Уравнение Паули

Квантово-механическое уравнение движения заряженных частиц в магнитном поле

В квантовой механике уравнение Паули или уравнение Шредингера–Паули представляет собой формулировку уравнения Шредингера для частиц со спином 1/2 , которая учитывает взаимодействие спина частицы с внешним электромагнитным полем . Это нерелятивистский предел уравнения Дирака , который может использоваться там, где частицы движутся со скоростями, намного меньшими скорости света , так что релятивистскими эффектами можно пренебречь. Оно было сформулировано Вольфгангом Паули в 1927 году. ^[1] В своей линеаризованной форме оно известно как уравнение Леви-Леблона .

Уравнение

Для частицы, имеющей массу и электрический заряд , в электромагнитном поле, описываемом магнитным векторным потенциалом и электрическим скалярным потенциалом , уравнение Паули имеет вид: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \phi }$

Уравнение Паули (общее)

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

Вот операторы Паули , собранные в вектор для удобства, и — оператор импульса в позиционном представлении. Состояние системы (записанное в нотации Дирака ) можно рассматривать как двухкомпонентную спинорную волновую функцию или вектор-столбец (после выбора базиса): ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\psi _{+}|{\mathord {\uparrow }}\rangle +\psi _{-}|{\mathord {\downarrow }}\rangle \,{\stackrel {\cdot }{=}}\,{\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}}$.

Оператор Гамильтона представляет собой матрицу 2 × 2 из-за операторов Паули .

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )\right]^{2}+q\phi }$

Подстановка в уравнение Шредингера дает уравнение Паули. Этот гамильтониан похож на классический гамильтониан для заряженной частицы, взаимодействующей с электромагнитным полем. Подробности этого классического случая см. в силе Лоренца . Член кинетической энергии для свободной частицы в отсутствие электромагнитного поля равен просто где — кинетический импульс , тогда как при наличии электромагнитного поля он включает минимальную связь , где теперь — кинетический импульс и — канонический импульс . ${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } =\mathbf {p} -q\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

Операторы Паули можно удалить из члена кинетической энергии, используя векторное тождество Паули :

${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)}$

Обратите внимание, что в отличие от вектора, дифференциальный оператор имеет ненулевое перекрестное произведение с самим собой. Это можно увидеть, рассмотрев перекрестное произведение, примененное к скалярной функции : ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\times \left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\right]\psi =-q\left[\mathbf {\hat {p}} \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\mathbf {\hat {p}} \psi \right)\right]=iq\hbar \left[\nabla \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \left[\psi \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)-\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \mathbf {B} \psi }$

где находится магнитное поле. ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$

Для полного уравнения Паули получаем ^[2]

Уравнение Паули (стандартная форма)

${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

для которых известно лишь несколько аналитических результатов, например, в контексте квантования Ландау с однородными магнитными полями или для идеализированного, кулоновского, неоднородного магнитного поля. ^[3]

Слабые магнитные поля

Для случая, когда магнитное поле постоянно и однородно, можно расширить с помощью симметричной калибровки , где — оператор положения , а A — теперь оператор. Получаем ${\textstyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )^{2}}$ ${\textstyle \mathbf {\hat {A}} ={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} }$ ${\textstyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {\hat {A}} )^{2}=|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\hat {p}} )\cdot \mathbf {B} +{\frac {1}{4}}q^{2}\left(|\mathbf {B} |^{2}|\mathbf {\hat {r}} |^{2}-|\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {r}} |^{2}\right)\approx \mathbf {\hat {p}} ^{2}-q\mathbf {\hat {L}} \cdot \mathbf {B} \,,}$

где — оператор момента импульса частицы , и мы пренебрегли членами в квадрате магнитного поля . Поэтому получаем ${\textstyle \mathbf {\hat {L}} }$ ${\textstyle B^{2}}$

Уравнение Паули (слабые магнитные поля)

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}\left[|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {L}} +2\mathbf {\hat {S}} )\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

где - спин частицы. Множитель 2 перед спином известен как g -фактор Дирака . Член в имеет форму, которая является обычным взаимодействием между магнитным моментом и магнитным полем, как в эффекте Зеемана . ${\textstyle \mathbf {S} =\hbar {\boldsymbol {\sigma }}/2}$ ${\textstyle \mathbf {B} }$ ${\textstyle -{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$ ${\textstyle {\boldsymbol {\mu }}}$

Для электрона с зарядом в изотропном постоянном магнитном поле можно еще больше сократить уравнение, используя полный угловой момент и теорему Вигнера-Эккарта . Таким образом, мы находим ${\textstyle -e}$ ${\textstyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$

${\displaystyle \left[{\frac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}}+\mu _{\rm {B}}g_{J}m_{j}|\mathbf {B} |-e\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

где — магнетон Бора , а — магнитное квантовое число, связанное с . Этот термин известен как g-фактор Ланде и здесь определяется как ${\textstyle \mu _{\rm {B}}={\frac {e\hbar }{2m}}}$ ${\textstyle m_{j}}$ ${\textstyle \mathbf {J} }$ ${\textstyle g_{J}}$

${\displaystyle g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {{\frac {3}{4}}-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}},}$^[а]

где — орбитальное квантовое число, относящееся к , а — полное орбитальное квантовое число, относящееся к . ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J^{2}}$

Из уравнения Дирака

Уравнение Паули можно вывести из нерелятивистского предела уравнения Дирака , которое является релятивистским квантовым уравнением движения для частиц со спином 1/2. ^[4]

Вывод

Уравнение Дирака можно записать как: $${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{2}\\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{1}\end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}+mc^{2}\,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\-\psi _{2}\end{pmatrix}},}$$

где и — двухкомпонентный спинор , образующий биспинор . ${\textstyle \partial _{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}}$

Используя следующий анзац: с двумя новыми спинорами уравнение становится $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=e^{-i{\tfrac {mc^{2}t}{\hbar }}}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle \psi ,\chi }$ $${\displaystyle i\hbar \partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\chi \\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi \end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-2\,mc^{2}\,\chi \end{pmatrix}}.}$$

В нерелятивистском пределе кинетическая и электростатическая энергии малы по сравнению с энергией покоя , что приводит к уравнению Леви-Леблона . ^[5] Таким образом ${\displaystyle \partial _{t}\chi }$ ${\displaystyle mc^{2}}$ $${\displaystyle \chi \approx {\frac {{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi }{2\,mc}}\,.}$$

Подставляя верхний компонент уравнения Дирака, находим уравнение Паули (общая форма): $${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}\,\psi =\left[{\frac {({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right]\psi .}$$

Из преобразования Фолди–Ваутхойзена

Строгий вывод уравнения Паули следует из уравнения Дирака во внешнем поле и выполнения преобразования Фолди–Ваутхайзена ^[4] с учетом членов до порядка . Аналогично, поправки более высокого порядка к уравнению Паули могут быть определены, приводя к спин-орбитальным и дарвиновским членам взаимодействия, при расширении до порядка вместо этого. ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/mc)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/(mc)^{2})}$

Муфта Паули

Уравнение Паули выводится путем требования минимальной связи , которая обеспечивает g -фактор g = 2. Большинство элементарных частиц имеют аномальные g -факторы, отличные от 2. В области релятивистской квантовой теории поля определяется неминимальная связь, иногда называемая связью Паули, для того чтобы добавить аномальный фактор

${\displaystyle \gamma ^{\mu }p_{\mu }\to \gamma ^{\mu }p_{\mu }-q\gamma ^{\mu }A_{\mu }+a\sigma _{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$

где — оператор 4-импульса , — электромагнитный 4-потенциал , пропорционален аномальному магнитному дипольному моменту , — электромагнитный тензор , а — лоренцевы спиновые матрицы и коммутатор гамма -матриц . ^{[7] [8]} В контексте нерелятивистской квантовой механики вместо работы с уравнением Шредингера связь Паули эквивалентна использованию уравнения Паули (или постулированию энергии Зеемана ) для произвольного g -фактора. ${\displaystyle p_{\mu }}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$ ${\textstyle \sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$

Смотрите также

• Полуклассическая физика
• Атомная, молекулярная и оптическая физика
• Групповое сокращение
• Разложение Гордона

Сноски

1. Формула, используемая здесь, относится к частице со спином 1/2, с g -фактором и орбитальным g -фактором . В более общем виде она имеет вид: где — спиновое квантовое число, связанное с . ${\textstyle g_{S}=2}$ ${\textstyle g_{L}=1}$ ${\displaystyle g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {m_{s}(m_{s}+1)-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}}.}$ ${\displaystyle m_{s}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}}$

Ссылки

1. Паули, Вольфганг (1927). «Квантовая механика магнитных электронов». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 43 (9–10): 601–623. Бибкод : 1927ZPhy...43..601P. дои : 10.1007/BF01397326. ISSN  0044-3328. S2CID  128228729.
2. Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Физика атомов и молекул (1-е изд.). Prentice Hall. стр. 638. ISBN 0-582-44401-2.
3. Сидлер, Доминик; Рокай, Васил; Руггенталер, Майкл; Рубио, Энджел (2022-10-26). «Класс искаженных уровней Ландау и фаз Холла в двумерном электронном газе, подверженном неоднородному магнитному полю». Physical Review Research . 4 (4): 043059. Bibcode : 2022PhRvR...4d3059S. doi : 10.1103/PhysRevResearch.4.043059. hdl : 10810/58724 . ISSN  2643-1564. S2CID  253175195.
4. Greiner, Walter (2012-12-06). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения. Springer. ISBN 978-3-642-88082-7.
5. Грейнер, Уолтер (2000-10-04). Квантовая механика: Введение. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67458-0.
6. Фрёлих, Юрг; Штудер, Урбан М. (1993-07-01). «Калибровочная инвариантность и токовая алгебра в нерелятивистской теории многих тел». Reviews of Modern Physics . 65 (3): 733–802. Bibcode : 1993RvMP...65..733F. doi : 10.1103/RevModPhys.65.733. ISSN  0034-6861.
7. Дас, Ашок (2008). Лекции по квантовой теории поля. World Scientific. ISBN 978-981-283-287-0.
8. Barut, AO; McEwan, J. (январь 1986). "Четыре состояния безмассового нейтрино с паули-связью с помощью спин-калибровочной инвариантности". Письма в математическую физику . 11 (1): 67–72. Bibcode :1986LMaPh..11...67B. doi :10.1007/BF00417466. ISSN  0377-9017. S2CID  120901078.

Книги

• Швабль, Франц (2004). Квантенмеханик И. Спрингер. ISBN 978-3540431060.
• Швабль, Франц (2005). Квантенмеханика для Fortgeschrittene . Спрингер. ISBN 978-3540259046.
• Клод Коэн-Таннуджи; Бернар Диу; Фрэнк Лало (2006). Квантовая механика 2 . Уайли, Дж. ISBN 978-0471569527.