Плотность тока

Количество заряда, протекающего через единицу площади поперечного сечения в единицу времени.

В электромагнетизме плотность тока — это количество заряда , протекающего в единицу времени через единицу площади выбранного поперечного сечения . ^[1] Вектор плотности тока определяется как вектор , величина которого представляет собой электрический ток на площадь поперечного сечения в данной точке пространства, причем его направление соответствует направлению движения положительных зарядов в этой точке. В базовых единицах СИ плотность электрического тока измеряется в амперах на квадратный метр . ^[2]

Определение

Предположим, что A (единица СИ: м ² ) представляет собой небольшую поверхность с центром в данной точке M и ортогональную движению зарядов в M . Если I _A (единица СИ: A ) — электрический ток , протекающий через A , то плотность электрического тока j в точке M определяется пределом : [ ^3]

$${\displaystyle j=\lim _{A\to 0}{\frac {I_{A}}{A}}=\left.{\frac {\partial I}{\partial A}}\right|_{A=0},}$$

при этом поверхность A остается с центром в точке M и ортогональна движению зарядов во время предельного процесса.

Вектор плотности тока j — это вектор , величина которого равна плотности электрического тока и направление которого совпадает с движением положительных зарядов в точке M.

В данный момент времени t , если v — скорость зарядов в точке M , а dA — бесконечно малая поверхность с центром в M и ортогональная v , то в течение периода времени dt только заряд, содержащийся в объёме, образованном dA и будет течь через dA . Этот заряд равен где ρ — плотность заряда в точке M. Электрический ток равен , отсюда следует, что вектор плотности тока является вектором, нормальным (т.е. параллельным v ) и имеет величину ${\displaystyle v\,dt}$ ${\displaystyle dq=\rho \,v\,dt\,dA,}$ ${\displaystyle dI=dq/dt=\rho vdA}$ ${\displaystyle dA}$ ${\displaystyle dI/dA=\rho v}$

$${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {v} .}$$

Поверхностный интеграл от j по поверхности S , за которым следует интеграл по времени от t ₁ до t ₂ , дает общее количество заряда, протекающего через поверхность за это время ( t ₂ - t ₁ ):

$${\displaystyle q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA\,dt.}$$

_Более кратко, это интеграл потока j через S между t 1 и t ₂ .

Площадь , необходимая для расчета потока, является реальной или мнимой, плоской или изогнутой, либо в виде площади поперечного сечения, либо в виде поверхности. Например, для носителей заряда, проходящих через электрический проводник , площадь равна поперечному сечению проводника в рассматриваемом сечении.

Площадь вектора представляет собой комбинацию величины площади, через которую проходят носители заряда, A и единичного вектора, нормального к площади. Соотношение ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} .}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} .}$

Площадь дифференциального вектора аналогично следует из определения, данного выше: ${\displaystyle d\mathbf {A} =dA\mathbf {\hat {n}} .}$

Если плотность тока j проходит через область под углом θ к нормали площади, то ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} ,}$

$${\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta }$$

где ⋅ — скалярное произведение единичных векторов. То есть составляющая плотности тока, проходящая через поверхность (т.е. нормальная к ней), равна j cos θ , а составляющая плотности тока, проходящая по касательной к этой области, равна j sin θ , но плотность тока, фактически проходящего через эту область , отсутствует. в тангенциальном направлении. Единственной составляющей плотности тока, проходящей нормально к площади , является косинусная составляющая.

Важность

Плотность тока важна для проектирования электрических и электронных систем.

Характеристики схемы сильно зависят от расчетного уровня тока, а плотность тока определяется размерами проводящих элементов. Например, по мере того, как интегральные схемы уменьшаются в размерах, несмотря на меньший ток, требуемый меньшими устройствами , наблюдается тенденция к более высоким плотностям тока для достижения большего числа устройств на все более мелких площадях кристалла . См. закон Мура .

На высоких частотах проводящая область провода ограничивается вблизи его поверхности, что увеличивает плотность тока в этой области. Это известно как скин-эффект .

Высокие плотности тока имеют нежелательные последствия. Большинство электрических проводников имеют конечное положительное сопротивление , благодаря чему они рассеивают мощность в виде тепла. Плотность тока должна поддерживаться достаточно низкой, чтобы предотвратить плавление или возгорание проводника, выход из строя изоляционного материала или изменение желаемых электрических свойств. При высоких плотностях тока материал, образующий межсоединения, фактически движется — явление, называемое электромиграцией . В сверхпроводниках чрезмерная плотность тока может создать достаточно сильное магнитное поле, вызывающее самопроизвольную потерю сверхпроводящих свойств.

Анализ и наблюдение плотности тока также используется для изучения физики, лежащей в основе природы твердых тел, включая не только металлы, но также полупроводники и изоляторы. Для объяснения многих фундаментальных наблюдений был разработан сложный теоретический формализм. ^{[4] [5]}

Плотность тока является важным параметром в законе цепи Ампера (одно из уравнений Максвелла ), который связывает плотность тока с магнитным полем .

В специальной теории относительности заряд и ток объединены в 4-вектор .

Расчет плотности тока в веществе

Свободные токи

Носители заряда, которые могут свободно перемещаться, образуют плотность свободного тока , которая определяется выражениями, подобными тем, которые приведены в этом разделе.

Электрический ток — это грубая, средняя величина, которая сообщает, что происходит во всем проводе. В положении r в момент времени t распределение протекающего заряда описывается плотностью тока: [ ^6]

$${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\rho (\mathbf {r} ,t)\;\mathbf {v} _{\text{d}}(\mathbf {r} ,t)}$$

где

• j ( r , t ) — вектор плотности тока;
• v _d ( r , t ) — средняя скорость дрейфа частиц(единица СИ: м ∙ с ^-1 );
• ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=q\,n(\mathbf {r} ,t)}$- плотность заряда (единица СИ: кулоны на кубический метр ), в которой
  • n ( r , t ) — количество частиц в единице объема («числовая плотность») (единица СИ: м ^-3 );
  • q — заряд отдельных частиц с плотностью n (единица СИ: кулоны ).

Обычное приближение к плотности тока предполагает, что ток просто пропорционален электрическому полю, что выражается следующим образом:

$${\displaystyle \mathbf {j} =\sigma \mathbf {E} }$$

где E — электрическое поле , а σ — электропроводность .

Проводимость σ является обратной величиной ( обратной ) удельного электрического сопротивления и имеет единицы СИ - сименсы на метр (См⋅м ^-1 ), а E имеет единицы СИ - ньютоны на кулон (N⋅C ^-1 ) или, что то же самое, вольты. на метр (В⋅м ^-1 ).

Более фундаментальный подход к расчету плотности тока основан на:

$${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{t}\left[\int _{V}\sigma (\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t-t')\;\mathbf {E} (\mathbf {r} ',t')\;{\text{d}}^{3}\mathbf {r} '\,\right]{\text{d}}t'}$$

указывая на задержку реакции по временной зависимости σ и нелокальный характер реакции на поле по пространственной зависимости σ , оба рассчитаны в принципе на основе базового микроскопического анализа, например, в случае достаточно малых полей , функция линейного отклика для проводящего поведения материала. См., например, Джулиани и Виньяле (2005) ^[7] или Раммер (2007). ^[8] Интеграл охватывает всю прошлую историю вплоть до настоящего времени.

Вышеуказанная проводимость и связанная с ней плотность тока отражают фундаментальные механизмы, лежащие в основе переноса заряда в среде как во времени, так и на расстояние.

Преобразование Фурье в пространстве и времени приводит к:

$${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {k} ,\omega )=\sigma (\mathbf {k} ,\omega )\;\mathbf {E} (\mathbf {k} ,\omega )}$$

где σ ( k , ω ) теперь является комплексной функцией .

Во многих материалах, например в кристаллических, проводимость представляет собой тензор , и ток не обязательно направлен в том же направлении, что и приложенное поле. Помимо самих свойств материала, применение магнитных полей может изменить проводящие свойства.

Токи поляризации и намагничивания

Токи возникают в материалах при неравномерном распределении заряда. ^[9]

В диэлектрических материалах существует плотность тока, соответствующая чистому движению электрических дипольных моментов на единицу объема, т.е. поляризации P :

$${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {P} }={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$$

Аналогично с магнитными материалами , циркуляция магнитных дипольных моментов на единицу объема, т.е. намагниченность M , приводит к токам намагничивания : ^[10]

$${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {M} }=\nabla \times \mathbf {M} }$$

Вместе эти члены складываются и образуют связанную плотность тока в материале (результирующий ток, обусловленный движением электрического и магнитного дипольных моментов на единицу объема):

$${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {b} }=\mathbf {j} _{\mathrm {P} }+\mathbf {j} _{\mathrm {M} }}$$

Общий ток в материалах

Полный ток представляет собой просто сумму свободного и связанного токов:

$${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{\mathrm {f} }+\mathbf {j} _{\mathrm {b} }}$$

Ток смещения

Существует также ток смещения , соответствующий изменяющемуся во времени электрическому полю смещения D : ^{[11] [12]}

$${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {D} }={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$$

Это важный термин в законе цепи Ампера , одном из уравнений Максвелла, поскольку отсутствие этого члена не позволяет предсказать распространение электромагнитных волн или эволюцию электрических полей во времени в целом.

Уравнение непрерывности

Поскольку заряд сохраняется, плотность тока должна удовлетворять уравнению непрерывности . Вот вывод из первых принципов. ^[9]

Чистый поток из некоторого объема V (который может иметь произвольную форму, но фиксирован для расчета) должен равняться чистому изменению заряда, содержащегося внутри объема:

$${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} }=-{\frac {d}{dt}}\int _{V}{\rho \;dV}=-\int _{V}{{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;dV}}$$

где ρ — плотность заряда , а d A — поверхностный элемент поверхности S , охватывающий объем V. Поверхностный интеграл слева выражает отток тока из объема, а объемный интеграл с отрицательным знаком справа выражает уменьшение общего заряда внутри объема. Из теоремы о дивергенции :

$${\displaystyle \oint _{S}{\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} }=\int _{V}{{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {j} \;dV}}$$

Следовательно:

$${\displaystyle \int _{V}{{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {j} \;dV}\ =-\int _{V}{{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;dV}}$$

Это соотношение справедливо для любого тома, независимо от размера или местоположения, что означает, что:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$$

и это соотношение называется уравнением неразрывности . ^{[13] [14]}

На практике

В электропроводке максимальная плотность тока (при заданном температурном режиме ) может изменяться от 4 А⋅мм ^-2 для провода без циркуляции воздуха вокруг него до более 6 А⋅мм ^-2 для провода на открытом воздухе. В правилах строительной проводки указан максимально допустимый ток для каждого размера кабеля в различных условиях. Для компактных конструкций, таких как обмотки трансформаторов SMPS , это значение может составлять всего 2 А⋅мм ^-2 . ^[15] Если по проводу протекает высокочастотный переменный ток , скин-эффект может повлиять на распределение тока по сечению, концентрируя ток на поверхности проводника . В трансформаторах , рассчитанных на высокие частоты, потери уменьшаются, если в качестве обмоток используется литцендрат . Он состоит из нескольких изолированных проводов, соединенных параллельно, диаметром в два раза превышающим толщину кожи . Изолированные пряди скручиваются вместе, чтобы увеличить общую площадь кожи и снизить сопротивление, возникающее из-за кожного воздействия.

Для верхнего и нижнего слоев печатных плат максимальная плотность тока может достигать 35 А⋅мм ^-2 при толщине меди 35 мкм. Внутренние слои не могут рассеивать столько тепла, сколько внешние слои; Разработчики печатных плат избегают размещения сильноточных следов на внутренних слоях.

В области полупроводников максимальные плотности тока для различных элементов указаны производителем. Превышение этих ограничений приводит к возникновению следующих проблем:

• Эффект Джоуля , повышающий температуру детали.
• Эффект электромиграции , который разрушит соединение и в конечном итоге приведет к разрыву цепи.
• Эффект медленной диффузии , который при постоянном воздействии высоких температур перемещает металлические ионы и легирующие примеси из того места, где они должны быть. Этот эффект также является синонимом старения.

Следующая таблица дает представление о максимальной плотности тока для различных материалов.

Даже если производители добавляют к своим цифрам некоторый запас, для повышения надежности рекомендуется увеличивать расчетное сечение как минимум вдвое, особенно для качественной электроники. Можно также отметить важность хранения электронных устройств в прохладном месте, чтобы не подвергать их электромиграции и медленной диффузии .

В биологических организмах ионные каналы регулируют поток ионов (например, натрия , кальция , калия ) через мембрану во всех клетках . Предполагается, что мембрана клетки действует как конденсатор. ^[17] Плотность тока обычно выражается в пА⋅пФ ^-1 ( пикоампер на пикофарад ) (т. е. ток, деленный на емкость ) . Существуют методы эмпирического измерения емкости и площади поверхности ячеек, что позволяет рассчитывать плотности тока для различных ячеек. Это позволяет исследователям сравнивать ионные токи в клетках разных размеров. ^[18]

В газоразрядных лампах , таких как лампы-вспышки , плотность тока играет важную роль в создаваемом спектре выходного сигнала . Низкая плотность тока приводит к излучению спектральных линий и имеет тенденцию отдавать предпочтение более длинным волнам . Высокие плотности тока создают непрерывное излучение и имеют тенденцию отдавать предпочтение более коротким длинам волн. ^[19] Низкая плотность тока для ламп-вспышек обычно составляет около 10 А⋅мм ^-2 . Высокие плотности тока могут составлять более 40 А⋅мм ^-2 .

Смотрите также

• эффект Холла
• Эффект квантового зала
• Сверхпроводимость
• Подвижность электронов
• Скорость дрейфа
• Эффективная масса
• Электрическое сопротивление
• Листовое сопротивление
• Скорость электричества
• Электрическая проводимость
• Отношения Грина-Кубо
• Функция Грина (теория многих тел)

Рекомендации

1. Уокер, Джерл; Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт (2014). Основы физики (10-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 749. ИСБН 9781118230732. ОСЛК  950235056.
2. Лернер, Р.Г.; Тригг, Г.Л. (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издатели ВХК. ISBN 0895737523.
3. Уилан, премьер-министр; Ходжсон, MJ (1978). Основные принципы физики (2-е изд.). ISBN 0719533821.
4. Ричард П. Мартин (2004). Электронная структура: основная теория и практические методы. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521782856.
5. Альтланд, Александр; Саймонс, Бен (2006). Теория поля конденсированного состояния. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521845083.
6. Воан, Г. (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521575072.
7. Джулиани, Габриэле; Виньяле, Джованни (2005). Квантовая теория электронной жидкости. Издательство Кембриджского университета. п. 111. ИСБН 0521821126. теория линейного отклика емкость ИЛИ проводимость.
8. Раммер, Йорген (2007). Квантовая теория поля неравновесных состояний. Издательство Кембриджского университета. п. 158. ИСБН 9780521874991.
9. Грант, IS; Филлипс, WR (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 9780471927129.
10. Герчинский, Анджей (2013). «Связанные заряды и токи» (PDF) . Американский журнал физики . Американская ассоциация учителей физики. 81 (3): 202–205. Бибкод : 2013AmJPh..81..202H. дои : 10.1119/1.4773441. Архивировано из оригинала (PDF) 20 сентября 2020 г. Проверено 23 апреля 2017 г.
11. Гриффитс, ди-джей (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Пирсон Образование. ISBN 978-8177582932.
12. Типлер, Пенсильвания; Моска, Г. (2008). Физика для ученых и инженеров - с современной физикой (6-е изд.). ISBN 978-0716789642.
13. Тай Л. Чоу (2006). Введение в электромагнитную теорию: современный взгляд. Джонс и Бартлетт. стр. 130–131. ISBN 0-7637-3827-1.
14. Гриффитс, ди-джей (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Пирсон/Аддисон-Уэсли. п. 213. ИСБН 0-13-805326-Х.
15. А. Прессман; и другие. (2009). Проектирование импульсных источников питания (3-е изд.). МакГроу-Хилл. п. 320. ИСБН 978-0-07-148272-1.
16. Мурали, Рагхунатх; Ян, Иньсяо; Бреннер, Кевин; Бек, Томас; Мейндл, Джеймс Д. (2009). «Плотность тока пробоя графеновых нанолент». Письма по прикладной физике . 94 (24): 243114. arXiv : 0906.4156 . Бибкод : 2009АпФЛ..94x3114M. дои : 10.1063/1.3147183. ISSN  0003-6951. S2CID  55785299.
17. Падение, КП; Марланд, ES; Вагнер, Дж. М.; Тайсон, Джей-Джей, ред. (2002). Вычислительная клеточная биология. Нью-Йорк: Спрингер. п. 28. ISBN 9780387224596.
18. Вейр, ЕК; Хьюм, младший; Ривз, Дж. Т., ред. (1993). «Электрофизиология гладкомышечных клеток и методы исследования ионных каналов». Поток ионов в контроле легочных сосудов . Нью-Йорк: Springer Science. п. 29. ISBN 9780387224596.
19. «Фотокатоды ксеноновых ламп» (PDF) .