Теорема о градиенте

Теорема о градиенте , также известная как основная теорема исчисления для линейных интегралов , гласит, что линейный интеграл через градиентное поле может быть оценен путем оценки исходного скалярного поля в конечных точках кривой. Теорема является обобщением второй основной теоремы исчисления на любую кривую на плоскости или в пространстве (обычно n -мерном), а не только на действительную прямую.

Если $φ : U \subseteq R n \to R$ — дифференцируемая функция , а $γ$ — дифференцируемая кривая в $U$ , которая начинается в точке $p$ и заканчивается в точке $q$ , то

$\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)$

где $\nabla φ$ обозначает градиентное векторное поле $φ$ .

Теорема градиента подразумевает, что линейные интегралы через градиентные поля не зависят от пути . В физике эта теорема является одним из способов определения консервативной силы . При размещении $φ$ как потенциала, $\nabla φ$ является консервативным полем . Работа, выполняемая консервативными силами, зависит не от пути, по которому движется объект, а только от конечных точек, как показывает приведенное выше уравнение.

Теорема о градиенте также имеет интересное обратное утверждение: любое векторное поле, независимое от пути, может быть выражено как градиент скалярного поля . Как и сама теорема о градиенте, это обратное утверждение имеет множество поразительных следствий и приложений как в чистой, так и в прикладной математике.

Доказательство

Если $φ$ — дифференцируемая функция из некоторого открытого подмножества $U \subseteq R n$ в $R$ и $r$ — дифференцируемая функция из некоторого замкнутого интервала $[a, b]$ в $U$ (обратите внимание, что $r$ дифференцируема в конечных точках интервала $a$ и $b$ . Для этого $r$ определяется на интервале, который больше и включает $[a, b]$ .), то по правилу многомерной цепочки сложная функция φ $\circ r дифференцируема$ на $[a, b]$ :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)$

для всех $t$ в $[a, b]$ . Здесь $\cdot$ обозначает обычное скалярное произведение .

Теперь предположим, что область $U$ функции $φ$ содержит дифференцируемую кривую $γ$ с конечными точками $p$ и $q$ . (Она ориентирована в направлении от $p$ к $q$ ). Если $r$ параметризует $γ$ для $t$ в $[a, b]$ (т.е. $r$ представляет $γ$ как функцию $t$ ), то

${\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} &=\int _{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\mathrm {d} t\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))\mathrm {d} t=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right),\end{aligned}}$

где определение линейного интеграла используется в первом равенстве, приведенное выше уравнение используется во втором равенстве, а вторая основная теорема исчисления используется в третьем равенстве. ^[1]

Даже если теорема о градиенте (также называемая основной теоремой исчисления для линейных интегралов ) была доказана для дифференцируемой (то есть выглядящей гладкой) кривой, теорема также доказана для кусочно-гладкой кривой, поскольку эта кривая получается путем соединения нескольких дифференцируемых кривых, поэтому доказательство для этой кривой осуществляется путем доказательства для каждого компонента дифференцируемой кривой. ^[2]

Примеры

Пример 1

Предположим, что $γ \subset R 2$ — это дуга окружности, ориентированная против часовой стрелки от $(5, 0)$ до $(-4, 3)$ . Используя определение линейного интеграла ,

${\begin{aligned}\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}((5\sin t)(-5\sin t)+(5\cos t)(5\cos t))\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\left(-\sin ^{2}t+\cos ^{2}t\right)\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\cos(2t)\mathrm {d} t\ =\ \left.{\tfrac {25}{2}}\sin(2t)\right|_{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)}\\[.5em]&={\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\pi -2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\\[.5em]&=-{\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\ =\ -{\frac {25(3/4)}{(3/4)^{2}+1}}=-12.\end{aligned}}$

Этот результат можно получить гораздо проще, заметив, что функция имеет градиент , поэтому по теореме о градиенте: $f(x,y)=xy$ $\nabla f(x,y)=(y,x)$

$\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y=\int _{\gamma }\nabla (xy)\cdot (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\ =\ xy\,|_{(5,0)}^{(-4,3)}=-4\cdot 3-5\cdot 0=-12.$

Пример 2

Для более абстрактного примера предположим, что $γ$ $\subset R n имеет$ конечные точки $p$ , $q$ , с ориентацией от $p$ к $q$ . Для $u$ в $R n$ пусть $| u |$ обозначает евклидову норму u . Если $α$ $\geq 1$ — действительное число, то

${\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla |\mathbf {x} |^{\alpha +1}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}$

Здесь окончательное равенство следует из теоремы о градиенте, поскольку функция $f (x) = | x | α +1$ дифференцируема на $R n ,$ если $α \geq 1$ .

Если $α < 1$ , то это равенство будет по-прежнему выполняться в большинстве случаев, но следует проявлять осторожность, если γ проходит через начало координат или охватывает его, поскольку подынтегральное векторное поле $| x | α - 1 x$ там не будет определено. Однако случай $α = -1$ несколько отличается; в этом случае подынтегральное выражение становится $| x | -2 x = \nabla(log | x |)$ , так что окончательное равенство становится $log | q | - log | p |$ .

Обратите внимание, что если $n = 1$ , то этот пример представляет собой просто небольшой вариант известного правила степенной функции из исчисления с одной переменной.

Пример 3

Предположим, что в трехмерном пространстве расположены $n$ точечных зарядов , и $i$ -й точечный заряд имеет заряд $Q i$ и находится в позиции $p i$ в $R 3$ . Мы хотели бы вычислить работу , совершаемую частицей с зарядом $q$ , когда она перемещается из точки $a$ в точку $b$ в $R 3$ . Используя закон Кулона , мы можем легко определить, что сила , действующая на частицу в позиции $r,$ будет равна

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}$

Здесь $| u |$ обозначает евклидову норму вектора $u$ в $R 3$ , а $k = 1/(4 πε 0)$ , где $ε 0$ — диэлектрическая проницаемость вакуума .

Пусть $γ \subset R 3 - {p 1, ..., p n}$ — произвольная дифференцируемая кривая от $a$ до $b$ . Тогда работа, совершаемая над частицей, равна

$W=\int _{\gamma }\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\gamma }\left(kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)$

Теперь для каждого $i$ прямое вычисление показывает, что

${\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}=-\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}.$

Таким образом, продолжая вышесказанное и используя теорему о градиенте,

$W=-kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)=kq\sum _{i=1}^{n}Q_{i}\left({\frac {1}{\left|\mathbf {a} -\mathbf {p} _{i}\right|}}-{\frac {1}{\left|\mathbf {b} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\right)$

Мы закончили. Конечно, мы могли бы легко завершить этот расчет, используя мощный язык электростатического потенциала или электростатической потенциальной энергии (со знакомыми формулами $W = -Δ U = - q Δ V$ ). Однако мы еще не определили потенциал или потенциальную энергию, поскольку требуется обратная теорема о градиенте, чтобы доказать, что это хорошо определенные, дифференцируемые функции и что эти формулы верны (см. ниже). Таким образом, мы решили эту задачу, используя только закон Кулона, определение работы и теорему о градиенте.

Обратная теорема о градиенте

Теорема о градиенте утверждает, что если векторное поле $F$ является градиентом некоторой скалярнозначной функции (т. е. если $F$ является консервативным ), то $F$ является векторным полем, независимым от пути (т. е. интеграл $F$ по некоторой кусочно-дифференцируемой кривой зависит только от конечных точек). Эта теорема имеет мощное обратное утверждение:

Теорема — Если $F$ — векторное поле, не зависящее от пути, то $F$ — градиент некоторой скалярной функции. ^[3]

Легко показать, что векторное поле не зависит от пути, если и только если интеграл векторного поля по каждому замкнутому контуру в его области равен нулю. Таким образом, обратное можно сформулировать следующим образом: если интеграл $F$ по каждому замкнутому контуру в области $F$ равен нулю, то $F$ является градиентом некоторой скалярной функции.

Доказательство обратного

Предположим, что $U$ — открытое , путе-связное подмножество $R n$ , а $F : U \to R n$ — непрерывное и независимое от пути векторное поле. Зафиксируем некоторый элемент $a$ из $U$ и определим $f : U \to R$ следующим образом: Здесь $γ$ $[$ $a$ $,$ $x$ $]$ — любая (дифференцируемая) кривая в $U,$ начинающаяся в $a$ и заканчивающаяся в $x$ . Мы знаем, что $f$ хорошо определена, поскольку F $не$ зависит от пути. $f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$

Пусть $v$ — любой ненулевой вектор в $R n$ . По определению производной по направлению , Чтобы вычислить интеграл в конечном пределе, мы должны параметризовать $γ$ $[$ $x$ $,$ $x$ $+$ $t$ $v$ $]$ . Поскольку $F$ не зависит от пути, $U$ открыто, а $t$ стремится к нулю, мы можем предположить, что этот путь является прямой линией, и параметризовать его как $u$ $($ $s$ $) =$ $x$ $+$ $s$ $v$ для $0 <$ $s$ $<$ $t$ . Теперь, поскольку $u'$ $($ $s$ $) =$ $v$ , предел становится где первое равенство из определения производной с учетом того, что интеграл равен 0 при $t$ = 0, а второе равенство — из первой фундаментальной теоремы исчисления . Таким образом, у нас есть формула для $\partial$ $v$ $f$ , (один из способов представления производной по направлению ), где $v$ произвольно; для (см. его полное определение выше), его производная по направлению относительно $v$ есть где первые два равенства просто показывают различные представления производной по направлению. Согласно определению градиента скалярной функции $f$ , , таким образом, мы нашли скалярнозначную функцию $f , градиент которой является векторным полем$ $F,$ независимым от пути (т.е. $F$ является консервативным векторным полем), как и требовалось. ^[3] ${\begin{aligned}{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} -\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} }{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{\gamma [\mathbf {x} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} \end{aligned}}$ $\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {u} (s))\cdot \mathbf {u} '(s)\,\mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {x} +s\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} s{\bigg |}_{t=0}=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}$ $f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$ ${\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}$ $\nabla f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )$

Пример обратного принципа

Чтобы проиллюстрировать силу этого обратного принципа, мы приводим пример, который имеет существенные физические последствия. В классическом электромагнетизме электрическая сила является силой, не зависящей от пути; т. е. работа, совершаемая над частицей, которая вернулась в исходное положение в электрическом поле, равна нулю (предполагая, что не присутствует никаких изменяющихся магнитных полей ).

Таким образом, из вышеприведенной теоремы следует, что электрическое силовое поле $F e : S \to R 3$ является консервативным (здесь $S$ — некоторое открытое , линейно-связное подмножество $R 3$ , содержащее распределение заряда ). Следуя идеям вышеприведенного доказательства, мы можем задать некоторую опорную точку $a$ в $S$ и определить функцию $U e : S \to R$ следующим образом:

$U_{e}(\mathbf {r} ):=-\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {r} ]}\mathbf {F} _{e}(\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$

Используя приведенное выше доказательство, мы знаем, что $U e$ хорошо определена и дифференцируема, и $F e = -\nabla U e$ (из этой формулы мы можем использовать теорему о градиенте, чтобы легко вывести известную формулу для расчета работы, совершаемой консервативными силами: $W = -Δ U$ ). Эту функцию $U e$ часто называют электростатической потенциальной энергией системы зарядов в $S$ (со ссылкой на ноль потенциала $a$ ). Во многих случаях область $S$ предполагается неограниченной , а точка отсчета $a$ принимается за «бесконечность», что можно сделать строгим с помощью предельных методов. Эта функция $U e$ является незаменимым инструментом, используемым при анализе многих физических систем.

Обобщения

Многие из критических теорем векторного исчисления элегантно обобщаются на утверждения об интегрировании дифференциальных форм на многообразиях . На языке дифференциальных форм и внешних производных теорема о градиенте утверждает, что

$\int _{\partial \gamma }\phi =\int _{\gamma }\mathrm {d} \phi$

для любой 0-формы ϕ $,$ определенной на некоторой дифференцируемой кривой $γ \subset Rn$ (здесь под интегралом $ϕ$ $по$ границе $γ$ понимается оценка $ϕ$ в конечных точках γ ).

Обратите внимание на поразительное сходство между этим утверждением и обобщенной теоремой Стокса , которая гласит, что интеграл любой компактной дифференциальной формы $ω$ по границе некоторого ориентируемого многообразия $Ω$ равен интегралу ее внешней производной $d ω$ по всему $Ω$ , т.е.

$\int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega$

Это мощное утверждение представляет собой обобщение теоремы о градиенте с 1-форм, определенных на одномерных многообразиях, на дифференциальные формы, определенные на многообразиях произвольной размерности.

Обратное утверждение теоремы о градиенте также имеет мощное обобщение в терминах дифференциальных форм на многообразиях. В частности, предположим, что $ω$ — форма, определенная на стягиваемой области , и интеграл от $ω$ по любому замкнутому многообразию равен нулю. Тогда существует форма $ψ$ такая, что $ω = d ψ$ . Таким образом, на стягиваемой области каждая замкнутая форма является точной . Этот результат суммируется леммой Пуанкаре .

Смотрите также

Ссылки

^ Уильямсон, Ричард и Троттер, Хейл. (2004). Многомерная математика, четвертое издание, стр. 374. Pearson Education, Inc.
^ Стюарт, Джеймс (2021). «16.3 Основная теорема для линейных интегралов». Calculus (9-е изд.). Cengage Learning. стр. 1182–1185. ISBN 978-1-337-62418-3.
^ ab "Уильямсон, Ричард и Троттер, Хейл. (2004). Многомерная математика, четвертое издание , стр. 410. Pearson Education, Inc."