сила Лоренца

Сила, действующая на заряженные частицы в электрическом и магнитном полях

Сила Лоренца, действующая на быстродвижущиеся заряженные частицы в пузырьковой камере . Траектории положительных и отрицательных зарядов изгибаются в противоположных направлениях.

В физике , особенно в электромагнетизме , сила Лоренца (или электромагнитная сила ) представляет собой комбинацию электрической и магнитной силы, воздействующей на точечный заряд вследствие электромагнитных полей . На частицу заряда q , движущуюся со скоростью v в электрическом поле E и магнитном поле B , действует сила (в единицах СИ ^{[1] [2]} )

$${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).}$$

q,EBv

Вариации этой базовой формулы описывают магнитную силу, действующую на провод с током (иногда называемую силой Лапласа), электродвижущую силу в проволочной петле, движущейся через магнитное поле (аспект закона индукции Фарадея ), и силу, действующую на движущееся тело. заряженная частица. ^[3]

Историки предполагают, что закон подразумевается в статье Джеймса Клерка Максвелла , опубликованной в 1865 году. ^[4] Хендрик Лоренц пришел к полному выводу в 1895 году, ^[5] определив вклад электрической силы через несколько лет после того, как Оливер Хевисайд правильно определил вклад магнитной силы. ^[6]

Закон силы Лоренца как определение E и B

Заряженные частицы испытывают действие силы Лоренца.

Во многих учебниках по классическому электромагнетизму закон силы Лоренца используется в качестве определения электрических и магнитных полей E и B. ^{[7] [8] [9]} В частности, под силой Лоренца понимается следующее эмпирическое утверждение:

Электромагнитная сила F , действующая на пробный заряд в данную точку и время, является некоторой функцией его заряда q и скорости v , которая может быть параметризована ровно двумя векторами E и B в функциональной форме :

$${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$$

Это справедливо даже для частиц, приближающихся к скорости света (то есть с величиной v , | v | ≈ c ). ^[10] Таким образом, два векторных поля E и B определяются в пространстве и времени и называются «электрическим полем» и «магнитным полем». Поля определяются повсюду в пространстве и времени относительно того, какую силу получит пробный заряд, независимо от того, присутствует ли заряд, испытывающий эту силу.

В качестве определения E и B сила Лоренца является лишь принципиальным определением, потому что реальная частица (в отличие от гипотетического «пробного заряда» бесконечно малых массы и заряда) будет генерировать свои собственные конечные поля E и B , которые изменит электромагнитную силу, которую он испытывает. ^[11] Кроме того, если заряд испытывает ускорение, как если бы его заставили двигаться по искривленной траектории, он испускает излучение, которое приводит к потере кинетической энергии. См., например , тормозное излучение и синхротронный свет . Эти эффекты происходят как за счет прямого воздействия (называемого силой реакции излучения ), так и косвенно (путем воздействия на движение близлежащих зарядов и токов).

Уравнение

Заряженная частица

Сила Лоренца F , действующая на заряженную частицу (с зарядом q ) в движении (мгновенная скорость v ). Поле E и поле B изменяются в пространстве и времени.

Сила F , действующая на частицу с электрическим зарядом q с мгновенной скоростью v , вызванная внешним электрическим полем E и магнитным полем B , определяется выражением (в единицах СИ ^[1] ): ^[12]

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$

где × — векторное векторное произведение (все величины, выделенные жирным шрифтом, являются векторами). С точки зрения декартовых компонентов мы имеем:

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=q\left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right),\\[0.5ex]F_{y}&=q\left(E_{y}+v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}\right),\\[0.5ex]F_{z}&=q\left(E_{z}+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}\right).\end{aligned}}}$$

В общем, электрические и магнитные поля являются функциями положения и времени. Поэтому в явном виде силу Лоренца можно записать как:

$${\displaystyle \mathbf {F} \left(\mathbf {r} (t),{\dot {\mathbf {r} }}(t),t,q\right)=q\left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+{\dot {\mathbf {r} }}(t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right]}$$

rt

Положительно заряженная частица будет ускоряться в той же линейной ориентации, что и поле E , но будет изгибаться перпендикулярно как вектору мгновенной скорости v , так и полю B по правилу правой руки (подробнее, если пальцы правой руки вытянуты так, чтобы указывать в направлении v , а затем скручиваются так, чтобы указывать в направлении B , тогда вытянутый большой палец будет указывать в направлении F ).

Член qE называется электрической силой , а член q ( v × B ) называется магнитной силой . ^[13] Согласно некоторым определениям, термин «сила Лоренца» относится конкретно к формуле магнитной силы, ^[14] при этом суммарной электромагнитной силе (включая электрическую силу) дано другое (нестандартное) название. В этой статье не будет следовать этой номенклатуре: далее термин «сила Лоренца» будет относиться к выражению полной силы.

Магнитно-силовая составляющая силы Лоренца проявляется как сила, действующая на провод с током в магнитном поле. В этом контексте ее также называют силой Лапласа.

Сила Лоренца — это сила, действующая электромагнитным полем на заряженную частицу, то есть это скорость, с которой линейный импульс передается от электромагнитного поля к частице. С ним связана мощность, которая представляет собой скорость, с которой энергия передается от электромагнитного поля к частице. Эта сила

$${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =q\,\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} .}$$

Непрерывное распределение заряда

Сила Лоренца (на единицу 3-объема) f на непрерывном распределении заряда ( плотность заряда ρ ) в движении. Плотность 3- тока J соответствует движению элемента заряда dq в элементе объема dV и меняется во всем континууме.

Для непрерывного распределения заряда в движении уравнение силы Лоренца принимает вид:

$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =\mathrm {d} q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$$

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} q}$ ${\displaystyle \mathrm {d} V}$

$${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$$

плотность силыплотность зарядаплотность тока ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} }$$

^[15]

${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }$

Полная сила представляет собой объемный интеграл по распределению заряда:

$${\displaystyle \mathbf {F} =\int \left(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right)\mathrm {d} V.}$$

Исключив и , используя уравнения Максвелла и манипулируя с помощью теорем векторного исчисления , эту форму уравнения можно использовать для вывода тензора напряжений Максвелла , в свою очередь, это можно объединить с вектором Пойнтинга для получения тензора электромагнитного напряжения-энергии. T используется в общей теории относительности . ^[15] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

В терминах и другой способ записи силы Лоренца (на единицу объема) — ^[15] ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

$${\displaystyle \mathbf {f} =\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}}$$

скорость света∇поляпоток энергииэнергииКовариантную формулировку классического электромагнетизма ${\displaystyle c}$

Плотность мощности, связанная с силой Лоренца в материальной среде, равна

$${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} .}$$

Если мы разделим полный заряд и полный ток на свободную и связанную части, то получим, что плотность силы Лоренца равна

$${\displaystyle \mathbf {f} =\left(\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\mathbf {E} +\left(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\times \mathbf {B} .}$$

где: – плотность свободного заряда; – плотность поляризации ; – плотность свободного тока; и – плотность намагничивания . Таким образом, сила Лоренца может объяснить крутящий момент, приложенный к постоянному магниту магнитным полем. Плотность связанной мощности равна ${\displaystyle \rho _{f}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{f}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$

$${\displaystyle \left(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\cdot \mathbf {E} .}$$

Уравнения с условными единицами измерения CGS

В вышеупомянутых формулах используются соглашения для определения электрического и магнитного поля, используемые в единицах СИ . Это самые распространенные. Однако возможны и используются другие соглашения с той же физикой (т.е. силы, действующие, например, на электрон). В соглашениях, используемых со старыми единицами CGS-Гаусса , которые несколько более распространены среди некоторых физиков-теоретиков, а также экспериментаторов конденсированного состояния, вместо этого используется

$${\displaystyle \mathbf {F} =q_{\mathrm {G} }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {G} }+{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} _{\mathrm {G} }\right).}$$

сскорость света^[1]

$${\displaystyle q_{\mathrm {G} }={\frac {q_{\mathrm {SI} }}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}},\quad \mathbf {E} _{\mathrm {G} }={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\,\mathbf {E} _{\mathrm {SI} },\quad \mathbf {B} _{\mathrm {G} }={\sqrt {4\pi /\mu _{0}}}\,{\mathbf {B} _{\mathrm {SI} }},\quad c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}.}$$

ε ₀диэлектрическая проницаемость вакуумаµ ₀ — проницаемость

История

Теория электронов Лоренца. Формулы для силы Лоренца (I, пондеромоторная сила) и уравнения Максвелла для расхождения электрического поля E (II) и магнитного поля B (III), La théorie Electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants , 1892, стр. . 451. V — скорость света.

Первые попытки количественного описания электромагнитной силы были предприняты в середине 18 века. Было высказано предположение, что сила, действующая на магнитные полюса Иоганном Тобиасом Майером и другими в 1760 году ^[16] и электрически заряженные объекты Генри Кавендишем в 1762 году ^[17] подчиняется закону обратных квадратов . Однако в обоих случаях экспериментальное доказательство не было ни полным, ни убедительным. Лишь в 1784 году Шарль-Огюстен де Кулон , используя торсионные весы , смог окончательно доказать посредством эксперимента, что это правда. ^[18] Вскоре после открытия в 1820 году Гансом Христианом Эрстедом того, что на магнитную стрелку действует электрический ток, Андре-Мари Ампер в том же году смог экспериментально разработать формулу для угловой зависимости силы между двумя токами. элементы. ^{[19] [20]} Во всех этих описаниях сила всегда описывалась с точки зрения свойств материи и расстояний между двумя массами или зарядами, а не с точки зрения электрического и магнитного полей. ^[21]

Современная концепция электрических и магнитных полей впервые возникла в теориях Майкла Фарадея , в частности в его идее силовых линий , позднее получившая полное математическое описание лордом Кельвином и Джеймсом Клерком Максвеллом . ^[22] С современной точки зрения можно идентифицировать в формулировке Максвеллом в 1865 году его уравнений поля форму уравнения силы Лоренца по отношению к электрическим токам, ^[4] хотя во времена Максвелла не было очевидно, как его уравнения связаны к силам, действующим на перемещение заряженных объектов. Дж. Дж. Томсон был первым, кто попытался вывести из уравнений поля Максвелла электромагнитные силы, действующие на движущийся заряженный объект, через свойства объекта и внешние поля. Заинтересовавшись определением электромагнитного поведения заряженных частиц в катодных лучах , Томсон опубликовал в 1881 году статью, в которой он определил силу, действующую на частицы под действием внешнего магнитного поля, как ^{[6] [23]}

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

смещенияОливер Хевисайд^{[6] [24] [25][5] [26]} Хендрик Лоренцсветоносным эфиромлагранжеву механику^{[27] [28]}

Траектории частиц из-за силы Лоренца

Заряженная частица дрейфует в однородном магнитном поле. (A) Возмущающая сила отсутствует (B) С электрическим полем, E (C) С независимой силой, F (например, гравитацией) (D) В неоднородном магнитном поле, град H

Во многих случаях, представляющих практический интерес, движение в магнитном поле электрически заряженной частицы (например, электрона или иона в плазме ) можно рассматривать как суперпозицию относительно быстрого кругового движения вокруг точки, называемой направляющим центром , и относительно медленный дрейф этой точки. Скорости дрейфа могут различаться для разных видов в зависимости от их зарядового состояния, массы или температуры, что может привести к возникновению электрических токов или химическому разделению.

Значение силы Лоренца

В то время как современные уравнения Максвелла описывают, как электрически заряженные частицы и токи или движущиеся заряженные частицы создают электрические и магнитные поля, закон силы Лоренца дополняет эту картину, описывая силу, действующую на движущийся точечный заряд q в присутствии электромагнитных полей. ^{[12] [29]} Закон силы Лоренца описывает влияние E и B на точечный заряд, но такие электромагнитные силы не дают полной картины. Заряженные частицы, возможно, связаны с другими силами, особенно с гравитацией и ядерными силами. Таким образом, уравнения Максвелла не стоят отдельно от других физических законов, а связаны с ними через плотности заряда и тока. Реакция точечного заряда на закон Лоренца является одним из аспектов; другое — генерация E и B токами и зарядами.

В реальных материалах сила Лоренца недостаточна для описания коллективного поведения заряженных частиц как в принципе, так и с точки зрения вычислений. Заряженные частицы в материальной среде не только реагируют на поля E и B , но и порождают эти поля. Для определения временного и пространственного отклика зарядов необходимо решить сложные уравнения переноса, например, уравнение Больцмана , уравнение Фоккера-Планка или уравнения Навье-Стокса . Например, см. Магнитогидродинамика , Гидродинамика , Электрогидродинамика , Сверхпроводимость , Эволюция звезд . Разработан целый физический аппарат для решения этих вопросов. См., например, отношения Грина-Кубо и функцию Грина (теория многих тел) .

Сила, действующая на провод с током

Правило правой руки для провода с током в магнитном поле B

Когда провод, по которому протекает электрический ток, помещается в магнитное поле, каждый из движущихся зарядов, составляющих ток, испытывает действие силы Лоренца, и вместе они могут создавать макроскопическую силу на проводе (иногда называемую силой Лапласа ) . Объединив приведенный выше закон силы Лоренца с определением электрического тока, в случае прямого неподвижного провода в однородном поле получается следующее уравнение: ^[30]

$${\displaystyle \mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} ,}$$

ℓтока I.

Если провод непрямой, силу, действующую на него, можно вычислить, применив эту формулу к каждому бесконечно малому сегменту провода , а затем сложив все эти силы путем интегрирования . Это приводит к тому же формальному выражению, но теперь ℓ следует понимать как вектор, соединяющий концы изогнутого провода с направлением от начальной до конечной точки обычного тока. Обычно также присутствует чистый крутящий момент . ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$

Если, кроме того, магнитное поле неоднородно, результирующая сила, действующая на неподвижный жесткий провод, по которому течет постоянный ток I , определяется интегрированием по проводу:

$${\displaystyle \mathbf {F} =I\int \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} .}$$

Одним из применений этого является закон силы Ампера , который описывает, как два провода с током могут притягивать или отталкивать друг друга, поскольку на каждый из них действует сила Лоренца со стороны магнитного поля другого.

ЭДС

Компонент магнитной силы ( q v × B ) силы Лоренца отвечает за движущую электродвижущую силу (или движущуюся ЭДС ), явление, лежащее в основе многих электрических генераторов. Когда проводник перемещается через магнитное поле, магнитное поле оказывает противоположные силы на электроны и ядра в проводе, и это создает ЭДС. К этому явлению применяется термин «ЭДС движения», поскольку ЭДС возникает вследствие движения проволоки .

В других электрических генераторах магниты движутся, а проводники — нет. В этом случае ЭДС возникает из-за члена электрической силы ( q E ) в уравнении силы Лоренца. Рассматриваемое электрическое поле создается изменяющимся магнитным полем, в результате чего возникает индуцированная ЭДС, описываемая уравнением Максвелла-Фарадея (одним из четырех современных уравнений Максвелла ). ^[31]

Обе эти ЭДС, несмотря на кажущееся разное происхождение, описываются одним и тем же уравнением, а именно: ЭДС — это скорость изменения магнитного потока через провод. (Это закон индукции Фарадея, см. ниже.) Специальная теория относительности Эйнштейна была частично мотивирована желанием лучше понять эту связь между двумя эффектами. ^[31] Фактически, электрическое и магнитное поля представляют собой разные грани одного и того же электромагнитного поля, и при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой соленоидальная векторная часть E -поля может полностью или частично измениться на B. -поле или наоборот . ^[32]

Сила Лоренца и закон индукции Фарадея.

Сила Лоренца — изображение на стене в Лейдене

Если петля провода находится в магнитном поле , закон индукции Фарадея гласит, что индуцированная электродвижущая сила (ЭДС) в проводе равна:

$${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}$$

$${\displaystyle \Phi _{B}=\int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}$$

магнитный потокBΣ( t )∂Σ( t )td AвекторныйΣ( t )этому

Знак ЭДС определяется законом Ленца . Обратите внимание, что это справедливо не только для неподвижного провода, но и для движущегося провода.

Из закона индукции Фарадея (который справедлив для движущегося провода, например, в двигателе) и уравнений Максвелла можно вывести силу Лоренца. Верно и обратное: сила Лоренца и уравнения Максвелла могут быть использованы для вывода закона Фарадея .

Пусть Σ( t ) — движущаяся проволока, движущаяся вместе без вращения и с постоянной скоростью v , а Σ( t ) — внутренняя поверхность проволоки. ЭДС вокруг замкнутого пути ∂Σ( t ) определяется по формуле: ^[33]

$${\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q}$$

$${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {F} /q}$$

d ℓбесконечно малый∂Σ( t )

NB: И d ℓ , и d A имеют неоднозначность знака; чтобы получить правильный знак, используется правило правой руки , как объяснено в статье Теорема Кельвина – Стокса .

Приведенный выше результат можно сравнить с версией закона индукции Фарадея, которая появляется в современных уравнениях Максвелла, называемой здесь уравнением Максвелла – Фарадея :

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,.}$$

Уравнение Максвелла–Фарадея также можно записать в интегральной форме , используя теорему Кельвина–Стокса . ^[34]

Итак, мы имеем уравнение Максвелла Фарадея:

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)=-\ \int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\mathrm {d} t}}}$$

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t).}$$

Оба варианта эквивалентны, если провод не движется. Использование правила интеграла Лейбница и того, что div B = 0 , приводит к:

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,t)=-\int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$$

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$$

$${\displaystyle \mathbf {F} =q\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)+q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t).}$$

Закон индукции Фарадея действует независимо от того, является ли проволочная петля жесткой и неподвижной, находится в движении или находится в процессе деформации, а также независимо от того, является ли магнитное поле постоянным во времени или изменяющимся. Однако бывают случаи, когда закон Фарадея либо неадекватен, либо сложен в использовании, и необходимо применение основного закона силы Лоренца. См. неприменимость закона Фарадея .

Если магнитное поле фиксировано во времени и проводящая петля движется по полю, то магнитный поток Φ _B , связывающий петлю, может меняться несколькими способами. Например, если B -поле меняется в зависимости от положения и контур перемещается в место с другим B -полем, Φ _B изменится. Альтернативно, если петля меняет ориентацию относительно B -поля, дифференциальный элемент B ⋅ d A изменится из-за разного угла между B и d A , что также изменит Φ _B . В качестве третьего примера, если часть контура проходит через однородное, независимое от времени B -поле, а другая часть контура удерживается неподвижно, поток, связывающий всю замкнутую цепь, может измениться из-за смещения относительного положения. частей схемы со временем (поверхность ∂Σ( t ) зависит от времени). Во всех трех случаях закон индукции Фарадея предсказывает ЭДС, создаваемую изменением Φ _B.

Обратите внимание, что уравнение Максвелла Фарадея подразумевает, что электрическое поле E неконсервативно, когда магнитное поле B меняется во времени, и не выражается как градиент скалярного поля и не подчиняется теореме о градиенте , поскольку его ротор не равен нулю. ^{[33] [35]}

Сила Лоренца через потенциалы

Поля E и B можно заменить магнитным векторным потенциалом A и ( скалярным ) электростатическим потенциалом φ на

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\[1ex]\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

∇∇⋅∇×ротор

Сила становится

$${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right].}$$

Используя тождество тройного произведения, это можно переписать как:

$${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)-\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right],}$$

(Обратите внимание, что координаты и компоненты скорости следует рассматривать как независимые переменные, поэтому оператор del действует только на , а не на ; таким образом, нет необходимости использовать индекс Фейнмана в приведенном выше уравнении). Используя цепное правило, полная производная равна : ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} }$$

так что приведенное выше выражение принимает вид:

$${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla (\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\right].}$$

При v = ẋ мы можем привести уравнение к удобной форме Эйлера – Лагранжа

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla _{\mathbf {x} }(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )\right]}$

где

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial z}}}$$

$${\displaystyle \nabla _{\dot {\mathbf {x} }}={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {z}}}}.}$$

Сила Лоренца и аналитическая механика

Лагранжиан для заряженной частицы массы m и заряда q в электромагнитном поле эквивалентно описывает динамику частицы с точки зрения ее энергии , а не силы, действующей на нее. Классическое выражение имеет вид: ^[36]

$${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi }$$

Aφ^[37]уравнения Лагранжа ${\displaystyle V=q(\phi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} )}$

Вывод силы Лоренца из классического лагранжиана (единицы СИ)

Для поля A частица, движущаяся со скоростью v = ṙ , имеет потенциальный импульс , поэтому ее потенциальная энергия равна . Для поля φ потенциальная энергия частицы равна . ${\displaystyle q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {\dot {r}} }$ ${\displaystyle q\phi (\mathbf {r} ,t)}$

Тогда полная потенциальная энергия равна:

$${\displaystyle V=q\phi -q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} }$$

а кинетическая энергия равна:

$${\displaystyle T={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} }$$

отсюда лагранжиан:

$${\displaystyle L=T-V={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi }$$

$${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)+q\left({\dot {x}}A_{x}+{\dot {y}}A_{y}+{\dot {z}}A_{z}\right)-q\phi }$$

Уравнения Лагранжа:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}}}$$

(то же самое для y и z ). Итак, вычислим частные производные:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\ddot {x}}+q{\frac {\mathrm {d} A_{x}}{\mathrm {d} t}}&=m{\ddot {x}}+{\frac {q}{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}dx+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}dy+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}dz\right]\\[1ex]&=m{\ddot {x}}+q\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right]\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)}$$

приравнивая и упрощая:

$${\displaystyle m{\ddot {x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right)=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=-q\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}\right)+q\left[{\dot {y}}\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)+{\dot {z}}\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)\right]\\[1ex]&=qE_{x}+q[{\dot {y}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{z}-{\dot {z}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{y}]\\[1ex]&=qE_{x}+q[\mathbf {\dot {r}} \times (\nabla \times \mathbf {A} )]_{x}\\[1ex]&=qE_{x}+q(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )_{x}\end{aligned}}}$$

и аналогично для направлений y и z . Следовательно, уравнение силы имеет вид:

$${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )}$$

Потенциальная энергия зависит от скорости частицы, поэтому сила зависит от скорости и не является консервативной.

Релятивистский лагранжиан – это

$${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}+q\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi (\mathbf {r} )}$$

Действие представляет собой релятивистскую длину дуги пути частицы в пространстве-времени минус вклад потенциальной энергии плюс дополнительный вклад, который с точки зрения квантовой механики является дополнительной фазой, которую получает заряженная частица, когда она движется вдоль векторного потенциала.

Вывод силы Лоренца из релятивистского лагранжиана (единицы СИ)

Уравнения движения, полученные путем экстремизации действия (обозначения см. в матричном исчислении ):

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {P} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=q{\partial \mathbf {A} \over \partial \mathbf {r} }\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q{\partial \phi \over \partial \mathbf {r} }}$$

$${\displaystyle \mathbf {P} -q\mathbf {A} ={\frac {m{\dot {\mathbf {r} }}}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}}}$$

такие же, как уравнения движения Гамильтона :

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2}}}+q\phi \right)}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2}}}+q\phi \right)}$$

оба эквивалентны неканонической форме:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{m{\dot {\mathbf {r} }} \over {\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}}=q\left(\mathbf {E} +{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} \right).}$$

Эта формула представляет собой силу Лоренца, представляющую скорость, с которой ЭМ поле придает частице релятивистский импульс.

Релятивистская форма силы Лоренца.

Ковариантная форма силы Лоренца

Тензор поля

Используя метрическую сигнатуру (1, −1, −1, −1) , силу Лоренца для заряда q можно записать в ковариантной форме ^[38] :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}=qF^{\alpha \beta }U_{\beta }}$

где p ^α — четырехимпульс , определяемый как

$${\displaystyle p^{\alpha }=\left(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(\gamma mc,p_{x},p_{y},p_{z}\right),}$$

τ собственное время частицы, F ^αβ контрвариантный электромагнитный тензор

$${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$$

U — ковариантная 4-скорость частицы, определяемая как:

$${\displaystyle U_{\beta }=\left(U_{0},U_{1},U_{2},U_{3}\right)=\gamma \left(c,-v_{x},-v_{y},-v_{z}\right),}$$

$${\displaystyle \gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

фактором Лоренца

Поля преобразуются в систему координат, движущуюся с постоянной относительной скоростью:

$${\displaystyle F'^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }\,,}$$

где Λ ^µ _α — тензор преобразования Лоренца .

Перевод в векторную нотацию

Компонент α = 1 ( x -компонент) силы равен

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=qU_{\beta }F^{1\beta }=q\left(U_{0}F^{10}+U_{1}F^{11}+U_{2}F^{12}+U_{3}F^{13}\right).}$$

Подстановка компонент ковариантного электромагнитного тензора F дает

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\left[U_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+U_{2}(-B_{z})+U_{3}(B_{y})\right].}$$

Используя компоненты ковариантных четырехскоростных выходов

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left[c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+(-v_{y})(-B_{z})+(-v_{z})(B_{y})\right]=q\gamma \left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma \left[E_{x}+\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)_{x}\right]\,.}$$

Расчет для α = 2, 3 (компоненты силы в направлениях y и z ) дает аналогичные результаты, поэтому 3 уравнения собираются в одно:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),}$$

dtdτ

$${\displaystyle dt=\gamma (v)\,d\tau ,}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).}$$

Это и есть закон силы Лоренца, однако важно отметить, что p — релятивистское выражение,

$${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (v)m_{0}\mathbf {v} \,.}$$

Сила Лоренца в алгебре пространства-времени (STA)

Электрические и магнитные поля зависят от скорости наблюдателя , поэтому релятивистскую форму закона силы Лоренца лучше всего можно продемонстрировать, начиная с независимого от координат выражения для электромагнитного и магнитного полей и произвольного направления времени . Это можно решить с помощью алгебры пространства-времени (или геометрической алгебры пространства-времени), типа алгебры Клиффорда , определенной в псевдоевклидовом пространстве ^[39] как ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$

$${\displaystyle \mathbf {E} =\left({\mathcal {F}}\cdot \gamma _{0}\right)\gamma _{0}}$$

$${\displaystyle i\mathbf {B} =\left({\mathcal {F}}\wedge \gamma _{0}\right)\gamma _{0}}$$

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$- это бивекторпроизведение, ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle v={\dot {x}}}$

$${\displaystyle v^{2}=1,}$$

$${\displaystyle \mathbf {v} =cv\wedge \gamma _{0}/(v\cdot \gamma _{0}).}$$

Правильная (инвариант — неподходящий термин, поскольку преобразование не было определено) форма закона силы Лоренца просто

${\displaystyle F=q{\mathcal {F}}\cdot v}$

Обратите внимание, что порядок важен, потому что скалярное произведение бивектора и вектора антисимметрично. При подобном расщеплении пространства-времени можно получить скорость и поля, как указано выше, что дает обычное выражение.

Сила Лоренца в общей теории относительности

В общей теории относительности уравнение движения частицы с массой и зарядом , движущейся в пространстве с метрическим тензором и электромагнитным полем , задается как ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle F_{ab}}$

$${\displaystyle m{\frac {du_{c}}{ds}}-m{\frac {1}{2}}g_{ab,c}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b},}$$

,. ${\displaystyle u^{a}=dx^{a}/ds}$ ${\displaystyle dx^{a}}$ ${\displaystyle g_{ab,c}=\partial g_{ab}/\partial x^{c}}$ ${\displaystyle ds^{2}=g_{ab}dx^{a}dx^{b}}$

Уравнение также можно записать как

$${\displaystyle m{\frac {du_{c}}{ds}}-m\Gamma _{abc}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b},}$$

символ Кристоффеля ${\displaystyle \Gamma _{abc}}$

$${\displaystyle m{\frac {Du_{c}}{ds}}=eF_{cb}u^{b},}$$

ковариантный дифференциал ${\displaystyle D}$

Приложения

Сила Лоренца возникает во многих устройствах, в том числе:

• Циклотроны и другие ускорители частиц с круговым движением
• Масс-спектрометры
• Фильтры скорости
• Магнетроны
• Силовая велосиметрия Лоренца

В своем проявлении как сила Лапласа, действующая на электрический ток в проводнике, эта сила встречается во многих устройствах, в том числе:

• Электродвигатели
• Рейлганы
• Линейные двигатели
• Колонки
• Магнитоплазмодинамические двигатели
• Электрические генераторы
• Униполярные генераторы
• Линейные генераторы переменного тока

Смотрите также

• эффект Холла
• Электромагнетизм
• Гравитомагнетизм
• Закон силы Ампера
• Хендрик Лоренц
• Уравнения Максвелла
• Формулировка уравнений Максвелла в специальной теории относительности
• Проблема с движущимся магнитом и проводником
• Сила Авраама – Лоренца
• Формула Лармора
• Циклотронное излучение
• Магнитосопротивление
• Скалярный потенциал
• Разложение Гельмгольца
• Руководящий центр
• Линия поля
• Закон Кулона
• Электромагнитная плавучесть

Сноски

1. В единицах СИ B измеряется в теслах (обозначение: T). В единицах Гаусса-СГС B измеряется в гауссах (обозначение: G). См., например, «Часто задаваемые вопросы по геомагнетизму». Национальный центр геофизических данных . Проверено 21 октября 2013 г.)
2. H - поле измеряется в амперах на метр (А/м) в единицах СИ и в эрстедах (Э) в единицах СГС. «Международная система единиц (СИ)». Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . Национальный институт стандартов и технологий. 12 апреля 2010 года . Проверено 9 мая 2012 г.
3. Хурей, Пол Г. (16 ноября 2009 г.). Уравнения Максвелла. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-470-54276-7.
4. Хурей, Пол Г. (2010). Уравнения Максвелла. Вайли-IEEE. п. 22. ISBN 978-0-470-54276-7.
5. Даль, Пер Ф. (1997). Вспышка катодных лучей: история электрона Дж. Дж. Томсона . ЦРК Пресс. п. 10.
6. Пол Дж. Нахин, Оливер Хевисайд, JHU Press, 2002.
7. См., например, Джексон, стр. 777–8.
8. Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 72–73. ISBN 0-7167-0344-0.. Эти авторы используют силу Лоренца в тензорной форме в качестве определения электромагнитного тензора F , в свою очередь, полей E и B.
9. IS Грант; В. Р. Филлипс; Манчестерская физика (1990). Электромагнетизм (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 122. ИСБН 978-0-471-92712-9.
10. IS Грант; В. Р. Филлипс; Манчестерская физика (1990). Электромагнетизм (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 123. ИСБН 978-0-471-92712-9.
11. "Лекции Фейнмана по физике, том II, глава 1: Электромагнетизм" . www.feynmanlectures.caltech.edu . Проверено 6 июля 2022 г.
12. См. Джексон, стр. 2. В книге перечислены четыре современных уравнения Максвелла, а затем говорится: «Для рассмотрения движения заряженных частиц также важно уравнение силы Лоренца F = q ( E + v × B ) , которое дает сила, действующая на точечный заряд q в присутствии электромагнитных полей».
13. См. Гриффитс, стр. 204.
14. Например, см. сайт Института Лоренца или Гриффитса.
15. Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику. перепечатка. с корр. (3-е изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси [ua]: Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-805326-0.
16. Делон, Мишель (2001). Энциклопедия Просвещения . Чикаго, Иллинойс: Издательство Fitzroy Dearborn. п. 538. ИСБН 157958246X.
17. Гудвин, Эллиот Х. (1965). Новая Кембриджская современная история, том 8: Американская и французская революции, 1763–1793 гг . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 130. ИСБН 9780521045469.
18. Мейер, Герберт В. (1972). История электричества и магнетизма. Норуолк, Коннектикут: Библиотека Бернди. стр. 30–31. ISBN 0-262-13070-Х.
19. Вершуур, Геррит Л. (1993). Скрытое притяжение: история и тайна магнетизма. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 78–79. ISBN 0-19-506488-7.
20. Дарригол, Оливье (2000). Электродинамика от Ампера до Эйнштейна . Оксфорд, [Англия]: Издательство Оксфордского университета. стр. 9, 25. ISBN 0-19-850593-0.
21. Вершуур, Геррит Л. (1993). Скрытое притяжение: история и тайна магнетизма. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п. 76. ИСБН 0-19-506488-7.
22. Дарригол, Оливье (2000). Электродинамика от Ампера до Эйнштейна . Оксфорд, [Англия]: Издательство Оксфордского университета. стр. 126–131, 139–144. ISBN 0-19-850593-0.
23. Массачусетс, Дж. Дж. Томсон (1 апреля 1881 г.). «XXXIII. Об электрических и магнитных эффектах, производимых движением наэлектризованных тел». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 11 (68): 229–249. дои : 10.1080/14786448108627008. ISSN  1941-5982.
24. Дарригол, Оливье (2000). Электродинамика от Ампера до Эйнштейна . Оксфорд, [Англия]: Издательство Оксфордского университета. стр. 200, 429–430. ISBN 0-19-850593-0.
25. Хевисайд, Оливер (апрель 1889 г.). «Об электромагнитных эффектах, связанных с движением электризации через диэлектрик». Философский журнал : 324.
26. Лоренц, Хендрик Антун, Versuch einer Theorie der electricschen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern , 1895.
27. Дарригол, Оливье (2000). Электродинамика от Ампера до Эйнштейна . Оксфорд, [Англия]: Издательство Оксфордского университета. п. 327. ИСБН 0-19-850593-0.
28. Уиттакер, ET (1910). История теорий эфира и электричества: от эпохи Декарта до конца девятнадцатого века . Лонгманс, Грин и Ко, стр. 420–423. ISBN 1-143-01208-9.
29. См. Гриффитс, стр. 326, где говорится, что уравнения Максвелла «вместе с законом силы [Лоренца] ... обобщают все теоретическое содержание классической электродинамики».
30. «Физические эксперименты». www.Physicsexperiment.co.uk . Архивировано из оригинала 8 июля 2018 г. Проверено 14 августа 2018 г.
31. См. Гриффитс, страницы 301–3.
32. Тай Л. Чоу (2006). Электромагнитная теория. Садбери, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 395. ИСБН 0-7637-3827-1.
33. Ландау, LD; Лифшиц, Э.М.; Питаевский, Л.П. (1984). Электродинамика сплошных сред; Том 8 Курс теоретической физики (Второе изд.). Оксфорд: Баттерворт-Хайнеманн. п. §63 (§49, стр. 205–207 в издании 1960 г.). ISBN 0-7506-2634-8.
34. Роджер Ф. Харрингтон (2003). Введение в электромагнитную технику. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 56. ИСБН 0-486-43241-6.
35. МНО Садику (2007). Элементы электромагнетизма (Четвертое изд.). Нью-Йорк/Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 391. ИСБН 978-0-19-530048-2.
36. Киббл, TWB (1973). Классическая механика . Европейская серия по физике (2-е изд.). МакГроу Хилл. ВЕЛИКОБРИТАНИЯ. ISBN 0-07-084018-0.
37. Ланчос, Корнелиус (январь 1986 г.). Вариационные принципы механики (Четвертое изд.). Нью-Йорк. ISBN 0-486-65067-7. ОСЛК  12949728.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
38. Джексон, JD Глава 11
39. Хестенес, Дэвид . «Пространственно-временное исчисление». Архивировано из оригинала 9 мая 2021 г. Проверено 20 ноября 2011 г.

Рекомендации

Пронумерованные ссылки частично относятся к приведенному ниже списку.

• Фейнман, Ричард Филлипс ; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс, Мэтью Л. (2006). Фейнмановские лекции по физике (3 т.) . Пирсон / Аддисон-Уэсли. ISBN 0-8053-9047-2.: том 2.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Река Аппер-Сэддл, [Нью-Джерси]: Прентис-Холл. ISBN 0-13-805326-Х.
• Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк, [Нью-Йорк]: Уайли. ISBN 0-471-30932-Х.
• Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. младший (2004). Физика для ученых и инженеров, с современной физикой . Бельмонт, [Калифорния]: Томсон Брукс/Коул. ISBN 0-534-40846-Х.
• Средницкий, Марк А. (2007). Квантовая теория поля. Кембридж, [Англия]; Нью-Йорк [Нью-Йорк]: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86449-7.

Внешние ссылки

• Сила Лоренца (демонстрация)
• Интерактивный Java-апплет о магнитном отклонении пучка частиц в однородном магнитном поле. Архивировано 13 августа 2011 г. в Wayback Machine Вольфгангом Бауэром.