Тензор Бела – Робинсона

В общей теории относительности и дифференциальной геометрии тензор Бела – Робинсона представляет собой тензор, определяемый в обозначении абстрактного индекса следующим образом:

${\displaystyle T_{abcd}=C_{aecf}C_{b}{}^{e}{}_{d}{}^{f}+{\frac {1}{4}}\epsilon _{ae}{}^{hi}\epsilon _{b}{}^{ej}{}_{k}C_{hicf}C_{j}{}^{k}{}_{d}{}^{f}}$

Альтернативно,

${\displaystyle T_{abcd}=C_{aecf}C_{b}{}^{e}{}_{d}{}^{f}-{\frac {3}{2}}g_{a[b}C_{jk]cf}C^{jk}{}_{d}{}^{f}}$

где – тензор Вейля . Он был введен Луисом Белом в 1959 году. ^{[1] [2]} Тензор Бела- Робинсона строится из тензора Вейля аналогично тому, как электромагнитный тензор энергии-напряжения строится из электромагнитного тензора . Как и электромагнитный тензор энергии-напряжения, тензор Бела – Робинсона полностью симметричен и бесследен: ${\displaystyle C_{abcd}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{abcd}&=T_{(abcd)}\\T^{a}{}_{acd}&=0\end{aligned}}}$

В общей теории относительности не существует однозначного определения локальной энергии гравитационного поля. Тензор Бела – Робинсона является возможным определением локальной энергии, поскольку можно показать, что всякий раз, когда тензор Риччи обращается в нуль (т. е. в вакууме), тензор Бела – Робинсона не имеет дивергенций:

${\displaystyle \nabla ^{a}T_{abcd}=0}$

Рекомендации

1. Бел, Л. (1959), "Introduction d'un tenseur du quatrième ordre", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences , 248 : 1297
2. Сеновилла, JMM (2000), «Примечание редактора: состояния излучения и проблема энергии в общей теории относительности Луи Бела», Общая теория относительности и гравитация , 32 (10): 2043, Бибкод : 2000GReGr..32.2043S, doi : 10.1023 /А:1001906821162, S2CID  116937193