Плотность поляризации

Вектор поля, описывающего плотность электрических дипольных моментов в диэлектрике

В классическом электромагнетизме плотность поляризации (или электрическая поляризация , или просто поляризация ) — это векторное поле , выражающее объемную плотность постоянных или индуцированных электрических дипольных моментов в диэлектрическом материале. Когда диэлектрик помещается во внешнее электрическое поле , его молекулы приобретают электрический дипольный момент , и говорят, что диэлектрик поляризован.

Электрическая поляризация данного образца диэлектрического материала определяется как частное от деления электрического дипольного момента (векторной величины, выражаемой в кулонах * метрах (Кл * м) в единицах СИ ) на объем (метры в кубе). ^{[1] [2]} Плотность поляризации математически обозначается как P ; ^[2] в единицах СИ она выражается в кулонах на квадратный метр (Кл/м ² ).

Плотность поляризации также описывает, как материал реагирует на приложенное электрическое поле, а также то, как материал изменяет электрическое поле, и может использоваться для расчета сил, возникающих в результате этих взаимодействий. Ее можно сравнить с намагниченностью , которая является мерой соответствующей реакции материала на магнитное поле в магнетизме .

Подобно ферромагнетикам , которые имеют ненулевую постоянную намагниченность даже при отсутствии внешнего магнитного поля, сегнетоэлектрические материалы имеют ненулевую поляризацию при отсутствии внешнего электрического поля.

Определение

Внешнее электрическое поле, приложенное к диэлектрическому материалу, вызывает смещение связанных заряженных элементов.

Связанный заряд — это заряд, который связан с атомом или молекулой внутри материала. Он называется «связанным», потому что он не может свободно перемещаться внутри материала, как свободные заряды . Положительно заряженные элементы смещаются в направлении поля, а отрицательно заряженные элементы смещаются против направления поля. Молекулы могут оставаться нейтральными по заряду, но при этом образуется электрический дипольный момент. ^{[3] [4]}

Для некоторого элемента объема в материале, несущего дипольный момент , определим плотность поляризации P : ${\displaystyle \Delta V}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {p} }$ $${\displaystyle \mathbf {P} ={\frac {\Delta \mathbf {p} }{\Delta V}}}$$

В общем случае дипольный момент изменяется от точки к точке внутри диэлектрика. Следовательно, плотность поляризации P диэлектрика внутри бесконечно малого объема d V с бесконечно малым дипольным моментом d p равна: ${\displaystyle \Delta \mathbf {p} }$

Суммарный заряд, возникающий в результате поляризации, называется связанным зарядом и обозначается . ${\displaystyle Q_{b}}$

Такое определение плотности поляризации как «дипольного момента на единицу объема» широко распространено, хотя в некоторых случаях оно может приводить к двусмысленностям и парадоксам. ^[5]

Другие выражения

Пусть объем d V изолирован внутри диэлектрика. Вследствие поляризации положительный связанный заряд сместится на расстояние относительно отрицательного связанного заряда , что приведет к возникновению дипольного момента . Подстановка этого выражения в ( 1 ) дает ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathrm {d} q_{b}\mathbf {d} }$ $${\displaystyle \mathbf {P} ={\mathrm {d} q_{b} \over \mathrm {d} V}\mathbf {d} }$$

Поскольку заряд , ограниченный в объеме d V, равен P, уравнение для P становится: ^[3] ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}}$ ${\displaystyle \rho _{b}\mathrm {d} V}$

где — плотность связанного заряда в рассматриваемом объеме. Из определения выше ясно, что диполи в целом нейтральны и, таким образом, уравновешиваются равной плотностью противоположных зарядов внутри объема. Заряды, которые не уравновешены, являются частью свободного заряда, обсуждаемого ниже. ${\displaystyle \rho _{b}}$ ${\displaystyle \rho _{b}}$

Закон Гаусса для поляП

Для заданного объема V, ограниченного поверхностью S , связанный заряд внутри него равен потоку P через S, взятому с отрицательным знаком, или ${\displaystyle Q_{b}}$

Доказательство

Пусть площадь поверхности S охватывает часть диэлектрика. При поляризации отрицательные и положительные связанные заряды будут смещаться. Пусть d ₁ и d ₂ будут расстояниями связанных зарядов и , соответственно, от плоскости, образованной элементом площади d A после поляризации. И пусть d V ₁ и d V ₂ будут объемами, заключенными ниже и выше площади d A . ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}}$

Вверху: элементарный объем d V = d V ₁ + d V ₂ (ограниченный элементом площади d A ), настолько малый, что диполь, заключенный в нем, можно считать созданным двумя элементарными разноименными зарядами. Внизу — плоский вид (кликните по изображению, чтобы увеличить).

Отсюда следует, что отрицательный связанный заряд двигался от внешней части поверхности d A внутрь, тогда как положительный связанный заряд двигался от внутренней части поверхности наружу. ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}=\rho _{b}^{-}\ \mathrm {d} V_{1}=\rho _{b}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A}$ ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}=\rho _{b}\ \mathrm {d} V_{2}=\rho _{b}d_{2}\ \mathrm {d} A}$

По закону сохранения заряда полный связанный заряд, оставшийся внутри объема после поляризации, равен: ${\displaystyle \mathrm {d} Q_{b}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} V}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=\mathrm {d} q_{\text{in}}-\mathrm {d} q_{\text{out}}\\&=\mathrm {d} q_{b}^{-}-\mathrm {d} q_{b}^{+}\\&=\rho _{b}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A-\rho _{b}d_{2}\ \mathrm {d} A\end{aligned}}}$$

Так как и (см. изображение справа) $${\displaystyle \rho _{b}^{-}=-\rho _{b}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&=(d-a)\cos(\theta )\\d_{2}&=a\cos(\theta )\end{aligned}}}$$

Уравнение выше становится $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=-\rho _{b}(d-a)\cos(\theta )\ \mathrm {d} A-\rho _{b}a\cos(\theta )\ \mathrm {d} A\\&=-\rho _{b}d\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\end{aligned}}}$$

Из ( 2 ) следует, что , поэтому получаем: ${\displaystyle \rho _{b}d=P}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=-P\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\\-\mathrm {d} Q_{b}&=\mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

И интегрируя это уравнение по всей замкнутой поверхности S, находим, что

${\displaystyle -Q_{b}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle {S}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

что завершает доказательство.

Дифференциальная форма

По теореме о расходимости закон Гаусса для поля P можно записать в дифференциальной форме как: где ∇ · P — расходимость поля P через заданную поверхность, содержащую плотность связанного заряда . $${\displaystyle -\rho _{b}=\nabla \cdot \mathbf {P} ,}$$ ${\displaystyle \rho _{b}}$

Доказательство

По теореме о расходимости мы имеем, что для объема V, содержащего связанный заряд . И поскольку — это интеграл плотности связанного заряда, взятый по всему объему V, заключенному в S , приведенное выше уравнение дает что верно тогда и только тогда, когда $${\displaystyle -Q_{b}=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {P} \ \mathrm {d} V,}$$ ${\displaystyle Q_{b}}$ ${\displaystyle Q_{b}}$ ${\displaystyle \rho _{b}}$ $${\displaystyle -\iiint _{V}\rho _{b}\ \mathrm {d} V=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {P} \ \mathrm {d} V,}$$ ${\displaystyle -\rho _{b}=\nabla \cdot \mathbf {P} }$

Взаимосвязь между областямиПиЭ

Однородные, изотропные диэлектрики

Линии поля D -поля в диэлектрической сфере с большей восприимчивостью, чем ее окружение, помещенной в предварительно однородное поле. ^[6] Линии поля E -поля не показаны: они указывают в тех же направлениях, но многие линии поля начинаются и заканчиваются на поверхности сферы, где находится связанный заряд. В результате плотность линий E-поля внутри сферы ниже, чем снаружи, что соответствует тому факту, что E-поле слабее внутри сферы, чем снаружи.

В однородной , линейной, недисперсионной и изотропной диэлектрической среде поляризация совпадает с электрическим полем E и пропорциональна ему : ^[7] $${\displaystyle \mathbf {P} =\chi \varepsilon _{0}\mathbf {E} ,}$$

где ε ₀ — электрическая постоянная , а χ — электрическая восприимчивость среды. Обратите внимание, что в этом случае χ упрощается до скаляра, хотя в более общем случае это тензор . Это частный случай из-за изотропности диэлектрика.

Принимая во внимание эту связь между P и E , уравнение ( 3 ) становится следующим: ^[3]

${\displaystyle -Q_{b}=\chi \varepsilon _{0}\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle {S}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

Выражение в интеграле представляет собой закон Гаусса для поля E , который дает полный заряд, как свободный , так и связанный , в объеме V , заключенном в S. ^[3] Следовательно, ${\displaystyle (Q_{f})}$ ${\displaystyle (Q_{b})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}-Q_{b}&=\chi Q_{\text{total}}\\&=\chi \left(Q_{f}+Q_{b}\right)\\[3pt]\Rightarrow Q_{b}&=-{\frac {\chi }{1+\chi }}Q_{f},\end{aligned}}}$$

что можно записать в терминах плотностей свободного заряда и связанного заряда (рассматривая соотношение между зарядами, их объемными плотностями заряда и заданным объемом): $${\displaystyle \rho _{b}=-{\frac {\chi }{1+\chi }}\rho _{f}}$$

Поскольку внутри однородного диэлектрика не может быть свободных зарядов , из последнего уравнения следует, что в материале нет объемного связанного заряда . И поскольку свободные заряды могут приближаться к диэлектрику как к его верхней поверхности, то отсюда следует, что поляризация приводит только к поверхностной связанной плотности заряда (обозначенной для избежания двусмысленности объемной связанной плотностью заряда ). ^[3] ${\displaystyle (\rho _{f}=0)}$ ${\displaystyle (\rho _{b}=0)}$ ${\displaystyle \sigma _{b}}$ ${\displaystyle \rho _{b}}$

${\displaystyle \sigma _{b}}$может быть связана с P следующим уравнением: ^[8] где - нормальный вектор к поверхности S , направленный наружу. ( строгое доказательство см. в плотности заряда ) $${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} }$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}}$

Анизотропные диэлектрики

Класс диэлектриков, в которых плотность поляризации и электрическое поле не совпадают по направлению, называется анизотропными материалами.

В таких материалах i -я компонента поляризации связана с j -й компонентой электрического поля следующим образом: ^[7]

$${\displaystyle P_{i}=\sum _{j}\epsilon _{0}\chi _{ij}E_{j},}$$

Это соотношение показывает, например, что материал может поляризоваться в направлении x, если приложить поле в направлении z, и т. д. Случай анизотропной диэлектрической среды описывается областью кристаллооптики .

Как и в большинстве случаев электромагнетизма, это соотношение имеет дело с макроскопическими средними полями и плотностью диполей, так что мы имеем континуальное приближение диэлектрических материалов, которое пренебрегает поведением атомного масштаба. Поляризуемость отдельных частиц в среде может быть связана со средней восприимчивостью и плотностью поляризации соотношением Клаузиуса–Моссотти .

В общем случае восприимчивость является функцией частоты ω приложенного поля. Когда поле является произвольной функцией времени t, поляризация является сверткой преобразования Фурье χ ( ω ) с E ( t ) . Это отражает тот факт , что диполи в материале не могут мгновенно реагировать на приложенное поле, и соображения причинности приводят к соотношениям Крамерса–Кронига .

Если поляризация P не линейно пропорциональна электрическому полю E , среда называется нелинейной и описывается областью нелинейной оптики . В хорошем приближении (для достаточно слабых полей, предполагая, что постоянные дипольные моменты отсутствуют) P обычно задается рядом Тейлора по E , коэффициентами которого являются нелинейные восприимчивости:

$${\displaystyle {\frac {P_{i}}{\epsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots }$$

где — линейная восприимчивость, — восприимчивость второго порядка (описывающая такие явления, как эффект Поккельса , оптическое выпрямление и генерация второй гармоники ), — восприимчивость третьего порядка (описывающая эффекты третьего порядка, такие как эффект Керра и оптическое выпрямление, индуцированное электрическим полем). ${\displaystyle \chi ^{(1)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(2)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(3)}}$

В сегнетоэлектрических материалах взаимно -однозначное соответствие между P и E отсутствует из-за гистерезиса .

Плотность поляризации в уравнениях Максвелла

Поведение электрических полей ( E , D ), магнитных полей ( B , H ), плотности заряда ( ρ ) и плотности тока ( J ) описывается уравнениями Максвелла в веществе .

Отношения между E, D и P

С точки зрения объемной плотности заряда, плотность свободного заряда определяется выражением ${\displaystyle \rho _{f}}$

$${\displaystyle \rho _{f}=\rho -\rho _{b}}$$

где — общая плотность заряда. Рассматривая отношение каждого из членов приведенного выше уравнения к дивергенции соответствующих им полей (электрического поля смещения D , E и P в указанном порядке), это можно записать как: ^[9] ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} .}$$

Это известно как конститутивное уравнение для электрических полей. Здесь ε ₀ — электрическая диэлектрическая проницаемость пустого пространства. В этом уравнении P — это (отрицательное) поле, индуцированное в материале, когда «фиксированные» заряды, диполи, смещаются в ответ на общее базовое поле E , тогда как D — это поле, обусловленное оставшимися зарядами, известными как «свободные» заряды. ^{[5] [10]}

В общем случае P изменяется как функция E в зависимости от среды, как описано далее в статье. Во многих задачах удобнее работать с D и свободными зарядами, чем с E и общим зарядом. ^[1]

Таким образом, поляризованную среду, согласно теореме Грина, можно разбить на четыре компонента.

• Плотность связанного объемного заряда: ${\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$
• Плотность связанного поверхностного заряда: ${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} }$
• Плотность свободного объемного заряда: ${\displaystyle \rho _{f}=\nabla \cdot \mathbf {D} }$
• Плотность свободного поверхностного заряда: ${\displaystyle \sigma _{f}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {D} }$

Изменяющаяся во времени плотность поляризации

Когда плотность поляризации изменяется со временем, зависящая от времени плотность связанного заряда создает плотность тока поляризации

$${\displaystyle \mathbf {J} _{p}={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$$

так что общая плотность тока, входящая в уравнения Максвелла, определяется выражением

$${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$$

где J _f — плотность тока свободного заряда, а второй член — плотность тока намагничивания (также называемая плотностью связанного тока ), вклад магнитных диполей атомного масштаба (если они присутствуют).

Неоднозначность поляризации[ сомнительный – обсудить ]

Пример того, как плотность поляризации в объемном кристалле неоднозначна. (a) Твердый кристалл. (b) При спаривание положительных и отрицательных зарядов определенным образом кристалл, по-видимому, имеет восходящую поляризацию. (c) При спаривание зарядов по-разному, по-видимому, кристалл имеет нисходящую поляризацию.

Кристаллические материалы

Поляризация внутри твердого тела, в общем, не определена однозначно. Поскольку объемное твердое тело является периодическим, необходимо выбрать элементарную ячейку, в которой вычисляется поляризация (см. рисунок). ^{[11] [12]} Другими словами, два человека, Алиса и Боб, глядя на одно и то же твердое тело, могут вычислить разные значения P , и ни один из них не ошибется. Например, если Алиса выберет элементарную ячейку с положительными ионами наверху, а Боб выберет элементарную ячейку с отрицательными ионами наверху, их вычисленные векторы P будут иметь противоположные направления. Алиса и Боб согласятся относительно микроскопического электрического поля E в твердом теле, но не согласятся относительно значения поля смещения . ${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$

С другой стороны, даже если значение P не определено однозначно в объемном твердом теле, изменения P определены однозначно. ^{[11] Если кристалл постепенно изменяется от одной структуры к другой, внутри каждой элементарной ячейки будет ток из-за} движения ядер и электронов. Этот ток приводит к макроскопическому переносу заряда с одной стороны кристалла на другую, и поэтому его можно измерить с помощью амперметра (как и любой другой ток), когда провода присоединены к противоположным сторонам кристалла. Интеграл тока по времени пропорционален изменению P. Ток можно рассчитать в компьютерном моделировании (например, в теории функционала плотности ); формула для интегрированного тока оказывается типом фазы Берри . ^[11]

Неединственность P не является проблематичной, поскольку каждое измеримое следствие P на самом деле является следствием непрерывного изменения P . ^[11] Например, когда материал помещается в электрическое поле E , которое нарастает от нуля до конечного значения, электронные и ионные положения материала слегка смещаются. Это изменяет P , и результатом является электрическая восприимчивость (и, следовательно, диэлектрическая проницаемость ). В качестве другого примера, когда некоторые кристаллы нагреваются, их электронные и ионные положения слегка смещаются, изменяя P . Результатом является пироэлектричество . Во всех случаях интересующие свойства связаны с изменением P .

Хотя поляризация в принципе не является уникальной, на практике она часто (не всегда) определяется соглашением определенным, уникальным образом. Например, в идеально центросимметричном кристалле P точно равен нулю из-за соображений симметрии.

Это можно увидеть в пироэлектрическом материале. Выше температуры Кюри материал не поляризован и имеет центросимметричную конфигурацию. Понижение температуры ниже температуры Кюри вызывает структурный фазовый переход, который нарушает центросимметричность. P материала растет пропорционально искажению, что позволяет определить его однозначно.

Аморфные материалы

Другая проблема в определении P связана с произвольным выбором «единичного объема», или, точнее, с масштабом системы . ^[5] Например, в микроскопическом масштабе плазму можно рассматривать как газ свободных зарядов, поэтому P должно быть равно нулю. Напротив, в макроскопическом масштабе ту же плазму можно описать как непрерывную среду, демонстрирующую диэлектрическую проницаемость и, следовательно, суммарную поляризацию P ≠ 0 . ${\displaystyle \varepsilon (\omega )\neq 1}$

Смотрите также

• Кристаллическая структура
• Сегнетоэлектричество
• Электрет
• Поляризация (значения)

Ссылки и примечания

1. Введение в электродинамику (3-е издание), DJ Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN  81-7758-293-3
2. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2-е издание), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3 
3. Иродов, IE (1986). Основные законы электромагнетизма . Издательство «Мир», издательство и дистрибьюторы CBS. ISBN 81-239-0306-5 
4. Матвеев А. Н. (1986). Электричество и магнетизм . Издательство «Мир».
5. CA Gonano; RE Zich; M. Mussetta (2015). «Определение поляризации P и намагниченности M, полностью соответствующее уравнениям Максвелла» (PDF) . Progress in Electromagnetics Research B. 64 : 83–101. doi : 10.2528/PIERB15100606 .
6. На основе уравнений Грея, Эндрю (1888). Теория и практика абсолютных измерений в электричестве и магнетизме. Macmillan & Co. стр. 126–127., который ссылается на статьи сэра У. Томсона.
7. Фейнман, RP; Лейтон, RB и Сэндс, M. (1964) Лекции Фейнмана по физике: Том 2 , Addison-Wesley, ISBN 0-201-02117-X 
8. Электромагнетизм (2-е издание), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9 
9. Салех, BEA; Тейч+, MC (2007). Основы фотоники . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли . п. 154. ИСБН 978-0-471-35832-9.
10. А. Герчинский (2013). «Связанные заряды и токи» (PDF) . Американский журнал физики . 81 (3): 202–205. Bibcode : 2013AmJPh..81..202H. doi : 10.1119/1.4773441.
11. Resta, Raffaele (1994). "Макроскопическая поляризация в кристаллических диэлектриках: геометрический фазовый подход" (PDF) . Rev. Mod. Phys . 66 (3): 899–915. Bibcode :1994RvMP...66..899R. doi :10.1103/RevModPhys.66.899.См. также: Д. Вандербильт, Фазы Берри и кривизны в теории электронной структуры, вводная презентация PowerPoint.
12. Спалдин, Никола А. (2012). «Руководство для начинающих по современной теории поляризации». Журнал химии твердого тела . 195 : 2–10. arXiv : 1202.1831 . Bibcode : 2012JSSCh.195....2S. doi : 10.1016/j.jssc.2012.05.010. S2CID  55374298.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с электрической поляризацией на Wikimedia Commons