Алгебра пространства-времени

Установка релятивистской физики в геометрической алгебре

В математической физике алгебра пространства-времени ( STA ) представляет собой применение алгебры Клиффорда Cl _1,3 ( R ) или, что эквивалентно, геометрической алгебры G ( M 4 ) к физике. Алгебра пространства-времени обеспечивает «единую, бескоординатную формулировку для всей релятивистской физики , включая уравнение Дирака , уравнение Максвелла и общую теорию относительности », и «уменьшает математический разрыв между классической , квантовой и релятивистской физикой ». ^{[1] : ix}

Алгебра пространства-времени — это векторное пространство , которое позволяет комбинировать не только векторы , но и бивекторы (направленные величины, описывающие вращения, связанные с вращениями или конкретными плоскостями, такими как площади или вращения) или лопасти (величины, связанные с определенными гиперобъемами), как а также повернуто , отражено или усилено Лоренцем . ^{[2] : 40, 43, 97, 113} Это также естественная родительская алгебра спиноров в специальной теории относительности. ^{[2] : 333} Эти свойства позволяют выразить многие из наиболее важных уравнений физики в особенно простых формах и могут быть очень полезны для более геометрического понимания их значения. ^{[1] : в}

По сравнению со связанными методами, STA и алгебра Дирака являются алгебрами Клиффорда Cl _1,3 , но STA использует скаляры действительных чисел , а алгебра Дирака использует скаляры комплексных чисел . Расщепление пространства-времени STA аналогично подходу алгебры физического пространства (APS, алгебра Паули) . APS представляет пространство-время как паравектор , объединенное трехмерное векторное пространство и одномерный скаляр. ^{[3] : 225–266.}

Состав

Для любой пары векторов STA существует векторное (геометрическое) произведение , внутреннее (точечное) произведение и внешнее (внешнее, клиновое) произведение . Векторное произведение представляет собой сумму внутреннего и внешнего произведения: ^{[1] : 6.} ${\textstyle a,b}$ ${\textstyle ab}$ ${\textstyle a\cdot b}$ ${\textstyle a\wedge b}$

${\displaystyle a\cdot b={\frac {ab+ba}{2}}=b\cdot a,\quad a\wedge b={\frac {ab-ba}{2}}=-b\wedge a,\quad ab=a\cdot b+a\wedge b}$

Внутренний продукт генерирует действительное число (скаляр), а внешний продукт генерирует бивектор. Векторы и ортогональны, если их внутренний продукт равен нулю; векторы и параллельны, если их внешнее произведение равно нулю. ^{[2] : 22–23} ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$

Ортонормированные базисные векторы представляют собой времениподобный вектор и три пространственноподобных вектора . Ненулевые члены метрического тензора Минковского являются диагональными членами . Для : ${\textstyle \gamma _{0}}$ ${\textstyle \gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}}$ ${\textstyle (\eta _{00},\eta _{11},\eta _{22},\eta _{33})=(1,-1,-1,-1)}$ ${\textstyle \mu ,\nu =0,1,2,3}$

${\displaystyle \gamma _{\mu }\cdot \gamma _{\nu }={\frac {\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }}{2}}=\eta _{\mu \nu },\quad \gamma _{0}\cdot \gamma _{0}=1,\ \gamma _{1}\cdot \gamma _{1}=\gamma _{2}\cdot \gamma _{2}=\gamma _{3}\cdot \gamma _{3}=-1,\quad {\text{ otherwise }}\ \gamma _{\mu }\gamma _{\nu }=-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }}$

Матрицы Дирака обладают этими свойствами, и STA эквивалентна алгебре, порожденной матрицами Дирака над полем действительных чисел; ^{[1] :} явное матричное представление x не является необходимым для STA.

Произведения базисных векторов порождают тензорный базис , содержащий один скаляр , четыре вектора , шесть бивекторов , четыре псевдовектора ( тривектора ) и один псевдоскаляр с . ^{[1] : 11} Псевдоскаляр коммутирует со всеми элементами STA четного уровня , но антикоммутирует со всеми элементами STA нечетного уровня . ^{[4] : 6} ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}}$ ${\displaystyle \{\gamma _{0}\gamma _{1},\,\gamma _{0}\gamma _{2},\,\gamma _{0}\gamma _{3},\,\gamma _{1}\gamma _{2},\,\gamma _{2}\gamma _{3},\,\gamma _{3}\gamma _{1}\}}$ ${\displaystyle \{I\gamma _{0},I\gamma _{1},I\gamma _{2},I\gamma _{3}\}}$ ${\displaystyle \{I\}}$ ${\textstyle I=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$

Подалгебра

Четно-градуированные элементы STA (скаляры, бивекторы, псевдоскаляры) образуют четную подалгебру Клиффорда Cl _3,0 ( R ) , эквивалентную алгебре APS или Паули. ^{[1] : 12} Бивекторы STA эквивалентны векторам и псевдовекторам APS. Подалгебра STA становится более явной, если переименовать бивекторы STA в и бивекторы STA в . ^{[1] : 22  [2] : 37} Матрицы Паули, , являются матричным представлением для . ^{[2] : 37} Для любой пары ненулевые внутренние произведения равны , а ненулевые внешние произведения равны: ^{[2] : 37  [1] : 16} ${\textstyle (\gamma _{1}\gamma _{0},\gamma _{2}\gamma _{0},\gamma _{3}\gamma _{0})}$ ${\textstyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$ ${\textstyle (\gamma _{3}\gamma _{2},\gamma _{1}\gamma _{3},\gamma _{2}\gamma _{1})}$ ${\textstyle (I\sigma _{1},I\sigma _{2},I\sigma _{3})}$ ${\textstyle {\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2},{\hat {\sigma }}_{3}}$ ${\textstyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\textstyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$ ${\textstyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{1}=\sigma _{2}\cdot \sigma _{2}=\sigma _{3}\cdot \sigma _{3}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}\wedge \sigma _{2}&=I\sigma _{3}\\\sigma _{2}\wedge \sigma _{3}&=I\sigma _{1}\\\sigma _{3}\wedge \sigma _{1}&=I\sigma _{2}\\\end{aligned}}}$

Последовательность от алгебры к четной подалгебре продолжается как алгебра физического пространства, алгебра кватернионов, комплексные числа и действительные числа. ^{[1] : 12}

Разделение

Ненулевой вектор является нулевым вектором ( нильпотент степени 2 ), если . ^{[5] : 2} Пример: . Нулевые векторы касаются светового конуса (нулевого конуса). ^{[5] : 4} Элемент является идемпотентом, если . ^{[6] : 103} Два идемпотента и являются ортогональными идемпотентами, если . ^{[6] : 103} Примером ортогональной идемпотентной пары является и с . Собственные делители нуля — это ненулевые элементы, произведение которых равно нулю, например нулевые векторы или ортогональные идемпотенты. ^{[7] : 191} Алгебра с делением — это алгебра, которая содержит мультипликативные обратные (взаимные) элементы для каждого элемента, но это происходит, если нет собственных делителей нуля и если единственный идемпотент равен 1. ^{[6] : 103  [8] : 211  [а]} Единственными ассоциативными алгебрами с делением являются действительные числа, комплексные числа и кватернионы. ^{[9] : 366} Поскольку STA не является алгеброй с делением, у некоторых элементов STA может отсутствовать инверсия; однако деление на ненулевой вектор может быть возможным путем умножения на его обратный вектор, определяемый как . ^{[10] : 14} ${\textstyle a}$ ${\textstyle a^{2}=0}$ ${\textstyle a=\gamma ^{0}+\gamma ^{1}}$ ${\textstyle b}$ ${\textstyle b^{2}=b}$ ${\textstyle b_{1}}$ ${\textstyle b_{2}}$ ${\textstyle b_{1}b_{2}=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1+\gamma _{0}\gamma _{k})}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1-\gamma _{0}\gamma _{k})}$ ${\textstyle k=1,2,3}$ ${\textstyle c}$ ${\displaystyle c^{-1}=(c\cdot c)^{-1}c}$

Обратная рамка

С ортогональным базисом связан обратный базис, удовлетворяющий этим уравнениям: ^{[1] : 63} ${\displaystyle \{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}}$ ${\displaystyle \{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\}}$

${\displaystyle \gamma _{\mu }\cdot \gamma ^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3}$

Эти обратные векторы кадров отличаются только знаком: , но . ${\displaystyle \gamma ^{0}=\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{1}=-\gamma _{1},\ \ \gamma ^{2}=-\gamma _{2},\ \ \gamma ^{3}=-\gamma _{3}}$

Вектор может быть представлен с использованием либо базисных векторов, либо обратных базисных векторов с суммированием по , в соответствии с обозначениями Эйнштейна . Внутренний продукт вектора и базисных векторов или обратных базисных векторов генерирует компоненты вектора. ${\textstyle a}$ ${\displaystyle a=a^{\mu }\gamma _{\mu }=a_{\mu }\gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu =0,1,2,3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot \gamma ^{\nu }&=a^{\nu },\quad \nu =0,1,2,3\\a\cdot \gamma _{\nu }&=a_{\nu },\quad \nu =0,1,2,3\end{aligned}}}$

Метрическая и индексная гимнастика повышают или понижают показатели:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\mu }&=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3\\\gamma ^{\mu }&=\eta ^{\mu \nu }\gamma _{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3\end{aligned}}}$

Градиент пространства-времени

Градиент пространства-времени, как и градиент в евклидовом пространстве, определяется так, что выполняется соотношение производной по направлению : ^{[11] : 45}

${\displaystyle a\cdot \nabla F(x)=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(x+a\tau )-F(x)}{\tau }}.}$

Это требует, чтобы определение градиента было

${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.}$

Выписанные явно с помощью , эти частичные выражения имеют вид ${\displaystyle x=ct\gamma _{0}+x^{k}\gamma _{k}}$

${\displaystyle \partial _{0}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\quad \partial _{k}={\frac {\partial }{\partial {x^{k}}}}}$

Раскол пространства-времени

В STA пространственно-временное разделение представляет собой проекцию четырехмерного пространства в (3+1)-мерное пространство в выбранной системе отсчета с помощью следующих двух операций:

• коллапс выбранной оси времени, в результате чего образуется трехмерное пространство, натянутое бивекторами, что эквивалентно стандартным трехмерным базисным векторам в алгебре физического пространства и
• проекция четырехмерного пространства на выбранную ось времени, дающая одномерное пространство скаляров, представляющее скалярное время. ^{[13] : 180}

Это достигается путем предварительного или последующего умножения на времениподобный базисный вектор , который служит для разделения четырех векторов на скалярный времениподобный и бивекторный пространственноподобный компоненты в системе отсчета, движущейся вместе с . У нас есть ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle x=x^{\mu }\gamma _{\mu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\end{aligned}}}$

Расщепление пространства-времени — это метод представления четного вектора пространства-времени в виде вектора в алгебре Паули, алгебре, где время является скаляром, отделенным от векторов, встречающихся в трехмерном пространстве. Метод заменяет эти векторы пространства-времени ^{[1] : 22–24} ${\textstyle (\gamma )}$

Поскольку эти бивекторы стремятся к единице, они служат пространственной основой. Используя матричную нотацию Паули , они записываются . Пространственные векторы в STA выделены жирным шрифтом; затем с помощью и , -spacetime Split и его обратная сторона : ${\displaystyle \gamma _{k}\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =x^{k}\sigma _{k}}$ ${\displaystyle x^{0}=ct}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle x\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\sigma _{k}=ct+\mathbf {x} \\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\sigma _{k}=ct-\mathbf {x} \end{aligned}}}$

Однако приведенные выше формулы работают только в метрике Минковского с сигнатурой (+ - - -). Для форм разделения пространства-времени, которые работают в любой сигнатуре, необходимо использовать альтернативные определения и . ${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \sigma ^{k}=\gamma _{0}\gamma ^{k}}$

Преобразования

Для поворота вектора в геометрической алгебре используется следующая формула: ^{[14] : 50–51.} ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v'=e^{-\beta {\frac {\theta }{2}}}\ v\ e^{\beta {\frac {\theta }{2}}}}$,

где - угол поворота, и - нормированный бивектор, представляющий плоскость вращения так, что . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta {\tilde {\beta }}=1}$

Для данного пространственноподобного бивектора , поэтому применима формула Эйлера , ^{[2] : 401,} дающая вращение ${\displaystyle \beta ^{2}=-1}$

${\displaystyle v'=\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)\ v\ \left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)}$.

Для данного времениподобного бивектора, поэтому «вращение во времени» использует аналогичное уравнение для чисел расщепленного комплекса : ${\displaystyle \beta ^{2}=1}$

${\displaystyle v'=\left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sinh \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)\ v\ \left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sinh \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)}$.

Интерпретируя это уравнение, эти вращения во времени представляют собой просто гиперболические вращения . Они эквивалентны повышениям Лоренца в специальной теории относительности.

Оба этих преобразования известны как преобразования Лоренца , а их совокупный набор — группа Лоренца . Чтобы преобразовать объект в STA из любого базиса (соответствующего системе отсчета) в другой, необходимо использовать одно или несколько таких преобразований. ^{[1] : 47–62}

Любой элемент пространства-времени преобразуется путем умножения на псевдоскаляр для формирования двойственного ему элемента . ^{[11] : 114} Дуальное вращение преобразует элемент пространства-времени в элемент через угол с псевдоскаляром : ^{[1] : 13} ${\textstyle A}$ ${\textstyle AI}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle A^{\prime }}$ ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle I}$

${\displaystyle A^{\prime }=e^{I\phi }A}$

Двойственное вращение происходит только для неособой алгебры Клиффорда, неособое означает алгебру Клиффорда, содержащую псевдоскаляры с ненулевым квадратом. ^{[1] : 13}

Инволюция оценок (основная инволюция, инверсия) преобразует каждый r-вектор в : ^{[1] : 13  [15]} ${\textstyle A_{r}}$ ${\textstyle A_{r}^{\ast }}$

${\displaystyle A_{r}^{\ast }=(-1)^{r}\ A_{r}}$

Реверсивное преобразование происходит путем разложения любого элемента пространства-времени на сумму произведений векторов с последующим изменением порядка каждого произведения на противоположный. ^{[1] : 13  [16]} Для мультивекторов, возникающих в результате произведения векторов, реверсия : ${\textstyle A}$ ${\textstyle a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r}}$ ${\textstyle A^{\dagger }}$

${\displaystyle A=a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r},\quad A^{\dagger }=a_{r}a_{r-1}\ldots a_{2}a_{1}}$

Сопряжение Клиффорда элемента пространства-времени сочетает в себе преобразования реверсии и инволюции степени, обозначенные как : ^[17] ${\textstyle A}$ ${\textstyle {\tilde {A}}}$

${\displaystyle {\tilde {A}}=A^{\ast \dagger }}$

Инволюция степени, реверсия и преобразования Клиффорда являются инволюциями . ^[18]

Классический электромагнетизм

Бивектор Фарадея

В STA электрическое и магнитное поле можно объединить в одно бивекторное поле, известное как бивектор Фарадея, эквивалентное тензору Фарадея . ^{[2] : 230} Определяется как:

${\displaystyle F={\vec {E}}+Ic{\vec {B}},}$

где и – обычные электрическое и магнитное поля, – псевдоскаляр STA. ^{[2] : 230} Альтернативно, разложив по компонентам, определяют, что ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F=E^{i}\sigma _{i}+IcB^{i}\sigma _{i}=E^{1}\gamma _{1}\gamma _{0}+E^{2}\gamma _{2}\gamma _{0}+E^{3}\gamma _{3}\gamma _{0}-cB^{1}\gamma _{2}\gamma _{3}-cB^{2}\gamma _{3}\gamma _{1}-cB^{3}\gamma _{1}\gamma _{2}.}$

Отдельные поля и восстанавливаются при использовании ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E={\frac {1}{2}}\left(F-\gamma _{0}F\gamma _{0}\right),\\IcB={\frac {1}{2}}\left(F+\gamma _{0}F\gamma _{0}\right).\end{aligned}}}$

Этот термин представляет собой данную систему отсчета, и поэтому использование разных систем отсчета приведет к явно разным относительным полям, точно так же, как и в стандартной специальной теории относительности. ^{[2] : 233} ${\displaystyle \gamma _{0}}$

Поскольку бивектор Фарадея является релятивистским инвариантом, дополнительную информацию можно найти в его квадрате, что дает две новые лоренц-инвариантные величины: одну скалярную и одну псевдоскалярную:

${\displaystyle F^{2}=E^{2}-c^{2}B^{2}+2Ic{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}.}$

Скалярная часть соответствует лагранжевой плотности электромагнитного поля, а псевдоскалярная часть представляет собой менее часто встречающийся лоренц-инвариант. ^{[2] : 234}

Уравнение Максвелла

STA формулирует уравнения Максвелла в более простой форме как одно уравнение ^{[19] : 230,} а не как 4 уравнения векторного исчисления . ^{[20] : 2–3} Аналогично приведенному выше бивектору поля, плотность электрического заряда и плотность тока могут быть объединены в единый вектор пространства-времени, эквивалентный четырехвектору . Таким образом, пространственно-временной ток определяется выражением ^{[21] : 26} ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J=c\rho \gamma _{0}+J^{i}\gamma _{i},}$

где компоненты являются компонентами классической трехмерной плотности тока. Комбинируя эти величины таким образом, становится особенно ясно, что классическая плотность заряда представляет собой не что иное, как ток, движущийся во времениподобном направлении, заданном выражением . ${\displaystyle J^{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$

Объединив электромагнитное поле и плотность тока вместе с градиентом пространства-времени, как определено ранее, мы можем объединить все четыре уравнения Максвелла в одно уравнение в STA. ^{[19] : 230}

Уравнение Максвелла:

${\displaystyle \nabla F=\mu _{0}cJ}$

Тот факт, что все эти величины являются ковариантными объектами в STA, автоматически гарантирует лоренц-ковариацию уравнения, которую гораздо легче показать, чем при разделении на четыре отдельных уравнения.

В этой форме также гораздо проще доказать некоторые свойства уравнений Максвелла, такие как сохранение заряда . Используя тот факт, что для любого бивекторного поля дивергенция его пространственно-временного градиента равна , можно выполнить следующую манипуляцию: ^{[22] : 231} ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left[\nabla F\right]&=\nabla \cdot \left[\mu _{0}cJ\right]\\0&=\nabla \cdot J.\end{aligned}}}$

Это уравнение имеет ясный смысл: дивергенция плотности тока равна нулю, т.е. общий заряд и плотность тока во времени сохраняются.

С помощью электромагнитного поля форму силы Лоренца на заряженную частицу также можно значительно упростить с помощью STA. ^{[23] : 156}

Сила Лоренца, действующая на заряженную частицу:

${\displaystyle {\mathcal {F}}=qF\cdot v}$

Возможная формулировка

В стандартной формулировке векторного исчисления используются две потенциальные функции: электрический скалярный потенциал и магнитный векторный потенциал . С помощью инструментов STA эти два объекта объединяются в единое векторное поле , аналогичное электромагнитному четырехпотенциалу в тензорном исчислении. В STA это определяется как ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\frac {\phi }{c}}\gamma _{0}+A^{k}\gamma _{k}}$

где – скалярный потенциал, – компоненты магнитного потенциала. Как определено, это поле имеет единицы СИ веберы на метр (В⋅с⋅м ⁻¹ ). ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A^{k}}$

Электромагнитное поле также можно выразить через это потенциальное поле, используя

${\displaystyle {\frac {1}{c}}F=\nabla \wedge A.}$

Однако это определение не уникально. Для любой дважды дифференцируемой скалярной функции потенциал, заданный формулой ${\displaystyle \Lambda ({\vec {x}})}$

${\displaystyle A'=A+\nabla \Lambda }$

тоже даст то же , что и оригинал, из-за того, что ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \nabla \wedge \left(A+\nabla \Lambda \right)=\nabla \wedge A+\nabla \wedge \nabla \Lambda =\nabla \wedge A.}$

Это явление называется калибровочной свободой . Процесс выбора подходящей функции , позволяющей упростить данную задачу, известен как калибровка . Однако в релятивистской электродинамике часто накладывают условие Лоренца , где . ^{[2] : 231} ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {A}}=0}$

Чтобы переформулировать уравнение Максвелла STA в терминах потенциала , сначала замените приведенное выше определение. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}\nabla F&=\nabla \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla \cdot \left(\nabla \wedge A\right)+\nabla \wedge \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla ^{2}A+\left(\nabla \wedge \nabla \right)A=\nabla ^{2}A+0\\&=\nabla ^{2}A\end{aligned}}}$

Подставив этот результат, приходим к потенциальной формулировке электромагнетизма в STA: ^{[2] : 232}

Возможное уравнение:

${\displaystyle \nabla ^{2}A=\mu _{0}J}$

Лагранжева формулировка

Аналогично формализму тензорного исчисления, потенциальная формулировка в STA естественным образом приводит к соответствующей плотности Лагранжа . ^{[2] : 453}

Электромагнитная плотность Лагранжа:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}F^{2}-J\cdot A}$

Можно вывести многовекторные уравнения Эйлера-Лагранжа для поля, и, поскольку они не учитывают математическую строгость принятия частной производной по отношению к чему-то, что не является скаляром, соответствующие уравнения принимают вид: ^{[24] : 440}

${\displaystyle \nabla {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\nabla A\right)}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A}}=0.}$

Чтобы начать заново выводить потенциальное уравнение из этой формы, проще всего работать в калибровке Лоренца, полагая ^{[2] : 232}

${\displaystyle \nabla \cdot A=0.}$

Этот процесс можно выполнить независимо от выбранного калибра, но это делает конечный процесс значительно более понятным. Из-за структуры геометрического произведения использование этого условия приводит к . ${\displaystyle \nabla \wedge A=\nabla A}$

После подстановки в легко получается то же уравнение движения, что и выше, для потенциального поля . ${\displaystyle F=c\nabla A}$ ${\displaystyle A}$

Уравнение Паули

STA позволяет описывать частицу Паули в терминах реальной теории вместо матричной теории. Матричная теория описывает частицу Паули так: ^[25]

${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}\Psi =H_{S}\Psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,{\hat {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \Psi ,}$

где — спинор , — мнимая единица без геометрической интерпретации, — матрицы Паули (с обозначением «шляпа», указывающим, что это матричный оператор, а не элемент геометрической алгебры), и — гамильтониан Шрёдингера. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ ${\displaystyle H_{S}}$

Подход STA преобразует матричное спинорное представление в представление STA , используя элементы четно-градуированной подалгебры пространства-времени и псевдоскаляр : ^{[2] : 37  [26] : 270, 271} ${\textstyle |\psi \rangle }$ ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \mathbf {\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}} }$ ${\displaystyle I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}}$

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{vmatrix}\operatorname {cos(\theta /2)\ e^{-i\phi /2}} \\\operatorname {sin(\theta /2)\ e^{+i\phi /2}} \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a^{0}+ia^{3}\\-a^{2}+ia^{1}\end{vmatrix}}\mapsto \psi =a^{0}+a^{1}\mathbf {I\sigma _{1}} +a^{2}\mathbf {I\sigma _{2}} +a^{3}\mathbf {I\sigma _{3}} }$

Частица Паули описывается вещественным уравнением Паули–Шрёдингера: ^[25]

${\displaystyle \partial _{t}\psi \,I\sigma _{3}\,\hbar =H_{S}\psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,\mathbf {B} \psi \sigma _{3},}$

где теперь четный мультивектор геометрической алгебры, а гамильтониан Шредингера равен . Хестенес называет это настоящей теорией Паули-Шредингера, чтобы подчеркнуть, что эта теория сводится к теории Шредингера, если опустить термин, включающий магнитное поле. ^{[25] : 30} Вектор представляет собой произвольно выбранный фиксированный вектор; фиксированное вращение может генерировать любой альтернативный выбранный фиксированный вектор . ^{[27] : 30} ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle H_{S}}$ ${\textstyle \sigma _{3}}$ ${\textstyle \sigma _{3}^{\prime }}$

Уравнение Дирака

STA позволяет описать частицу Дирака в терминах реальной теории вместо матричной теории. Матричная теория описывает частицу Дирака так: ^[28]

${\displaystyle {\hat {\gamma }}^{\mu }(i\partial _{\mu }-e\mathbf {A} _{\mu })|\psi \rangle =m|\psi \rangle ,}$

где – матрицы Дирака, – мнимая единица, не имеющая геометрической интерпретации. ${\displaystyle {\hat {\gamma }}}$ ${\textstyle i}$

Используя тот же подход, что и для уравнения Паули, подход STA преобразует верхний спинор матрицы и нижний спинор матрицы биспинора Дирака в соответствующие представления спинора геометрической алгебры и . Затем они объединяются для представления полной геометрической алгебры Дирака-биспинора . ^{[29] : 279} ${\textstyle |\psi _{U}\rangle }$ ${\textstyle |\psi _{L}\rangle }$ ${\textstyle |\psi \rangle }$ ${\textstyle \psi _{U}}$ ${\textstyle \psi _{L}}$ ${\textstyle \psi }$

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{vmatrix}|\psi _{U}\rangle \\|\psi _{L}\rangle \end{vmatrix}}\mapsto \psi =\psi _{U}+\psi _{L}\mathbf {\sigma _{3}} }$

Следуя выводам Гестена, частица Дирака описывается уравнением: ^{[28] [30] : 283}

Уравнение Дирака в STA:

${\displaystyle \nabla \psi \,I\sigma _{3}-e\mathbf {A} \psi =m\psi \gamma _{0}}$

Здесь – спинорное поле, – элементы геометрической алгебры, – электромагнитный четырехпотенциал , – производная вектора пространства-времени. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle I\sigma _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$

Спиноры Дирака

Релятивистский спинор Дирака можно выразить как: ^{[31] [32] [33] : 280} ${\textstyle \psi }$

${\displaystyle \psi =R(\rho e^{i\beta })^{\frac {1}{2}}}$

где, согласно выводу Дэвида Хестенса , — четная многовекторная функция в пространстве-времени, — унимодулярный спинор или «ротор», ^[34] и — скалярные функции. ^[31] В этой конструкции компоненты непосредственно соответствуют компонентам спинора Дирака , оба имеют 8 скалярных степеней свободы. ${\displaystyle \psi =\psi (x)}$ ${\displaystyle R=R(x)}$ ${\displaystyle \rho =\rho (x)}$ ${\displaystyle \beta =\beta (x)}$ ${\displaystyle \psi }$

Это уравнение интерпретируется как связывающее спин с мнимым псевдоскаляром. ^{[35] : 104–121.}

Ротор, , Лоренц преобразует систему векторов в другую систему векторов операцией ; ^{[36] : 15} нот, обозначающих обратное преобразование . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ ${\displaystyle e_{\mu }}$ ${\displaystyle e_{\mu }=R\gamma _{\mu }R^{\dagger }}$ ${\textstyle R^{\dagger }}$

Это было расширено, чтобы обеспечить основу для локально изменяющихся векторных и скалярных наблюдаемых и поддержку интерпретации квантовой механики Zitterbewegung , первоначально предложенной Шредингером . ^{[37] [1] : vi}

Хестенес сравнил свое выражение с выражением Фейнмана для него в формулировке интеграла по путям: ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi =e^{i\Phi _{\lambda }/\hbar },}$

где – классическое действие вдоль -пути. ^[31] ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Используя спиноры, плотность тока из поля можно выразить как ^{[38] : 8}

${\displaystyle J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$

Симметрии

Глобальная фазовая симметрия — это постоянный глобальный фазовый сдвиг волновой функции, который оставляет уравнение Дирака неизменным. ^{[39] : 41–48} Локальная фазовая симметрия — это пространственно изменяющийся фазовый сдвиг, который оставляет уравнение Дирака неизменным, если оно сопровождается калибровочным преобразованием электромагнитного четырехпотенциала , выраженным этими комбинированными заменами. ^{[40] : 269, 283}

${\displaystyle \psi \mapsto \psi e^{\alpha (x)I\sigma _{3}},\quad eA\mapsto eA-\nabla \alpha (x)}$

В этих уравнениях локальное фазовое преобразование представляет собой фазовый сдвиг в пространстве-времени с псевдовектором и четной подалгеброй пространства-времени, примененной к волновой функции ; Калибровочное преобразование представляет собой вычитание градиента фазового сдвига из электромагнитного четырехпотенциала с электрическим зарядом частицы . ^{[40] : 269, 283} ${\displaystyle \alpha (x)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle I}$ ${\textstyle \sigma _{3}}$ ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \nabla \alpha (x)}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle e}$

Исследователи применили STA и связанные с ней подходы алгебры Клиффорда к калибровочным теориям, электрослабому взаимодействию, теории Янга – Миллса и стандартной модели . ^{[41] : 1345–1347 гг.}

Дискретные симметрии - это четность , зарядовое сопряжение и обращение времени , применяемые к волновой функции . Эти эффекты таковы: ^{[42] : 283} ${\textstyle ({\hat {P}})}$ ${\textstyle ({\hat {C}})}$ ${\textstyle ({\hat {T}})}$ ${\textstyle \psi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {P}}|\psi \rangle &\mapsto \gamma _{0}\psi (\gamma _{0}x\gamma _{0})\gamma _{0}\\{\hat {C}}|\psi \rangle &\mapsto \psi \sigma _{1}\\{\hat {T}}|\psi \rangle &\mapsto I\gamma _{0}\psi (\gamma _{0}x\gamma _{0})\gamma _{1}\end{aligned}}}$

Общая теория относительности

Общая теория относительности

Исследователи применили STA и связанные с ней подходы алгебры Клиффорда к теории относительности, гравитации и космологии. ^{[41] : 1343} Гравитация калибровочной теории (GTG) использует STA для описания индуцированной кривизны в пространстве Минковского , допуская при этом калибровочную симметрию при «произвольном плавном переотображении событий в пространство-время», что приводит к этому уравнению геодезических. ^{[43] [44] [4] [12]}

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}R={\frac {1}{2}}(\Omega -\omega )R}$

и ковариантная производная

${\displaystyle D_{\tau }=\partial _{\tau }+{\frac {1}{2}}\omega ,}$

где – связь, связанная с гравитационным потенциалом, а – внешнее взаимодействие, например, электромагнитное поле. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Теория показывает некоторые перспективы для рассмотрения черных дыр, поскольку ее форма решения Шварцшильда не нарушается в сингулярностях; большинство результатов общей теории относительности были воспроизведены математически, а релятивистская формулировка классической электродинамики была распространена на квантовую механику и уравнение Дирака .

Смотрите также

• Геометрическая алгебра
• Алгебра Дирака
• Уравнения Максвелла
• Уравнение Дирака
• Общая теория относительности

Примечания

1. Пример: учитывая идемпотент , определите , затем , и . Найдите обратное , удовлетворяющее . Таким образом, . Однако удовлетворяющего нет , поэтому этот идемпотент не имеет обратного. ${\textstyle a={\tfrac {1}{2}}(1+\gamma _{0})}$ ${\textstyle b=1-a={\tfrac {1}{2}}(1-\gamma _{0})}$ ${\textstyle a^{2}=a}$ ${\textstyle b^{2}=b}$ ${\textstyle ab=0}$ ${\textstyle a^{-1}}$ ${\textstyle a^{-1}a=1}$ ${\textstyle b=1\cdot b=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=a^{-1}\cdot 0\neq 0}$ ${\textstyle a^{-1}}$ ${\textstyle a^{-1}\cdot 0\neq 0}$

Цитаты

1. Hestenes 2015.
2. Доран и Ласенби 2003.
3. Бэйлис 2012.
4. Ласенби, Доран и Галл 1995.
5. О'Доннелл 2003.
6. Ваз и да Роча 2016.
7. Warner 1990, Теоремы 21.2, 21.3.
8. Уорнер 1990.
9. Дворец 1968.
10. Гестенес и Собчик 1984.
11. Hestenes & Sobczyk 2012c.
12. Ласенби и Доран 2002.
13. Артур 2011.
14. Hestenes 2015, уравнения. (16.22),(16.23).
15. Флерчингер 2021, формула. (18).
16. Флерчингер 2021, формула. (25).
17. Флерчингер 2021, формула. (27).
18. Флерхингер 2021.
19. Доран и Ласенби 2003, формула. (7.14).
20. Джексон 1998.
21. Hestenes 2015, формула. (8.4).
22. Доран и Ласенби 2003, формула. (7.16).
23. Доран и Ласенби 2003, формула. (5.170).
24. Доран и Ласенби 2003, формула. (12.3).
25. Hestenes 2003a, уравнения. (75), (81).
26. Доран и Ласенби 2003, уравнения. (8.16),(8.20),(8.23).
27. Hestenes 2003a, уравнения. (82), (83), (84).
28. Доран и др. 1996, уравнения. (3.43), (3.44).
29. Доран и Ласенби 2003, формула. (8,69).
30. Доран и Ласенби 2003, формула. (8,89).
31. Hestenes 2012b, уравнения. (3.1), (4.1), стр. 169-182.
32. Галл, Ласенби и Доран 1993, формула. (5.13).
33. Доран и Ласенби 2003, формула. (8,80).
34. Hestenes 2003b, формула. (205).
35. Хестенес 2003а.
36. Hestenes 2003b, формула. (79).
37. Хестенес 2010.
38. Hestenes 1967, формула. (4.5).
39. Куигг 2021.
40. Doran & Lasenby 2003, уравнения. (8.8),(8.9),(8.10),(8.92),(8.93).
41. Хитцер, Лавор и Хильденбранд, 2024.
42. Доран и Ласенби 2003, формула. (8,90).
43. Доран, Ласенби и Галл 1993.
44. Ласенби, Доран и Галл 1998.

Рекомендации

• Артур, Джон В. (2011). Понимание геометрической алгебры для электромагнитной теории. Серия прессы IEEE по теории электромагнитных волн. Уайли. п. 180. ИСБН 978-0-470-94163-8.
• Бейлис, Уильям Э. (2012). «Векторная алгебра физического пространства». Теоретические методы в физических науках: введение в решение задач с использованием Мэйпла В. Биркхойзера. п. 225-266. ISBN 978-1-4612-0275-2.
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони; Галл, Стивен (1993). «Гравитация как калибровочная теория в STA». В Брэксе, Ф.; Деланж, Р.; Серрас, Х. (ред.). Алгебры Клиффорда и их приложения в математической физике. Фундаментальные теории физики. Том. 55. Спрингер Нидерланды. стр. 375–385. ISBN 978-94-011-2006-7.
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони; Галл, Стивен; Сомару, Шьямал; Чаллинор, Энтони (1996). Хоукс, Питер В. (ред.). СТА и электронная физика . Достижения в области визуализации и электронной физики. Том. 95. Академическая пресса. стр. 272–386, 292. ISBN. 0-12-014737-8.
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2003). Геометрическая алгебра для физиков. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0 521 48022 1.
• Флерхингер, Стефан (2021). «Настоящие алгебры Клиффорда и их спиноры для релятивистских фермионов». Вселенная . 7 (6): 168.
• Галл, С.; Ласенби, А.; Доран, К. (1993). «Мнимые числа нереальны — геометрическая алгебра пространства-времени» (PDF) . Основы физики . 23 : 1175–1201.
• Хестенес, Дэвид (1967), «Реальные спинорные поля» (PDF) , Журнал математической физики , 8 (4): 798–808, Бибкод : 1967JMP.....8..798H, doi : 10.1063/1.1705279
• Хестенес, Дэвид; Собчик (1984), от алгебры Клиффорда до геометрического исчисления , Springer Verlag, ISBN 978-90-277-1673-6
• Хестенес, Дэвид (2003a). «Лекция по медали Эрстеда 2002: Реформирование математического языка физики». Американский журнал физики . 71 (2): 104–121. Бибкод : 2003AmJPh..71..104H. CiteSeerX  10.1.1.649.7506 . дои : 10.1119/1.1522700.
• Хестенес, Д. (2003b). «Физика пространства-времени с геометрической алгеброй» (PDF) . Американский журнал физики . 71 (6): 691–714. Бибкод : 2003AmJPh..71..691H. дои : 10.1119/1.1571836 . Проверено 24 февраля 2012 г.
• Хестенес, Дэвид (2010). «Zitterbewegung в квантовой механике» (PDF) . Основы физики . 40 .
• Хестенес, Д. (2012b) [1990]. «О отделении вероятности от кинематики в квантовой механике». В Фужере, П.Ф. (ред.). Максимальная энтропия и байесовские методы . Спрингер. стр. 161–183. ISBN 978-94-009-0683-9.PDF
• Хестенес, Д.; Собчик, Гаррет (2012c). От алгебры Клиффорда до геометрического исчисления: единый язык математики и физики. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-009-6292-7.
• Хестенес, Дэвид (2015). Пространственно-временная алгебра. Международное издательство Спрингер. ISBN 978-3-319-18412-8.
• Хитцер, Экхард; Лавор, Карлайл; Хильденбранд, Дитмар (2024). «Текущий обзор приложений геометрической алгебры Клиффорда». Математические методы в прикладных науках . 47 (3): 1331–1361. дои : 10.1002/ммма.8316. ISSN  0170-4214.
• Джексон, Джон Дэвид (1998). Классическая электродинамика. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-30932-1.
• Ласенби, Энтони; Доран, Крис; Галл, Стивен (1995). «Астрофизические и космологические последствия калибровочной теории гравитации». В Санчесе, Норма ; Зичичи, Антонино (ред.). Достижения астрофундаментальной физики: Международная школа астрофизики «Д. Шалонж». Всемирная научная. стр. 359–401. ISBN 978-981-4548-78-6.Перепечатка
• Ласенби, А.; Доран, К.; Галл, С. (1998), «Гравитация, калибровочные теории и геометрическая алгебра», Phil. Пер. Р. Сок. Лонд. A , 356 (1737): 487–582, arXiv : gr-qc/0405033 , Bibcode : 1998RSPTA.356..487L, doi : 10.1098/rsta.1998.0178, S2CID  119389813
• Ласенби, АН; Доран, CJL (2002). «Геометрическая алгебра, волновые функции Дирака и черные дыры». В Бергманне, PG; Де Саббата, Венцо (ред.). Достижения во взаимодействии квантовой и гравитационной физики . Спрингер. стр. 256–283, см. стр. 256–283. 257. ИСБН 978-1-4020-0593-0.
• О'Доннелл, Питер Дж. (2003). Введение в 2-спиноры в общей теории относительности. Всемирная научная. ISBN 978-981-279-531-1.
• Пале, РС (1968). «Классификация алгебр с действительным делением». Американский математический ежемесячник . 75 (4): 366–368. дои : 10.2307/2313414. ISSN  0002-9890.
• Куигг, Крис (29 ноября 2021 г.). Калибровочные теории сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий. ЦРК Пресс. ISBN 978-0-429-68902-4.
• Ваз, Джейме; да Роша, Ролдан (2016). Введение в алгебры и спиноры Клиффорда. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-108578-9.
• Уорнер, Сет (1990). Современная алгебра. Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 191, 211. ISBN. 978-0-486-66341-8.

Внешние ссылки

• Изучение физики с помощью геометрической алгебры, книга I
• Изучение физики с помощью геометрической алгебры, книга II
• Многовекторный лагранжиан для уравнения Максвелла
• Мнимые числа нереальны - геометрическая алгебра пространства-времени, учебное введение в идеи геометрической алгебры, С. Галл, А. Ласенби, К. Доран.
• Конспекты курса «Физические приложения геометрической алгебры», особенно см. Часть 2.
• Группа геометрической алгебры Кембриджского университета
• Исследования и разработки в области геометрического исчисления