Основная теорема исчисления

Связь между производными и интегралами

Основная теорема исчисления — это теорема , которая связывает концепцию дифференцирования функции (вычисление ее наклонов , или скорости изменения в каждый момент времени) с концепцией интегрирования функции (вычисление площади под ее графиком, или кумулятивного эффекта малых вкладов). Грубо говоря, эти две операции можно рассматривать как обратные друг другу.

Первая часть теоремы, первая фундаментальная теорема исчисления , утверждает, что для непрерывной функции f первообразная или неопределенный интеграл F может быть получена как интеграл от f по интервалу с переменной верхней границей. ^[1]

Наоборот, вторая часть теоремы, вторая фундаментальная теорема исчисления , утверждает, что интеграл функции f по фиксированному интервалу равен изменению любой первообразной F между концами интервала. Это значительно упрощает вычисление определенного интеграла при условии, что первообразная может быть найдена символическим интегрированием , что позволяет избежать численного интегрирования .

История

Основная теорема исчисления связывает дифференциацию и интеграцию, показывая, что эти две операции по сути являются обратными друг другу. До открытия этой теоремы не осознавалось, что эти две операции связаны. Древнегреческие математики знали, как вычислять площадь с помощью бесконечно малых , операцию, которую мы сейчас называем интегрированием. Истоки дифференциации также предшествовали основной теореме исчисления на сотни лет; например, в четырнадцатом веке понятия непрерывности функций и движения изучались Оксфордскими вычислителями и другими учеными. Историческая значимость основной теоремы исчисления заключается не в возможности вычислять эти операции, а в осознании того, что две, казалось бы, различные операции (вычисление геометрических площадей и вычисление градиентов) на самом деле тесно связаны.

С гипотезы и доказательства основной теоремы исчисления начинается исчисление как единая теория интегрирования и дифференцирования. Первое опубликованное утверждение и доказательство элементарной формы основной теоремы, строго геометрического характера, ^[2] было сделано Джеймсом Грегори (1638–1675). ^{[3] [4]} Исаак Барроу (1630–1677) доказал более обобщенную версию теоремы, ^[5] в то время как его ученик Исаак Ньютон (1642–1727) завершил разработку окружающей математической теории. Готфрид Лейбниц (1646–1716) систематизировал знания в исчисление для бесконечно малых величин и ввел обозначения, используемые сегодня.

Геометрическое значение/Доказательство

Площадь, заштрихованная красными полосами, близка к h умножить на f ( x ) . В качестве альтернативы, если бы функция A ( x ) была известна, эта площадь была бы в точности равна A ( x + h ) − A ( x ) . Эти два значения приблизительно равны, особенно для малых h .

Первую фундаментальную теорему можно интерпретировать следующим образом. Для заданной непрерывной функции , график которой представлен в виде кривой, определяется соответствующая «функция площади» так, что A ( x ) — это площадь под кривой между 0 и x . Площадь A ( x ) может быть нелегко вычислима, но предполагается, что она хорошо определена. ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle x\mapsto A(x)}$

Площадь под кривой между x и x + h можно вычислить, найдя площадь между 0 и x + h , а затем вычтя площадь между 0 и x . Другими словами, площадь этой «полосы» будет равна A ( x + h ) − A ( x ) .

Есть другой способ оценить площадь этой же полосы. Как показано на прилагаемом рисунке, h умножается на f ( x ) , чтобы найти площадь прямоугольника, который примерно такого же размера, как эта полоса. Итак: $${\displaystyle A(x+h)-A(x)\approx f(x)\cdot h}$$

Разделив обе части на h, получаем: $${\displaystyle {\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}\ \approx f(x)}$$

Эта оценка становится полным равенством, когда h приближается к 0: то есть производная функции площади A ( x ) существует и равна исходной функции f ( x ) , поэтому функция площади является первообразной исходной функции. $${\displaystyle f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ A'(x).}$$

Таким образом, производная интеграла функции (площадь) есть исходная функция, так что производная и интеграл являются обратными операциями , которые обращают друг друга. В этом суть Основной теоремы.

Физическая интуиция

Интуитивно основная теорема гласит, что интегрирование и дифференцирование являются обратными операциями, которые обращают друг друга.

Вторая фундаментальная теорема гласит, что сумма бесконечно малых изменений величины (интеграл производной величины) складывается в чистое изменение величины. Чтобы визуализировать это, представьте, что вы едете в машине и хотите узнать пройденное расстояние (чистое изменение положения на шоссе). Вы можете видеть скорость на спидометре, но не можете выглянуть наружу, чтобы увидеть свое местоположение. Каждую секунду вы можете узнать, какое расстояние проехала машина, используя расстояние = скорость × время , то есть умножая текущую скорость (в километрах или милях в час) на временной интервал (1 секунда = час). Суммируя все эти маленькие шаги, вы можете приблизительно определить общее пройденное расстояние, несмотря на то, что не смотрите наружу машины: Поскольку становится бесконечно малым, суммирование соответствует интегрированию . Таким образом, интеграл функции скорости (производная положения) вычисляет, какое расстояние проехала машина (чистое изменение положения). ${\displaystyle {\tfrac {1}{3600}}}$ $${\displaystyle {\text{distance traveled}}=\sum \left({\begin{array}{c}{\text{velocity at}}\\{\text{each time}}\end{array}}\right)\times \left({\begin{array}{c}{\text{time}}\\{\text{interval}}\end{array}}\right)=\sum v_{t}\times \Delta t.}$$ ${\displaystyle \Delta t}$

Первая фундаментальная теорема гласит, что значение любой функции — это скорость изменения (производная) ее интеграла от фиксированной начальной точки до любой выбранной конечной точки. Продолжая приведенный выше пример, используя скорость в качестве функции, вы можете проинтегрировать ее от начального времени до любого заданного времени, чтобы получить функцию расстояния, производной которой является эта скорость. (Чтобы получить положение вашего маркера шоссе, вам нужно будет добавить ваше начальное положение к этому интегралу и учесть, было ли ваше движение в направлении увеличения или уменьшения маркеров миль.)

Официальные заявления

Теорема состоит из двух частей. Первая часть касается производной первообразной , а вторая часть касается связи между первообразными и определенными интегралами .

Первая часть

Эту часть иногда называют первой фундаментальной теоремой исчисления . ^[6]

Пусть f — непрерывная вещественная функция, определенная на замкнутом интервале [ a , b ] . Пусть F — функция, определенная для всех x в [ a , b ] следующим образом: $${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$$

Тогда F равномерно непрерывна на [ a , b ] и дифференцируема на открытом интервале ( a , b ) , и для всех x из ( a , b ), поэтому F является первообразной f . $${\displaystyle F'(x)=f(x)}$$

Следствие

Основная теорема исчисления (анимация)

Основная теорема часто используется для вычисления определенного интеграла функции, для которой известна первообразная. В частности, если — вещественная непрерывная функция на и — первообразная в , то ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a).}$$

Следствие предполагает непрерывность на всем интервале. Этот результат несколько усиливается в следующей части теоремы.

Вторая часть

Эту часть иногда называют второй основной теоремой исчисления ^[7] или теоремой Ньютона–Лейбница .

Пусть — действительная функция на замкнутом интервале и непрерывная функция на которой является первообразной функции по : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,b)}$ $${\displaystyle F'(x)=f(x).}$$

Если интегрируемо по Риману , то ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$$

Вторая часть несколько сильнее следствия, поскольку не предполагает, что является непрерывной. ${\displaystyle f}$

Если первообразная существует , то существует бесконечно много первообразных для , полученных добавлением произвольной константы к . Кроме того, по первой части теоремы первообразные всегда существуют, когда непрерывна. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Доказательство первой части

Для заданной функции f определим функцию F ( x ) как $${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$$

Для любых двух чисел x ₁ и x ₁ + Δ x в [ a , b ] имеем

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})&=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt\\&=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt,\end{aligned}}}$$последнее равенство вытекает из основных свойств интегралов и аддитивности площадей.

Согласно теореме о среднем значении для интегрирования , существует действительное число такое, что ${\displaystyle c\in [x_{1},x_{1}+\Delta x]}$ $${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=f(c)\cdot \Delta x.}$$

Из этого следует, что и, таким образом, что $${\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\cdot \Delta x,}$$ $${\displaystyle {\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c).}$$

Принимая предел как и имея в виду, что получаем , что, согласно определению производной, непрерывности f и теореме о сжатии . ^[8] ${\displaystyle \Delta x\to 0,}$ ${\displaystyle c\in [x_{1},x_{1}+\Delta x],}$ $${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c),}$$ $${\displaystyle F'(x_{1})=f(x_{1}),}$$

Доказательство следствия

Предположим, что F является первообразной f , причем f непрерывна на [ a , b ] . Пусть $${\displaystyle G(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$$

По первой части теоремы мы знаем, что G также является первообразной f . Поскольку F ′ − G ′ = 0, теорема о среднем значении подразумевает, что F − G является постоянной функцией , то есть существует число c такое, что G ( x ) = F ( x ) +  c для всех x из [ a , b ] . Полагая x = a , мы имеем что означает c = − F ( a ) . Другими словами, G ( x ) = F ( x ) − F ( a ) , и поэтому $${\displaystyle F(a)+c=G(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,dt=0,}$$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=G(b)=F(b)-F(a).}$$

Доказательство второй части

Это предельное доказательство с помощью сумм Римана .

Для начала вспомним теорему о среднем значении . Если говорить кратко, то если F непрерывна на замкнутом интервале [ a , b ] и дифференцируема на открытом интервале ( a , b ) , то существует некоторое c из ( a , b ) такое, что $${\displaystyle F'(c)(b-a)=F(b)-F(a).}$$

Пусть f интегрируема (по Риману) на интервале [ a , b ] , и пусть f допускает первообразную F на ( a , b ) такую, что F непрерывна на [ a , b ] . Начнем с величины F ( b ) − F ( a ) . Пусть имеются числа x ₀ , ..., x _n такие, что $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b.}$$

Из этого следует, что $${\displaystyle F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0}).}$$

Теперь мы складываем каждую F ( x _i ) вместе с ее аддитивной обратной величиной, так что результирующая величина становится равной: $${\displaystyle {\begin{aligned}F(b)-F(a)&=F(x_{n})+[-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})]+\cdots +[-F(x_{1})+F(x_{1})]-F(x_{0})\\&=[F(x_{n})-F(x_{n-1})]+[F(x_{n-1})-F(x_{n-2})]+\cdots +[F(x_{2})-F(x_{1})]+[F(x_{1})-F(x_{0})].\end{aligned}}}$$

Вышеуказанную величину можно записать в виде следующей суммы:

Функция F дифференцируема на интервале ( a , b ) и непрерывна на замкнутом интервале [ a , b ] ; следовательно, она также дифференцируема на каждом интервале ( x _{i −1} , x _i ) и непрерывна на каждом интервале [ x i ₋₁ , x _i ] . Согласно теореме о среднем значении (выше), для каждого _i существует a в ( x _{i −1} , x _i ) такое, что ${\displaystyle c_{i}}$ $${\displaystyle F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1}).}$$

Подставляя вышесказанное в ( 1' ), получаем $${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})].}$$

Предположение подразумевает также, что может быть выражено как раздел . ${\displaystyle F'(c_{i})=f(c_{i}).}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{i-1}}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle i}$

Сходящаяся последовательность сумм Римана. Число в левом верхнем углу — это общая площадь синих прямоугольников. Они сходятся к определенному интегралу функции.

Мы описываем площадь прямоугольника, с шириной, умноженной на высоту, и мы складываем площади вместе. Каждый прямоугольник, в силу теоремы о среднем значении , описывает приближение участка кривой, над которым он нарисован. Также не обязательно, чтобы он был одинаковым для всех значений i , или, другими словами, чтобы ширина прямоугольников могла различаться. Что нам нужно сделать, так это приблизить кривую с помощью n прямоугольников. Теперь, по мере того, как размер разделов становится меньше, а n увеличивается, в результате чего больше разделов покрывают пространство, мы становимся все ближе и ближе к фактической площади кривой. ${\displaystyle \Delta x_{i}}$

Принимая предел выражения, когда норма разбиений стремится к нулю, мы приходим к интегралу Римана . Мы знаем, что этот предел существует, поскольку предполагалось, что f интегрируема. То есть, мы берем предел, когда наибольшее из разбиений стремится к нулю по размеру, так что все остальные разбиения становятся меньше, а число разбиений стремится к бесконечности.

Итак, мы берем предел с обеих сторон ( 2' ). Это дает нам $${\displaystyle \lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})].}$$

Ни F ( b ), ни F ( a ) не зависят от , поэтому предел в левой части остается F ( b ) − F ( a ) . ${\displaystyle \|\Delta x_{i}\|}$ $${\displaystyle F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})].}$$

Выражение в правой части уравнения определяет интеграл по f от a до b . Следовательно, получаем что завершает доказательство. $${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx,}$$

Взаимосвязь между частями

Как обсуждалось выше, из первой части следует несколько более слабая версия второй части.

Аналогично, это выглядит почти так, как будто первая часть теоремы следует непосредственно из второй. То есть, предположим, что G является первообразной функции f . Тогда по второй теореме, . Теперь предположим . Тогда F имеет ту же производную, что и G , и, следовательно, F ′ = f . Однако этот аргумент работает только в том случае, если мы уже знаем, что f имеет первообразную, и единственный способ узнать, что все непрерывные функции имеют первообразные, — это первая часть Основной теоремы. ^[9] Например, если f ( x ) = e ^{− x 2} , то f имеет первообразную, а именно и нет более простого выражения для этой функции. Поэтому важно не интерпретировать вторую часть теоремы как определение интеграла. Действительно, существует много функций, которые интегрируемы, но не имеют элементарных первообразных , а разрывные функции могут быть интегрируемыми, но вообще не иметь никаких первообразных. Наоборот, многие функции, имеющие первообразные, не интегрируются по Риману (см. функцию Вольтерра ). ${\textstyle G(x)-G(a)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$ ${\textstyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt=G(x)-G(a)}$ $${\displaystyle G(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt}$$

Примеры

Вычисление частного интеграла

Предположим, что необходимо рассчитать следующее: $${\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx.}$$

Здесь и мы можем использовать в качестве первообразной. Поэтому: ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\textstyle F(x)={\frac {1}{3}}x^{3}}$ $${\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx=F(5)-F(2)={\frac {5^{3}}{3}}-{\frac {2^{3}}{3}}={\frac {125}{3}}-{\frac {8}{3}}={\frac {117}{3}}=39.}$$

Используя первую часть

Предположим, что должно быть вычислено. Использование первой части теоремы с дает $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt}$$ ${\displaystyle f(t)=t^{3}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt=f(x)=x^{3}.}$$

Это также можно проверить с помощью второй части теоремы. В частности, является первообразной , поэтому ${\textstyle F(t)={\frac {1}{4}}t^{4}}$ ${\displaystyle f(t)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt={\frac {d}{dx}}F(x)-{\frac {d}{dx}}F(0)={\frac {d}{dx}}{\frac {x^{4}}{4}}=x^{3}.}$$

Интеграл, где следствие недостаточно

Предположим, что Тогда не является непрерывным в нуле. Более того, это не просто вопрос того, как определяется в нуле, поскольку предел по не существует. Следовательно, следствие не может быть использовано для вычисления Но рассмотрим функцию Обратите внимание, что она непрерывна на (включая нулевое значение по теореме о сжатии ), и дифференцируема на с Поэтому применяется часть вторая теоремы, и $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-{\frac {1}{x}}\cos \left({\frac {1}{x}}\right)&x\neq 0\\0&x=0\\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\to 0}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx.}$$ $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)&x\neq 0\\0&x=0.\\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle F'(x)=f(x).}$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=F(1)-F(0)=\sin(1).}$$

Теоретический пример

Теорему можно использовать для доказательства того, что $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)dx.}$$

Так как, результат следует из, $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)dx&=F(b)-F(a),\\\int _{a}^{c}f(x)dx&=F(c)-F(a),{\text{ and }}\\\int _{c}^{b}f(x)dx&=F(b)-F(c),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle F(b)-F(a)=F(c)-F(a)+F(b)-F(c).}$$

Обобщения

Функция f не обязана быть непрерывной на всем интервале. Часть I теоремы гласит: если f — любая интегрируемая по Лебегу функция на [ a , b ] и x0 _— число в [ a , b ] такое, что _f непрерывна в x0 , то $${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$$

дифференцируема при x = x ₀ с F ′( x ₀ ) = f ( x ₀ ) . Мы можем ослабить условия на f еще больше и предположить, что она просто локально интегрируема. В этом случае мы можем заключить, что функция F дифференцируема почти всюду и F ′( x ) = f ( x ) почти всюду. На действительной прямой это утверждение эквивалентно теореме Лебега о дифференцировании . Эти результаты остаются верными для интеграла Хенстока–Курцвейля , который допускает более широкий класс интегрируемых функций. ^[10]

В высших размерностях теорема Лебега о дифференцировании обобщает основную теорему исчисления, утверждая, что для почти каждого x среднее значение функции f по шару радиуса r с центром в точке x стремится к f ( x ) , когда r стремится к 0.

Часть II теоремы верна для любой интегрируемой по Лебегу функции f , которая имеет первообразную F (хотя не все интегрируемые функции имеют ее). Другими словами, если действительная функция F на [ a , b ] допускает производную f ( x ) в каждой точке x из [ a , b ] и если эта производная f интегрируема по Лебегу на [ a , b ] , то ^[11] $${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(t)\,dt.}$$

Этот результат может оказаться неверным для непрерывных функций F , которые допускают производную f ( x ) почти в каждой точке x , как показывает пример функции Кантора . Однако, если F абсолютно непрерывна , она допускает производную F′ ( x ) почти в каждой точке x , и, более того, F′ интегрируема, причем F ( b ) − F ( a ) равна интегралу от F′ на [ a , b ] . Наоборот, если f — любая интегрируемая функция, то F , заданная в первой формуле, будет абсолютно непрерывной с F′ = f почти всюду.

Условия этой теоремы можно снова смягчить, рассматривая вовлеченные интегралы как интегралы Хенстока–Курцвейля . В частности, если непрерывная функция F ( x ) допускает производную f ( x ) во всех, кроме счетного числа точек, то f ( x ) интегрируема по Хенстоку–Курцвейлю, а F ( b ) − F ( a ) равна интегралу f на [ a , b ] . Разница здесь в том, что интегрируемость f не обязательно должна предполагаться. ^[12]

Версию теоремы Тейлора , выражающую погрешность в виде интеграла, можно рассматривать как обобщение основной теоремы.

Существует версия теоремы для комплексных функций: предположим, что U — открытое множество в C , а f  : U → C — функция, имеющая голоморфную первообразную F на U. Тогда для каждой кривой γ : [ a , b ] → U интеграл по кривой можно вычислить как $${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(\gamma (b))-F(\gamma (a)).}$$

Основная теорема может быть обобщена на кривые и поверхностные интегралы в высших размерностях и на многообразиях . Одним из таких обобщений, предлагаемых исчислением движущихся поверхностей, является эволюция интегралов во времени . Наиболее известными расширениями основной теоремы исчисления в высших размерностях являются теорема о расходимости и теорема о градиенте .

Одним из наиболее мощных обобщений в этом направлении является обобщенная теорема Стокса (иногда называемая фундаментальной теоремой многомерного исчисления): ^[13] Пусть M — ориентированное кусочно- гладкое многообразие размерности n , и пусть — гладкая компактная ( n  − 1) -форма на M. Если ∂ M обозначает границу M с учетом ее индуцированной ориентации , то ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .}$$

Здесь d — внешняя производная , которая определяется только с использованием структуры многообразия.

Теорема часто используется в ситуациях, когда M является вложенным ориентированным подмногообразием некоторого большего многообразия (например, R ^k ), на котором определена форма . ${\displaystyle \omega }$

Основная теорема исчисления позволяет нам задать определенный интеграл в виде обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. можно задать как с помощью как значения интеграла. $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x),\;\;y(a)=0}$$ ${\displaystyle y(b)}$

Смотрите также

• Математический портал

• Дифференцирование под знаком интеграла
• Телескопическая серия
• Основная теорема исчисления для линейных интегралов
• Обозначение для дифференциации

Примечания

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Первая фундаментальная теорема исчисления". mathworld.wolfram.com . Получено 2024-04-15 .
2. Malet, Antoni (1993). "Джеймс Грегори о касательных и правиле "Тейлора" для разложений рядов". Архив для History of Exact Sciences . 46 (2). Springer-Verlag : 97–137. doi :10.1007/BF00375656. S2CID  120101519. С другой стороны, мысль Грегори принадлежит к концептуальной структуре, строго геометрической по характеру. (стр. 137)
3. См., например, Марлоу Андерсон, Виктор Дж. Кац, Робин Дж. Уилсон, Шерлок Холмс в Вавилоне и другие рассказы математической истории , Математическая ассоциация Америки, 2004, стр. 114.
4. Грегори, Джеймс (1668). Геометрия Pars Universalis. Музей Галилея : Патавии: типис Хередум Паули Фрамботти.
5. Чайлд, Джеймс Марк; Барроу, Айзек (1916). Геометрические лекции Айзека Барроу. Чикаго: Open Court Publishing Company .
6. Апостол 1967, §5.1
7. Апостол 1967, §5.3
8. Лейтхолд, Л. (1996), Исчисление одной переменной (6-е изд.), Нью-Йорк: HarperCollins College Publishers, стр. 380.
9. Спивак, Майкл (1980), Calculus (2-е изд.), Хьюстон, Техас: Publish or Perish Inc.
10. Бартл (2001), Теория 4.11.
11. Рудин 1987, т. 7.21
12. Бартл (2001), Теория 4.7.
13. Спивак, М. (1965). Исчисление на многообразиях . Нью-Йорк: WA Benjamin. С. 124–125. ISBN 978-0-8053-9021-6.

Библиография

• Апостол, Том М. (1967), Исчисление, т. 1: Однопеременное исчисление с введением в линейную алгебру (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-00005-1.
• Бартл, Роберт (2001), Современная теория интеграции , AMS, ISBN 0-8218-0845-1.
• Лейтхолд, Л. (1996), Исчисление одной переменной (6-е изд.), Нью-Йорк: HarperCollins College Publishers.
• Рудин, Уолтер (1987), Действительный и комплексный анализ (третье изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co., ISBN 0-07-054234-1

Дальнейшее чтение

• Курант, Ричард; Джон, Фриц (1965), Введение в исчисление и анализ , Springer.
• Ларсон, Рон; Эдвардс, Брюс Х.; Хейд, Дэвид Э. (2002), Исчисление одной переменной (7-е изд.), Бостон: Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-14916-2.
• Малет, А. , Исследования Джеймса Грегори (1638-1675) (докторская диссертация, Принстон, 1989).
• Эрнандес Родригес, О.А.; Лопес Фернандес, Х.М. «Преподавание фундаментальной теоремы исчисления: историческое размышление», Loci: Convergence ( MAA ), январь 2012 г.
• Стюарт, Дж. (2003), «Основная теорема исчисления», Исчисление: ранние трансценденты , Белмонт, Калифорния: Томсон/Брукс/Коул.
• Тернбулл, HW, ред. (1939), Том памяти, посвященный трехсотлетию со дня рождения Джеймса Грегори , Лондон{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link).

Внешние ссылки

• «Основная теорема исчисления», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Евклидово доказательство Джеймса Грегори фундаментальной теоремы исчисления о сходимости
• Доказательство основной теоремы исчисления Айзека Барроу
• Основная теорема исчисления на imomath.com
• Альтернативное доказательство основной теоремы исчисления
• Основная теорема исчисления MIT .
• Основная теорема исчисления Mathworld .