Псевдотензор напряжения-энергии-импульса

В общей теории относительности псевдотензор напряжения-энергии-импульса , такой как псевдотензор Ландау-Лифшица , является расширением негравитационного тензора напряжения-энергии , который включает в себя энергию-импульс гравитации. Это позволяет определить энергию-импульс системы гравитирующей материи. В частности, это позволяет совокупности материи плюс гравитационная энергия-импульс образовывать сохраняющийся поток в рамках общей теории относительности , так что полная энергия-импульс пересекает гиперповерхность ( трехмерную границу) любого компактного гиперобъема пространства-времени ( 4-мерное подмногообразие) исчезает.

Некоторые люди (например, Эрвин Шредингер ^{[ нужна ссылка ]} ) возражали против этого вывода на том основании, что псевдотензоры являются неподходящими объектами в общей теории относительности, но закон сохранения требует только использования 4- дивергенции псевдотензора, который в этом случае случае тензор (который также обращается в нуль). Кроме того, большинство псевдотензоров представляют собой сечения струйных пучков , которые сейчас признаны ^{[ кем? ]} как совершенно действительные объекты в общей теории относительности.

Псевдотензор Ландау–Лифшица.

Псевдотензор Ландау -Лифшица , псевдотензор напряжения-энергии-импульса для гравитации ^[1] в сочетании с членами для материи (включая фотоны и нейтрино), позволяет распространить законы сохранения энергии-импульса на общую теорию относительности .

Требования

Ландау и Лифшиц в своих поисках псевдотензора импульса гравитационной энергии руководствовались четырьмя требованиями : ^[1] ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }\,}$

1. что он должен быть построен полностью из метрического тензора , чтобы иметь чисто геометрическое или гравитационное происхождение.
2. чтобы он был индексно-симметричным, т.е. (для сохранения углового момента ) ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,}$
3. что при добавлении к тензору энергии-импульса материи его полная 4- дивергенция исчезает (это требуется для любого сохраняющегося тока ), так что мы имеем сохраняющееся выражение для полного напряжения-энергии-импульса. ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$
4. что он локально исчезает в инерциальной системе отсчета (что требует, чтобы он содержал только производные первого порядка, а не второго или более высокого порядка метрики). Это связано с тем, что принцип эквивалентности требует, чтобы поле гравитационных сил, символы Кристоффеля , локально исчезали в некоторых системах отсчёта. Если гравитационная энергия является функцией своего силового поля, как это обычно бывает с другими силами, то соответствующий гравитационный псевдотензор также должен локально исчезать.

Определение

Ландау и Лифшиц показали, что существует уникальная конструкция, удовлетворяющая этим требованиям, а именно:

$${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}G^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left((-g)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }}$$

• G ^µν — тензор Эйнштейна (построенный по метрике)
• g ^µν является обратным метрическому тензору , g _µν
• g = det( g _µν ) – определитель метрического тензора. g < 0 , отсюда и его вид. ${\displaystyle -g}$
• ${\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}$являются частными производными , а не ковариантными производными .
• G — гравитационная постоянная Ньютона .

Проверка

Исследуя 4 условия требования, мы видим, что первые 3 относительно легко продемонстрировать:

1. Поскольку тензор Эйнштейна , сам построен из метрики, поэтому ${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }}$
2. Поскольку тензор Эйнштейна симметричен, то и дополнительные члены симметричны при проверке. ${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }}$
3. Псевдотензор Ландау–Лифшица построен так, что при добавлении к тензору энергии-импульса вещества его полная 4- дивергенция обращается в нуль: . Это следует из сокращения тензора Эйнштейна , с тензором энергии-импульса , уравнениями поля Эйнштейна ; оставшийся член алгебраически обращается в нуль из-за коммутативности частных производных, применяемых к антисимметричным индексам. ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle \left(\left(-g\right)\left(T^{\mu \nu }+t_{LL}^{\mu \nu }\right)\right)_{,\mu }=0}$ ${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$
4. Псевдотензор Ландау-Лифшица, по-видимому, включает члены второй производной в метрике, но на самом деле явные члены второй производной в псевдотензоре компенсируются неявными членами второй производной, содержащимися в тензоре Эйнштейна , . Это более очевидно, когда псевдотензор непосредственно выражается через метрический тензор или связь Леви-Чивита ; сохраняются только члены первой производной метрики, и они исчезают, если система отсчета локально инерционна в любой выбранной точке. В результате весь псевдотензор локально обращается в нуль (опять же в любой выбранной точке) , что демонстрирует делокализацию гравитационной энергии-импульса. ^[1] ${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=0}$

Космологическая константа

Когда был сформулирован псевдотензор Ландау–Лифшица, обычно предполагалось, что космологическая постоянная равна нулю. В настоящее время это предположение вызывает подозрения , и это выражение часто получает термин, дающий: ${\displaystyle \Lambda \,}$ ${\displaystyle \Lambda }$

$${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}\left(G^{\mu \nu }+\Lambda g^{\mu \nu }\right)+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left(\left(-g\right)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }}$$

Это необходимо для согласованности с уравнениями поля Эйнштейна .

Версии метрического и аффинного подключения

Ландау и Лифшиц также предоставляют два эквивалентных, но более длинных выражения для псевдотензора Ландау – Лифшица:

• Версия метрического тензора : ^[2]
  $${\displaystyle {\begin{aligned}(-g)\left(t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8\pi G}}\right)={\frac {c^{4}}{16\pi G}}{\bigg [}&\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha \beta }\right)_{,\beta }-\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \alpha }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \beta }\right)_{,\beta }+{}\\&{\frac {1}{8}}\left(2g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)\left(2g_{\sigma \rho }g_{\lambda \omega }-g_{\rho \lambda }g_{\sigma \omega }\right)\left({\sqrt {-g}}g^{\sigma \omega }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\rho \lambda }\right)_{,\beta }-{}\\&\left(g^{\mu \alpha }g_{\beta \sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\beta \rho }\right)_{,\alpha }+g^{\nu \alpha }g_{\beta \sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\beta \rho }\right)_{,\alpha }\right)+{}\\&\left.{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }g_{\alpha \beta }\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\rho \beta }\right)_{,\sigma }+g_{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \alpha }\right)_{,\sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \beta }\right)_{,\rho }\right]\end{aligned}}}$$
• Версия аффинного подключения : ^[3]
  $${\displaystyle {\begin{aligned}t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8\pi G}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}{\Big [}&\left(2\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \rho }^{\sigma }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\Gamma _{\beta \rho }^{\rho }\right)\left(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)+{}\\&\left(\Gamma _{\alpha \rho }^{\nu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\nu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }\right)g^{\mu \alpha }g^{\beta \sigma }+\\&\left(\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\mu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }\right)g^{\nu \alpha }g^{\beta \sigma }+\\&\left.\left(\Gamma _{\alpha \sigma }^{\mu }\Gamma _{\beta \rho }^{\nu }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }\right)g^{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }\right]\end{aligned}}}$$

Это определение энергии-импульса ковариантно применимо не только к преобразованиям Лоренца, но и к общим преобразованиям координат.

Псевдотензор Эйнштейна

Этот псевдотензор был первоначально разработан Альбертом Эйнштейном . ^{[4] [5]}

Поль Дирак показал ^[6] , что смешанный псевдотензор Эйнштейна

$${\displaystyle {t_{\mu }}^{\nu }={\frac {c^{4}}{16\pi G{\sqrt {-g}}}}\left(\left(g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\right)_{,\mu }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }-\delta _{\beta }^{\nu }\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\right)-\delta _{\mu }^{\nu }g^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\rho }\Gamma _{\beta \rho }^{\sigma }\right){\sqrt {-g}}\right)}$$

$${\displaystyle \left(\left({T_{\mu }}^{\nu }+{t_{\mu }}^{\nu }\right){\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }=0.}$$

Очевидно, что этот псевдотензор гравитационного напряжения-энергии построен исключительно из метрического тензора и его первых производных. Следовательно, он исчезает в любом случае, когда система координат выбирается так, чтобы первые производные метрики обращались в нуль, поскольку каждый член псевдотензора квадратичен по первым производным метрики. Однако он не симметричен и поэтому не подходит в качестве основы для определения углового момента.

Смотрите также

• Тензор Бела – Робинсона
• Гравитационная волна
• Блог о псевдотензоре Ландау Лифшица

Примечания

1. Лев Давидович Ландау и Евгений Михайлович Лифшиц , Классическая теория полей , (1951), Pergamon Press, ISBN  7-5062-4256-7 глава 11, раздел № 96
2. Уравнение Ландау – Лифшица 96.9
3. Уравнение Ландау – Лифшица 96.8
4. Альберт Эйнштейн Das hamiltonisches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie (Принцип Гамильтона и общая теория относительности). Зитцунгсбер. преусс. акад. Висс. 1916, 2, 1111–1116.
5. Альберт Эйнштейн Der Energiesatz во всей теории относительности. (Закон сохранения энергии в общей теории относительности). Зитцунгсбер. преусс. акад. Висс. 1918, 1, 448–459.
6. ПАМДирак, Общая теория относительности (1975), Princeton University Press, краткое изложение основных основ ОТО. ISBN 0-691-01146-X страницы 61–63 

Рекомендации

• Петров, Александр (2008). «Нелинейные возмущения и законы сохранения на искривленном фоне в ОТО и других метрических теориях». В Кристиансене, Миннесота; Расмуссен, Т.К. (ред.). Классические и квантовые исследования гравитации. Нью-Йорк: Издательство Nova Science . arXiv : 0705.0019 . ISBN 978-1-61122-957-8.