Математическая концепция векторного исчисления
В векторном исчислении векторный потенциал — это векторное поле , ротор которого является заданным векторным полем. Это аналогично скалярному потенциалу , который представляет собой скалярное поле, градиент которого представляет собой заданное векторное поле.
Формально для векторного поля v векторный потенциал — это векторное поле A такое, что ![{\displaystyle C^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Последствие
Если векторное поле v допускает векторный потенциал A , то из равенства
![{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A}) = 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
дивергенция)
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A}) = 0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
vсоленоидальным векторным полемТеорема
Позволять
![{\displaystyle \mathbf {v}:\mathbb {R} ^{3} \to \mathbb {R} ^{3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
соленоидальное векторное поленепрерывно дифференцируемоеv ( x )![{\displaystyle 1/\|\mathbf {x} \|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \|\mathbf {x} \|\to \infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x}) = {\frac {1}{4\pi }}\int _ {\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{ y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y } .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Тогда A является векторным потенциалом для v , то есть
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
ycur[v]потенциалаvH-полю![{\displaystyle \nabla _{y}\times }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Вы можете ограничить область целостности любой односвязной областью Ω . То есть A' ниже также является векторным потенциалом v ;
![{\displaystyle \mathbf {A'} (\mathbf {x}) = {\frac {1}{4\pi }}\int _ {\Omega }{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обобщением этой теоремы является разложение Гельмгольца , которое утверждает, что любое векторное поле можно разложить как сумму соленоидального векторного поля и безвихревого векторного поля .
По аналогии с законом Био-Савара , векторным потенциалом для v также можно считать следующее .![{\displaystyle {\boldsymbol {A''}}({\textbf {x}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\boldsymbol {A''}}({\textbf {x}})=\int _ {\Omega }{\frac {{\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {y}})\ раз ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})}{4\pi |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}|^{3}}}d^{3 }{\boldsymbol {y}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Подставив j ( плотность тока ) вместо v и H ( H-поле ) вместо A , мы найдем закон Био-Савара.
Пусть и пусть Ω является звездной областью с центром в p , тогда, переводя лемму Пуанкаре для дифференциальных форм в мир векторных полей, следующее также является векторным потенциалом для![{\displaystyle {\textbf {p}}\in \mathbb {R}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\boldsymbol {A'''}}({\boldsymbol {x}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\boldsymbol {v}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\boldsymbol {A'''}}({\boldsymbol {x}})=\int _{0}^{1}s(({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {p} })\times ({\boldsymbol {v}}(s{\boldsymbol {x}}+(1-s){\boldsymbol {p}}))\ ds}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Неуникальность
Векторный потенциал, допускаемый соленоидальным полем, не единственен. Если A — векторный потенциал для v , то так же
![{\displaystyle \mathbf {A} +\набла f,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эта неединственность приводит к некоторой степени свободы в формулировке электродинамики, или калибровочной свободе, и требует выбора калибра .
Смотрите также
Рекомендации
- «Основы инженерной электромагнетики» , Дэвид К. Ченг, Аддисон-Уэсли, 1993.