Массив чисел, описывающий метрическую связь
В математике и физике символы Кристоффеля представляют собой массив чисел, описывающих метрическую связь . [1] Метрическая связь — это специализация аффинной связи с поверхностями или другими многообразиями , наделенными метрикой , позволяющая измерять расстояния на этой поверхности. В дифференциальной геометрии аффинная связность может быть определена без ссылки на метрику, и отсюда следуют многие дополнительные понятия: параллельный транспорт , ковариантные производные , геодезические и т. д. также не требуют понятия метрики. [2] [3] Однако, когда доступна метрика, эти концепции могут быть напрямую связаны с «формой» самого многообразия; эта форма определяется тем, как касательное пространство прикреплено к котангенсному пространству с помощью метрического тензора . [4] Абстрактно можно сказать, что многообразию соответствует связка ( ортонормированных ) фреймов , причем каждый « фрейм » является возможным выбором координатной системы координат . Инвариантная метрика подразумевает, что структурная группа расслоения фреймов является ортогональной группой O( p , q ) . В результате такое многообразие обязательно является ( псевдо ) римановым многообразием . [5] [6] Символы Кристоффеля дают конкретное представление о связи (псевдо) римановой геометрии в терминах координат на многообразии. Дополнительные понятия, такие как параллельный транспорт, геодезические и т. д., могут быть затем выражены через символы Кристоффеля.
Вообще существует бесконечное число метрических связностей для данного метрического тензора ; однако существует уникальное соединение, свободное от кручения , — соединение Леви-Чивита . В физике и общей теории относительности принято работать почти исключительно со связью Леви-Чивита, работая в системах координат (называемых голономными координатами ), где кручение исчезает. Например, в евклидовых пространствах символы Кристоффеля описывают, как изменяются локальные базы координат от точки к точке.
В каждой точке основного n -мерного многообразия для любой локальной системы координат вокруг этой точки символы Кристоффеля обозначаются Γ i jk для i , j , k = 1, 2, ..., n . Каждая запись этого массива размером n × n × n является действительным числом . При линейных преобразованиях координат на многообразии символы Кристоффеля преобразуются подобно компонентам тензора , но при общих преобразованиях координат ( диффеоморфизмах ) — нет. Большинство алгебраических свойств символов Кристоффеля вытекают из их отношения к аффинной связности; лишь некоторые из них следуют из того факта, что структурная группа является ортогональной группой O( m , n ) (или группой Лоренца O(3, 1) для общей теории относительности).
Символы Кристоффеля используются для выполнения практических расчетов. Например, тензор кривизны Римана можно полностью выразить через символы Кристоффеля и их первые частные производные . В общей теории относительности связь играет роль гравитационного силового поля , а соответствующий гравитационный потенциал является метрическим тензором. Когда система координат и метрический тензор имеют некоторую симметрию, многие из Γ i jk равны нулю .
Символы Кристоффеля названы в честь Элвина Бруно Кристоффеля (1829–1900). [7]
Примечание
Определения, данные ниже, действительны как для римановых многообразий , так и для псевдоримановых многообразий , таких как определения общей теории относительности , с тщательным различием между верхними и нижними индексами ( контравариантными и ковариантными индексами). Формулы справедливы для любого соглашения о знаках , если не указано иное.
В этой статье используется соглашение Эйнштейна о суммировании : векторы выделены жирным шрифтом. Коэффициенты связности Леви -Чивита (или псевдоримановой связности), выраженные в координатном базисе, называются символами Кристоффеля .
Предварительные определения
Учитывая многообразие , атлас состоит из набора карт для каждого открытого покрытия . Такие диаграммы позволяют стандартному векторному базису вернуться к векторному базису в касательном пространстве . Это делается следующим образом. Учитывая некоторую произвольную действительную функцию , диаграмма позволяет определить градиент :![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ({\vec {e}}_{1},\cdots, {\vec {e}}_{n})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ТМ}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f:M\to \mathbb {R}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \partial _{i}f\equiv {\frac {\partial \left(f\circ \varphi ^{-1}\right)}{\partial x^{i}}}\quad {\mbox {для }}i=1,\,2,\,\dots ,\,n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Этот градиент обычно называют откатом , потому что он «оттягивает» градиент к градиенту на . Откат не зависит от фактической функции ; можно показать, что это одно и то же, независимо от того, что используется. Таким образом, стандартный векторный базис на возвращается к стандартному («координатному») векторному базису на . Это называется «координатным базисом», поскольку оно явно зависит от координат на . Иногда его называют «локальным базисом».![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ({\vec {e}}_{1},\cdots, {\vec {e}}_{n})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (\partial _{1},\cdots,\partial _{n})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ТМ}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это определение допускает распространенное злоупотребление обозначениями . Было определено, что они находятся во взаимно однозначном соответствии с базисными векторами на . Эти обозначения служат напоминанием о том, что базисные векторы в касательном пространстве возникли в результате градиентной конструкции. Несмотря на это, эту конструкцию принято «забывать» и просто писать (вернее, определять) векторы на таких, что . Полный спектр часто используемых обозначений включает использование стрелок и жирного шрифта для обозначения векторов:![{\displaystyle \partial _{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\vec {e}}_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \partial _{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ТМ}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ТМ}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e_{i}\equiv \partial _{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \partial _{i}\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\equiv e_{i}\equiv {\vec {e}}_{i}\equiv \ mathbf {e} _{i}\equiv {\boldsymbol {\partial }}_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где используется как напоминание о том, что они определены как эквивалентные обозначения для одного и того же понятия. Выбор обозначений зависит от стиля и вкуса и варьируется от текста к тексту.![{\displaystyle \equiv}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Координатный базис обеспечивает векторный базис для векторных полей на . Обычно используемые обозначения для векторных полей при включении ![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X={\vec {X}}=X^{i}\partial _{i}=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Прописные буквы без векторной стрелки особенно популярны для обозначений без индексов , поскольку они сводят к минимуму беспорядок и напоминают, что результаты не зависят от выбранного базиса и, в данном случае, от атласа. ![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Такое же злоупотребление обозначениями используется для продвижения одноформ из в . Это делается путем записи или или . Тогда единая форма . Это припаяно к базисным векторам как . Обратите внимание на осторожное использование верхних и нижних индексов, чтобы различать контрвариантные и ковариантные векторы.![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (\varphi ^{1},\ldots,\varphi ^{n})=(x^{1},\ldots,x^{n})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x=\varphi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x^{i}=\varphi ^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dx^{i}=d\varphi ^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dx^{i}(\partial _{j})=\delta _{j}^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратный ход индуцирует (определяет) метрический тензор на . Обычно используются несколько стилей обозначений:![{\displaystyle M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\langle {\vec {e}}_{i},{\vec {e}} _{j}\rangle =e_{i}^{a}e_{j}^{b}\,\eta _{ab}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
скалярное произведениетензорримановых многообразийдельта Кронекерапсевдоримановых многообразий![{\displaystyle \langle,\rangle}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \eta _ {ab}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \eta _ {ab} = \ delta _ {ab}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (p,q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e_{i}^{a}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle a, b, c, \ cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle я,j,k,\cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Матрица , обратная метрическому тензору, имеет вид![{\displaystyle g^{ij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{ij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\mathbf {e} _{j}g^{ji},\quad i=1,\,2,\,\dots,\,n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В некоторых текстах пишут для , так что метрический тензор принимает особенно привлекательную форму . Обычно это делается для того, чтобы символ можно было однозначно использовать для vierbein .![{\displaystyle \mathbf {g} _{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {e} _{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{ij}=\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Определение в евклидовом пространстве
Можно доказать, что в евклидовом пространстве общее определение символов Кристоффеля второго рода, данное ниже, эквивалентно:
![{\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} ^ {k}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot g^{km}\mathbf {e} _{m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Символы Кристоффеля первого рода затем можно найти путем понижения индекса :
![{\displaystyle \Gamma _{kij}={\Gamma ^{m}}_{ij}g_{mk} = {\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j }}}\cdot \mathbf {e} ^{m}g_{mk}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf { е} _{к}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Переставляя, мы видим, что (предполагая, что частная производная принадлежит касательному пространству, чего не может быть в неевклидовом искривленном пространстве):
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k }=\Gamma _{kij}\mathbf {e} ^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Проще говоря, массивы, представленные символами Кристоффеля, отслеживают, как меняется базис от точки к точке. Если производная не лежит в касательном пространстве, правильное выражение представляет собой проекцию производной на касательное пространство (см. ковариантную производную ниже). Символы второго рода разлагают изменение по базису, а символы первого рода — по двойственному базису. В таком виде легко увидеть симметричность нижних или последних двух индексов:
![{\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
ведут себя хорошо![{\displaystyle \Gamma _{kij} =\Gamma _{kji},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {e} _{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Те же числовые значения символов Кристоффеля второго рода относятся и к производным двойственного базиса, как видно из выражения:
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}=-{\Gamma ^{i}}_{jk}\mathbf {e} ^{ к},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}=-{\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} _{к}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Общее определение
Символы Кристоффеля бывают двух форм: первого и второго рода. Определение второго рода является более базовым и поэтому представлено первым.
Символы Кристоффеля второго рода (симметричное определение)
Символы Кристоффеля второго рода — это коэффициенты связности — в координатном базисе — связности Леви-Чивита . Другими словами, символы Кристоффеля второго рода [8] [9] Γ k ij (иногда Γк
ijили {к
ij} ) [7] [8] определяются как единственные коэффициенты такие, что
![{\ displaystyle \ nabla _ {i} \ mathrm {e} _ {j} = {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \ mathrm {e} _ {k},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
∇ iсвязность Леви-ЧивитаMe i∇ i ≡ ∇ e i ) ,ei = ∂ iголономныйбазискручение![{\displaystyle [e_{i},e_{j}]=[\partial _{i},\partial _{j}]=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ nabla _ {i} \ mathrm {e} _ {j} = \ nabla _ {j} \ mathrm {e} _ {i}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
[8]![{\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
симметричнымСимволы Кристоффеля могут быть получены из обращения в нуль ковариантной производной метрического тензора g ik :
![{\displaystyle 0=\nabla _{l}g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-g_{mk}{\Gamma ^{m}} _{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-2g_{m(k} {\Гамма ^{m}}_{i)l}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В качестве сокращенного обозначения символ набла и символы частной производной часто опускаются, и вместо этого используются точка с запятой и запятая для выделения индекса, который используется для производной. Таким образом, вышеизложенное иногда записывается как
![{\displaystyle 0=\,g_{ik;l}=g_{ik,l}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}} _{кл}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Используя тот факт, что символы симметричны по двум нижним индексам, можно явно найти символы Кристоффеля как функцию метрического тензора, переставляя индексы и возобновляя суммирование: [10]
![{\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^ {l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}\ right)={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}\right),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где ( g jk ) — обратная матрица ( g jk ) , определяемая как (с использованием дельты Кронекера и обозначений Эйнштейна для суммирования) g ji g ik = δ j k . Хотя символы Кристоффеля записаны в тех же обозначениях, что и тензоры с индексной записью , они не преобразуются, как тензоры, при изменении координат.
Сокращение индексов
Сжатие верхнего индекса с любым из нижних индексов (симметричных) приводит к
![{\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{ki}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\ln {\sqrt {|g|}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g=\det g_{ik}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Символы Кристоффеля первого рода.
Символы Кристоффеля первого рода могут быть получены либо из символов Кристоффеля второго рода, либо из метрики [11]
![{\displaystyle \Gamma _{cab}=g_{cd}{\Gamma ^{d}}_{ab}\,,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
или только из метрики, [11]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{cab}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ca}}{\partial x^{b}} }+{\frac {\partial g_{cb}}{\partial x^{a}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}\right)\\ &={\frac {1}{2}}\,\left(g_{ca,b}+g_{cb,a}-g_{ab,c}\right)\\&={\frac {1} {2}}\,\left(\partial _{b}g_{ca}+\partial _{a}g_{cb}-\partial _{c}g_{ab}\right)\,.\\\ конец {выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В качестве альтернативных обозначений также можно найти [7] [12] [13]
![{\displaystyle \Gamma _{cab}=[ab,c].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
[ ab , c ] = [ ba , c ][10]Коэффициенты связи в неголономном базисе
Символы Кристоффеля чаще всего определяются в координатной основе, и это соглашение, которому здесь следуют. Другими словами, название символов Кристоффеля зарезервировано только для координатных (т. е. голономных ) систем отсчета. Однако коэффициенты связности также могут быть определены в произвольном (т. е. неголономном) базисе касательных векторов u i по формуле
![{\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {u} _ {i}} \ mathbf {u} _ {j} = {\ omega ^ {k}} _ {ij} \ mathbf {u} _ {k}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Явно, в терминах метрического тензора, это [9]
![{\displaystyle {\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{ kl,m}+c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где c klm = g mp c kl p — коэффициенты коммутации базиса; то есть,
![{\displaystyle [\mathbf {u} _{k},\,\mathbf {u} _{l}]={c_{kl}}^{m}\mathbf {u} _{m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где u k — базисные векторы , а [, ] — скобка Ли . Стандартные единичные векторы в сферических и цилиндрических координатах представляют собой пример базиса с ненулевыми коэффициентами коммутации. Разница между связью в такой системе отсчета и связью Леви-Чивита известна как тензор конторсии .
Коэффициенты вращения Риччи (асимметричное определение)
Когда мы выбираем базис X i ≡ u i ортонормированный: g ab ≡ η ab = ⟨ X a , X b ⟩ , то g mk,l ≡ η mk,l = 0 . Это означает, что
![{\displaystyle {\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}\eta ^{im}\left(c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\ верно)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \omega _{abc} = - \omega _{bac} \,,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \omega _{abc} =\eta _{ad}{\omega ^{d}}_{bc}\,.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В этом случае коэффициенты связи ω a bc называются коэффициентами вращения Риччи . [14] [15]
Эквивалентно, можно определить коэффициенты вращения Риччи следующим образом: [9]
![{\displaystyle {\omega ^{k}}_{ij}:=\mathbf {u} ^{k}\cdot \left(\nabla _{j}\mathbf {u} _{i}\right)\ ,,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
u iuk = η kl u lего кобазисЗакон преобразования при замене переменной
При замене переменной с на символы Кристоффеля преобразуются как![{\displaystyle \left (x^{1},\,\ldots,\,x^{n}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left({\bar {x}}^{1},\,\ldots,\, {\bar {x}}^{n}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {{\bar {\Gamma }}^{i}}_{kl}={\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}} \,{\frac {\partial x^{n}}{\partial {\bar {x}}^{k}}}\,{\frac {\partial x^{p}}{\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\Gamma ^{m}}_{np}+{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial {\bar {x} }^{k}\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где черта сверху обозначает символы Кристоффеля в системе координат. Символ Кристоффеля трансформируется не как тензор, а как объект в струйном пучке . Точнее, символы Кристоффеля можно рассматривать как функции на расслоении струй реперного расслоения M , независимые от какой-либо локальной системы координат. Выбор локальной системы координат определяет локальную часть этого пучка, которую затем можно использовать для возврата символов Кристоффеля к функциям на M , хотя, конечно, эти функции тогда зависят от выбора локальной системы координат.![{\displaystyle {\bar {x}}^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для каждой точки существуют системы координат, в которых символы Кристоффеля исчезают в этой точке. [16] Они называются (геодезическими) нормальными координатами и часто используются в римановой геометрии .
Есть несколько интересных свойств, которые можно вывести непосредственно из закона преобразования.
- При линейном преобразовании неоднородная часть преобразования (второе слагаемое в правой части) тождественно обращается в нуль и затем ведет себя как тензор.
![{\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Если у нас есть два поля связей, скажем и , то их разность является тензором, поскольку неоднородные члены компенсируют друг друга. Неоднородные члены зависят только от того, как изменяются координаты, но не зависят от самого символа Кристоффеля.
![{\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}-{{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Если символ Кристоффеля несимметричен относительно своих нижних индексов в одной системе координат, т. е. , то они остаются несимметричными при любом изменении координат. Следствием этого свойства является то, что невозможно найти систему координат, в которой все элементы символа Кристоффеля в некоторой точке равны нулю, если только нижние индексы не симметричны. На это свойство независимо указывали Альберт Эйнштейн [17] и Эрвин Шредингер [18] .
![{\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk} \neq {\Gamma ^{i}}_{kj}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Связь с параллельным переносом и получением символов Кристоффеля в римановом пространстве.
Если вектор транспортируется параллельно по кривой, параметризованной некоторым параметром на римановом многообразии , скорость изменения компонентов вектора определяется выражением![{\displaystyle \xi ^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {d\xi ^{i}}{ds}}=-{\Gamma ^{i}}_{mj}{\frac {dx^{m}}{ds}}\xi ^ {j}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теперь достаточно использовать условие, что скалярное произведение , образованное двумя произвольными векторами и неизменное, достаточно для получения символов Кристоффеля. Условие![{\displaystyle g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \xi ^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \eta ^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {d}{ds}}\left(g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}\right)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}{\frac {dx^{l}}{ds}}\xi ^{i}\eta ^{k} +g_{ik}{\frac {d\xi ^{i}}{ds}}\eta ^{k}+g_{ik}\xi ^{i}{\frac {d\eta ^{k}} {дс}}=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Применяя правило параллельного транспорта для двух произвольных векторов, переименовывая фиктивные индексы и собирая коэффициенты (произвольные), получаем![{\displaystyle \xi ^{i}\eta ^{k}dx^{l}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}=g_ {rk}{\Gamma ^{r}}_{il}+g_{ir}{\Gamma ^ {r}}_{lk}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это то же самое, что и уравнение, полученное путем обращения в нуль ковариантной производной метрического тензора в разделе «Общие определения». Вывод отсюда прост. Циклически переставляя индексы в приведенном выше уравнении, мы можем получить еще два уравнения, а затем линейно комбинируя эти три уравнения, мы можем выразить их в терминах метрического тензора.![{\displaystyle ikl}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Связь с безиндексной нотацией
Пусть X и Y — векторные поля с компонентами X i и Y k . Тогда k- я компонента ковариантной производной Y по X определяется выражением
![{\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}(\nabla _{i}Y)^{k}=X^{i}\left({\ frac {\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+{\Gamma ^{k}}_{im}Y^{m}\right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Здесь используется обозначение Эйнштейна , поэтому повторяющиеся индексы указывают на суммирование по индексам, а сокращение с помощью метрического тензора служит для повышения и понижения индексов:
![{\displaystyle g(X,Y)=X^{i}Y_{i}=g_{ik}X^{i}Y^{k}=g^{ik}X_{i}Y_{k}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Имейте в виду, что g ik ≠ g ik и что g i k = δ i k , дельта Кронекера . По соглашению, метрическим тензором является тензор с нижними индексами; правильный способ получить g ik из g ik — это решить линейные уравнения g ij g jk = δ i k .
Утверждение о том, что соединение без кручения , а именно, что
![{\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,\,Y]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
эквивалентно утверждению, что в координатной основе символ Кристоффеля симметричен по двум нижним индексам:
![{\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}={\Gamma ^{i}}_{kj}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Свойства безиндексного преобразования тензора задаются путем отката для ковариантных индексов и продвижения вперед для контравариантных индексов. В статье о ковариантных производных дополнительно обсуждается соответствие между безиндексной нотацией и индексированной нотацией.
Ковариантные производные тензоров
Ковариантная производная контравариантного векторного поля с компонентами V m равна
![{\displaystyle \nabla _{l}V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{m}}_{kl} В^{к}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Следствием является то, что дивергенцию вектора можно получить как
![{\displaystyle \nabla _{i}V^{i}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {-g}}\,V ^{i}\right)}{\partial x^{i}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ковариантная производная ковекторного поля ω m равна
![{\displaystyle \nabla _{l}\omega _{m}={\frac {\partial \omega _{m}}{\partial x^{l}}}-{\Gamma ^{k}}_{ ml}\omega _{k}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Симметрия символа Кристоффеля теперь подразумевает
![{\ displaystyle \ nabla _ {i} \ nabla _ {j} \ varphi = \ nabla _ {j} \ nabla _ {i} \ varphi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
тензор кривизныКовариантная производная тензорного поля типа (2, 0) A ik равна
![{\displaystyle \nabla _{l}A^{ik}={\frac {\partial A^{ik}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{i}}_{ml} A^{mk}+{\Gamma ^{k}}_{ml}A^{im},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {A^{ik}}_{;l}={A^{ik}}_{,l}+A^{mk}{\Gamma ^{i}}_{ml}+A^{ im}{\Gamma ^{k}}_{ml}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если тензорное поле смешанное, то его ковариантная производная равна
![{\displaystyle {A^{i}}_{k;l}={A^{i}}_{k,l}+{A^{m}}_{k}{\Gamma ^{i}} _{ml}-{A^{i}}_{m}{\Gamma ^{m}}_{kl},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(0, 2),![{\displaystyle A_{ik;l}=A_{ik,l}-A_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-A_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl} .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Контравариантные производные тензоров
Чтобы найти контравариантную производную векторного поля, мы должны сначала преобразовать ее в ковариантную производную, используя метрический тензор
![{\displaystyle \nabla ^{l}V^{m}=g^{il} \nabla _{i}V^{m}=g^{il}\partial _{i}V^{m}+g ^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{k}=\partial ^{l}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{ к}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Приложения
В общей теории относительности
Символы Кристоффеля находят частое использование в общей теории относительности Эйнштейна , где пространство-время представлено искривленным 4-мерным многообразием Лоренца со связностью Леви-Чивита . Уравнения поля Эйнштейна , которые определяют геометрию пространства-времени в присутствии материи, содержат тензор Риччи , поэтому вычисление символов Кристоффеля имеет важное значение. После определения геометрии траектории частиц и световых лучей рассчитываются путем решения геодезических уравнений , в которых явно присутствуют символы Кристоффеля.
В классической (нерелятивистской) механике
Пусть – обобщенные координаты и – обобщенные скорости, тогда кинетическая энергия единицы массы определяется выражением , где – метрический тензор . Если , потенциальная функция, существует, то контравариантные компоненты обобщенной силы на единицу массы равны . Метрику (здесь в чисто пространственной области) можно получить из линейного элемента . Подставив лагранжиан в уравнение Эйлера-Лагранжа , получим [19]![{\displaystyle x^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\dot {x}}^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}g_ {ik}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{ik}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V\left (x^{i}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F_{i}=\partial V/\partial x^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ds^{2}=2Tdt^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L=ТВ}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{ik}{\ddot {x}}^{k}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l }}}+{\frac {\partial g_{il}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{lk}}{\partial x^{i}}}\right) {\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F_{i}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теперь умножив на , получим![{\displaystyle g^{ij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\ddot {x}}^{j}+{\Gamma ^{j}}_{lk}{\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}= F^{j}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Когда можно принять декартовы координаты (как в инерциальных системах отсчета), мы имеем евклидову метрику, символ Кристоффеля исчезает, и уравнение сводится ко второму закону движения Ньютона . В криволинейных координатах [20] (вынужденно в неинерциальных системах отсчета, где метрика неевклидова и не плоская) фиктивные силы, такие как Центробежная сила и сила Кориолиса , возникают из символов Кристоффеля, то есть из чисто пространственных криволинейных координат.
В координатах поверхности Земли
Дана сферическая система координат , которая описывает точки на поверхности Земли (приближается к идеальной сфере).
![{\displaystyle {\begin{aligned}x(R,\theta,\varphi)&={\begin{pmatrix}R\cos \theta \cos \varphi &R\cos \theta \sin \varphi &R\sin \theta \end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для точки x R — расстояние до ядра Земли (обычно примерно радиус Земли ). θ и φ — широта и долгота . Положительное θ – северное полушарие. Для упрощения производных углы даны в радианах (где d sin(x)/dx = cos(x), значения градусов вводят дополнительный коэффициент 360/2 пи).
В любом месте касательные направления — (вверх), (север) и (восток) — также можно использовать индексы 1,2,3.![{\displaystyle e_{R}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e_{\theta }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e_{\varphi }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\ \e_{\theta }&=R\cdot {\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \varphi &-\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \end{pmatrix}}\\e_ {\varphi }&=R\cos \theta \cdot {\begin{pmatrix}-\sin \varphi &\cos \varphi &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Соответствующий метрический тензор имеет только диагональные элементы (квадраты длин векторов). Это преимущество системы координат, но в целом это не так.
[21]
![{\displaystyle {\begin{aligned}g_{RR}=1\qquad &g_{\theta \theta }=R^{2}\qquad &g_{\varphi \varphi }=R^{2}\cos ^{2 }\theta \qquad &g_{ij}=0\quad \mathrm {else} \\g^{RR}=1\qquad &g^{\theta \theta }=1/R^{2}\qquad &g^{ \varphi \varphi }=1/(R^{2}\cos ^{2}\theta )\qquad &g^{ij}=0\quad \mathrm {else} \\\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теперь можно рассчитать необходимое количество. Примеры:
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{R}=e_{R}g^{RR}=1\cdot e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\ потому что \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\\{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }=e^{R}\cdot {\frac {\partial } {\partial \varphi }}e_{\varphi }&=e^{R}\cdot {\begin{pmatrix}-R\cos \theta \cos \varphi &-R\cos \theta \sin \varphi &0\ end{pmatrix}}=-R\cos ^{2}\theta \\\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Тогда результирующие символы Кристоффеля второго рода (организуются по «производному» индексу i в матрице):![{\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ji}=e^{k}\cdot {\frac {\partial e_{j}}{\partial x^{i}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{RR} & {\Gamma ^{R}}_{\theta R} & {\Gamma ^{R} }_{\varphi R}\\{\Gamma ^{\theta }}_{RR}&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\theta }}_{ \varphi R}\\{\Gamma ^{\varphi }}_{RR}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi R }\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1/R&0\\0&0&1/R\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R }}_{R\theta }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\theta } }_{R\theta }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \theta } & {\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \theta } & {\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \theta }\\\end{pmatrix}} \quad &={\begin{pmatrix}0&-R&0\\1/R&0&0\\0&0&-\tan \theta \end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{ R\varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\theta }}_{R \varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{ R\varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&-R\cos ^{2}\theta \\0&0&\cos \theta \sin \theta \\1/R&-\tan \theta &0\end{pmatrix}}\\\end{ выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эти значения показывают, как изменяются касательные направления (столбцы: , , ), если смотреть с внешней точки зрения (например, из космоса), но заданы в касательных направлениях фактического местоположения (строки: R , θ , φ ).![{\displaystyle e_{R}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e_{\theta }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e_{\varphi }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В качестве примера возьмем ненулевые производные по θ в , что соответствует движению на север (положительное dθ):![{\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{j\ \theta }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Новое северное направление меняется на -R dθ в направлении вверх (R). Таким образом, северное направление будет вращаться вниз к центру Земли.
![{\displaystyle e_{\theta }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Аналогично, направление вверх будет скорректировано в сторону севера. Различные длины и приводят к коэффициенту 1/R.
![{\displaystyle e_{R}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e_{R}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e_{\theta }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Двигаясь на север, вектор восточной касательной меняет свою длину (-tan(θ) по диагонали), сжимается (-tan(θ) dθ < 0) в северном полушарии и увеличивается (-tan(θ) dθ > 0 ) в южном полушарии. [21]
![{\displaystyle e_{\varphi }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эти эффекты могут быть неочевидны во время движения, поскольку они представляют собой корректировки, которые сохраняют измерения в координатах R , θ , φ . Тем не менее, это может повлиять на расстояния, физические уравнения и т. д. Поэтому, если, например, вам нужно точное изменение магнитного поля, указывающего примерно «на юг», может потребоваться также скорректировать ваши измерения путем изменения направления на север, используя символы Кристоффеля. чтобы получить «истинное» ( тензорное ) значение.
Символы Кристоффеля первого рода показывают такое же изменение при использовании координат с метрической поправкой, например, для производной по φ :![{\displaystyle {\Gamma _{l}}_{ji}=g_{lk}{\Gamma ^{k}}_{ji}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma _{R}}_{R\varphi } & {\Gamma _{R}}_{\theta \varphi } & {\Gamma _ {R}}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma _{\theta }}_{R\varphi }&{\Gamma _{\theta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma _ {\theta }}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma _{\varphi }}_{R\varphi }&{\Gamma _{\varphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix}}&=R\cos \theta {\begin{pmatrix}0&0&-\cos \theta \\0&0&R\sin \theta \\\ потому что \theta &-R\sin \theta &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
[21]Смотрите также
Примечания
- ^ См., например, (Спивак 1999) и (Шоке-Брюа и ДеВитт-Моретт 1977).
- ^ Рональд Адлер, Морис Базен, Менахем Шиффер, Введение в общую теорию относительности (1965) ISBN книжной компании McGraw-Hill 0-07-000423-4 ( см. раздел 2.1 )
- ^ Чарльз В. Миснер, Кип С. Торн, Джон Арчибальд Уилер, Гравитация (1973) WH Freeman ISBN 0-7167-0334-3 ( см. главы 8-11 )
- ^ Миснер, Торн, Уилер, соч. цит. ( См. главу 13 )
- ^ Юрген Йост, Риманова геометрия и геометрический анализ , (2002) Springer-Verlag ISBN 3-540-42627-2
- ^ Дэвид Бликер, Калибровочная теория и вариационные принципы (1991) ISBN издательской компании Addison-Wesely 0-201-10096-7
- ^ abc Christoffel, EB (1869), «Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 70 : 46–70
- ^ abc Чаттерджи, Ю.; Чаттерджи, Н. (2010). Векторный и тензорный анализ . п. 480.
- ^ abc «Символ Кристоффеля второго рода — из Wolfram MathWorld». mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 23 января 2009 г.
- ^ аб Бишоп, RL; Гольдберг (1968), Тензорный анализ многообразий , с. 241
- ^ ab Людвигсен, Малкольм (1999), Общая теория относительности: геометрический подход , стр. 88
- ^ Чаттерджи, Ю.; Чаттерджи, Н. (2010). Векторный и тензорный анализ . п. 480.
- ^ Струик, диджей (1961). Лекции по классической дифференциальной геометрии (впервые опубликовано в 1988 г. под ред. Дувра). п. 114.
- ^ Г. Риччи-Курбастро (1896). «Dei sistemi di congruenze ortogonali in una varietà qualunque». Память Акк. Линчеи . 2 (5): 276–322.
- ^ Х. Леви (1925). «Коэффициенты вращения Риччи». Бык. амер. Математика. Соц . 31 (3–4): 142–145. дои : 10.1090/s0002-9904-1925-03996-8 .
- ^ Предполагается, что соединение симметрично (например, соединение Леви-Чивита). Если соединение имеет кручение , то можно заставить исчезнуть только симметричную часть символа Кристоффеля.
- ^ Эйнштейн, Альберт (2005). «Значение теории относительности (1956, 5-е издание)». Издательство Принстонского университета (2005).
- ^ Шрёдингер, Э. (1950). Пространственно-временная структура. Издательство Кембриджского университета.
- ^ Адлер Р., Базен М. и Шиффер М. Введение в общую теорию относительности (Нью-Йорк, 1965).
- ^ Дэвид, Кей, Тензорное исчисление (1988) ISBN McGraw-Hill Book Company 0-07-033484-6 ( см. раздел 11.4 )
- ^ abc Сесслар, Александр Дж. «Опубликованные математические работы | Символы Кристоффеля и сферические координаты». 2023 г. https://sites.google.com/view/published-mathematical-works/home
Рекомендации
- Авраам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978), Основы механики , Лондон: Benjamin/Cummings Publishing, стр. См. главу 2, параграф 2.7.1, ISBN. 0-8053-0102-Х
- Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1965), Введение в общую теорию относительности (первое издание), McGraw-Hill Book Company
- Бишоп, РЛ ; Гольдберг, С.И. (1968), Тензорный анализ многообразий (первое изд. Дувра, 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
- Шоке-Брюа, Ивонн ; ДеВитт-Моретт, Сесиль (1977), Анализ, многообразия и физика , Амстердам: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
- Ландау Лев Давидович ; Лифшиц, Евгений Михайлович (1951), Классическая теория поля , Курс теоретической физики , вып. 2 (Четвертое исправленное издание на английском языке), Oxford: Pergamon Press, стр. См. главу 10, параграфы 85, 86 и 87, ISBN. 0-08-025072-6
- Крейциг, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия , Dover Publications , ISBN 978-0-486-66721-8
- Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уиллер, Джон Арчибальд (1970), Гравитация , Нью-Йорк: WH Freeman, стр. См. главу 8, параграф 8.5, ISBN. 0-7167-0344-0
- Людвигсен, Малкольм (1999), Общая теория относительности: геометрический подход , издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-63019-3
- Спивак, Майкл (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию , том. 2, Опубликуй или погибни, ISBN 0-914098-71-3
- Чаттерджи, Ю.; Чаттерджи, Н. (2010). Векторный и тензорный анализ. Академические издательства. ISBN 978-93-8059-905-2.
- Стройк, диджей (1961). Лекции по классической дифференциальной геометрии (впервые опубликовано в 1988 г. под ред. Дувра). Дувр. ISBN 0-486-65609-8.
- П.Гринфельд (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей . Спрингер. ISBN 978-1-4614-7866-9.
- «Несколько тензорных уравнений показаны полностью». www.tero.co.uk. _ Проверено 1 января 2023 г.