехвектора:

$${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {\mathbf {n} }}\right)\,.}$$

Волновой пакет почти монохроматического света можно описать следующим образом:

$${\displaystyle \mathbf {K} ={\frac {2\pi }{c}}\mathbf {N} ={\frac {2\pi }{c}}\nu \left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)~.}$$

Затем соотношения де Бройля показали, что четырехволновой вектор применим как к волнам материи , так и к световым волнам:

$${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)~.}$$

ħпостоянная Планка2 π ${\displaystyle E=\hbar \omega }$ ${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$

Площадь нормы равна:

$${\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}=K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,}$$

$${\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\|\mathbf {P} \|^{2}=\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\,,}$$

$${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} =\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}~.}$$

Обратите внимание, что для безмассовых частиц, в этом случае m ₀ = 0 , имеем:

$${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}=\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,}$$

‖ k ‖ знак равно ω / cω/c в направлении распространения волны , ${\displaystyle \ {\hat {\mathbf {n} }}~.}$

Квантовая теория

Ток четырех вероятностей

В квантовой механике ток четырех вероятностей или четырехвероятностный ток аналогичен электромагнитному четырехтоку : ^[16]

$${\displaystyle \mathbf {J} =(\rho c,\mathbf {j} )}$$

ρфункция плотности вероятностиjтока вероятностирелятивистской квантовой механикеквантовой теории поля

Заменяя энергию оператором энергии и импульс оператором импульса в четырехимпульсе, можно получить оператор четырехимпульса , используемый в релятивистских волновых уравнениях .

Четырехспиновый

Четырехспин частицы определяется в системе покоя частицы, которая будет

$${\displaystyle \mathbf {S} =(0,\mathbf {s} )}$$

sспина

Квадрат нормы — это (отрицательный) квадрат величины спина, и согласно квантовой механике мы имеем

$${\displaystyle \|\mathbf {S} \|^{2}=-|\mathbf {s} |^{2}=-\hbar ^{2}s(s+1)}$$

Это значение наблюдаемо и квантовано, причем s — квантовое число спина (а не величина вектора спина).

Другие составы

Четырехвекторы в алгебре физического пространства

Четырехвектор A также может быть определен, используя в качестве основы матрицы Паули , опять же в различных эквивалентных обозначениях: ^[17]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3}\right)\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{1}{\boldsymbol {\sigma }}_{1}+A^{2}{\boldsymbol {\sigma }}_{2}+A^{3}{\boldsymbol {\sigma }}_{3}\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{i}{\boldsymbol {\sigma }}_{i}\\&=A^{\alpha }{\boldsymbol {\sigma }}_{\alpha }\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=A^{0}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+A^{1}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+A^{2}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+A^{3}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

эрмитова матрицатранспонирование матрицыкомплексно-сопряженнаяматрицы

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |&={\begin{vmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{vmatrix}}\\&=\left(A^{0}+A^{3}\right)\left(A^{0}-A^{3}\right)-\left(A^{1}-iA^{2}\right)\left(A^{1}+iA^{2}\right)\\&=\left(A^{0}\right)^{2}-\left(A^{1}\right)^{2}-\left(A^{2}\right)^{2}-\left(A^{3}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

Эта идея использования матриц Паули в качестве базисных векторов используется в алгебре физического пространства , примере алгебры Клиффорда .

Четырехвекторы в алгебре пространства-времени

В алгебре пространства-времени , другом примере алгебры Клиффорда, гамма-матрицы также могут образовывать базис . (Их также называют матрицами Дирака из-за их появления в уравнении Дирака ). Существует несколько способов выражения гамма-матриц, подробно описанных в этой основной статье.

Обозначение косой черты Фейнмана является сокращением четырехвекторного A , сжатого гамма-матрицами:

$${\displaystyle \mathbf {A} \!\!\!\!/=A_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=A_{0}\gamma ^{0}+A_{1}\gamma ^{1}+A_{2}\gamma ^{2}+A_{3}\gamma ^{3}}$$

Четырехимпульс, сжатый с гамма-матрицами, является важным случаем в релятивистской квантовой механике и релятивистской квантовой теории поля . В уравнении Дирака и других релятивистских волновых уравнениях члены вида:

$${\displaystyle \mathbf {P} \!\!\!\!/=P_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=P_{0}\gamma ^{0}+P_{1}\gamma ^{1}+P_{2}\gamma ^{2}+P_{3}\gamma ^{3}={\dfrac {E}{c}}\gamma ^{0}-p_{x}\gamma ^{1}-p_{y}\gamma ^{2}-p_{z}\gamma ^{3}}$$

_{появляются}E( p _x , py , p _z )операторами

Смотрите также

• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Пыль (относительность) для четырехвектора числового потока
• Пространство Минковского
• Паравектор
• Релятивистская механика
• Волновой вектор

Рекомендации

1. Риндлер, В. Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN  0-19-853952-5
2. Сибель Баскал; Янг С. Ким; Мэрилин Э. Ноз (1 ноября 2015 г.). Физика группы Лоренца . Издательство Морган и Клейпул. ISBN 978-1-68174-062-1.
3. Демистификация относительности, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (BSA), 2006, ISBN 0-07-145545-0 
4. CB Паркер (1994). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). МакГроу Хилл. п. 1333. ИСБН 0-07-051400-3.
5. Гравитация, Дж. Б. Уилер, К. Миснер, К. С. Торн, WH Freeman & Co, 1973, ISAN 0-7167-0344-0
6. Динамика и относительность, Дж. Р. Форшоу, Б. Г. Смит, Уайли, 2009, ISAN 978-0-470-01460-8.
7. Демистификация относительности, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (ASB), 2006, ISAN 0-07-145545-0
8. Жан-Бернар Зубер и Клод Ицыксон, Квантовая теория поля , стр. 5, ISBN 0-07-032071-3 
9. Чарльз В. Миснер , Кип С. Торн и Джон А. Уилер , Гравитация , стр. 51, ISBN 0-7167-0344-0 
10. Джордж Стерман , Введение в квантовую теорию поля , стр. 4, ISBN 0-521-31132-2 
11. Али, Ю.М.; Чжан, LC (2005). «Релятивистская теплопроводность». Межд. J. Тепломассообмен . 48 (12): 2397–2406. doi :10.1016/j.ijheatmasstransfer.2005.02.003.
12. Дж. А. Уилер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 558–559. ISBN 0-7167-0344-0.
13. Дж. А. Уилер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. с. 567. ИСБН 0-7167-0344-0.
14. Дж. А. Уилер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. с. 558. ИСБН 0-7167-0344-0.
15. Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. стр. 103–107. ISBN 0-19-853952-5.
16. Владимир Г. Иванцевич, Тияна Т. Иванцевич (2008) Квантовый скачок: от Дирака и Фейнмана через вселенную к человеческому телу и разуму . Всемирная научная издательская компания, ISBN 978-981-281-927-7 , стр. 41 
17. Дж. А. Уилер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 1142–1143. ISBN 0-7167-0344-0.

• Риндлер, В. Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5