Геометрическая алгебра

Алгебраическая структура, разработанная для геометрии

В математике геометрическая алгебра (также известная как алгебра Клиффорда ) — это алгебра , которая может представлять и манипулировать геометрическими объектами, такими как векторы . Геометрическая алгебра построена из двух фундаментальных операций: сложения и геометрического произведения. Умножение векторов приводит к более многомерным объектам, называемым мультивекторами . По сравнению с другими формализмами для манипулирования геометрическими объектами, геометрическая алгебра примечательна тем, что поддерживает деление векторов (хотя, как правило, не всеми элементами) и сложение объектов разных размерностей.

Геометрическое произведение было впервые кратко упомянуто Германом Грассманом ^[1] , который был в основном заинтересован в разработке тесно связанной внешней алгебры . В 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд значительно расширил работу Грассмана, чтобы сформировать то, что теперь обычно называют алгебрами Клиффорда в его честь (хотя сам Клиффорд предпочел называть их «геометрическими алгебрами»). Клиффорд определил алгебру Клиффорда и ее произведение как объединение алгебры Грассмана и кватернионной алгебры Гамильтона . Добавление двойственного внешнего произведения Грассмана («встреча») позволяет использовать алгебру Грассмана–Кэли , а конформная версия последней вместе с конформной алгеброй Клиффорда дает конформную геометрическую алгебру (CGA), предоставляющую основу для классических геометрий . ^[2] На практике эти и несколько производных операций позволяют установить соответствие элементов, подпространств и операций алгебры с геометрическими интерпретациями. В течение нескольких десятилетий геометрические алгебры оставались в некотором игнорировании, значительно затменные векторным исчислением, которое тогда было недавно разработано для описания электромагнетизма. Термин «геометрическая алгебра» был повторно популяризирован в 1960-х годах Дэвидом Хестенсом , который отстаивал его важность для релятивистской физики. ^[3]

Скаляры и векторы имеют свою обычную интерпретацию и составляют различные подпространства геометрической алгебры. Бивекторы обеспечивают более естественное представление псевдовекторных величин трехмерного векторного исчисления, которые выводятся как векторное произведение , например, ориентированная площадь, ориентированный угол поворота, крутящий момент, угловой момент и магнитное поле . Тривектор может представлять ориентированный объем и т. д. Элемент, называемый лезвием, может использоваться для представления подпространства и ортогональных проекций на это подпространство. Вращения и отражения представляются как элементы. В отличие от векторной алгебры, геометрическая алгебра естественным образом вмещает любое количество измерений и любую квадратичную форму, например, в теории относительности .

Примерами геометрических алгебр, применяемых в физике, являются алгебра пространства-времени (и менее распространенная алгебра физического пространства ) и конформная геометрическая алгебра . Геометрическое исчисление , расширение ГА, которое включает дифференциацию и интегрирование , может использоваться для формулирования других теорий, таких как комплексный анализ и дифференциальная геометрия , например, путем использования алгебры Клиффорда вместо дифференциальных форм . Геометрическая алгебра была выдвинута, в частности, Дэвидом Хестенсом ^[4] и Крисом Дораном ^[5] , в качестве предпочтительной математической основы для физики . Сторонники утверждают, что она обеспечивает компактные и интуитивно понятные описания во многих областях, включая классическую и квантовую механику , электромагнитную теорию и теорию относительности . ^[6] ГА также нашла применение в качестве вычислительного инструмента в компьютерной графике ^[7] и робототехнике .

Определение и обозначения

Существует несколько различных способов определения геометрической алгебры. Первоначальный подход Хестенса был аксиоматическим, ^[8] «полным геометрического значения» и эквивалентным универсальной ^[a] алгебре Клиффорда. ^[9] Если задано конечномерное векторное пространство ⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$ над полем ⁠ ⁠ ${\displaystyle F}$ с симметричной билинейной формой ( скалярное произведение , ^[b] например, евклидова или лоренцева метрика ) ⁠ ⁠ ${\displaystyle g:V\times V\to F}$ , геометрическая алгебра квадратичного пространства ⁠ ⁠ ${\displaystyle (V,g)}$ является алгеброй Клиффорда ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$ , элемент которой называется поливектором. Алгебра Клиффорда обычно определяется как фактор-алгебра тензорной алгебры , хотя это определение является абстрактным, поэтому следующее определение представлено без требования абстрактной алгебры .

Определение

Унитальная ассоциативная алгебра ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$ с невырожденной симметричной билинейной формой ⁠ ⁠ является ${\displaystyle g:V\times V\to F}$ алгеброй Клиффорда квадратичного пространства ⁠ ⁠, ${\displaystyle (V,g)}$ если ^[10]

• он содержит ⁠ ⁠ ${\displaystyle F}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$ как отдельные подпространства
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle a^{2}=g(a,a)1}$ для ⁠ ⁠ ${\displaystyle a\in V}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$ генерирует ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$ как алгебру
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$ не порождается никаким собственным подпространством ⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$ .

Чтобы охватить вырожденные симметричные билинейные формы, последнее условие должно быть изменено. ^[c] Можно показать, что эти условия однозначно характеризуют геометрическое произведение.

В оставшейся части статьи будет рассматриваться только действительный случай, ⁠ ⁠ ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$ . Обозначение ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$ (соответственно ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q,r)}$ ) будет использоваться для обозначения геометрической алгебры, для которой билинейная форма ⁠ ⁠ ${\displaystyle g}$ имеет сигнатуру ⁠ ⁠ ${\displaystyle (p,q)}$ (соответственно ⁠ ⁠ ${\displaystyle (p,q,r)}$ ).

Произведение в алгебре называется геометрическим произведением , а произведение во внешней содержащейся алгебре называется внешним произведением (часто называемым произведением клина или внешним произведением ^[d] ). Стандартно обозначать их соответственно сопоставлением (т. е. подавлением любого явного символа умножения) и символом ⁠ ⁠ ${\displaystyle \wedge }$ .

Приведенное выше определение геометрической алгебры все еще несколько абстрактно, поэтому мы суммируем здесь свойства геометрического произведения. Для мультивекторов ⁠ ⁠ ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {G}}(p,q)}$ :

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle AB\in {\mathcal {G}}(p,q)}$ ( закрытие )
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1A=A1=A}$ , где ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ — элемент идентичности (существование элемента идентичности )
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A(BC)=(AB)C}$ ( ассоциативность )
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A(B+C)=AB+AC}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle (B+C)A=BA+CA}$ ( распределительность )
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle a^{2}=g(a,a)1}$ для ⁠ ⁠ ${\displaystyle a\in V}$ .

Внешний продукт имеет те же свойства, за исключением того, что последнее свойство выше заменено на ⁠ ⁠ ${\displaystyle a\wedge a=0}$ на ⁠ ⁠ ${\displaystyle a\in V}$ .

Обратите внимание, что в последнем свойстве выше действительное число ⁠ ⁠ ${\displaystyle g(a,a)}$ не обязательно должно быть неотрицательным, если ⁠ ⁠ ${\displaystyle g}$ не является положительно-определенным. Важным свойством геометрического произведения является существование элементов, которые имеют мультипликативную обратную. Для вектора ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , если то существует и равен ⁠ ⁠ . Ненулевой элемент алгебры не обязательно имеет мультипликативную обратную. Например, если — вектор в , такой что ⁠ ⁠ , элемент является как нетривиальным идемпотентным элементом , так и ненулевым делителем нуля , и, таким образом, не имеет обратной. ^[e] ${\displaystyle a^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle g(a,a)^{-1}a}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u^{2}=1}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(1+u)}$

Обычно идентифицируют и с их образами под естественными вложениями и ⁠ ⁠ . В этой статье предполагается эта идентификация. Везде термины скаляр и вектор относятся к элементам и соответственно (и их образов под этим вложением). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to {\mathcal {G}}(p,q)}$ ${\displaystyle V\to {\mathcal {G}}(p,q)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$

Геометрическое произведение

Даны два вектора и ⁠ ⁠ , если геометрическое произведение ^[13] антикоммутативно ; они перпендикулярны (вверху), так как ⁠ ⁠ , если оно коммутативно; они параллельны (внизу), так как ⁠ ⁠ . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a\cdot b=0}$ ${\displaystyle a\wedge b=0}$

Геометрическая интерпретация элементов степени в реальной внешней алгебре для (точка со знаком), (направленный отрезок или вектор), (ориентированный элемент плоскости), (ориентированный объем). Внешнее произведение векторов можно визуализировать как любую ⁠ ⁠ -мерную форму (например , ⁠ ⁠ - параллелоэдр , ⁠ ⁠ - эллипсоид ); с величиной ( гиперобъем ) и ориентацией, определяемой тем, что находится на его ⁠ ⁠ -мерной границе и с какой стороны находится внутренняя часть. ^{[14] [15]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$

Для векторов ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ мы можем записать геометрическое произведение любых двух векторов ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ как сумму симметричного произведения и антисимметричного произведения:

${\displaystyle ab={\frac {1}{2}}(ab+ba)+{\frac {1}{2}}(ab-ba).}$

Таким образом, мы можем определить внутреннее произведение векторов как

${\displaystyle a\cdot b:=g(a,b),}$

так что симметричное произведение можно записать как

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(ab+ba)={\frac {1}{2}}\left((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}\right)=a\cdot b.}$

Наоборот, ⁠ ⁠ ${\displaystyle g}$ полностью определяется алгеброй. Антисимметричная часть — это внешнее произведение двух векторов, произведение содержащейся внешней алгебры :

${\displaystyle a\wedge b:={\frac {1}{2}}(ab-ba)=-(b\wedge a).}$

Затем простым сложением:

${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$необобщенная или векторная форма геометрического произведения.

Внутренние и внешние произведения связаны с известными понятиями из стандартной векторной алгебры. Геометрически и параллельны , если их геометрическое произведение равно их внутреннему произведению, тогда как и перпендикулярны , если их геометрическое произведение равно их внешнему произведению. В геометрической алгебре, для которой квадрат любого ненулевого вектора положителен, внутреннее произведение двух векторов можно отождествить со скалярным произведением стандартной векторной алгебры. Внешнее произведение двух векторов можно отождествить со знаковой областью, заключенной в параллелограмм, сторонами которого являются векторы. Перекрестное произведение двух векторов в размерностях с положительно определенной квадратичной формой тесно связано с их внешним произведением. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 3}$

Большинство случаев геометрических алгебр, представляющих интерес, имеют невырожденную квадратичную форму. Если квадратичная форма полностью вырождена , внутреннее произведение любых двух векторов всегда равно нулю, и геометрическая алгебра тогда является просто внешней алгеброй. Если не указано иное, в этой статье будут рассматриваться только невырожденные геометрические алгебры.

Внешнее произведение естественным образом расширяется как ассоциативный билинейный бинарный оператор между любыми двумя элементами алгебры, удовлетворяющий тождествам

${\displaystyle {\begin{aligned}1\wedge a_{i}&=a_{i}\wedge 1=a_{i}\\a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}&={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{\sigma (1)}a_{\sigma (2)}\cdots a_{\sigma (r)},\end{aligned}}}$

где сумма берется по всем перестановкам индексов, со знаком перестановки , и являются векторами (не общими элементами алгебры). Поскольку каждый элемент алгебры может быть выражен как сумма произведений этой формы, это определяет внешнее произведение для каждой пары элементов алгебры. Из определения следует, что внешнее произведение образует знакопеременную алгебру . ${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Эквивалентное структурное уравнение для алгебры Клиффорда имеет вид ^{[16] [17]}

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}=\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}\sum _{\mu \in {}{\mathcal {C}}}(-1)^{k}\operatorname {Pf} (a_{\mu _{1}}\cdot a_{\mu _{2}},\dots ,a_{\mu _{2i-1}}\cdot a_{\mu _{2i}})a_{\mu _{2i+1}}\land \dots \land a_{\mu _{n}}}$

где — пфаффиан ⁠ ⁠ и обеспечивает комбинации ⁠ ⁠ индексов , разделенных на ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ части , а ⁠ ⁠ — четность комбинации .​ ${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\textstyle {\mathcal {C}}={\binom {n}{2i}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2i}$ ${\displaystyle n-2i}$ ${\displaystyle k}$

Пфаффиан обеспечивает метрику для внешней алгебры и, как указал Клод Шевалле, алгебра Клиффорда сводится к внешней алгебре с нулевой квадратичной формой. ^[18] Роль, которую играет пфаффиан, можно понять с геометрической точки зрения, развив алгебру Клиффорда из симплексов . ^[19] Этот вывод обеспечивает лучшую связь между треугольником Паскаля и симплексами , поскольку он обеспечивает интерпретацию первого столбца единиц.

Лезвия, сорта и основа

Мультивектор, который является внешним произведением линейно независимых векторов, называется лезвием и, как говорят, имеет степень ⁠ ⁠ . ^[f] Мультивектор, который является суммой лезвий степени , называется (однородным) мультивектором степени ⁠ ⁠ . Из аксиом, с замыканием, каждый мультвектор геометрической алгебры является суммой лезвий. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

Рассмотрим набор линейно независимых векторов, охватывающих ⁠ ⁠ -мерное подпространство векторного пространства. С их помощью мы можем определить действительную симметричную матрицу (так же, как матрицу Грама ) ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{r}\}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{ij}=a_{i}\cdot a_{j}}$

По спектральной теореме можно диагонализировать до диагональной матрицы с помощью ортогональной матрицы с помощью ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {O} }$

${\displaystyle \sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {A} ]_{kl}[\mathbf {O} ^{\mathrm {T} }]_{lj}=\sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {O} ]_{jl}[\mathbf {A} ]_{kl}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$

Определим новый набор векторов , известных ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$ как ортогональные базисные векторы, которые будут преобразованы ортогональной матрицей:

${\displaystyle e_{i}=\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{ij}a_{j}}$

Поскольку ортогональные преобразования сохраняют внутренние произведения, то отсюда следует, что и, таким образом, перпендикулярны. Другими словами, геометрическое произведение двух различных векторов полностью определяется их внешним произведением, или, более общо, ${\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$ ${\displaystyle e_{i}\neq e_{j}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}e_{1}e_{2}\cdots e_{r}&=e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{r}\\&=\left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{1j}a_{j}\right)\wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{2j}a_{j}\right)\wedge \cdots \wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{rj}a_{j}\right)\\&=(\det \mathbf {O} )a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}\end{array}}}$

Следовательно, каждое лезвие класса может быть записано как внешнее произведение векторов. В более общем случае, если допускается вырожденная геометрическая алгебра, то ортогональная матрица заменяется блочной матрицей , которая ортогональна в невырожденном блоке, а диагональная матрица имеет нулевые элементы вдоль вырожденных измерений. Если новые векторы невырожденного подпространства нормализуются согласно ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\widehat {e_{i}}}={\frac {1}{\sqrt {|e_{i}\cdot e_{i}|}}}e_{i},}$

тогда эти нормализованные векторы должны быть квадратированы до или ⁠ ⁠ . По закону инерции Сильвестра общее число ⁠ ⁠ и общее число ⁠ ⁠ s вдоль диагональной матрицы является инвариантным. По расширению общее число этих векторов, которые квадратируются до , и общее число, которое квадратируется до , является инвариантным. (Общее число базисных векторов, которые квадратируются до нуля, также инвариантно и может быть ненулевым, если разрешен вырожденный случай.) Мы обозначаем эту алгебру ⁠ ⁠ . Например, модели трехмерного евклидова пространства , релятивистского пространства-времени и конформной геометрической алгебры трехмерного пространства. ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

Множество всех возможных произведений ортогональных базисных векторов с индексами в порядке возрастания, включая пустое произведение, образует базис всей геометрической алгебры (аналог теоремы PBW ). Например, следующее является базисом геометрической алгебры ⁠ ⁠ : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

${\displaystyle \{1,e_{1},e_{2},e_{3},e_{1}e_{2},e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}e_{3}\}}$

Базис, сформированный таким образом, называется стандартным базисом для геометрической алгебры, и любой другой ортогональный базис для даст другой стандартный базис. Каждый стандартный базис состоит из элементов. Каждый мульвивектор геометрической алгебры может быть выражен как линейная комбинация элементов стандартного базиса. Если элементы стандартного базиса являются набором индексов, то геометрическое произведение любых двух мульвивекторов равно ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle \{B_{i}\mid i\in S\}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \left(\sum _{i}\alpha _{i}B_{i}\right)\left(\sum _{j}\beta _{j}B_{j}\right)=\sum _{i,j}\alpha _{i}\beta _{j}B_{i}B_{j}.}$

Терминология « -вектор» часто встречается для описания мультивекторов, содержащих элементы только одного сорта. В пространстве более высокой размерности некоторые такие мультивекторы не являются лезвиями (не могут быть разложены на внешние произведения векторов). Например, в не может быть разложено на множители; однако, как правило, такие элементы алгебры не поддаются геометрической интерпретации как объекты, хотя они могут представлять геометрические величины, такие как вращения. Только ⁠ ⁠ -, ⁠ ⁠ -, ⁠ ⁠ - и ⁠ ⁠ -векторы всегда являются лезвиями в ⁠ ⁠ -пространстве. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,0)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Версор

⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$ - Версор — это мультивектор, который можно выразить как геометрическое произведение обратимых векторов. ^{[g] [21]} Единичные кватернионы (первоначально названные Гамильтоном версорами) можно отождествить с роторами в трехмерном пространстве во многом таким же образом, как реальные двумерные роторы включают в себя комплексные числа; подробности см. у Дорста. ^[22] ${\displaystyle k}$

Некоторые авторы используют термин «версорное произведение» для обозначения часто встречающегося случая, когда операнд «зажат» между операторами. Описания вращений и отражений, включая их внешние морфизмы, являются примерами такого зажатия. Эти внешние морфизмы имеют особенно простую алгебраическую форму. ^[h] В частности, отображение векторов вида

${\displaystyle V\to V:a\mapsto RaR^{-1}}$распространяется на внешний морфизм ${\displaystyle {\mathcal {G}}(V)\to {\mathcal {G}}(V):A\mapsto RAR^{-1}.}$

Поскольку и операторы, и операнды являются версорами, существует потенциал для альтернативных примеров, таких как вращение ротора или отражение спинора, всегда при условии, что таким операциям можно придать некоторое геометрическое или физическое значение.

По теореме Картана–Дьедонне мы имеем, что каждая изометрия может быть задана как отражения в гиперплоскостях, и поскольку составные отражения обеспечивают вращения, то мы имеем, что ортогональные преобразования являются версорами.

В групповых терминах, для действительного, невырожденного ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$ , определив группу как группу всех обратимых элементов ⁠ ⁠ , Лундхольм дает доказательство того, что «группа версоров» (множество обратимых версоров) равна группе Липшица ( также известной как группа Клиффорда, хотя Лундхольм выступает против такого использования). ^[23] ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\times }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \{v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\in {\mathcal {G}}\mid v_{i}\in V^{\times }\}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Подгруппы группы Липшица

Обозначим инволюцию градации как ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\widehat {S}}}$ и реверсию как ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\widetilde {S}}}$ .

Хотя группа Липшица (определяемая как ⁠ ⁠ ${\displaystyle \{S\in {\mathcal {G}}^{\times }\mid {\widehat {S}}VS^{-1}\subseteq V\}}$ ) и группа версора (определяемая как ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \{\prod _{i=0}^{k}v_{i}\mid v_{i}\in V^{\times },k\in \mathbb {N} \}}$ ) имеют разные определения, они являются одной и той же группой. Лундхольм определяет ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {Pin} }$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {Spin} }$ , и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}}$ подгруппы группы Липшица. ^[24]

Множественный анализ спиноров использует ГА в качестве представления. ^[25]

Проекция уровня

Градуированная структура векторного пространства может быть установлена ​​на геометрической алгебре с помощью внешнего произведения, которое естественным образом индуцируется геометрическим произведением ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ .

Поскольку геометрическое произведение и внешнее произведение равны на ортогональных векторах, эту градуировку удобно построить, используя ортогональный базис ⁠ ⁠ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ .

Элементы геометрической алгебры, являющиеся скалярными кратными , имеют степень и называются скалярами . Элементы, находящиеся в диапазоне , имеют степень ⁠ ⁠ и являются обычными векторами. Элементы в диапазоне , имеют степень и являются бивекторами. Эта терминология продолжается до последней степени ⁠ ⁠ -векторов. В качестве альтернативы ⁠ ⁠ -векторы называются псевдоскалярами , ⁠ ⁠ -векторы называются псевдовекторами и т. д. Многие элементы алгебры не оцениваются по этой схеме, поскольку они являются суммами элементов различной степени. Такие элементы называются элементами смешанной степени . Градуировка мультивекторов не зависит от базиса, выбранного изначально. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \{e_{i}e_{j}\mid 1\leq i<j\leq n\}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$

Это градуировка как векторного пространства, но не как алгебры. Поскольку произведение ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ -лезвия и ⁠ ⁠ ${\displaystyle s}$ -лезвия содержится в промежутке через ⁠ ⁠ -лезвия, геометрическая алгебра является фильтрованной алгеброй . ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r+s}$

Мультивектор может быть разложен с помощью оператора проекции уровня ⁠ ⁠ , который выводит часть уровня ⁠ ⁠ . В результате: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A\rangle _{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{r=0}^{n}\langle A\rangle _{r}}$

В качестве примера рассмотрим геометрическое произведение двух векторов , поскольку и и ⁠ ⁠ , для всех, кроме и ⁠ ⁠ . ${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b=\langle ab\rangle _{0}+\langle ab\rangle _{2}}$ ${\displaystyle \langle ab\rangle _{0}=a\cdot b}$ ${\displaystyle \langle ab\rangle _{2}=a\wedge b}$ ${\displaystyle \langle ab\rangle _{i}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2}$

Мультивектор также можно разложить на четные и нечетные компоненты, которые могут быть соответственно выражены как сумма четных и сумма нечетных компонентов градации, указанных выше: ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{[0]}=\langle A\rangle _{0}+\langle A\rangle _{2}+\langle A\rangle _{4}+\cdots }$

${\displaystyle A^{[1]}=\langle A\rangle _{1}+\langle A\rangle _{3}+\langle A\rangle _{5}+\cdots }$

Это результат забывания структуры из ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {Z} }$ - градуированного векторного пространства в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ - градуированное векторное пространство . Геометрическое произведение уважает эту более грубую градуировку. Таким образом, в дополнение к тому, что является ⁠ ⁠ - ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ градуированным векторным пространством , геометрическая алгебра является ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ - градуированной алгеброй , также известной как супералгебра .

Ограничиваясь четной частью, произведение двух четных элементов также четно. Это означает, что четные мультивекторы определяют четную подалгебру . Четная подалгебра ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -мерной геометрической алгебры алгебраически изоморфна (без сохранения фильтрации или градуировки) полной геометрической алгебре размерностей . Примерами являются и ⁠ ⁠ . ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{[0]}(2,0)\cong {\mathcal {G}}(0,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{[0]}(1,3)\cong {\mathcal {G}}(3,0)}$

Представление подпространств

Геометрическая алгебра представляет подпространства как лезвия, и поэтому они сосуществуют в одной алгебре с векторами из ⁠ ⁠ . ⁠ ⁠ -мерное подпространство представляется путем взятия ортогонального базиса и использования геометрического произведения для формирования лезвия ⁠ ⁠ . Существует несколько лезвий, представляющих ⁠ ⁠ ; все те, которые представляют, являются скалярными кратными ⁠ ⁠ . Эти лезвия можно разделить на два набора: положительные кратные и отрицательные кратные ⁠ ⁠ . Говорят, что положительные кратные имеют ту же ориентацию , что и ⁠ ⁠ , а отрицательные кратные — противоположную ориентацию . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k}\}}$ ${\displaystyle D=b_{1}b_{2}\cdots b_{k}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Лезвия важны, поскольку геометрические операции, такие как проекции, вращения и отражения, зависят от факторизуемости через внешнее произведение, которое (ограниченный класс) ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -лезвий обеспечивает, но (обобщенный класс) градуированных ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ мультивекторов не обеспечивает, когда ⁠ ⁠ ${\displaystyle n\geq 4}$ .

Единичные псевдоскаляры

Единичные псевдоскаляры — это лезвия, которые играют важную роль в GA. Единичный псевдоскаляр для невырожденного подпространства — это лезвие, которое является произведением членов ортонормированного базиса для ⁠ ⁠ . Можно показать, что если и являются оба единичными псевдоскалярами для ⁠ ⁠ , то и ⁠ ⁠ . Если не выбирать ортонормированный базис для ⁠ ⁠ , то вложение Плюккера дает вектор во внешней алгебре, но только с точностью до масштабирования. Используя изоморфизм векторного пространства между геометрической алгеброй и внешней алгеброй, это дает класс эквивалентности для всех ⁠ ⁠ . Ортонормированность избавляет от этой неоднозначности, за исключением знаков выше. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I'}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle I=\pm I'}$ ${\displaystyle I^{2}=\pm 1}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \alpha I}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$

Предположим, что сформирована геометрическая алгебра с известным положительно определенным скалярным произведением на . Если задана плоскость (двумерное подпространство)  ⁠ ⁠ , можно найти ортонормированный базис, охватывающий плоскость, и, таким образом, найти единичный псевдоскаляр, представляющий эту плоскость. Геометрическое произведение любых двух векторов в пределах и лежит в ⁠ ⁠ , то есть это сумма ⁠ ⁠ -вектора и ⁠ ⁠ -вектора. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(n,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \{b_{1},b_{2}\}}$ ${\displaystyle I=b_{1}b_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2}$

По свойствам геометрического произведения, ⁠ ⁠ ${\displaystyle I^{2}=b_{1}b_{2}b_{1}b_{2}=-b_{1}b_{2}b_{2}b_{1}=-1}$ . Сходство с мнимой единицей не случайно: подпространство является ⁠ ⁠ -алгеброй, изоморфной комплексным числам . Таким образом, копия комплексных чисел вкладывается в геометрическую алгебру для каждого двумерного подпространства , на котором квадратичная форма определена. ${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$

Иногда можно определить наличие мнимой единицы в физическом уравнении. Такие единицы возникают из одной из многих величин в действительной алгебре, которые квадратируются до ⁠ ⁠ ${\displaystyle -1}$ , и они имеют геометрическое значение из-за свойств алгебры и взаимодействия ее различных подпространств.

В ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ происходит еще один знакомый случай. При наличии стандартного базиса, состоящего из ортонормированных векторов ⁠ ⁠ , множество всех ⁠ ⁠ -векторов охватывается ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \{e_{3}e_{2},e_{1}e_{3},e_{2}e_{1}\}.}$

Обозначая их ⁠ ⁠ ${\displaystyle i}$ , и (на мгновение отклоняясь от нашего соглашения о заглавных буквах), подпространство, порожденное ⁠ ⁠ -векторами и ⁠ ⁠ -векторами, есть в точности ⁠ ⁠ . Это множество, как видно, является четной подалгеброй ⁠ ⁠ , и, кроме того , изоморфно как ⁠ ⁠ -алгебра кватернионам , другой важной алгебраической системе. ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \{\alpha _{0}+i\alpha _{1}+j\alpha _{2}+k\alpha _{3}\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Расширения внутренних и внешних изделий

Распространенной практикой является распространение внешнего произведения векторов на всю алгебру. Это можно сделать с помощью вышеупомянутого оператора проекции степени:

${\displaystyle C\wedge D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{r+s}}$     ( внешний продукт )

Это обобщение согласуется с приведенным выше определением, включающим антисимметризацию. Другое обобщение, связанное с внешним произведением, — это коммутаторное произведение:

${\displaystyle C\times D:={\tfrac {1}{2}}(CD-DC)}$     ( продукт коммутатора )

Регрессивное произведение является дуальным по отношению к внешнему произведению (соответствующему «встрече» и «соединению» в данном контексте). ^[i] Двойственная спецификация элементов допускает для лезвий ⁠ ⁠ ${\displaystyle C}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle D}$ пересечение (или встречу), где дуальность должна быть взята относительно лезвия, содержащего как ⁠ ⁠, ${\displaystyle C}$ так и ⁠ ⁠ ${\displaystyle D}$ (наименьшим таким лезвием является соединение). ^[27]

${\displaystyle C\vee D:=((CI^{-1})\wedge (DI^{-1}))I}$

с ⁠ ⁠ ${\displaystyle I}$ единичным псевдоскаляром алгебры. Регрессивное произведение, как и внешнее произведение, ассоциативно. ^[28]

Скалярное произведение векторов также может быть обобщено, но более чем одним неэквивалентным способом. Статья (Dorst 2002) дает полную обработку нескольких различных скалярных произведений, разработанных для геометрических алгебр и их взаимосвязей, и обозначения взяты оттуда. Многие авторы используют тот же символ, что и для скалярного произведения векторов для выбранного ими расширения (например, Хестенс и Первасс). Непоследовательной нотации не появилось.

Среди этих нескольких различных обобщений скалярного произведения на векторах есть следующие:

${\displaystyle C\;\rfloor \;D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{s-r}}$   ( левое сокращение )

${\displaystyle C\;\lfloor \;D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{r-s}}$   ( правильное сокращение )

${\displaystyle C*D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{0}}$   ( скалярное произведение )

${\displaystyle C\bullet D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{|s-r|}}$   (продукт "(жирная) точка") ^[j]

Дорст (2002) приводит аргумент в пользу использования сокращений вместо внутреннего продукта Хестенса; они алгебраически более регулярны и имеют более четкие геометрические интерпретации. Ряд тождеств, включающих сокращения, действительны без ограничения их входов. Например,

${\displaystyle C\;\rfloor \;D=(C\wedge (DI^{-1}))I}$

${\displaystyle C\;\lfloor \;D=I((I^{-1}C)\wedge D)}$

${\displaystyle (A\wedge B)*C=A*(B\;\rfloor \;C)}$

${\displaystyle C*(B\wedge A)=(C\;\lfloor \;B)*A}$

${\displaystyle A\;\rfloor \;(B\;\rfloor \;C)=(A\wedge B)\;\rfloor \;C}$

${\displaystyle (A\;\rfloor \;B)\;\lfloor \;C=A\;\rfloor \;(B\;\lfloor \;C).}$

Преимущества использования левого сжатия в качестве расширения скалярного произведения векторов включают в себя то, что тождество распространяется на для любого вектора и мультивектора ⁠ ⁠ , а операция проекции распространяется на для любого лезвия и любого мультивектора (с небольшой модификацией для учета null ⁠ ⁠ , приведенной ниже). ${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$ ${\displaystyle aB=a\;\rfloor \;B+a\wedge B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{b}(a)=(a\cdot b^{-1})b}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\;\rfloor \;B^{-1})\;\rfloor \;B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Двойная основа

Пусть будет базисом ⁠ ⁠ , т.е. набором линейно независимых векторов, которые охватывают ⁠ ⁠ -мерное векторное пространство ⁠ ⁠ . Базис, который является двойственным к , является набором элементов двойственного векторного пространства , который образует биортогональную систему с этим базисом, таким образом, являясь элементами, обозначенными как удовлетворяющие ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \{e^{1},\ldots ,e^{n}\}}$

${\displaystyle e^{i}\cdot e_{j}=\delta ^{i}{}_{j},}$

где находится дельта Кронекера . ${\displaystyle \delta }$

При наличии невырожденной квадратичной формы на ⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$ , становится естественным отождествляться с ⁠ ⁠ , и двойственный базис может рассматриваться как элементы ⁠ ⁠ , но в общем случае не является тем же набором, что и исходный базис. ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Далее, учитывая GA ⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$ , пусть

${\displaystyle I=e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$

быть псевдоскаляром (который не обязательно квадратен ⁠ ⁠ ${\displaystyle \pm 1}$ ), образованным из базиса ⁠ ⁠ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ . Двойственные базисные векторы могут быть построены как

${\displaystyle e^{i}=(-1)^{i-1}(e_{1}\wedge \cdots \wedge {\check {e}}_{i}\wedge \cdots \wedge e_{n})I^{-1},}$

где означает, что базисный вектор ⁠ ⁠ исключен из произведения. ${\displaystyle {\check {e}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Двойственный базис также известен как обратный базис или обратная рамка.

Основное применение двойного базиса — разделение векторов на компоненты. Для данного вектора ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ скалярные компоненты можно определить как ${\displaystyle a^{i}}$

${\displaystyle a^{i}=a\cdot e^{i}\ ,}$

в терминах которого можно разделить на векторные компоненты как ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{i}a^{i}e_{i}\ .}$

Мы также можем определить скалярные компоненты как ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle a_{i}=a\cdot e_{i}\ ,}$

в терминах которого можно разделить на векторные компоненты в терминах двойственного базиса как ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{i}a_{i}e^{i}\ .}$

Двойственный базис, определенный выше для векторного подпространства геометрической алгебры, может быть расширен для покрытия всей алгебры. ^[29] Для компактности мы будем использовать одну заглавную букву для представления упорядоченного набора векторных индексов. То есть, записывая

${\displaystyle J=(j_{1},\dots ,j_{n})\ ,}$

где ⁠ ⁠ ${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\dots <j_{n}}$ , мы можем записать базисную лопатку как

${\displaystyle e_{J}=e_{j_{1}}\wedge e_{j_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{j_{n}}\ .}$

Соответствующая ответная лопатка имеет индексы в обратном порядке:

${\displaystyle e^{J}=e^{j_{n}}\wedge \cdots \wedge e^{j_{2}}\wedge e^{j_{1}}\ .}$

Подобно случаю выше с векторами, можно показать, что

${\displaystyle e^{J}*e_{K}=\delta _{K}^{J}\ ,}$

где — скалярное произведение. ${\displaystyle *}$

С помощью мультивектора мы можем определить скалярные компоненты как ^[30] ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{ij\cdots k}=(e^{k}\wedge \cdots \wedge e^{j}\wedge e^{i})*A\ ,}$

в терминах которых можно разделить на составные лезвия как ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i<j<\cdots <k}A^{ij\cdots k}e_{i}\wedge e_{j}\wedge \cdots \wedge e_{k}\ .}$

Мы можем альтернативно определить скалярные компоненты

${\displaystyle A_{ij\cdots k}=(e_{k}\wedge \cdots \wedge e_{j}\wedge e_{i})*A\ ,}$

в терминах которых можно разделить на составные лезвия как ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i<j<\cdots <k}A_{ij\cdots k}e^{i}\wedge e^{j}\wedge \cdots \wedge e^{k}\ .}$

Линейные функции

Хотя с версором работать проще, поскольку его можно напрямую представить в алгебре как мультивектор, версоры являются подгруппой линейных функций на мультивекторах, которые все еще можно использовать при необходимости. Геометрическая алгебра ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -мерного векторного пространства охватывается базисом элементов. Если мультвектор представлен действительной столбчатой ​​матрицей коэффициентов базиса алгебры, то все линейные преобразования мультвектора можно выразить как умножение матрицы на действительную матрицу. Однако такое общее линейное преобразование допускает произвольные обмены между градациями, такие как «поворот» скаляра в вектор, который не имеет очевидной геометрической интерпретации. ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}\times 1}$ ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$

Общее линейное преобразование векторов в векторы представляет интерес. С естественным ограничением на сохранение индуцированной внешней алгебры внешний морфизм линейного преобразования является уникальным ^[k] расширением версора. Если — линейная функция, отображающая векторы в векторы, то ее внешний морфизм — это функция, подчиняющаяся правилу ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r})=f(a_{1})\wedge f(a_{2})\wedge \cdots \wedge f(a_{r})}$

для лезвия, расширенного на всю алгебру посредством линейности.

Моделирование геометрии

Хотя CGA уделяется много внимания, следует отметить, что GA — это не просто одна алгебра, а одна из семейства алгебр с одинаковой существенной структурой. ^[31]

Модель векторного пространства

Четная подалгебра изоморфна комплексным числам , как можно увидеть, записав вектор через его компоненты в ортонормированном базисе и умножив слева на базисный вектор ⁠ ⁠ , что дает ${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,0)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle e_{1}}$

${\displaystyle Z=e_{1}P=e_{1}(xe_{1}+ye_{2})=x(1)+y(e_{1}e_{2}),}$

где мы определяем, поскольку ${\displaystyle i\mapsto e_{1}e_{2}}$

${\displaystyle (e_{1}e_{2})^{2}=e_{1}e_{2}e_{1}e_{2}=-e_{1}e_{1}e_{2}e_{2}=-1.}$

Аналогично, четная подалгебра с базисом изоморфна кватернионам , как можно увидеть, отождествив ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ ${\displaystyle \{1,e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}\}}$ ${\displaystyle i\mapsto -e_{2}e_{3}}$ ${\displaystyle j\mapsto -e_{3}e_{1}}$ ${\displaystyle k\mapsto -e_{1}e_{2}}$

Каждая ассоциативная алгебра имеет матричное представление; замена трех декартовых базисных векторов матрицами Паули дает представление ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}=\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\e_{2}=\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\e_{3}=\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

Точка « вектора Паули » ( диада ):

${\displaystyle \sigma =\sigma _{1}e_{1}+\sigma _{2}e_{2}+\sigma _{3}e_{3}}$с произвольными векторами и и умножением на дает: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle (\sigma \cdot a)(\sigma \cdot b)=a\cdot b+a\wedge b}$(Эквивалентно, путем осмотра, ⁠ ⁠ ${\displaystyle a\cdot b+i\sigma \cdot (a\times b)}$ )

Модель пространства-времени

В физике основными приложениями являются геометрическая алгебра пространства- времени Минковского 3+1 , ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$ , называемая алгеброй пространства-времени (STA), ^[3] или, реже, ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ , интерпретируемая как алгебра физического пространства (APS).

В то время как в STA точки пространства-времени представлены просто векторами, в APS точки -мерного ${\displaystyle (3+1)}$ пространства-времени представлены паравекторами , трехмерным вектором (пространством) плюс одномерный скаляр (время).

В алгебре пространства-времени тензор электромагнитного поля имеет бивекторное представление ⁠ ⁠ ${\displaystyle {F}=({E}+ic{B})\gamma _{0}}$ . ^[32] Здесь — единичный псевдоскаляр (или элемент четырехмерного объема), — единичный вектор во временном направлении, а и — классические векторы электрического и магнитного полей (с нулевой временной компонентой). Используя четырехток ⁠ ⁠ , уравнения Максвелла тогда становятся ${\displaystyle i=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {J}}$

В геометрическом исчислении сопоставление векторов, таких как в , указывает на геометрическое произведение и может быть разложено на части как ⁠ ⁠ . Здесь производная ковектора в любом пространстве-времени и сводится к в плоском пространстве-времени. Где играет роль в пространстве-времени Минковского ⁠ ⁠ , которая является синонимом роли в евклидовом ⁠ ⁠ -пространстве и связана с даламбертианом соотношением ⁠ ⁠ . Действительно, если задан наблюдатель, представленный будущим указывающим времениподобным вектором, мы имеем ${\displaystyle DF}$ ${\displaystyle DF=D~\rfloor ~F+D\wedge F}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \bigtriangledown }$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \Box =\bigtriangledown ^{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \bigtriangledown ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\wedge \bigtriangledown =\nabla }$

Увеличение в этом лоренцевом метрическом пространстве имеет то же выражение, что и вращение в евклидовом пространстве, где — бивектор, порожденный временем и задействованными пространственными направлениями, тогда как в евклидовом случае это бивектор, порожденный двумя пространственными направлениями, что усиливает «аналогию» до почти тождества. ${\displaystyle e^{\beta }}$ ${\displaystyle {\beta }}$

Матрицы Дирака являются представлением ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$ , показывающим эквивалентность матричным представлениям, используемым физиками.

Однородные модели

Однородные модели обычно относятся к проективному представлению, в котором элементы одномерных подпространств векторного пространства представляют точки геометрии.

В геометрической алгебре пространства измерений роторы представляют собой набор преобразований со степенями свободы, соответствующих вращениям – например, когда и когда ⁠ ⁠ . Геометрическая алгебра часто используется для моделирования проективного пространства , т. е. как однородная модель : точка, прямая, плоскость и т. д. представлена ​​классом эквивалентности элементов алгебры, отличающихся обратимым скалярным множителем. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n(n-1)/2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle n=4}$

Роторы в пространстве размерности имеют степени свободы, такие же, как число степеней свободы при вращениях и перемещениях, объединенных для ⁠ ⁠ -мерного пространства. ${\displaystyle n+1}$ $n(n-1)/2+n$ ${\displaystyle n}$

Это имеет место в проективной геометрической алгебре (PGA), которая используется ^{[33] [34] [35]} для представления евклидовых изометрий в евклидовой геометрии (тем самым охватывая большую часть инженерных приложений геометрии). В этой модели вырожденное измерение добавляется к трем евклидовым измерениям для формирования алгебры ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0,1)}$ . При подходящей идентификации подпространств для представления точек, прямых и плоскостей версоры этой алгебры представляют все собственные евклидовы изометрии, которые всегда являются винтовыми движениями в трехмерном пространстве, вместе со всеми несобственными евклидовыми изометриями, которые включают отражения, роторные отражения, трансфекции и точечные отражения.

PGA объединяется  с оператором дополнения для получения формул соединения, встречи, расстояния и угла. ^[36] По сути, дополнение переключает базисные векторы, которые присутствуют и отсутствуют в выражении каждого члена алгебраического представления. Например, в PGA или 3-мерном пространстве дополнением линии является линия ⁠ ⁠ , поскольку и являются базисными элементами, которые не содержатся в , но содержатся в ⁠ ⁠ . В PGA 2-мерного пространства дополнением является ⁠ ⁠ , поскольку нет элемента. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0,1)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{12}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{03}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{0}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{12}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{03}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{12}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{0}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{3}}$

PGA — широко используемая система, которая объединяет геометрическую алгебру с однородными представлениями в геометрии, но существует несколько других таких систем. Конформная модель, обсуждаемая ниже, является однородной, как и «Коническая геометрическая алгебра», ^[37] и см. Plane-based geometric algebra для обсуждения однородных моделей эллиптической и гиперболической геометрии в сравнении с евклидовой геометрией, полученной из PGA.

Конформная модель

Работая в GA, евклидово пространство (вместе с конформной точкой на бесконечности) проективно встраивается в CGA посредством идентификации евклидовых точек с 1D подпространствами в 4D нулевом конусе 5D векторного подпространства CGA. Это позволяет выполнять все конформные преобразования как вращения и отражения и является ковариантным , расширяя отношения инцидентности проективной геометрии на круглые объекты, такие как окружности и сферы. ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

В частности, мы добавляем ортогональные базисные векторы и такие, что и к базису векторного пространства, которое генерирует и идентифицирует нулевые векторы ${\displaystyle e_{+}}$ ${\displaystyle e_{-}}$ ${\displaystyle e_{+}^{2}=+1}$ ${\displaystyle e_{-}^{2}=-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

${\displaystyle n_{\text{o}}={\tfrac {1}{2}}(e_{-}-e_{+})}$как точка в начале координат и

${\displaystyle n_{\infty }=e_{-}+e_{+}}$как конформная точка на бесконечности (см. Компактификация ), что дает

${\displaystyle n_{\infty }\cdot n_{\text{o}}=-1.}$

(Некоторые авторы устанавливают и ⁠ ⁠ . ^[36] ) Эта процедура имеет некоторое сходство с процедурой работы с однородными координатами в проективной геометрии и в этом случае позволяет моделировать евклидовы преобразования как ортогональные преобразования подмножества ⁠ ⁠ . ${\displaystyle e_{4}=n_{\text{o}}}$ ${\displaystyle e_{5}=n_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4,1}}$

Быстро меняющаяся и текучая область ГА, CGA, также исследуется на предмет ее применения в релятивистской физике.

Таблица моделей

Обратите внимание, что в этом списке ⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle q}$ можно менять местами и применять то же самое название; например, при относительно небольшом изменении см. соглашение о знаках . Например, и оба называются алгеброй пространства-времени. ^[38] ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,1,0)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3,0)}$

Геометрическая интерпретация в модели векторного пространства

Проекция и отторжение

В трехмерном пространстве бивектор определяет двумерное плоское подпространство (светло-голубое, простирается бесконечно в указанных направлениях). Любой вектор в трехмерном пространстве можно разложить на его проекцию на плоскость и его отклонение от этой плоскости. ${\displaystyle a\land b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c_{\Vert }}$ ${\displaystyle c_{\perp }}$

Для любого вектора и любого обратимого вектора ⁠ ⁠ , ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle a=amm^{-1}=(a\cdot m+a\wedge m)m^{-1}=a_{\|m}+a_{\perp m},}$

где проекция на (или параллельная часть) равна ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle a_{\|m}=(a\cdot m)m^{-1}}$

и отклонение от (или ортогональной части) равно ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle a_{\perp m}=a-a_{\|m}=(a\wedge m)m^{-1}.}$

Используя концепцию ⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$ -лезвия ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ как представляющего подпространство ⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$ и каждый мультивектор, в конечном счете, выражаемый в терминах векторов, это обобщается до проекции общего мультивектора на любое обратимое ⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$ -лезвие ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ как ^[l]

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\;\rfloor \;B)\;\rfloor \;B^{-1},}$

при этом отклонение определяется как

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(A)=A-{\mathcal {P}}_{B}(A).}$

Проекция и отклонение обобщаются на нулевые лезвия путем замены инверсии на псевдообратную относительно сжимающего произведения. ^[m] Результат проекции совпадает в обоих случаях для ненулевых лезвий. ^{[45] [46]} Для нулевых лезвий ⁠ ⁠ следует использовать определение проекции, данное здесь, с первым сжатием, а не со вторым, на псевдообратную, ^[n], поскольку только тогда результат обязательно находится в подпространстве, представленном ⁠ ⁠ . ^[45] Проекция обобщается через линейность на общие мультивекторы ⁠ ⁠ . ^[o] Проекция не является линейной в ⁠ ⁠ и не обобщается на объекты ⁠ ⁠, которые не являются лезвиями. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{-1}}$ ${\displaystyle B^{+}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Отражение

Простые отражения в гиперплоскости легко выражаются в алгебре через сопряжение с одним вектором. Они служат для генерации группы общих роторных отражений и вращений .

Отражение вектора относительно вектора ⁠ ⁠ . Отрицается только составляющая, параллельная вектору . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m}$

Отражение вектора вдоль вектора ⁠ ⁠ или, что эквивалентно, в гиперплоскости, ортогональной к ⁠ ⁠ , равносильно отрицанию компонента вектора, параллельного ⁠ ⁠ . Результатом отражения будет ${\displaystyle c'}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle c'={-c_{\|m}+c_{\perp m}}={-(c\cdot m)m^{-1}+(c\wedge m)m^{-1}}={(-m\cdot c-m\wedge c)m^{-1}}=-mcm^{-1}}$

Это не самая общая операция, которую можно рассматривать как отражение, когда размерность ⁠ ⁠ ${\displaystyle n\geq 4}$ . Общее отражение может быть выражено как композит любого нечетного числа одноосных отражений. Таким образом, общее отражение вектора может быть записано ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a\mapsto a'=-MaM^{-1},}$

где

${\displaystyle M=pq\cdots r}$и ${\displaystyle M^{-1}=(pq\cdots r)^{-1}=r^{-1}\cdots q^{-1}p^{-1}.}$

Если мы определим отражение вдоль ненулевого вектора произведения векторов как отражение каждого вектора в произведении вдоль того же самого вектора, то для любого произведения нечетного числа векторов получим, что, например, ${\displaystyle m}$

${\displaystyle (abc)'=a'b'c'=(-mam^{-1})(-mbm^{-1})(-mcm^{-1})=-ma(m^{-1}m)b(m^{-1}m)cm^{-1}=-mabcm^{-1}\,}$

и для произведения четного числа векторов, которые

${\displaystyle (abcd)'=a'b'c'd'=(-mam^{-1})(-mbm^{-1})(-mcm^{-1})(-mdm^{-1})=mabcdm^{-1}.}$

Используя концепцию того, что каждый мультивектор в конечном итоге выражается через векторы, отражение общего мультивектора с использованием любого версора отражения может быть записано ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle A\mapsto M\alpha (A)M^{-1},}$

где — автоморфизм отражения относительно начала координат векторного пространства ( ⁠ ⁠ ), расширенный по линейности на всю алгебру. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle v\mapsto -v}$

Вращения

Ротор, который вращает векторы в плоскости, вращает векторы на угол ⁠ ⁠ ${\displaystyle \theta }$ , то есть является вращением на угол ⁠ ⁠ . Угол между и равен ⁠ ⁠ . Аналогичные интерпретации справедливы для общего мультивектора вместо вектора ⁠ ⁠ . ^[13] ${\displaystyle x\mapsto R_{\theta }x{\widetilde {R}}_{\theta }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \theta /2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$

Если у нас есть произведение векторов , то мы обозначаем обратное как ${\displaystyle R=a_{1}a_{2}\cdots a_{r}}$

${\displaystyle {\widetilde {R}}=a_{r}\cdots a_{2}a_{1}.}$

В качестве примера предположим, что мы получаем ${\displaystyle R=ab}$

${\displaystyle R{\widetilde {R}}=abba=ab^{2}a=a^{2}b^{2}=ba^{2}b=baab={\widetilde {R}}R.}$

Масштабируем так, чтобы затем ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R{\widetilde {R}}=1}$

${\displaystyle (Rv{\widetilde {R}})^{2}=Rv^{2}{\widetilde {R}}=v^{2}R{\widetilde {R}}=v^{2}}$

так что длина остается неизменной. Мы также можем показать, что ${\displaystyle Rv{\widetilde {R}}}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle (Rv_{1}{\widetilde {R}})\cdot (Rv_{2}{\widetilde {R}})=v_{1}\cdot v_{2}}$

поэтому преобразование сохраняет и длину, и угол. Поэтому его можно определить как вращение или роторное отражение; называется ротором, если это собственное вращение (как и в случае, если его можно выразить как произведение четного числа векторов) и является примером того, что в GA известно как версор . ${\displaystyle Rv{\widetilde {R}}}$ ${\displaystyle R}$

Существует общий метод вращения вектора, включающий формирование мультивектора формы , которая производит вращение в плоскости и с ориентацией, определяемой ⁠ ⁠ - лезвием ⁠ ⁠ . ${\displaystyle R=e^{-B\theta /2}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle B}$

Роторы являются обобщением кватернионов на ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -мерные пространства.

Примеры и приложения

Гиперобъем параллелоэдра, натянутого на векторы

Для векторов ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ и ⁠ ⁠, ${\displaystyle b}$ охватывающих параллелограмм, имеем

${\displaystyle a\wedge b=((a\wedge b)b^{-1})b=a_{\perp b}b}$

в результате чего ⁠ ⁠ ${\displaystyle a\wedge b}$ является линейной функцией относительно произведения «высоты» и «основания» параллелограмма, то есть его площади.

Аналогичные интерпретации верны для любого числа векторов, охватывающих ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -мерный параллелоэдр ; внешнее произведение векторов ⁠ ⁠ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ , то есть ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \bigwedge _{i=1}^{n}a_{i}}$ , имеет величину, равную объему ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -параллелоэдра. ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -вектор не обязательно имеет форму параллелоэдра – это удобная визуализация. Он может иметь любую форму, хотя объем равен объему параллелоэдра.

Пересечение прямой и плоскости

Прямая L, определяемая точками T и P (которые мы ищем), и плоскость, определяемая бивектором B, содержащим точки P и Q.

Мы можем параметрически определить линию как ⁠ ⁠ ${\displaystyle p=t+\alpha \ v}$ , где ⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle t}$ — векторы положения для точек P и T, а ⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$ — вектор направления линии.

Затем

${\displaystyle B\wedge (p-q)=0}$и ${\displaystyle B\wedge (t+\alpha v-q)=0}$

так

${\displaystyle \alpha ={\frac {B\wedge (q-t)}{B\wedge v}}}$

и

${\displaystyle p=t+\left({\frac {B\wedge (q-t)}{B\wedge v}}\right)v.}$

Вращающиеся системы

Вращательная величина, такая как крутящий момент или угловой момент, описывается в геометрической алгебре как бивектор. Предположим, что круговая траектория в произвольной плоскости, содержащая ортонормальные векторы ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\widehat {u}}}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\widehat {\ \!v}}}$ параметризована углом.

${\displaystyle \mathbf {r} =r({\widehat {u}}\cos \theta +{\widehat {\ \!v}}\sin \theta )=r{\widehat {u}}(\cos \theta +{\widehat {u}}{\widehat {\ \!v}}\sin \theta )}$

Обозначив единичный бивектор этой плоскости как мнимое число

${\displaystyle {i}={\widehat {u}}{\widehat {\ \!v}}={\widehat {u}}\wedge {\widehat {\ \!v}}}$

${\displaystyle i^{2}=-1}$

этот вектор пути можно удобно записать в комплексной экспоненциальной форме

${\displaystyle \mathbf {r} =r{\widehat {u}}e^{i\theta }}$

а производная по углу равна

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}=r{\widehat {u}}ie^{i\theta }=\mathbf {r} i.}$

Перекрестное произведение по отношению к внешнему произведению. Красным цветом обозначены единичный нормальный вектор и «параллельный» единичный бивектор.

Например, крутящий момент обычно определяется как величина перпендикулярной составляющей силы, умноженная на расстояние, или работа на единицу угла. Таким образом, крутящий момент, скорость изменения работы ⁠ ⁠ ${\displaystyle W}$ относительно угла, из-за силы ⁠ ⁠ ${\displaystyle F}$ , равен

${\displaystyle \tau ={\frac {dW}{d\theta }}=F\cdot {\frac {dr}{d\theta }}=F\cdot (\mathbf {r} i).}$

Вращательные величины представлены в векторном исчислении в трех измерениях с помощью перекрестного произведения . Вместе с выбором ориентированной объемной формы ⁠ ⁠ ${\displaystyle I}$ они могут быть связаны с внешним произведением с его более естественной геометрической интерпретацией таких величин как бивекторы с помощью двойственного отношения

${\displaystyle a\times b=-I(a\wedge b).}$

В отличие от описания крутящего момента с помощью векторного произведения, ⁠ ⁠ ${\displaystyle \tau =\mathbf {r} \times F}$ , описание геометрической алгебры не вводит вектор в нормальном направлении; вектор, который не существует в двух и который не является уникальным в более чем трех измерениях. Единичный бивектор описывает плоскость и ориентацию вращения, а направление вращения относительно угла между векторами ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\widehat {u}}}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\widehat {\ \!v}}}$ .

Геометрическое исчисление

Геометрическое исчисление расширяет формализм, включая дифференциацию и интеграцию, включая дифференциальную геометрию и дифференциальные формы . ^[47]

По сути, векторная производная определяется так, что GA-версия теоремы Грина верна,

${\displaystyle \int _{A}dA\,\nabla f=\oint _{\partial A}dx\,f}$

и тогда можно написать

${\displaystyle \nabla f=\nabla \cdot f+\nabla \wedge f}$

как геометрическое произведение, эффективно обобщающее теорему Стокса (включая ее версию в дифференциальной форме).

В 1D, когда ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ — кривая с конечными точками ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ , тогда

${\displaystyle \int _{A}dA\,\nabla f=\oint _{\partial A}dx\,f}$

сводится к

${\displaystyle \int _{a}^{b}dx\,\nabla f=\int _{a}^{b}dx\cdot \nabla f=\int _{a}^{b}df=f(b)-f(a)}$

или основная теорема интегрального исчисления.

Также разработаны концепция векторного многообразия и геометрическая теория интегрирования (обобщающая дифференциальные формы).

История

До 20 века

Хотя связь геометрии с алгеброй восходит как минимум к « Началам » Евклида в третьем веке до нашей эры (см. Греческая геометрическая алгебра ), GA в том смысле, который используется в этой статье, не была разработана до 1844 года, когда она была использована систематическим образом для описания геометрических свойств и преобразований пространства. В том году Герман Грассман ввел идею геометрической алгебры в полной общности как определенного исчисления (аналогичного исчислению высказываний ), которое кодировало всю геометрическую информацию пространства. ^[48] Алгебраическая система Грассмана могла быть применена к ряду различных видов пространств, главными из которых были евклидово пространство , аффинное пространство и проективное пространство . Вслед за Грассманом, в 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд исследовал алгебраическую систему Грассмана вместе с кватернионами Уильяма Роуэна Гамильтона в (Clifford 1878). С его точки зрения, кватернионы описывали определенные преобразования (которые он называл роторами ), тогда как алгебра Грассмана описывала определенные свойства (или Strecken, такие как длина, площадь и объем). Его вклад состоял в определении нового продукта — геометрического продукта — на существующей алгебре Грассмана, которая реализовала кватернионы как живущие внутри этой алгебры. Впоследствии Рудольф Липшиц в 1886 году обобщил интерпретацию Клиффордом кватернионов и применил их к геометрии вращений в измерениях . Позже эти разработки привели других математиков 20-го века к формализации и исследованию свойств алгебры Клиффорда. ${\displaystyle n}$

Тем не менее, другое революционное развитие 19-го века полностью затмило геометрические алгебры: векторный анализ , разработанный независимо Джозайей Уиллардом Гиббсом и Оливером Хевисайдом . Векторный анализ был мотивирован исследованиями Джеймса Клерка Максвелла по электромагнетизму , и в частности необходимостью удобно выражать и манипулировать некоторыми дифференциальными уравнениями . Векторный анализ имел определенную интуитивную привлекательность по сравнению со строгостью новых алгебр. Физики и математики одинаково легко приняли его в качестве своего геометрического инструментария, особенно после влиятельного учебника 1901 года «Векторный анализ» Эдвина Бидвелла Уилсона , после лекций Гиббса.

Более подробно, было три подхода к геометрической алгебре: кватернионный анализ, инициированный Гамильтоном в 1843 году и геометризированный как роторы Клиффордом в 1878 году; геометрическая алгебра, инициированная Грассманом в 1844 году; и векторный анализ, разработанный из кватернионного анализа в конце 19 века Гиббсом и Хевисайдом. Наследие кватернионного анализа в векторном анализе можно увидеть в использовании ⁠ ⁠ ${\displaystyle i}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle j}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$ для указания базисных векторов ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ : он рассматривается как чисто мнимые кватернионы. С точки зрения геометрической алгебры четная подалгебра алгебры пространства-времени изоморфна ГА трехмерного евклидова пространства, а кватернионы изоморфны четной подалгебре ГА трехмерного евклидова пространства, что объединяет три подхода.

20 век и настоящее время

Прогресс в изучении алгебр Клиффорда спокойно продвигался в течение двадцатого века, хотя в значительной степени благодаря работам абстрактных алгебраистов, таких как Эли Картан , Герман Вейль и Клод Шевалле . Геометрический подход к геометрическим алгебрам пережил ряд возрождений в 20-м веке. В математике в «Геометрической алгебре » Эмиля Артина ^[49] обсуждается алгебра, связанная с каждой из ряда геометрий, включая аффинную геометрию , проективную геометрию , симплектическую геометрию и ортогональную геометрию . В физике геометрические алгебры были возрождены как «новый» способ изучения классической механики и электромагнетизма, вместе с более продвинутыми темами, такими как квантовая механика и калибровочная теория. ^[5] Дэвид Хестенс переосмыслил матрицы Паули и Дирака как векторы в обычном пространстве и пространстве-времени соответственно и был основным современным сторонником использования геометрической алгебры.

В компьютерной графике и робототехнике геометрические алгебры были возрождены для эффективного представления вращений и других преобразований. Для приложений ГА в робототехнике ( теория винтов , кинематика и динамика с использованием версоров), компьютерном зрении, управлении и нейронных вычислениях (геометрическое обучение) см. Bayro (2010).

Смотрите также

• Сравнение векторной алгебры и геометрической алгебры
• Алгебра Клиффорда
• Алгебра Грассмана–Кэли
• Алгебра пространства-времени
• Спинор
• Кватернион
• Алгебра физического пространства
• Универсальная геометрическая алгебра

Примечания

1. 'Универсальная' алгебра — это наиболее "полная" или наименее вырожденная алгебра, которая удовлетворяет всем определяющим уравнениям. В этой статье под 'алгеброй Клиффорда' мы подразумеваем универсальную алгебру Клиффорда.
2. Термин скалярное произведение , используемый в геометрической алгебре, относится к симметричной билинейной форме на ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ -векторном подпространстве и является синонимом скалярного произведения псевдоевклидова векторного пространства , а не скалярного произведения на нормированном векторном пространстве. Некоторые авторы могут распространять значение скалярного произведения на всю алгебру, но по этому поводу нет единого мнения. Даже в текстах по геометрическим алгебрам этот термин используется не повсеместно.
3. Его можно заменить условием, что ^[11] произведение любого набора линейно независимых векторов в ⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$ не должно быть в ⁠ ⁠ ${\displaystyle F}$ или что ^[12] размерность алгебры должна быть ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2^{\dim V}}$ .
4. Термин «внешнее произведение», используемый в геометрической алгебре, противоречит значению термина « внешнее произведение» в других разделах математики.
5. Учитывая ⁠ ⁠ ${\displaystyle u^{2}=1}$ , мы имеем ⁠ ⁠ , показывающее, что является идемпотентом, и ⁠ ⁠ , показывающее, что является ненулевым делителем нуля. ${\textstyle ({\tfrac {1}{2}}(1+u))^{2}}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}(1+2u+uu)}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}(1+2u+1)}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}(1+u)}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}(1+u)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1+u)(1-u)}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}(1-uu)}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}(1-1)=0}$
6. Степень является синонимом степени однородного элемента при градуировке как алгебры с внешним произведением (a ⁠ ⁠- ${\displaystyle \mathrm {Z} }$ градуировка), а не при геометрическом произведении.
7. «возрождение и некоторое обобщение термина из исчисления кватернионов Гамильтона, который вышел из употребления» Хестенс определил ⁠ ⁠- ${\displaystyle k}$ версор как мульвивектор, который может быть разложен на произведение векторов. ^[20] ${\displaystyle k}$
8. Только внешние морфизмы линейных преобразований, которые сохраняют билинейную форму, соответствуют этому описанию; внешние морфизмы в общем случае не выражаются в терминах алгебраических операций.
9. [...] операция внешнего произведения и отношение соединения имеют по сути одно и то же значение. Алгебра Грассмана–Кэли рассматривает отношение соединения как свой аналог и дает объединяющую структуру, в которой эти две операции имеют равноправие [...] Сам Грассман определил операцию соединения как двойственную к операции внешнего произведения, но более поздние математики определили оператор соединения независимо от внешнего произведения с помощью процесса, называемого перетасовкой , а операция соединения называется перетасовкой. Показано, что это антисимметричная операция, которая удовлетворяет ассоциативности, определяя алгебру как таковую. Таким образом, алгебра Грассмана–Кэли имеет одновременно две алгебраические структуры: одна основана на внешнем произведении (или соединении), другая основана на перетасовке (или встреч). Отсюда и название «двойная алгебра», и показано, что они являются двойственными друг другу. ^[26]
10. Это не следует путать с нерегулярным обобщением Хестенеса ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle C\bullet _{\text{H}}D:=\sum _{r\neq 0,s\neq 0}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{\vert s-r\vert }}$ , где отличительная нотация взята из Dorst, Fontijne & Mann (2007), стр. 590, §B.1, где говорится, что скалярные компоненты должны обрабатываться отдельно с помощью этого продукта.
11. Условие, которое обычно добавляется для обеспечения уникальности нулевой карты . ${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(1)=1}$
12. Это определение следует Dorst, Fontijne & Mann (2007) и Perwass (2009) — левое сокращение, используемое Dorst, заменяет внутренний продукт («жирная точка»), который использует Perwass, в соответствии с ограничением Perwass, что степень ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ не может превышать степень ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ .
13. Дорст, по-видимому, просто предполагает , что ⁠ ⁠ , тогда как Первасс (2009) определяет ⁠ ⁠ , где — сопряженная величина ⁠ ⁠ , эквивалентная обратному значению с точностью до знака. ${\displaystyle B^{+}}$ ${\displaystyle B\;\rfloor \;B^{+}=1}$ ${\displaystyle B^{+}=B^{\dagger }/(B\;\rfloor \;B^{\dagger })}$ ${\displaystyle B^{\dagger }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$
14. То есть, проекцию следует определять как ⁠ ⁠ , ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\;\rfloor \;B^{+})\;\rfloor \;B}$ а не как ⁠ ⁠ ${\displaystyle (A\;\rfloor \;B)\;\rfloor \;B^{+}}$ , хотя для ненулевых лопастей эти два понятия эквивалентны ⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$ .
15. Это обобщение на все ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ по-видимому не рассматривается Первассом или Дорстом.

Цитаты

1. Хестенес 1986, стр. 6
2. Ли 2008, стр. 411
3. Хестенс 1966
4. Хестенес 2003
5. Доран 1994
6. Ласенби, Ласенби и Доран 2000
7. Хильденбранд и др. 2004
8. Хестенес и Собчик 1984, с. 3–5
9. Арагон, Арагон и Родригес 1997, с. 101
10. Лоунесто 2001, стр. 190
11. Лоунесто 2001, стр. 191
12. Ваз и да Роча 2016, с. 58, теорема 3.1.
13. Хестенес 2005
14. Пенроуз 2007
15. Уилер, Мизнер и Торн 1973, стр. 83
16. Уилмот 1988а, стр. 2338
17. Уилмот 1988б, стр. 2346
18. Шевалье 1991
19. Уилмот 2023
20. Хестенес и Собчик 1984, с. 103
21. Дорст, Фонтейн и Манн 2007, с. 204
22. Дорст, Фонтейн и Манн, 2007, стр. 177–182.
23. Лундхольм и Свенссон, 2009, стр. 58 и последующие.
24. Лундхольм и Свенссон 2009, с. 58
25. Фрэнсис и Косовски 2008
26. Канатани 2015, стр. 112–113.
27. Дорст и Ласенби 2011, с. 443
28. Ваз и да Роча 2016, §2.8
29. Хестенес и Собчик 1984, с. 31
30. Доран и Ласенби 2003, стр. 102
31. Дорст и Ласенби 2011, стр. vi
32. Электромагнетизм с использованием геометрической алгебры в сравнении с компонентами , получено 19.03.2013
33. Селиг 2005
34. Хэдфилд и Ласенби 2020
35. "Проективная геометрическая алгебра", projectivegeometricalgebra.org , получено 2023-10-03
36. Lengyel 2024
37. Хрдина, Наврат и Вашик 2018
38. У 2022
39. Соколов 2013
40. Ласенби 2004
41. Дорст 2016
42. Первасс 2009
43. Брейльс и др. 2019
44. Пасха и Хитцер 2017
45. Dorst, Fontijne & Mann 2007, §3.6 стр. 85
46. Первасс 2009, §3.2.10.2 стр. 83
47. Хестенес и Собчик 1984
48. Грассман 1844
49. Артин 1988

Ссылки и дополнительная литература

Расположено в хронологическом порядке

• Грассманн, Герман (1844), Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, Лейпциг: O Виганд, ОСЛК  20521674
• Клиффорд, профессор (1878), «Применение обширной алгебры Грассмана», American Journal of Mathematics , 1 (4): 350–358, doi :10.2307/2369379, JSTOR  2369379
• Артин, Эмиль (1988) [1957], Геометрическая алгебра , Wiley Classics Library, Wiley, doi :10.1002/9781118164518, ISBN 978-0-471-60839-4, МР  1009557
• Хестенс, Дэвид (1966), Алгебра пространства-времени , Гордон и Брич, ISBN 978-0-677-01390-9, OCLC  996371
• Уилер, JA; Мизнер, C.; Торн, KS (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
• Бурбаки, Николя (1980), «Гл. 9 «Алгебра Клиффорда»", Elements de Mathématique. Алгебра , Герман, ISBN . 9782225655166
• Хестенес, Дэвид ; Собчик, Гаррет (1984), От алгебры Клиффорда к геометрическому исчислению, унифицированный язык для математики и физики , Springer Netherlands, ISBN 978-90-277-1673-6
• Хестенес, Дэвид (1986), «Унифицированный язык для математики и физики», в JSR Chisholm; AK Commons (ред.), Алгебры Клиффорда и их приложения в математической физике , NATO ASI Series (серия C), т. 183, Springer, стр. 1–23, doi :10.1007/978-94-009-4728-3_1, ISBN 978-94-009-4728-3
• Wilmot, GP (1988a), Структура алгебры Клиффорда. Журнал математической физики , т. 29, стр. 2338–2345
• Wilmot, GP (1988b), «Алгебра Клиффорда и разложение Пфаффа», Журнал математической физики , 29 : 2346–2350, doi : 10.1063/1.528118
• Шевалли, Клод (1991), Алгебраическая теория спиноров и алгебры Клиффорда, Собрание сочинений , т. 2, Springer, ISBN 3-540-57063-2
• Доран, Крис Дж. Л. (1994), Геометрическая алгебра и ее применение в математической физике (кандидатская диссертация), Кембриджский университет , doi : 10.17863/CAM.16148, hdl : 1810/251691, OCLC  53604228
• Бейлис, У. Э., ред. (2011) [1996], Клиффордова (геометрическая) алгебра с приложениями к физике, математике и технике , Биркхойзер , ISBN 9781461241058
• Арагон, Г.; Арагон, JL; Родригес, Массачусетс (1997), «Алгебры Клиффорда и геометрическая алгебра», Достижения в области прикладных алгебр Клиффорда , 7 (2): 91–102, doi : 10.1007/BF03041220, S2CID  120860757
• Хестенес, Дэвид (1999), Новые основы классической механики (2-е изд.), Springer Verlag, ISBN 978-0-7923-5302-7
• Ласенби, Джоан; Ласенби, Энтони Н.; Доран, Крис Дж. Л. (2000), «Унифицированный математический язык для физики и инженерии в 21 веке» (PDF) , Philosophical Transactions of the Royal Society A , 358 (1765): 21–39, Bibcode : 2000RSPTA.358...21L, doi : 10.1098/rsta.2000.0517, S2CID  91884543, архивировано (PDF) из оригинала 19.03.2015
• Лоунесто, Пертти (2001), Алгебры и спиноры Клиффорда (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-00551-7
• Бейлис, У. Э. (2002), Электродинамика: современный геометрический подход (2-е изд.), Birkhäuser , ISBN 978-0-8176-4025-5
• Дорст, Лео (2002), «Внутренние произведения геометрической алгебры», в Дорст, Л.; Доран, К.; Ласенби, Дж. (ред.), Приложения геометрической алгебры в компьютерной науке и технике , Birkhäuser , стр. 35–46, doi :10.1007/978-1-4612-0089-5_2, ISBN 978-1-4612-0089-5
• Доран, Крис Дж. Л .; Ласенби, Энтони Н. (2003), Геометрическая алгебра для физиков (PDF) , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-71595-9, архив (PDF) из оригинала 2009-01-06
• Хестенес, Дэвид (2003), «Лекция по случаю вручения медали Эрстеда 2002 г.: реформирование математического языка физики» (PDF) , Am. J. Phys. , 71 (2): 104–121, Bibcode : 2003AmJPh..71..104H, CiteSeerX  10.1.1.649.7506 , doi : 10.1119/1.1522700{{citation}}: CS1 maint: url-status (link)
• Хильденбранд, Дитмар; Фонтейне, Даниэль; Первасс, Кристиан; Дорст, Лео (2004), «Геометрическая алгебра и ее применение в компьютерной графике» (PDF) , Труды Eurographics 2004 , doi :10.2312/egt.20041032, архивировано (PDF) из оригинала 2015-09-06
• Ласенби, Энтони (2004), «Конформные модели пространства де Ситтера, начальные условия для инфляции и реликтового излучения», Труды конференции AIP , т. 736, стр. 53–70, arXiv : astro-ph/0411579 , doi : 10.1063/1.1835174, S2CID  18034896
• Хестенес, Дэвид (2005), Введение в базовый курс геометрической алгебры
• Селиг, Дж. М. (2005), Геометрические основы робототехники, Монографии по информатике, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York, doi : 10.1007/b138859, ISBN 978-0-387-20874-9
• Бэйн, Дж. (2006), «Структурализм пространства-времени: §5 Многообразия против геометрической алгебры», в Деннисе Диксе (ред.), Онтология пространства-времени, Elsevier, стр. 54 и далее , ISBN 978-0-444-52768-4
• Дорст, Лео; Фонтейн, Дэниел; Манн, Стивен (2007), Геометрическая алгебра для компьютерных наук: объектно-ориентированный подход к геометрии, Elsevier, ISBN 978-0-12-369465-2, OCLC  132691969
• Пенроуз, Роджер (2007), Дорога к реальности , Винтажные книги, ISBN 978-0-679-77631-4
• Фрэнсис, Мэтью Р.; Косовски, Артур (2008), «Построение спиноров в геометрической алгебре», Annals of Physics , 317 (2): 383–409, arXiv : math-ph/0403040v2 , Bibcode : 2005AnPhy.317..383F, doi : 10.1016/j.aop.2004.11.008, S2CID  119632876
• Ли, Хунбо (2008), Инвариантные алгебры и геометрические рассуждения, World Scientific, ISBN 9789812770110. Глава 1 в формате PDF
• Винс, Джон А. (2008), Геометрическая алгебра для компьютерной графики , Springer, ISBN 978-1-84628-996-5
• Ландхольм, Дуглас; Свенссон, Ларс (2009), «Алгебра Клиффорда, геометрическая алгебра и приложения», arXiv : 0907.5356v1 [math-ph]
• Первасс, Кристиан (2009), Геометрическая алгебра с приложениями в инженерии , геометрии и вычислениях, т. 4, Bibcode : 2009gaae.book.....P, doi : 10.1007/978-3-540-89068-3, ISBN 978-3-540-89067-6
• Селиг, Дж. М. (2000), «Алгебра Клиффорда точек, прямых и плоскостей» (PDF) , Robotica , 18 (5): 545–556, doi :10.1017/S0263574799002568, S2CID  28929170
• Байро-Коррочано, Эдуардо (2010), Геометрические вычисления для вейвлет-преобразований, Зрение робота, Обучение, Управление и Действие , Springer Verlag, ISBN 9781848829299
• Байро-Коррошано, Э.; Шойерманн, Герик, ред. (2010), Вычисления геометрической алгебры в технике и информатике, Springer, ISBN 9781849961080Извлечение онлайн по адресу https://davidhestenes.net/geocalc/html/UAFCG.html #5 Новые инструменты для вычислительной геометрии и обновление теории винтов
• Голдман, Рон (2010), Переосмысление кватернионов: теория и вычисления , Морган и Клейпул, Часть III. Переосмысление кватернионов и алгебр Клиффорда, ISBN 978-1-60845-420-4
• Дорст, Лео .; Ласенби, Джоан (2011), Руководство по геометрической алгебре на практике , Springer, ISBN 9780857298119
• Макдональд, Алан (2011), Линейная и геометрическая алгебра, CreateSpace, ISBN 9781453854938, OCLC  704377582
• Снигг, Джон (2011), Новый подход к дифференциальной геометрии с использованием геометрической алгебры Клиффорда , Springer, ISBN 978-0-8176-8282-8
• Хильденбранд, Дитмар (2012), «Основы вычислений геометрической алгебры», Численный анализ и прикладная математика Icnaam 2012: Международная конференция по численному анализу и прикладной математике , Труды конференции AIP, 1479 (1): 27–30, Bibcode : 2012AIPC.1479...27H, doi : 10.1063/1.4756054
• Соколов, Андрей (2013), Алгебра Клиффорда и проективная модель пространств Минковского (псевдоевклидовых) , arXiv : 1307.4179
• Бромборский, Алан (2014), Введение в геометрическую алгебру и исчисление (PDF) , заархивировано (PDF) из оригинала 2019-10-15
• Клавиттер, Дэниел (2015), Алгебры Клиффорда , doi :10.1007/978-3-658-07618-4, ISBN 978-3-658-07617-7
• Канатани, Кеничи (2015), Понимание геометрической алгебры: Гамильтон, Грассман и Клиффорд для компьютерного зрения и графики , CRC Press, ISBN 978-1-4822-5951-3
• Ли, Хунбо; Хуан, Лэй; Шао, Чанпэн; Дун, Лэй (2015), «Трехмерная проективная геометрия с геометрической алгеброй», arXiv : 1507.06634v1 [math.MG]
• Хестенес, Дэвид (2017), «Генезис геометрической алгебры: личная ретроспектива», Advances in Applied Clifford Algebras , 27 : 351–379, doi :10.1007/s00006-016-0664-z, S2CID  253592888
• Дорст, Лео (2016), «Трехмерная ориентированная проективная геометрия через версии ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3,3}}$ », Достижения в прикладной алгебре Клиффорда , 26 (4): 1137–1172, doi : 10.1007/s00006-015-0625-y
• Ваз, Джейме; да Роча, Ролдао (2016), Введение в алгебры Клиффорда и спиноры , Oxford University Press, Bibcode : 2016icas.book.....V, ISBN 978-0-19-878292-6
• Истер, Роберт Бенджамин; Хитцер, Экхард (2017), «Двойная конформная геометрическая алгебра», Advances in Applied Clifford Algebras , 27 (3): 2175–2199, doi :10.1007/s00006-017-0784-0, S2CID  253600526
• Ду, Хуан; Голдман, Рон; Манн, Стивен (2017), «Моделирование трехмерной геометрии в алгебре Клиффорда R(4, 4)», Advances in Applied Clifford Algebras , 27 (4): 3039–3062, doi :10.1007/s00006-017-0798-7, S2CID  253587390
• Байро-Коррочано, Эдуардо (2018), Компьютерное зрение, графика и нейрокомпьютерные вычисления, приложения геометрической алгебры, т. I, Springer, ISBN 978-3-319-74830-6
• Брейль, Стефан (2018). Алгоритмическая структура для операций по геометрической алгебре и приложениям к квадратичным поверхностям (PDF) (PHD). университет-Париж-EST. Архивировано (PDF) из оригинала 14 июля 2019 г.
• Лавор, Карлайл; Ксамбо-Дескамп, Себастья; Заплана, Исайя (2018), Приглашение геометрической алгебры в физику пространства-времени, робототехнику и молекулярную геометрию, Springer, стр. 1–, ISBN 978-3-319-90665-2
• Хрдина, Ярослав; Наврат, Алеш; Вашик, Петр (2018), «Геометрическая алгебра для коник», Достижения в области прикладных алгебр Клиффорда , 28 (3), doi : 10.1007/s00006-018-0879-2, S2CID  125649450
• Брей, Стефан; Фукс, Лоран; Хитцер, Экхард; Нозик, Винсент; Сугимото, Акихиро (2019), «Трехмерные квадрики в расширенных конформных геометрических алгебрах высших размерностей из контрольных точек, неявных уравнений и выравнивания осей» (PDF) , Достижения в области прикладных алгебр Клиффорда , 29 (3), doi :10.1007/s00006-019-0974-z, S2CID  253597480
• Йосипович, Мирослав (2019), Геометрическое умножение векторов: введение в геометрическую алгебру в физике, Springer International Publishing;Birkhäuser, стр. 256, ISBN 978-3-030-01756-9
• Хэдфилд, Хьюго; Ласенби, Джоан (2020), «Ограниченная динамика в конформной и проективной геометрической алгебре», Advances in Computer Graphics , Lecture Notes in Computer Science, т. 12221, стр. 459–471, doi :10.1007/978-3-030-61864-3_39, ISBN 978-3-030-61863-6, S2CID  224820480
• Wu, Bofeng (2022), "Сигнатурно-инвариантная геометрическая алгебраическая структура для физики пространства-времени и ее приложения в релятивистской динамике массивной частицы и гироскопической прецессии", Scientific Reports , 12 (1): 3981, arXiv : 2111.07353 , Bibcode : 2022NatSR..12.3981W, doi : 10.1038/s41598-022-06895-0, PMC  8901677 , PMID  35256628
• Уилмот, ГП (2023), «Алгебра геометрии», GitHub
• Лендьел, Эрик (2024), Projective Geometric Algebra Illuminated , Линкольн, Калифорния: Terathon Software LLC, ISBN 979-8-9853582-5-4

Внешние ссылки

• Обзор геометрической алгебры и геометрического исчисления Алан Макдональд, Лютер-колледж, Айова
• Мнимые числа не являются действительными – Геометрическая алгебра пространства-времени. Введение (группа GA в Кембридже)
• Геометрическая алгебра 2015, магистерский курс по научным вычислениям от доктора Криса Дорана (Кембридж)
• Математика для (игровых) программистов: 5 – Многовекторные методы – подробное введение и справочник для программистов от Яна Белла
• Летняя школа IMPA 2010 Фернандес Оливейра Вступление и слайды
• Публикации ESM Hitzer и Japan GA в Университете Фукуи
• Группа Google для GA
• Геометрическая алгебра для начинающих. Введение в ГА, Яап Сутер
• Ресурсы геометрической алгебры, куратор вики, Пабло Блейер
• Прикладная геометрическая алгебра в информатике и инжиниринге 2018 Ранние труды
• bivector.net Сайт сообщества геометрической алгебры для CGI, Vision и Engineering
• Видеоролики AGACSE 2021

Переводы ранних книг и статей на английский язык

• Ж. Комбебиак, «Исчисление трикватернионов» (Докторская диссертация)
• М. Маркич, «Трансформанты: новый математический аппарат. Синтез трикватернионов Комбебиака и геометрической системы Грассмана. Исчисление квадрикватернионов»
• C. Burali-Forti, «Метод Грассмана в проективной геометрии». Сборник из трех заметок о применении внешней алгебры к проективной геометрии.
• C. Burali-Forti, «Введение в дифференциальную геометрию по методу Г. Грассмана» Ранняя книга о применении алгебры Грассмана
• Г. Грассман, «Механика, согласно принципам теории расширения» – одна из его работ о приложениях внешней алгебры

Исследовательские группы

• Geometric Calculus International. Ссылки на исследовательские группы, программное обеспечение и конференции по всему миру
• Группа Кембриджской геометрической алгебры. Полные тексты онлайн-публикаций и другие материалы
• Группа Амстердамского университета
• Исследования и разработки в области геометрического исчисления (архив веб-сайта Хестенса в Университете штата Аризона)
• Архив блога и рассылки GA-Net. Новости о развитии геометрической алгебры/алгебры Клиффорда
• Геометрическая алгебра для систем восприятия и действия. Группа геометрической кибернетики (CINVESTAV, кампус Гвадалахара, Мексика)