Подвижность электронов

Величина в физике твердого тела

В физике твердого тела подвижность электронов характеризует, насколько быстро электрон может перемещаться через металл или полупроводник , когда его притягивает электрическое поле . Для дырок существует аналогичная величина , называемая подвижностью дырок . Термин «мобильность носителей» в целом относится как к подвижности электронов, так и к подвижности дырок.

Подвижность электронов и дырок представляют собой частные случаи электрической подвижности заряженных частиц в жидкости под действием приложенного электрического поля.

Когда электрическое поле E прикладывается к куску материала, электроны реагируют, двигаясь со средней скоростью, называемой скоростью дрейфа , . Тогда подвижность электронов μ определяется как ${\displaystyle v_{d}}$

$${\displaystyle v_{d}=\mu E.}$$

Подвижность электронов почти всегда указывается в единицах см 2 /( В ⋅ с ). Это отличается от единицы подвижности в СИ , м 2 /( В ⋅ с ). Они связаны соотношением 1 м ² /(В⋅с) = 10 ⁴ см ² /(В⋅с).

Проводимость пропорциональна произведению подвижности и концентрации носителей. Например, одна и та же проводимость может исходить от небольшого числа электронов с высокой подвижностью каждого или от большого количества электронов с малой подвижностью каждого. Что касается полупроводников, поведение транзисторов и других устройств может сильно различаться в зависимости от того, много ли электронов с низкой подвижностью или мало электронов с высокой подвижностью. Поэтому подвижность является очень важным параметром для полупроводниковых материалов. Почти всегда более высокая мобильность приводит к повышению производительности устройства при прочих равных условиях.

Подвижность полупроводника зависит от концентрации примесей (включая концентрации доноров и акцепторов), концентрации дефектов, температуры, концентрации электронов и дырок. Это также зависит от электрического поля, особенно в сильных полях, когда происходит насыщение скорости . Это можно определить с помощью эффекта Холла или вывести из поведения транзистора.

Введение

Скорость дрейфа в электрическом поле

Без какого-либо приложенного электрического поля в твердом теле электроны и дырки движутся хаотично . Следовательно, в среднем не будет общего движения носителей заряда в каком-либо конкретном направлении с течением времени.

Однако при приложении электрического поля каждый электрон или дырка ускоряется электрическим полем. Если бы электрон находился в вакууме, он бы ускорялся до постоянно возрастающей скорости (так называемый баллистический транспорт ). Однако в твердом теле электрон многократно рассеивается на дефектах кристалла , фононах , примесях и т. д., в результате чего он теряет часть энергии и меняет направление. Конечный результат состоит в том, что электрон движется с конечной средней скоростью, называемой скоростью дрейфа . Это чистое движение электронов обычно намного медленнее, чем обычно происходящее случайное движение.

Два носителя заряда, электроны и дырки, обычно имеют разные скорости дрейфа в одном и том же электрическом поле.

Квазибаллистический транспорт возможен в твердых телах, если электроны ускоряются на очень малом расстоянии (такой малом, как длина свободного пробега ) или в течение очень короткого времени (настолько же коротком, как среднее свободное время ). В этих случаях скорость дрейфа и подвижность не имеют значения.

Определение и единицы измерения

Подвижность электронов определяется уравнением:

$${\displaystyle v_{d}=\mu _{e}E.}$$

• E - величина электрического поля, приложенного к материалу,
• v _d - величина скорости дрейфа электронов (другими словами, скорость дрейфа электронов ), вызванная электрическим полем, и
• µ _e – подвижность электронов.

Подвижность дырок определяется аналогичным уравнением:

$${\displaystyle v_{d}=\mu _{h}E.}$$

Обычно скорость дрейфа электронов в материале прямо пропорциональна электрическому полю, а это означает, что подвижность электронов постоянна (не зависит от электрического поля). Когда это не так (например, в очень больших электрических полях), подвижность зависит от электрического поля.

Единица скорости в СИ — м/с , а единица электрического поля в СИ — В / м . Следовательно, единицей подвижности в СИ является (м/с)/(В/м) = м 2 /( V ⋅ с ). Однако гораздо чаще подвижность выражают в см ² /(В⋅с) = 10 ^-4 м ² /(В⋅с).

Подвижность обычно сильно зависит от примесей материала и температуры и определяется эмпирически. Значения мобильности обычно представлены в виде таблицы или диаграммы. Мобильность электронов и дырок в данном материале также различна.

Вывод

Начнем со второго закона Ньютона :

$${\displaystyle a=F/m_{e}^{*}}$$

• а — ускорение между столкновениями.
• F - электрическая сила, действующая электрическим полем, а
• ${\displaystyle m_{e}^{*}}$– эффективная масса электрона.

Поскольку сила, действующая на электрон, равна − eE :

$${\displaystyle a=-{\frac {eE}{m_{e}^{*}}}}$$

Это ускорение электрона между столкновениями. Следовательно, скорость дрейфа равна:

$${\displaystyle v_{d}=a\tau _{c}=-{\frac {e\tau _{c}}{m_{e}^{*}}}E,}$$

свободное время ${\displaystyle \tau _{c}}$

Поскольку нас интересует только то, как изменяется скорость дрейфа в зависимости от электрического поля, мы объединяем неопределенные члены вместе, чтобы получить

$${\displaystyle v_{d}=-\mu _{e}E,}$$

${\displaystyle \mu _{e}={\frac {e\tau _{c}}{m_{e}^{*}}}}$

Аналогично для дырок имеем

$${\displaystyle v_{d}=\mu _{h}E,}$$

${\displaystyle \mu _{h}={\frac {e\tau _{c}}{m_{h}^{*}}}}$

Отношение к плотности тока

Плотность дрейфового тока, возникающего в электрическом поле, можно рассчитать по скорости дрейфа. Рассмотрим образец с площадью поперечного сечения A, длиной l и концентрацией электронов n. Ток, переносимый каждым электроном, должен быть , так что общая плотность тока, обусловленная электронами, определяется выражением: ${\displaystyle -ev_{d}}$

$${\displaystyle J_{e}={\frac {I_{n}}{A}}=-env_{d}}$$

${\displaystyle v_{d}}$

$${\displaystyle J_{e}=en\mu _{e}E}$$

$${\displaystyle J_{h}=ep\mu _{h}E}$$

${\displaystyle \mu _{h}}$

Полная плотность тока представляет собой сумму электронной и дырочной составляющих:

$${\displaystyle J=J_{e}+J_{h}=(en\mu _{e}+ep\mu _{h})E}$$

Связь с проводимостью

Ранее мы получили зависимость между подвижностью электронов и плотностью тока.

$${\displaystyle J=J_{e}+J_{h}=(en\mu _{e}+ep\mu _{h})E}$$

закон Ома

$${\displaystyle J=\sigma E}$$

${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle \sigma =en\mu _{e}+ep\mu _{h}}$$

$${\displaystyle \sigma =e(n\mu _{e}+p\mu _{h})}$$

Связь с диффузией электронов

В области, где n и p меняются с расстоянием, диффузионный ток накладывается на ток, обусловленный проводимостью. Этот диффузионный ток регулируется законом Фика :

$${\displaystyle F=-D_{\text{e}}\nabla n}$$

• F — поток.
• D _e – коэффициент диффузии или коэффициент диффузии
• ${\displaystyle \nabla n}$- градиент концентрации электронов

Коэффициент диффузии носителя заряда связан с его подвижностью соотношением Эйнштейна . Для классической системы (например, газа Больцмана) оно гласит:

$${\displaystyle D_{\text{e}}={\frac {\mu _{\text{e}}k_{\mathrm {B} }T}{e}}}$$

• k _B — постоянная Больцмана
• Т — абсолютная температура
• e - электрический заряд электрона

Для металла, описываемого ферми-газом (ферми-жидкостью), следует использовать квантовую версию соотношения Эйнштейна. Обычно температура намного меньше энергии Ферми, в этом случае следует использовать следующую формулу:

$${\displaystyle D_{\text{e}}={\frac {\mu _{\text{e}}E_{F}}{e}}}$$

• E _F — энергия Ферми

Примеры

Типичная подвижность электронов при комнатной температуре (300 К) в таких металлах, как золото , медь и серебро , составляет 30–50 см ² /(В⋅с). Подвижность носителей в полупроводниках зависит от легирования. В кремнии (Si) подвижность электронов порядка 1000, в германии около 4000, а в арсениде галлия до 10 000 см ² /(В⋅с). Подвижность дырок обычно ниже и колеблется от примерно 100 см ² /(В⋅с) в арсениде галлия до 450 в кремнии и 2000 в германии. ^[1]

Очень высокая подвижность была обнаружена в нескольких сверхчистых низкоразмерных системах, таких как двумерные электронные газы ( 2DEG ) (35 000 000 см ² /(В⋅с) при низкой температуре), ^[2] углеродные нанотрубки (100 000 см ² /( В⋅с) при комнатной температуре) ^[3] и отдельно стоящий графен (200 000 см ² /(В⋅с) при низкой температуре). ^[4] Органические полупроводники ( полимеры , олигомеры ), разработанные к настоящему времени, имеют подвижность носителей ниже 50 см ² /(В⋅с) и обычно ниже 1, а хорошо работающие материалы измеряются ниже 10. ^[5]

Зависимость электрического поля и насыщение скорости

В слабых полях скорость дрейфа v _d пропорциональна электрическому полю E , поэтому подвижность μ постоянна. Это значение µ называется подвижностью в низком поле .

Однако по мере увеличения электрического поля скорость носителя сублинейно и асимптотически возрастает до максимально возможного значения, называемого скоростью насыщения v _sat . Например, значение v _sat составляет порядка 1×10 ⁷ см/с как для электронов, так и для дырок в Si. Для Ge она порядка 6×10 ⁶ см/с. Эта скорость является характеристикой материала и сильно зависит от уровня легирования или примесей и температуры. Это одно из ключевых свойств материалов и полупроводниковых устройств, которые определяют такое устройство, как предельный предел скорости отклика и частоты транзистора.

Это явление насыщения скоростей является результатом процесса, называемого рассеянием оптических фононов . В сильных полях носители ускоряются достаточно, чтобы между столкновениями получить достаточную кинетическую энергию для испускания оптического фонона, и делают это очень быстро, прежде чем снова ускоряться. Скорость, которую достигает электрон перед испусканием фонона, равна:

$${\displaystyle {\frac {m^{*}v_{\text{emit}}^{2}}{2}}\approx \hbar \omega _{\text{phonon (opt.)}}}$$

ω _{фонон(опт.)}E- _{фонона (опт.)}v _{испускания}v _{испускания}^[12][12]

Насыщение скоростей — не единственное возможное поведение в сильном поле. Другой — эффект Ганна , при котором достаточно сильное электрическое поле может вызвать междолинный перенос электронов, что снижает скорость дрейфа. Это необычно; увеличение электрического поля почти всегда увеличивает скорость дрейфа или оставляет ее неизменной. Результатом является отрицательное дифференциальное сопротивление .

В режиме насыщения скорости (или других эффектов сильного поля) подвижность является сильной функцией электрического поля. Это означает, что мобильность является несколько менее полезной концепцией по сравнению с простым обсуждением скорости дрейфа напрямую.

Связь между рассеянием и подвижностью

Напомним, что подвижность по определению зависит от скорости дрейфа. Основным фактором, определяющим скорость дрейфа (кроме эффективной массы ), является время рассеяния , т.е. как долго носитель баллистически ускоряется электрическим полем, пока он не рассеется (не столкнется) с чем-то, что изменит его направление и/или энергию. Наиболее важными источниками рассеяния в типичных полупроводниковых материалах, обсуждаемых ниже, являются рассеяние на ионизированных примесях и рассеяние акустических фононов (также называемое решеточным рассеянием). В некоторых случаях могут иметь значение другие источники рассеяния, такие как рассеяние на нейтральных примесях, рассеяние оптических фононов, поверхностное рассеяние и рассеяние на дефектах . ^[13]

Упругое рассеяние означает, что энергия (почти) сохраняется во время рассеяния. Некоторыми процессами упругого рассеяния являются рассеяние на акустических фононах, рассеяние на примесях, пьезоэлектрическое рассеяние и т. д. При рассеянии акустических фононов электроны рассеиваются из состояния k в k' , испуская или поглощая фонон с волновым вектором q . Это явление обычно моделируется, предполагая, что колебания решетки вызывают небольшие сдвиги энергетических зон. Дополнительный потенциал, вызывающий процесс рассеяния, создается отклонениями зон из-за этих небольших переходов из замороженных положений решетки. ^[14]

Рассеяние ионизированных примесей

Полупроводники легированы донорами и/или акцепторами, которые обычно ионизируются и, таким образом, заряжаются. Кулоновские силы отклонят электрон или дырку, приближающуюся к ионизированной примеси. Это известно как рассеяние на ионизированных примесях . Величина отклонения зависит от скорости носителя и его близости к иону. Чем сильнее легирован материал, тем выше вероятность того, что носитель столкнется с ионом за заданное время, тем меньше среднее свободное время между столкновениями и тем меньше подвижность. При определении силы этих взаимодействий из-за дальнодействующего характера кулоновского потенциала другие примеси и свободные носители приводят к значительному уменьшению дальности взаимодействия с носителями по сравнению с затравочным кулоновским взаимодействием.

Если эти рассеиватели находятся вблизи границы раздела, сложность проблемы возрастает из-за существования кристаллических дефектов и нарушений. Центры захвата заряда, рассеивающие свободные носители заряда, во многих случаях образуются из-за дефектов, связанных с оборванными связями. Рассеяние происходит потому, что после захвата заряда дефект становится заряженным и, следовательно, начинает взаимодействовать со свободными носителями. Если рассеянные носители находятся в инверсионном слое на границе раздела, то пониженная размерность носителей отличает этот случай от случая объемного рассеяния на примесях, поскольку носители движутся только в двух измерениях. Шероховатость межфазной границы также вызывает рассеяние на короткие расстояния, ограничивающее подвижность квазидвумерных электронов на границе раздела. ^[14]

Решеточное (фононное) рассеяние

При любой температуре выше абсолютного нуля колеблющиеся атомы создают в кристалле волны давления (акустические), которые называются фононами . Как и электроны, фононы можно рассматривать как частицы. Фонон может взаимодействовать (столкнуться) с электроном (или дыркой) и рассеять его. При более высокой температуре появляется больше фононов и, следовательно, увеличивается рассеяние электронов, что имеет тенденцию к снижению подвижности.

Пьезоэлектрическое рассеяние

Пьезоэлектрический эффект может возникнуть только в сложных полупроводниках из-за их полярной природы. В большинстве полупроводников он мал, но может приводить к возникновению локальных электрических полей, вызывающих рассеяние носителей путем их отклонения. Этот эффект важен в основном при низких температурах, когда другие механизмы рассеяния слабы. Эти электрические поля возникают из-за искажения основной элементарной ячейки, когда в решетке в определенных направлениях прикладывается деформация. ^[14]

Рассеяние шероховатости поверхности

Рассеяние на шероховатости поверхности, вызванное межфазным беспорядком, представляет собой рассеяние на короткие расстояния, ограничивающее подвижность квазидвумерных электронов на границе раздела. По трансмиссионным электронным микроснимкам высокого разрешения было установлено, что граница раздела не является резкой на атомном уровне, но фактическое положение межфазной плоскости варьируется на один или два атомных слоя вдоль поверхности. Эти изменения носят случайный характер и вызывают флуктуации энергетических уровней на границе раздела, что затем вызывает рассеяние. ^[14]

Рассеивание сплавов

В сложных полупроводниках (сплавах), которыми являются многие термоэлектрические материалы, рассеяние, вызванное возмущением кристаллического потенциала из-за случайного расположения замещающих видов атомов в соответствующей подрешетке, известно как рассеяние сплава. Это может произойти только в тройных или более высоких сплавах, поскольку их кристаллическая структура формируется путем случайной замены некоторых атомов в одной из подрешеток (подрешеток) кристаллической структуры. Как правило, это явление довольно слабое, но в определенных материалах или обстоятельствах оно может стать доминирующим эффектом, ограничивающим проводимость. В объемных материалах рассеянием на границе раздела обычно пренебрегают. ^{[14] [15] [16] [17] [18]}

Неупругое рассеяние

В ходе процессов неупругого рассеяния происходит значительный обмен энергией. Как и при упругом рассеянии фононов, в неупругом случае потенциал возникает из-за деформаций энергетических зон, вызванных колебаниями атомов. Оптические фононы, вызывающие неупругое рассеяние, обычно имеют энергию в диапазоне 30-50 мэВ, для сравнения: энергии акустических фононов обычно меньше 1 мэВ, но некоторые из них могут иметь энергию порядка 10 мэВ. В процессе рассеяния происходит значительное изменение энергии носителей. Оптические или высокоэнергетические акустические фононы также могут вызывать междолинное или межзонное рассеяние, что означает, что рассеяние не ограничивается одной долиной. ^[14]

Электрон-электронное рассеяние

В соответствии с принципом Паули электроны можно считать невзаимодействующими, если их плотность не превышает значения 10 ¹⁶ ~10 ¹⁷ см ^-3 или значения электрического поля 10 ³ В/см. Однако значительно выше этих пределов начинает доминировать электрон-электронное рассеяние. Большой радиус действия и нелинейность кулоновского потенциала, управляющего взаимодействием между электронами, затрудняют борьбу с этими взаимодействиями. ^{[14] [15] [16]}

Связь между подвижностью и временем рассеяния

Простая модель дает приблизительную связь между временем рассеяния (средним временем между событиями рассеяния) и подвижностью. Предполагается, что после каждого акта рассеяния движение носителя хаотизировано, поэтому его средняя скорость равна нулю. После этого он равномерно ускоряется в электрическом поле, пока снова не рассеется. Итоговая средняя дрейфовая подвижность составит: ^[19]

$${\displaystyle \mu ={\frac {q}{m^{*}}}{\overline {\tau }}}$$

qэлементарный зарядm * — эффективная массаτ

Если эффективная масса анизотропна (зависит от направления), m * — эффективная масса в направлении электрического поля.

Правило Маттиссена

Обычно присутствует более одного источника рассеяния, например, как примеси, так и фононы решетки. Обычно очень хорошим приближением является объединение их влияний с использованием «Правила Маттиссена» (разработанного на основе работы Августа Маттиссена в 1864 году):

$${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {lattice}}}}.}$$

µ ${\displaystyle \mu _{\rm {impurities}}}$ ${\displaystyle \mu _{\rm {lattice}}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {lattice}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {defects}}}}+\cdots .}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}={\frac {1}{\tau _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {lattice}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {defects}}}}+\cdots .}$$

τ_{примесей}

Правило Маттиссена является приблизительным и не является универсальным. Это правило недействительно, если факторы, влияющие на подвижность, зависят друг от друга, поскольку отдельные вероятности рассеяния нельзя суммировать, если они не независимы друг от друга. ^[18] Среднее свободное время полета носителя и, следовательно, время релаксации обратно пропорциональны вероятности рассеяния. ^{[14] [15] [17]} Например, рассеяние на решетке изменяет среднюю скорость электронов (в направлении электрического поля), что, в свою очередь, изменяет тенденцию к рассеянию примесей. Существуют более сложные формулы, которые пытаются учесть эти эффекты. ^[20]

Температурная зависимость подвижности

С повышением температуры концентрация фононов увеличивается и вызывает усиление рассеяния. Таким образом, решеточное рассеяние все больше и больше снижает подвижность носителей при более высокой температуре. Теоретические расчеты показывают, что в неполярных полупроводниках, таких как кремний и германий, в подвижности преобладает взаимодействие акустических фононов . Ожидается, что результирующая подвижность будет пропорциональна T  ^-3/2 , тогда как ожидается, что подвижность, обусловленная только рассеянием оптических фононов, будет пропорциональна T  ^-1/2 . Экспериментальные значения температурной зависимости подвижности в Si, Ge и GaAs приведены в таблице. ^[21]

Поскольку , где - сечение рассеяния электронов и дырок в рассеивающем центре и - среднее тепловое значение (статистика Больцмана) по всем скоростям электронов или дырок в нижней зоне проводимости или верхней валентной зоне, можно определить температурную зависимость подвижности. Здесь используется следующее определение сечения рассеяния: количество частиц, рассеянных в телесный угол dΩ в единицу времени, деленное на количество частиц на площадь за время (интенсивность падения), которое исходит из классической механики. Поскольку статистика Больцмана справедлива и для полупроводников . ${\textstyle {\frac {1}{\tau }}\propto \left\langle v\right\rangle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \left\langle v\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle v\right\rangle \sim {\sqrt {T}}}$

Для рассеяния на акустических фононах, при температурах значительно выше температуры Дебая, расчетное сечение Σ _ph определяется из квадрата средней амплитуды колебаний фонона, пропорционального T . Рассеяние на заряженных дефектах (ионизированных донорах или акцепторах) приводит к сечению . Эта формула представляет собой сечение рассеяния для «резерфордовского рассеяния», когда точечный заряд (носитель) проходит мимо другого точечного заряда (дефекта), испытывающего кулоновское взаимодействие. ${\displaystyle {\Sigma }_{\text{def}}\propto {\left\langle v\right\rangle }^{-4}}$

Температурные зависимости этих двух механизмов рассеяния в полупроводниках можно определить, объединив формулы для τ, Σ и для рассеяния на акустических фононах и на заряженных дефектах . ^{[15] [17]} ${\displaystyle \left\langle v\right\rangle }$ ${\displaystyle {\mu }_{ph}\sim T^{-3/2}}$ ${\displaystyle {\mu }_{\text{def}}\sim T^{3/2}}$

Однако эффект рассеяния на ионизированных примесях уменьшается с ростом температуры, поскольку средние тепловые скорости носителей увеличиваются. ^[13] Таким образом, носители проводят меньше времени вблизи ионизированной примеси при прохождении, и эффект рассеяния ионов, таким образом, снижается.

Эти два эффекта действуют одновременно на носителей согласно правилу Маттиссена. При более низких температурах доминирует рассеяние на ионизированных примесях, а при более высоких – рассеяние на фононах, и фактическая подвижность достигает максимума при промежуточной температуре.

Неупорядоченные полупроводники

Плотность состояний твердого тела, обладающего краем подвижности, . ${\displaystyle E_{C}}$

В то время как в кристаллических материалах электроны могут быть описаны волновыми функциями, простирающимися по всему твердому телу, ^[22] это не так в системах со значительным структурным беспорядком, таких как поликристаллические или аморфные полупроводники. Андерсон предположил, что за пределами критического значения структурного беспорядка ^[23] электронные состояния будут локализованы . Локализованные состояния описываются как ограниченные конечной областью реального пространства, нормализуемые и не способствующие транспортировке. Расширенные состояния разбросаны по размеру материала, не поддаются нормализации и способствуют транспортировке. В отличие от кристаллических полупроводников, в неупорядоченных полупроводниках подвижность обычно увеличивается с температурой.

Множественный захват и выпуск

Позже Мотт разработал ^[24] концепцию края подвижности. Это энергия , выше которой электроны переходят из локализованного состояния в делокализованное. В этом описании, называемом множественным захватом и высвобождением , электроны могут путешествовать только в расширенных состояниях и постоянно захватываются и повторно высвобождаются из локализованных состояний с более низкой энергией. Поскольку вероятность выхода электрона из ловушки зависит от его тепловой энергии, подвижность в такой системе можно описать соотношением Аррениуса : ${\displaystyle E_{C}}$

Энергетическая зонная диаграмма, изображающая перенос электронов при многократном захвате и высвобождении.

$${\displaystyle \mu =\mu _{0}\exp \left(-{\frac {E_{\text{A}}}{k_{\text{B}}T}}\right)}$$

где – префактор подвижности, – энергия активации, – постоянная Больцмана, – температура. Энергию активации обычно оценивают путем измерения подвижности как функции температуры. Энергию Урбаха можно использовать в качестве показателя энергии активации в некоторых системах. ^[25] ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle E_{\text{A}}}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle T}$

Переменное изменение диапазона

При низкой температуре или в системах с большой степенью структурного беспорядка (например, в полностью аморфных системах) электроны не могут получить доступ к делокализованным состояниям. В такой системе электроны могут перемещаться только путем туннелирования из одного узла в другой в процессе, называемом прыжком с переменным диапазоном . В исходной теории прыжков с переменным радиусом действия, разработанной Моттом и Дэвисом, ^[26] вероятность перескока электрона из одного узла в другой зависит от их разделения в пространстве и их разделения по энергии . ${\displaystyle P_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle r_{ij}}$ ${\displaystyle \Delta E_{ij}}$

$${\displaystyle P_{ij}=P_{0}\exp \left(-2\alpha r_{ij}-{\frac {\Delta E_{ij}}{k_{B}T}}\right)}$$

Здесь – префактор, связанный с частотой фононов в материале ^[27] , – параметр перекрытия волновых функций. ^{Можно показать [26],} что мобильность в системе, управляемой перескоком с переменным диапазоном, равна: ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \mu =\mu _{0}\exp \left(-\left[{\frac {T_{0}}{T}}\right]^{-1/(d+1)}\right)}$$

где – префактор подвижности, – параметр (с размерностями температуры), который количественно определяет ширину локализованных состояний, – размерность системы. ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle d}$

Измерение подвижности полупроводников

Мобильность зала

Установка для измерения эффекта Холла для отверстий

Установка для измерения эффекта Холла для электронов

Подвижность носителей чаще всего измеряют с помощью эффекта Холла . Результат измерения называется «подвижностью Холла» (что означает «подвижность, полученная на основе измерения эффекта Холла»).

Рассмотрим полупроводниковый образец прямоугольного сечения, как показано на рисунках, ток течет в направлении x , а магнитное поле приложено в направлении z . Результирующая сила Лоренца будет ускорять электроны ( материалы n -типа) или дырки ( материалы p -типа) в направлении (- y ), согласно правилу правой руки , и создавать электрическое поле ξ _y . В результате на образце возникает напряжение, которое можно измерить высокоомным вольтметром . Это напряжение V _H называется напряжением Холла . V _H является отрицательным для материала n -типа и положительным для материала p -типа.

Математически сила Лоренца , действующая на заряд q , определяется выражением

Для электронов:

$${\displaystyle {\vec {F}}_{Hn}=-q({\vec {v}}_{n}\times {\vec {B}}_{z})}$$

Для отверстий:

$${\displaystyle {\vec {F}}_{Hp}=+q({\vec {v}}_{p}\times {\vec {B}}_{z})}$$

В установившемся режиме эта сила уравновешивается силой, создаваемой напряжением Холла, так что результирующей силы на носителях в направлении y нет . Для электронов

$${\displaystyle {\vec {F}}_{y}=(-q){\vec {\xi }}_{y}+(-q)[{\vec {v}}_{n}\times {\vec {B}}_{z}]=0}$$

$${\displaystyle \Rightarrow -q\xi _{y}+qv_{x}B_{z}=0}$$

$${\displaystyle \xi _{y}=v_{x}B_{z}}$$

Для электронов поле направлено в направлении – y , а для дырок – в направлении + y .

Электронный ток I определяется выражением . Подставьте v _x в выражение для ξ _y , ${\displaystyle I=-qnv_{x}tW}$

$${\displaystyle \xi _{y}=-{\frac {IB}{nqtW}}=+{\frac {R_{Hn}IB}{tW}}}$$

где R _Hn — коэффициент Холла для электрона и определяется как

$${\displaystyle R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}}$$

С ${\displaystyle \xi _{y}={\frac {V_{H}}{W}}}$

$${\displaystyle R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}={\frac {V_{Hn}t}{IB}}}$$

Аналогично для дырок

$${\displaystyle R_{Hp}={\frac {1}{pq}}={\frac {V_{Hp}t}{IB}}}$$

Из коэффициента Холла мы можем получить подвижность носителей следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{n}&=\left(-nq\right)\mu _{n}\left(-{\frac {1}{nq}}\right)\\&=-\sigma _{n}R_{Hn}\\&=-{\frac {\sigma _{n}V_{Hn}t}{IB}}\end{aligned}}}$$

Сходным образом,

$${\displaystyle \mu _{p}={\frac {\sigma _{p}V_{Hp}t}{IB}}}$$

Здесь значения V _Hp (напряжение Холла), t (толщина образца), I (ток) и B (магнитное поле) могут быть измерены непосредственно, а проводимости σ _n или σ _p либо известны, либо могут быть получены из измерения удельное сопротивление.

Полевая мобильность

Подвижность также можно измерить с помощью полевого транзистора (FET). Результат измерения называется «полевой подвижностью» (что означает «подвижность, полученная на основе полевых измерений»).

Измерение может осуществляться двумя способами: в режиме насыщения или в линейной области. ^[28] ( Описание различных режимов или областей работы см. в разделе MOSFET .)

Использование режима насыщения

В этом методе ^[28] для каждого фиксированного напряжения затвора V _GS напряжение сток-исток V _DS увеличивается до тех пор, пока ток I _D не достигнет насыщения. Затем квадратный корень из этого тока насыщения строится в зависимости от напряжения на затворе и измеряется крутизна m _{sat .} Тогда подвижность равна:

$${\displaystyle \mu =m_{\text{sat}}^{2}{\frac {2L}{W}}{\frac {1}{C_{i}}}}$$

LWC _i

$${\displaystyle I_{D}={\frac {\mu C_{i}}{2}}{\frac {W}{L}}(V_{GS}-V_{th})^{2}.}$$

V _thэффект Эрли (модуляцию длины канала). ^[29]

Использование линейной области

В этом методе ^[28] транзистор работает в линейной области (или «омическом режиме»), где V _DS мало и с крутизной m _lin . Тогда подвижность равна: ${\displaystyle I_{D}\propto V_{GS}}$

$${\displaystyle \mu =m_{\text{lin}}{\frac {L}{W}}{\frac {1}{V_{DS}}}{\frac {1}{C_{i}}}.}$$

$${\displaystyle I_{D}=\mu C_{i}{\frac {W}{L}}\left((V_{GS}-V_{th})V_{DS}-{\frac {V_{DS}^{2}}{2}}\right)}$$

_DSG^[29]

Оптическая мобильность

Подвижность электронов может быть определена путем измерений методом бесконтактного лазерного фотоотражения. По мере прохождения образца через фокус проводится серия измерений фотоотражения. Длина диффузии электронов и время рекомбинации определяются путем регрессионной аппроксимации данных. Затем соотношение Эйнштейна используется для расчета подвижности. ^{[30] [31]}

Терагерцовая мобильность

Подвижность электронов можно рассчитать на основе измерений терагерцового зонда с временным разрешением . ^{[32] [33]} Фемтосекундные лазерные импульсы возбуждают полупроводник, и результирующая фотопроводимость измеряется с помощью терагерцового зонда, который обнаруживает изменения в терагерцовом электрическом поле. ^[34]

Микроволновая проводимость с временным разрешением (TRMC)

Показатель подвижности носителей заряда можно оценить с помощью микроволновой проводимости с временным разрешением (TRMC). ^[35] Импульсный оптический лазер используется для создания электронов и дырок в полупроводнике, которые затем обнаруживаются по увеличению фотопроводимости. Зная оптическую плотность образца, размеры и плотность падающего лазера, можно оценить параметр: где - выход генерации носителей (между 0 и 1), - подвижность электронов и - подвижность дырок. имеет те же размеры, что и подвижность, но тип носителя (электрон или дырка) не указан. ${\displaystyle \phi \Sigma \mu =\phi (\mu _{e}+\mu _{h})}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mu _{e}}$ ${\displaystyle \mu _{h}}$ ${\displaystyle \phi \Sigma \mu }$

Зависимость концентрации легирования в сильнолегированном кремнии

Носителями заряда в полупроводниках являются электроны и дырки. Их количество контролируется концентрацией примесных элементов, т.е. концентрацией легирования. Таким образом, концентрация легирования оказывает большое влияние на подвижность носителей.

Несмотря на значительный разброс экспериментальных данных , для некомпенсированного материала (без противолегирования) для сильнолегированных подложек (т.е. и выше) подвижность в кремнии часто характеризуется эмпирическим соотношением : ^[36] ${\displaystyle 10^{18}\mathrm {cm} ^{-3}}$

$${\displaystyle \mu =\mu _{o}+{\frac {\mu _{1}}{1+\left({\frac {N}{N_{\text{ref}}}}\right)^{\alpha }}}}$$

NNDN _AN _ref. комнатной температуре

Большинство перевозчиков: ^[37]

$${\displaystyle \mu _{n}(N_{D})=65+{\frac {1265}{1+\left({\frac {N_{D}}{8.5\times 10^{16}}}\right)^{0.72}}}}$$

$${\displaystyle \mu _{p}(N_{A})=48+{\frac {447}{1+\left({\frac {N_{A}}{6.3\times 10^{16}}}\right)^{0.76}}}}$$

Меньшие перевозчики: ^[38]

$${\displaystyle \mu _{n}(N_{A})=232+{\frac {1180}{1+\left({\frac {N_{A}}{8\times 10^{16}}}\right)^{0.9}}}}$$

$${\displaystyle \mu _{p}(N_{D})=130+{\frac {370}{1+\left({\frac {N_{D}}{8\times 10^{17}}}\right)^{1.25}}}}$$

Эти уравнения применимы только к кремнию и только в слабом поле.

Смотрите также

• Скорость электричества

Рекомендации

1. «Архив NSM - Физические свойства полупроводников». www.matprop.ru . Проверено 25 июля 2020 г.
2. Уманский, В.; Хейблум, М.; Левинсон, Ю.; Смет, Дж.; Нюблер, Дж.; Долев, М. (2009). «Рост МЛЭ 2ДЭГ со сверхнизким беспорядком с подвижностью, превышающей 35 × 106 см2 В-1 с-1». Журнал роста кристаллов . 311 (7): 1658–1661. Бибкод : 2009JCrGr.311.1658U. doi :10.1016/j.jcrysgro.2008.09.151.
3. Дюркоп, Т.; Гетти, ЮАР; Кобас, Энрике; Фюрер, М.С. (2004). «Необычайная подвижность полупроводниковых углеродных нанотрубок». Нано-буквы . 4 (1): 35. Бибкод : 2004NanoL...4...35D. дои : 10.1021/nl034841q. S2CID  45010238.
4. Болотин, К; Сайкс, К; Цзян, З; Клима, М; Фуденберг, Г; Хоун, Дж; Ким, П; Стормер, Х. (2008). «Сверхвысокая подвижность электронов во взвешенном графене». Твердотельные коммуникации . 146 (9): 351–355. arXiv : 0802.2389 . Бибкод : 2008SSCom.146..351B. дои : 10.1016/j.ssc.2008.02.024. S2CID  118392999.
5. Навроцкий, Роберт (2016). «Незаметная, сверхгибкая и биосовместимая электронная кожа длиной 300 нм, оснащенная тактильными датчиками и органическими транзисторами». Передовые электронные материалы . 2 (4): 1500452. doi :10.1002/aelm.201500452. S2CID  138355533.
6. Дюркоп, Т.; Гетти, ЮАР; Кобас, Энрике; Фюрер, М.С. (2004). «Необычайная подвижность полупроводниковых углеродных нанотрубок». Нано-буквы . 4 (1): 35–39. Бибкод : 2004NanoL...4...35D. дои : 10.1021/nl034841q. S2CID  45010238.
7. Сноу, ES; Кэмпбелл, премьер-министр; Анкона, Миннесота; Новак, JP (2005). «Высокоподвижные тонкопленочные транзисторы из углеродных нанотрубок на полимерной подложке». Письма по прикладной физике . 86 (3): 033105. Бибкод : 2005ApPhL..86c3105S. дои : 10.1063/1.1854721. ISSN  0003-6951. Архивировано из оригинала 24 сентября 2017 года.
8. Шин, Чону; Гамаге, Гитал Амила; Дин, Живэй; Чен, Кэ; Тиан, Фэй; Цянь, Синь; Чжоу, Цзявэй; Ли, Хвиджонг; Чжоу, Цзяньши; Ши, Ли; Нгуен, Тхань; Хан, Фей; Ли, Минда; Бройдо, Дэвид; Шмидт, Аарон; Рен, Чжифэн; Чен, Банда (2022). «Высокая амбиполярная подвижность в кубическом арсениде бора». Наука . 377 (6604): 437–440. Бибкод : 2022Sci...377..437S. doi : 10.1126/science.abn4290. PMID  35862526. S2CID  250952849.
9. Он, Тао; Столте, Матиас; Вюртнер, Франк (23 декабря 2013 г.). «Воздухостабильные n-канальные органические монокристаллические полевые транзисторы на основе микролент из хлорированного нафталиндиимида с сердцевиной». Передовые материалы . 25 (48): 6951–6955. Бибкод : 2013AdM....25.6951H. дои : 10.1002/adma.201303392 . ПМИД  24105872.
10. Юань, Юнбо (2014). «Прозрачные органические тонкопленочные транзисторы со сверхвысокой подвижностью, выращенные методом нецентрального центрифугирования». Природные коммуникации . 5 : 3005. Бибкод : 2014NatCo...5.3005Y. дои : 10.1038/ncomms4005 . ПМИД  24398476.
11. Хереманс, Пол (2015). «Механические и электронные свойства тонкопленочных транзисторов на пластике и их интеграция в гибкие электронные приложения». Передовые материалы . 28 (22): 4266–4282. дои : 10.1002/adma.201504360. PMID  26707947. S2CID  25457390.
12. Владимир Васильевич Митин; Кочелап Вячеслав Александрович; Майкл А. Строшио (1999). Квантовые гетероструктуры: микроэлектроника и оптоэлектроника. Издательство Кембриджского университета. стр. 307–9. ISBN 978-0-521-63635-3. Проверено 2 марта 2011 г.
13. Сингх (2008). Электронные устройства и интегральные схемы. PHI Learning Pvt. ООО, стр. 77–. ISBN 978-81-203-3192-1. Проверено 1 марта 2011 г.
14. Ферри, Дэвид К. Полупроводниковый транспорт. Лондон: Тейлор и Фрэнсис, 2000. ISBN 0-7484-0865-7 (hbk.), ISBN 0-7484-0866-5 (pbk.)  
15. Ибах, Харальд.; Лют, Ганс. Физика твердого тела: введение в принципы материаловедения / Харальд Ибах, Ганс Лют. Нью-Йорк: Springer, 2009. - (Продвинутые тексты по физике) ISBN 978-3-540-93803-3 . 
16. Булусу, А. (2008). «Обзор электронных транспортных моделей термоэлектрических материалов». Сверхрешетки и микроструктуры . 44 (1): 1–36. Бибкод : 2008SuMi...44....1B. doi :10.1016/j.spmi.2008.02.008..
17. Бхаттачарья, Паллаб. Полупроводниковые оптоэлектронные устройства / Паллаб Бхаттачарья. Река Аппер-Сэдл (Нью-Джерси): Прентис-Холл, 1997. ISBN 0-13-495656-7 (нид.) 
18. Ю. Такеда и Т.П. Пирсолл, «Неисправность правила Маттейссена при расчете эффектов подвижности носителей и рассеяния сплавов в Ga0,47In0,53As», Electronics Lett. 17, 573-574 (1981).
19. Питер Ю. Ю; Мануэль Кардона (30 мая 2010 г.). Основы полупроводников: физика и свойства материалов. Спрингер. стр. 205–. ISBN 978-3-642-00709-5. Проверено 1 марта 2011 г.
20. Антонио Луке; Стивен Хегедус (9 июня 2003 г.). Справочник по фотоэлектрической науке и технике. Джон Уайли и сыновья. п. 79, экв. 3.58. ISBN 978-0-471-49196-5. Проверено 2 марта 2011 г.веб-ссылка (только подписка)
21. Глава 2: Основы полупроводников. Онлайн-учебник Б. Ван Зегбрука]
22. Крюк, младший; Холл, HE (5 сентября 1991 г.). Физика твердого тела. Уайли. ISBN 978-0-471-92804-1.
23. Андерсон, PW (1 марта 1958 г.). «Отсутствие диффузии в некоторых случайных решетках». Физический обзор . 109 (5): 1492–1505. Бибкод : 1958PhRv..109.1492A. дои : 10.1103/PhysRev.109.1492.
24. Мотт, Нью-Йорк (1967-01-01). «Электроны в неупорядоченных структурах». Достижения физики . 16 (61): 49–144. Бибкод : 1967AdPhy..16...49M. дои : 10.1080/00018736700101265. ISSN  0001-8732.
25. Браттон, SD (2013). Введение в тонкопленочные транзисторы: физика и технология тонкопленочных транзисторов. Международное издательство Спрингер. п. 143. ИСБН 978-3-319-00001-5.
26. Электронные процессы в некристаллических материалах. Оксфордские классические тексты по физическим наукам. Оксфорд, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. 24 марта 2012 г. ISBN 978-0-19-964533-6.
27. Эмин, Дэвид (11 февраля 1974 г.). «Скорость скачка с помощью фононов в некристаллических твердых телах». Письма о физических отзывах . 32 (6): 303–307. Бибкод : 1974PhRvL..32..303E. doi : 10.1103/PhysRevLett.32.303.
28. Констанс Рост-Битч (август 2005 г.). Амбиполярные и светоизлучающие органические полевые транзисторы. Кювилье Верлаг. стр. 17–. ISBN 978-3-86537-535-3. Проверено 1 марта 2011 г.. Эта ссылка ошибочно не учитывает коэффициент 1/V _DS в уравнении (2.11). Правильную версию этого уравнения можно найти, например, у Стассена, А. Ф.; Де Бур, RWI; Иосад, Н.Н.; Морпурго, А.Ф. (2004). «Влияние диэлектрика затвора на подвижность рубреновых монокристаллических полевых транзисторов». Письма по прикладной физике . 85 (17): 3899–3901. arXiv : cond-mat/0407293 . Бибкод : 2004ApPhL..85.3899S. дои : 10.1063/1.1812368. S2CID  119532427.
29. Констанс Рост-Битч (август 2005 г.). Амбиполярные и светоизлучающие органические полевые транзисторы. Кювилье Верлаг. стр. 19–. ISBN 978-3-86537-535-3. Проверено 20 апреля 2011 г.«Извлечение полевой подвижности непосредственно из линейной области выходной характеристики может дать большие значения полевой подвижности, чем фактическое, поскольку ток стока является линейным только для очень малых VDS и больших VG. Напротив, извлечение полевой подвижности является линейным только для очень малых VDS и больших VG. полевая подвижность из области насыщения может дать довольно консервативные значения полевой подвижности, поскольку зависимость тока стока от напряжения затвора становится субквадратичной как для больших VG, так и для малых VDS».
30. В. Чизм, «Точное оптическое измерение подвижности носителей с использованием лазерного фотоотражения с Z-сканированием», arXiv:1711.01138 [физика:ins-det], октябрь 2017 г.
31. В. Чизм, «Лазерное фотоотражение с Z-сканированием как инструмент для характеристики свойств электронного транспорта», arXiv:1808.01897 [cond-mat:mes-hall], август 2018 г.
32. Ульбрихт, Рональд; Хендри, Юан; Шан, Цзе; Хайнц, Тони Ф.; Бонн, Миша (2011). «Динамика носителей заряда в полупроводниках, изученная с помощью терагерцовой спектроскопии с временным разрешением» (PDF) . Обзоры современной физики . 83 (2): 543–586. Бибкод : 2011РвМП...83..543У. doi : 10.1103/RevModPhys.83.543. hdl : 10871/15671 . ISSN  0034-6861.
33. Ллойд-Хьюз, Джеймс; Чон, Тэ Ин (2012). «Обзор терагерцовой проводимости объемных и наноматериалов». Журнал инфракрасных, миллиметровых и терагерцовых волн . 33 (9): 871–925. Бибкод : 2012JIMTW..33..871L. doi : 10.1007/s10762-012-9905-y. ISSN  1866-6892. S2CID  13849900.
34. Эверс, Виль Х.; Шинс, Джулеон М.; Аэртс, Мишель; Кулкарни, Адитья; Капио, Пьер; Берта, Максим; Грандидье, Бруно; Делерю, Кристоф; ван дер Зант, Херре С.Дж.; ван Овербек, Карло; Питерс, Джоп Л.; Ванмакельберг, Дэниел; Зиббелес, Лоуренс Д.А. (2015). «Высокая подвижность заряда в двумерных перколяционных сетях квантовых точек PbSe, соединенных атомными связями». Природные коммуникации . 6 : 8195. Бибкод : 2015NatCo...6.8195E. doi : 10.1038/ncomms9195. ISSN  2041-1723. ПМЦ 4598357 . ПМИД  26400049. 
35. Савение, Том Дж.; Фергюсон, Эндрю Дж.; Копидакис, Никос; Рамблс, Гарри (21 ноября 2013 г.). «Выявление динамики носителей заряда в смесях полимер:фуллерен с использованием фотоиндуцированной микроволновой проводимости с временным разрешением». Журнал физической химии C. 117 (46): 24085–24103. дои : 10.1021/jp406706u. ISSN  1932-7447.
36. Б. Л. Андерсон и Р. Л. Андерсон, «Основы полупроводниковых приборов», Мак Гроу Хилл, 2005 г.
37. Коги, DM; Томас, RE (1967). «Подвижность носителей в кремнии, эмпирически связанная с легированием и полем». Труды IEEE . 55 (12): 2192–2193. дои : 10.1109/PROC.1967.6123.
38. Дель Аламо, Дж (1985). «Измерение и моделирование транспорта неосновных носителей в сильнолегированном кремнии». Твердотельная электроника . 28 (1): 47–54. Бибкод : 1985SSEle..28...47D. дои : 10.1016/0038-1101(85)90209-6.

Внешние ссылки

• статья в глоссарии полупроводников, посвященная подвижности электронов
• Калькулятор удельного сопротивления и подвижности от чистого помещения BYU
• Онлайн-лекция - Мобильность с атомистической точки зрения