Электромагнитный тензор

Математический объект, описывающий электромагнитное поле в пространстве-времени.

В электромагнетизме электромагнитный тензор или тензор электромагнитного поля (иногда называемый тензором напряженности поля , тензором Фарадея или бивектором Максвелла ) — это математический объект, описывающий электромагнитное поле в пространстве-времени. Тензор поля был впервые использован после того, как Герман Минковский ввел четырехмерную тензорную формулировку специальной теории относительности . Тензор позволяет кратко записать связанные физические законы и допускает квантование электромагнитного поля с помощью лагранжевой формулировки, описанной ниже.

Определение

Электромагнитный тензор, условно обозначаемый F , определяется как внешняя производная электромагнитного 4-потенциала A , дифференциальной 1-формы: ^{[1] [2]}

${\displaystyle F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.}$

Следовательно, F — это дифференциальная 2-форма — антисимметричное тензорное поле ранга 2 — на пространстве Минковского. В компонентной форме,

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }.}$

где — четырехградиент , — четырехпотенциал . ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle A}$

В этой статье будут использоваться единицы СИ для уравнений Максвелла и соглашение о знаках, принятое в физике элементарных частиц для сигнатуры пространства Минковского (+ − − −) .

Связь с классическими полями

Дифференциальная 2-форма Фарадея задается выражением

${\displaystyle F=(E_{x}/c)\ dx\wedge dt+(E_{y}/c)\ dy\wedge dt+(E_{z}/c)\ dz\wedge dt+B_{x}\ dy\wedge dz+B_{y}\ dz\wedge dx+B_{z}\ dx\wedge dy,}$

где — элемент времени, умноженный на скорость света . ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle c}$

Это внешняя производная ее первообразной формы

${\displaystyle A=A_{x}\ dx+A_{y}\ dy+A_{z}\ dz-(\phi /c)\ dt}$,

где имеет ( — скалярный потенциал для безвихревого/консервативного векторного поля ) и имеет ( — векторный потенциал для соленоидального векторного поля ). ${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle -{\vec {\nabla }}\phi ={\vec {E}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\vec {B}}}$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle {\begin{cases}dF=0\\{\star }d{\star }F=J\end{cases}}}$

где — внешняя производная, — звезда Ходжа , (где — плотность электрического тока , а — плотность электрического заряда ), — 1-форма 4-плотности тока, — версия дифференциальных форм уравнений Максвелла. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\star }}$ ${\displaystyle J=-J_{x}\ dx-J_{y}\ dy-J_{z}\ dz+\rho \ dt}$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle \rho }$

Электрические и магнитные поля могут быть получены из компонент электромагнитного тензора. Соотношение является наиболее простым в декартовых координатах :

${\displaystyle E_{i}=cF_{0i},}$

где c — скорость света, а

${\displaystyle B_{i}=-1/2\epsilon _{ijk}F^{jk},}$

где — тензор Леви-Чивиты . Это дает поля в определенной системе отсчета; если система отсчета меняется, компоненты электромагнитного тензора преобразуются ковариантно , и поля в новой системе будут заданы новыми компонентами. ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$

В контравариантной матричной форме с метрической сигнатурой (+,-,-,-),

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$

Ковариантная форма задается понижением индекса ,

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\eta _{\alpha \nu }F^{\beta \alpha }\eta _{\mu \beta }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$

Двойственный тензору Фарадея Ходж равен

${\displaystyle {G^{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta }={\begin{bmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{bmatrix}}}}$

Начиная с этого момента в этой статье при упоминании электрических или магнитных полей предполагается декартова система координат, а электрические и магнитные поля рассматриваются относительно системы отсчета этой системы координат, как в уравнениях выше.

Характеристики

Матричная форма тензора поля дает следующие свойства: ^[3]

1. Антисимметрия : $${\displaystyle F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }}$$
2. Шесть независимых компонентов: в декартовых координатах это просто три пространственных компонента электрического поля ( E _x , E _y , E _z ) и магнитного поля ( B _x , B _y , B _z ).
3. Внутреннее произведение: Если сформировать внутреннее произведение тензора напряженности поля, то образуется инвариант Лоренца , то есть это число не меняется от одной системы отсчета к другой. $${\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=2\left({\frac {E^{2}}{c^{2}}}-B^{2}\right)}$$
4. Псевдоскалярный инвариант: произведение тензорас его дуальным по Ходжу даёт инвариант Лоренца :где — символ Леви-Чивиты ранга 4.Знак для вышеприведённого выражения зависит от соглашения, используемого для символа Леви-Чивиты. Соглашение, используемое здесь, —. ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle G^{\mu \nu }}$ $${\displaystyle G_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \,}$$ ${\displaystyle \epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }}$ ${\displaystyle \epsilon _{0123}=-1}$
5. Определитель : который пропорционален квадрату вышеуказанного инварианта. $${\displaystyle \det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}}$$
6. След : который равен нулю. $${\displaystyle F={{F}^{\mu }}_{\mu }=0}$$

Значение

Этот тензор упрощает и сводит уравнения Максвелла как четыре уравнения векторного исчисления к двум уравнениям тензорного поля. В электростатике и электродинамике закон Гаусса и закон Ампера для цепи соответственно:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}},\quad \nabla \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mu _{0}\mathbf {J} }$

и свести к неоднородному уравнению Максвелла:

${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\beta \alpha }=-\mu _{0}J^{\beta }}$, где - четырехток . ${\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {J} )}$

В магнитостатике и магнитодинамике закон Гаусса для магнетизма и уравнение Максвелла–Фарадея имеют вид соответственно:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0} }$

которые сводятся к тождеству Бьянки :

${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}$

или используя индексную запись с квадратными скобками ^{[примечание 1]} для антисимметричной части тензора:

${\displaystyle \partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0}$

Используя выражение, связывающее тензор Фарадея с 4-потенциалом, можно доказать, что указанная выше антисимметричная величина тождественно обращается в ноль ( ). Следствие этого тождества имеет далеко идущие последствия: оно означает, что теория электромагнитного поля не оставляет места для магнитных монополей и токов таковых. ${\displaystyle \equiv 0}$

Относительность

Тензор поля получил свое название от того факта, что электромагнитное поле подчиняется закону преобразования тензора , это общее свойство физических законов было признано после появления специальной теории относительности . Эта теория предусматривала, что все законы физики должны иметь одинаковую форму во всех системах координат — это привело к введению тензоров . Тензорный формализм также приводит к математически более простому представлению физических законов.

Неоднородное уравнение Максвелла приводит к уравнению непрерывности :

${\displaystyle \partial _{\alpha }J^{\alpha }=J^{\alpha }{}_{,\alpha }=0}$

подразумевая сохранение заряда .

Законы Максвелла, приведенные выше, можно обобщить на искривленное пространство-время , просто заменив частные производные ковариантными производными :

${\displaystyle F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}=0}$и ${\displaystyle F^{\alpha \beta }{}_{;\alpha }=\mu _{0}J^{\beta }}$

где точка с запятой обозначает ковариантную производную, в отличие от частной производной. Эти уравнения иногда называют уравнениями Максвелла для искривленного пространства . Опять же, второе уравнение подразумевает сохранение заряда (в искривленном пространстве-времени):

${\displaystyle J^{\alpha }{}_{;\alpha }\,=0}$

Лагранжева формулировка классического электромагнетизма

Классический электромагнетизм и уравнения Максвелла можно вывести из действия : где — над пространством и временем. $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-{\begin{matrix}{\frac {1}{4\mu _{0}}}\end{matrix}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\right)\mathrm {d} ^{4}x\,}$$ ${\displaystyle \mathrm {d} ^{4}x}$

Это означает, что плотность Лагранжа равна

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }+\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\\end{aligned}}}$

Два средних члена в скобках одинаковы, как и два внешних члена, поэтому плотность Лагранжа равна

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }.}$

Подставим это в уравнение движения Эйлера–Лагранжа для поля:

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\nu }}}=0}$

Таким образом, уравнение Эйлера–Лагранжа принимает вид:

${\displaystyle -\partial _{\mu }{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)+J^{\nu }=0.\,}$

Величина в скобках выше — это просто тензор поля, так что это в конечном итоге упрощается до

${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }}$

Это уравнение представляет собой другой способ записи двух неоднородных уравнений Максвелла (а именно, закона Гаусса и закона Ампера ) с использованием подстановок:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}E^{i}&=-F^{0i}\\\epsilon ^{ijk}B_{k}&=-F^{ij}\end{aligned}}}$

где i, j, k принимают значения 1, 2 и 3.

Гамильтонова форма

Плотность гамильтониана можно получить с помощью обычного соотношения:

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi ^{i},\pi _{i})=\pi _{i}{\dot {\phi }}^{i}(\phi ^{i},\pi _{i})-{\mathcal {L}}}$.

Квантовая электродинамика и теория поля

Лагранжиан квантовой электродинамики выходит за рамки классического Лагранжиана, установленного в теории относительности , и учитывает рождение и уничтожение фотонов (и электронов):

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\alpha }D_{\alpha }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta },}$

где первая часть в правой части, содержащая спинор Дирака , представляет поле Дирака . В квантовой теории поля он используется как шаблон для тензора напряженности калибровочного поля. Будучи использованным в дополнение к локальному лагранжиану взаимодействия, он повторяет свою обычную роль в КЭД. ${\displaystyle \psi }$

Смотрите также

• Классификация электромагнитных полей
• Ковариантная формулировка классического электромагнетизма
• Электромагнитный тензор энергии-напряжения
• Тензор напряженности глюонного поля
• исчисление Риччи
• Вектор Римана–Зильберштейна

Примечания

1. ^ По определению,

   ${\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}+T_{bca}+T_{cab}-T_{acb}-T_{bac}-T_{cba})}$

   Так что если

   ${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}$

   затем

   ${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\begin{matrix}{\frac {2}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha })\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(2F_{\alpha \beta })+\partial _{\alpha }(2F_{\beta \gamma })+\partial _{\beta }(2F_{\gamma \alpha })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(F_{\alpha \beta }-F_{\beta \alpha })+\partial _{\alpha }(F_{\beta \gamma }-F_{\gamma \beta })+\partial _{\beta }(F_{\gamma \alpha }-F_{\alpha \gamma })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }-\partial _{\gamma }F_{\beta \alpha }-\partial _{\alpha }F_{\gamma \beta }-\partial _{\beta }F_{\alpha \gamma })\\&=\partial _{[\gamma }F_{\alpha \beta ]}\end{aligned}}}$

1. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
2. DJ Griffiths (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 978-81-7758-293-2.
3. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.

Ссылки

• Брау, Чарльз А. (2004). Современные проблемы классической электродинамики . Oxford University Press . ISBN 0-19-514665-4.
• Джексон, Джон Д. (1999). Классическая электродинамика . John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-30932-X.
• Пескин, Майкл Э.; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Perseus Publishing. ISBN 0-201-50397-2.