Псевдоскалярный

Скалярная величина, меняющая знак в зеркальных координатах

В линейной алгебре псевдоскаляр — это величина, которая ведет себя как скаляр , за исключением того, что она меняет знак при инверсии четности ^{[1] [2],} тогда как истинный скаляр этого не делает.

Псевдоскаляр, умноженный на обычный вектор , становится псевдовектором (или аксиальным вектором ); похожая конструкция создает псевдотензор . Псевдоскаляр также получается из любого скалярного произведения псевдовектора и обычного вектора. Прототипическим примером псевдоскаляра является скалярное тройное произведение , которое можно записать как скалярное произведение одного из векторов в тройном произведении и перекрестное произведение двух других векторов, где последний является псевдовектором.

В физике

В физике псевдоскаляр обозначает физическую величину , аналогичную скаляру . Обе являются физическими величинами , которые принимают единственное значение, инвариантное относительно собственных вращений . Однако при преобразовании четности псевдоскаляры меняют свои знаки, а скаляры — нет. Поскольку отражения через плоскость являются комбинацией вращения с преобразованием четности, псевдоскаляры также меняют знаки при отражениях.

Мотивация

Одна из самых мощных идей в физике заключается в том, что физические законы не меняются при изменении системы координат, используемой для описания этих законов. То, что псевдоскаляр меняет свой знак при инвертировании осей координат, говорит о том, что это не лучший объект для описания физической величины. В трехмерном пространстве величины, описываемые псевдовектором, являются антисимметричными тензорами второго порядка, которые инвариантны относительно инверсии. Псевдовектор может быть более простым представлением этой величины, но страдает от смены знака при инверсии. Аналогично, в трехмерном пространстве дуал Ходжа скаляра равен константе, умноженной на трехмерный псевдотензор Леви-Чивиты (или псевдотензор «перестановки»); тогда как дуал Ходжа псевдоскаляра является антисимметричным (чистым) тензором третьего порядка. Псевдотензор Леви-Чивиты является полностью антисимметричным псевдотензором 3-го порядка. Поскольку дуал псевдоскаляра является произведением двух «псевдовеличин», результирующий тензор является истинным тензором и не меняет знака при инверсии осей. Ситуация аналогична ситуации для псевдовекторов и антисимметричных тензоров 2-го порядка. Дуал псевдовектора является антисимметричным тензором 2-го порядка (и наоборот). Тензор является инвариантной физической величиной относительно инверсии координат, в то время как псевдовектор не инвариантен.

Ситуацию можно распространить на любое измерение. Обычно в n -мерном пространстве дуальный по Ходжу тензор порядка r будет антисимметричным псевдотензором порядка ( n − r ) и наоборот. В частности, в четырехмерном пространстве-времени специальной теории относительности псевдоскаляр является дуальным тензором четвертого порядка и пропорционален четырехмерному псевдотензору Леви-Чивиты .

Примеры

• Функция тока для двумерного потока несжимаемой жидкости . ${\displaystyle \psi (x,y)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \left(x,y\right)=\left\langle \partial _{y}\psi ,-\partial _{x}\psi \right\rangle }$
• Магнитный заряд является псевдоскаляром в математическом смысле, независимо от того, существует ли он физически.
• Магнитный поток является результатом скалярного произведения вектора ( нормали к поверхности ) и псевдовектора ( магнитного поля ).
• Спиральность — это проекция (скалярное произведение) псевдовектора спина на направление импульса (истинный вектор).
• Псевдоскалярные частицы, т.е. частицы со спином 0 и нечетной четностью, т.е. частицы без собственного спина с волновой функцией , которая меняет знак при инверсии четности . Примерами являются псевдоскалярные мезоны .

В геометрической алгебре

Псевдоскаляр в геометрической алгебре — элемент алгебры высшего порядка . Например, в двух измерениях есть два ортогональных базисных вектора , и связанный с ними элемент базиса высшего порядка — ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$

${\displaystyle e_{1}e_{2}=e_{12}.}$

Итак, псевдоскаляр является кратным e ₁₂ . Элемент e ₁₂ возводится в квадрат до −1 и коммутирует со всеми четными элементами – ведя себя, таким образом, как мнимый скаляр i в комплексных числах . Именно эти скалярные свойства и дают ему название.

В этой ситуации псевдоскаляр меняет знак при инверсии четности, поскольку если

( е ₁ , е ₂ ) → ( ты ₁ , ты ₂ )

является изменением базиса, представляющим собой ортогональное преобразование , тогда

е ₁ е ₂ → ты ₁ ты ₂ знак равно ± е ₁ е ₂ ,

где знак зависит от определителя преобразования. Псевдоскаляры в геометрической алгебре, таким образом, соответствуют псевдоскалярам в физике.

Ссылки

1. Zee, Anthony (2010). "II. Дирак и спинор II.1 Уравнение Дирака § Четность". Квантовая теория поля в двух словах (2-е изд.). Princeton University Press. стр. 98. ISBN 978-0-691-14034-6.
2. Вайнберг, Стивен (1995). "5.5 Каузальные поля Дирака §5.5.57". Квантовая теория полей . Том 1: Основы. Cambridge University Press. стр. 228. ISBN 9780521550017.