stringtranslate.com

Дельта-функция Дирака

Схематическое изображение дельта-функции Дирака в виде линии, увенчанной стрелкой. Высота стрелки обычно предназначена для указания значения любой мультипликативной константы, которая дает площадь под функцией. Другое соглашение — писать область рядом со стрелкой.
Дельта Дирака как предел (в смысле распределений ) последовательности нульцентрированных нормальных распределений

В математическом анализе дельта -функция Дирака (или δ -распределение ), также известная как единичный импульс , [1] представляет собой обобщенную функцию действительных чисел , значение которой равно нулю везде, кроме нуля, и чей интеграл по всей действительной линии. равен единице. [2] [3] [4] Поскольку не существует функции, обладающей этим свойством, строгое моделирование дельта-функции предполагает использование пределов или, как это принято в математике, теории меры и теории распределений .

Дельта-функция была введена физиком Полем Дираком и с тех пор регулярно применяется в физике и технике для моделирования точечных масс и мгновенных импульсов. Ее называют дельта-функцией, поскольку она является непрерывным аналогом дельта-функции Кронекера , которая обычно определяется в дискретной области и принимает значения 0 и 1. Математическая строгость дельта-функции оспаривалась до тех пор, пока Лоран Шварц не разработал теорию распределений. , где он определяется как линейная форма, действующая на функции.

Мотивация и обзор

График дельты Дирака обычно рассматривается как следующий по всей оси X и положительной оси Y. [5] : 174  Дельта Дирака используется для моделирования высокой узкой пиковой функции (импульса ) и других подобных абстракций , таких как точечный заряд , точечная масса или электронная точка. Например, чтобы рассчитать динамику удара по бильярдному шару , можно аппроксимировать силу удара дельтой Дирака. При этом можно не только упростить уравнения, но и получить возможность рассчитать движение шара , рассматривая только общий импульс столкновения, без подробной модели всей упругой передачи энергии на субатомных уровнях (для пример).

Для конкретики предположим, что бильярдный шар покоится. В какой-то момент в него ударяет другой шар, сообщая ему импульс P в единицах кг⋅м⋅с -1 . Обмен импульсом на самом деле не является мгновенным и опосредован упругими процессами на молекулярном и субатомном уровне, но для практических целей удобно считать эту передачу энергии фактически мгновенной. Следовательно , сила равна P δ ( t ) ; единицы δ ( t ) равны s −1 .

Чтобы смоделировать эту ситуацию более строго, предположим, что вместо этого сила равномерно распределена в течение небольшого интервала времени . То есть,

Тогда импульс в любой момент времени t находится интегрированием:

Теперь модельная ситуация мгновенной передачи импульса требует принятия предела Δt → 0 , давая результат везде, кроме 0 :

Здесь функции рассматриваются как полезные приближения к идее мгновенной передачи импульса.

Дельта-функция позволяет нам построить идеализированный предел этих приближений. К сожалению, фактический предел функций (в смысле поточечной сходимости ) равен нулю везде, кроме одной точки, где он бесконечен. Чтобы правильно понять дельту Дирака, нам следует вместо этого настаивать на том, что свойство

которое справедливо для всех , должно продолжать выполняться и в пределе. Итак , в уравнении подразумевается, что предел всегда берется вне интеграла .

В прикладной математике, как мы это сделали здесь, дельта-функция часто рассматривается как своего рода предел ( слабый предел ) последовательности функций , каждый член которой имеет высокий пик в начале: например, последовательность Гауссовы распределения с центром в начале координат и дисперсией , стремящейся к нулю.

Дельта Дирака на самом деле не является функцией, по крайней мере, не обычной функцией с областью определения и диапазоном в действительных числах . Например, объекты f ( x ) = δ ( x ) и g ( x ) = 0 равны везде, кроме точки x = 0 , но имеют разные интегралы. Согласно теории интегрирования Лебега , если f и g — такие функции, что f = g почти всюду , то f интегрируема тогда и только тогда, когда g интегрируема и интегралы от f и g идентичны. Строгий подход к рассмотрению дельта-функции Дирака как самостоятельного математического объекта требует теории меры или теории распределений .

История

Жозеф Фурье представил то, что сейчас называется интегральной теоремой Фурье , в своем трактате Théorie analytique de la chaleur в форме: [6]

что равносильно введению δ -функции в виде: [7]

Позже Огюстен Коши выразил эту теорему с помощью экспонент: [8] [9]

Коши отметил, что в некоторых случаях порядок интегрирования важен в этом результате (в отличие от теоремы Фубини ). [10] [11]

Если это оправдано с помощью теории распределений , уравнение Коши можно перестроить так, чтобы оно напоминало исходную формулировку Фурье, и представить δ -функцию в виде

где δ -функция выражается как

Строгая интерпретация экспоненциальной формы и различные ограничения на функцию f , необходимые для ее применения, продолжались несколько столетий. Проблемы классической интерпретации объясняются следующим образом: [12]

Самым большим недостатком классического преобразования Фурье является довольно узкий класс функций (оригиналов), для которых оно может быть эффективно вычислено. А именно, необходимо, чтобы эти функции достаточно быстро убывали до нуля (в окрестности бесконечности), чтобы обеспечить существование интеграла Фурье. Например, преобразования Фурье таких простых функций, как полиномы, не существует в классическом смысле. Распространение классического преобразования Фурье на распределения значительно расширило класс преобразуемых функций и устранило многие препятствия.

Дальнейшие разработки включали обобщение интеграла Фурье, «начиная с новаторской L 2 -теории Планшереля (1910), продолжая работами Винера и Бохнера (около 1930) и заканчивая объединением с теорией распределений Л. Шварца (1945)... ", [13] и что привело к формальному развитию дельта-функции Дирака.

Бесконечно малая формула для бесконечно высокой дельта-функции единичного импульса (бесконечно малая версия распределения Коши ) явно появляется в тексте Огюстена Луи Коши 1827 года . [14] Симеон Дени Пуассон рассматривал этот вопрос в связи с изучением распространения волн, как и Густав Кирхгоф несколько позже. Кирхгоф и Герман фон Гельмгольц также ввели единичный импульс как предел гауссиан , что также соответствовало идее лорда Кельвина о точечном источнике тепла. В конце XIX века Оливер Хевисайд использовал формальный ряд Фурье для управления единичным импульсом. [15] Дельта-функция Дирака как таковая была введена Полем Дираком в его статье 1927 года « Физическая интерпретация квантовой динамики» [16] и использована в его учебнике «Принципы квантовой механики» . [3] Он назвал ее «дельта-функцией», поскольку использовал ее как непрерывный аналог дискретной дельты Кронекера .

Определения

Дельта-функцию Дирака можно условно представить как функцию на действительной прямой, которая равна нулю везде, кроме начала координат, где она бесконечна.

и который также ограничен таким образом, чтобы удовлетворять тождеству [17]

Это всего лишь эвристическая характеристика. Дельта Дирака не является функцией в традиционном смысле, поскольку ни одна функция, определенная для действительных чисел, не обладает этими свойствами. [18]

В качестве меры

Один из способов строго уловить понятие дельта-функции Дирака — определить меру , называемую мерой Дирака , которая принимает подмножество A реальной прямой R в качестве аргумента и возвращает δ ( A ) = 1 , если 0 ∈ A , и δ ( A ) = 0 в противном случае. [19] Если дельта-функция концептуализируется как моделирование идеализированной точечной массы в точке 0, то δ ( A ) представляет массу, содержащуюся в множестве A . Затем можно определить интеграл от δ как интеграл от функции от этого распределения массы. Формально интеграл Лебега дает необходимый аналитический аппарат. Интеграл Лебега по мере δ удовлетворяет условию

для всех непрерывных функций f с компактным носителем . Мера δ не является абсолютно непрерывной относительно меры Лебега — фактически она является сингулярной мерой . Следовательно, дельта-мера не имеет производной Радона–Никодима (относительно меры Лебега) — нет истинной функции, для которой выполнено свойство

держит. [20] В результате последнее обозначение представляет собой удобное злоупотребление обозначениями , а не стандартный ( римановский или лебеговский ) интеграл.

Как вероятностная мера на R , дельта-мера характеризуется своей кумулятивной функцией распределения , которая представляет собой функцию единичного шага . [21]

Это означает, что H ( x ) является интегралом кумулятивной индикаторной функции 1 (−∞, x ] по мере δ , а именно:

последнее является мерой этого интервала; более формально, δ ((−∞, x ]) . Таким образом, в частности, интегрирование дельта-функции по непрерывной функции можно правильно понимать как интеграл Римана – Стилтьеса : [22]

Все высшие моменты δ равны нулю . В частности, характеристическая функция и производящая функция момента равны единице.

В качестве распределения

В теории распределений обобщенная функция рассматривается не как функция сама по себе, а только через то, как она влияет на другие функции, когда «интегрируется» с ними. [23] В соответствии с этой философией, чтобы правильно определить дельта-функцию, достаточно сказать, каков «интеграл» дельта-функции по сравнению с достаточно «хорошей» тестовой функцией φ . Тестовые функции также известны как функции проверки . Если дельта-функция уже понимается как мера, то интеграл Лебега пробной функции по этой мере дает необходимый интеграл.

Типичное пространство основных функций состоит из всех гладких функций на R с компактным носителем , имеющих столько производных, сколько требуется. Как распределение, дельта Дирака является линейным функционалом в пространстве основных функций и определяется формулой [24]

для каждой пробной функции φ .

Чтобы δ действительно было распределением, оно должно быть непрерывным в подходящей топологии в пространстве основных функций. В общем случае, чтобы линейный функционал S в пространстве тестовых функций определял распределение, необходимо и достаточно, чтобы для каждого положительного целого числа N существовало целое число M N и константа CN такие, что для каждой пробной функции φ имеет место неравенство [25]

где sup представляет супремум . При распределении δ имеет место такое неравенство (с CN = 1) с M N = 0 для всех N . Таким образом, δ — распределение нулевого порядка. Кроме того, это дистрибутив с компактной поддержкой ( поддержка {0} ) .

Дельта-распределение также можно определить несколькими эквивалентными способами. Например, это распределительная производная ступенчатой ​​функции Хевисайда . Это означает, что для каждой пробной функции φ имеется

Интуитивно, если бы интегрирование по частям было разрешено, то последний интеграл должен был бы упроститься до

и действительно, для интеграла Стилтьеса разрешена форма интегрирования по частям, и в этом случае действительно имеет место

В контексте теории меры мера Дирака порождает распределение путем интегрирования. И наоборот, уравнение ( 1 ) определяет интеграл Даниэля в пространстве всех непрерывных функций φ с компактным носителем, который по теореме о представлении Рисса может быть представлен как интеграл Лебега от φ относительно некоторой меры Радона .

Обычно, когда используется термин дельта-функция Дирака , он имеет в виду распределения, а не меры, причем мера Дирака входит в число нескольких терминов, обозначающих соответствующее понятие в теории меры. В некоторых источниках также может использоваться термин дельта-распределение Дирака .

Обобщения

Дельта-функция может быть определена в n -мерном евклидовом пространстве R n как мера такая, что

для каждой непрерывной функции f с компактным носителем . В качестве меры n -мерная дельта-функция представляет собой меру произведения одномерных дельта-функций по каждой переменной в отдельности. Таким образом, формально при x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) имеем [26]

Дельта-функция также может быть определена в смысле распределений точно так же, как указано выше в одномерном случае. [27] Однако, несмотря на широкое использование в инженерном контексте, ( 2 ) следует обращаться с осторожностью, поскольку продукт распределений может быть определен только при весьма узких обстоятельствах. [28] [29]

Понятие меры Дирака имеет смысл на любом множестве. [ 30] Таким образом, если X — множество, x0X — отмеченная точка и Σ — любая сигма-алгебра подмножеств X , то мера, определенная на множествах A ∈ Σ, равна

— это дельта-мера или единица массы, сосредоточенная в точке x 0 .

Другое распространенное обобщение дельта-функции - это дифференцируемое многообразие , где большинство ее свойств как распределения также можно использовать из-за дифференцируемой структуры . Дельта-функция на многообразии M с центром в точке x 0M определяется как следующее распределение:

для всех гладких вещественных функций φ с компактным носителем на M . [31] Частным частным случаем этой конструкции является случай, когда M является открытым множеством в евклидовом пространстве R n .

В локально компактном хаусдорфовом пространстве X дельта-мера Дирака, сосредоточенная в точке x , является мерой Радона , связанной с интегралом Даниэля ( 3 ) на непрерывных функциях φ с компактным носителем . [32] На этом уровне общности исчисление как таковое уже невозможно, однако доступны различные методы абстрактного анализа. Например, отображение представляет собой непрерывное вложение X в пространство конечных мер Радона на X , снабженное его нечеткой топологией . Более того, выпуклая оболочка образа X при таком вложении плотна в пространстве вероятностных мер на X . [33]

Характеристики

Масштабирование и симметрия

Дельта-функция удовлетворяет следующему свойству масштабирования для ненулевого скаляра α : [34]

и так

Масштабирование доказательства свойства:

x' = axaa = −| а |
.

В частности, дельта-функция представляет собой равномерное распределение (симметрию) в том смысле, что

который является однородным степени −1 .

Алгебраические свойства

Распределительное произведение δ на x равно нулю :

В более общем смысле, для всех положительных целых чисел .

И наоборот, если xf ( x ) = xg ( x ) , где f и g — распределения, то

для некоторой постоянной c . [35]

Перевод

Интеграл от запаздывающей дельты Дирака равен [36]

Иногда это называют свойством просеивания [37] или свойством выборки . [38] Говорят , что дельта-функция «отсеивает» значение f(t) в момент t = T. [39]

Отсюда следует, что эффект свертки функции f ( t ) с дельтой Дирака с задержкой по времени приводит к задержке f ( t ) на ту же величину:

Свойство просеивания сохраняется при точном условии, что f является умеренным распределением (см. обсуждение преобразования Фурье ниже). Например, в частном случае мы имеем тождество (понимаемое в смысле распределения)

Композиция с функцией

В более общем смысле, дельта-распределение может быть составлено с помощью гладкой функции g ( x ) таким образом, чтобы выполнялась знакомая формула замены переменных:

при условии, что gнепрерывно дифференцируемая функция, причем g′ нигде не равна нулю. [40] То есть существует уникальный способ придать смысл распределению, чтобы это тождество выполнялось для всех тестовых функций f с компактным носителем . Следовательно, область необходимо разбить, чтобы исключить точку g' = 0 . Это распределение удовлетворяет условию δ ( g ( x )) = 0, если g нигде не равен нулю, и в противном случае, если g имеет действительный корень в точке x 0 , тогда

Поэтому естественно определить композицию δ ( g ( x )) для непрерывно дифференцируемых функций g формулой

где сумма распространяется на все корни (т.е. все различные) функции g ( x ) , которые считаются простыми . Так, например

В интегральной форме обобщенное свойство масштабирования можно записать как

Неопределенный интеграл

Для константы и произвольной действительной функции y ( x ) с «хорошим поведением» ,

H ( x )ступенчатая функция Хевисайдаc

Свойства в n измерениях

Вместо этого дельта-распределение в n -мерном пространстве удовлетворяет следующему свойству масштабирования:

δоднородноеn

При любом отражении или вращении ρ дельта-функция инвариантна:

Как и в случае с одной переменной, можно определить композицию δ с билипшицевой функцией [41] g : Rn Rn однозначно , так что тождество

f

Используя формулу коплощади из геометрической теории меры , можно также определить состав дельта-функции с погружением из одного евклидова пространства в другое, другой размерности; Результатом является тип тока . В частном случае непрерывно дифференцируемой функции g :  Rn R такой , что градиент g нигде не равен нулю, имеет место следующее тождество [42]

g −1 (0)( n − 1)g ( x ) = 0содержания Минковскогопростой интеграл слоя

В более общем смысле, если S — гладкая гиперповерхность Rn , то мы можем связать с S распределение, которое интегрирует любую гладкую функцию g с компактным носителем над S :

где σ — гиперповерхностная мера, связанная с S . Это обобщение связано с потенциальной теорией потенциалов простых слоев на S . Если Dобласть в Rn с гладкой границей S , то δ S равна нормальной производной индикаторной функции D в смысле распределения :

где n — внешняя нормаль. [43] [44] Доказательство см., например, в статье о поверхностной дельта-функции .

В трех измерениях дельта-функция представлена ​​в сферических координатах:

преобразование Фурье

Дельта-функция является умеренным распределением и поэтому имеет четко определенное преобразование Фурье . Формально находим [45]

Собственно говоря, преобразование Фурье распределения определяется путем наложения самосопряженного преобразования Фурье при двойственном спаривании умеренных распределений с функциями Шварца . Таким образом, определяется как уникальное умеренное распределение, удовлетворяющее

для всех функций Шварца φ . И действительно, из этого следует, что

В результате этого тождества свертка дельта-функции с любым другим умеренным распределением S представляет собой просто S :

То есть δ является единичным элементом для свертки умеренных распределений, и фактически пространство распределений с компактным носителем при свертке представляет собой ассоциативную алгебру с единицей дельта-функции. Это свойство является фундаментальным при обработке сигналов , поскольку свертка с умеренным распределением представляет собой линейную нестационарную систему , и применение линейной нестационарной системы измеряет ее импульсный отклик . Импульсный отклик можно вычислить с любой желаемой степенью точности, выбрав подходящее приближение для δ , и как только оно станет известно, оно полностью характеризует систему. См. теорию систем LTI § Импульсный отклик и свертка .

Обратное преобразование Фурье умеренного распределения f ( ξ ) = 1 представляет собой дельта-функцию. Формально это выражается как

f

В этих терминах дельта-функция дает наводящее на размышления утверждение о свойстве ортогональности ядра Фурье на R . Формально имеется

Это, конечно, сокращение утверждения о том, что преобразование Фурье умеренного распределения

Путем аналитического продолжения преобразования Фурье преобразование Лапласа дельта-функции оказывается равным [46]

Производные

Производная дельта-распределения Дирака, обозначаемая δ' и также называемая дельта-простым числом Дирака или дельта-производной Дирака , как описано в лапласиане индикатора , определяется на гладких тестовых функциях φ с компактным носителем согласно [47]

Первое равенство здесь есть своего рода интегрирование по частям , ибо если бы δ была истинной функцией, то

По математической индукции k - я производная δ определяется аналогично распределению, заданному на пробных функциях выражением

В частности, δ — бесконечно дифференцируемое распределение.

Первая производная дельта-функции представляет собой предел распределения разностных коэффициентов: [48]

Точнее, у человека есть

τ hτ h φ ( x ) = φ ( x + h )S

В теории электромагнетизма первая производная дельта-функции представляет собой точечный магнитный диполь , расположенный в начале координат. Соответственно, ее называют диполем или дублетной функцией . [49]

Производная дельта-функции удовлетворяет ряду основных свойств, в том числе: [50]

Последнее из этих свойств также можно продемонстрировать, применив определение производной распределения, теорему Либница и линейность внутреннего продукта: [51]

Более того, свертка δ′ с гладкой функцией f с компактным носителем равна

что следует из свойств распределительной производной свертки.

Высшие измерения

В более общем смысле, на открытом множестве U в n -мерном евклидовом пространстве дельта-распределение Дирака с центром в точке aU определяется формулой [52]

U.мультииндексчастной производнойαα δ aδ a[52]

То есть α -я производная δ a — это распределение, значение которого на любой тестовой функции φ является α -й производной φ в точке a (с соответствующим положительным или отрицательным знаком).

Первые частные производные дельта-функции рассматриваются как двойные слои вдоль координатных плоскостей. В более общем смысле, нормальная производная простого слоя, поддерживаемого на поверхности, представляет собой двойной слой, поддерживаемый на этой поверхности, и представляет собой ламинарный магнитный монополь. Высшие производные дельта-функции известны в физике как мультиполи .

Высшие производные естественным образом входят в математику как строительные блоки для полной структуры распределений с точечной поддержкой. Если S — любое распределение на U , поддерживаемое на множестве { a } , состоящем из одной точки, то существует целое число m и коэффициенты c α такие, что [52] [53]

Представления дельта-функции

Дельта-функцию можно рассматривать как предел последовательности функций.

где η ε ( x ) иногда называют возникающей дельта-функцией. Этот предел понимается в слабом смысле: либо

для всех непрерывных функций f , имеющих компактный носитель , или что этот предел справедлив для всех гладких функций f с компактным носителем. Разница между этими двумя слегка разными способами слабой сходимости часто незначительна: первый представляет собой сходимость в расплывчатой ​​топологии мер, а второй — сходимость в смысле распределений .

Приближения к тождеству

Обычно возникающую дельта-функцию η ε можно построить следующим образом. Пусть η — абсолютно интегрируемая на R функция полного интеграла 1 и определим

В n измерениях вместо этого используется масштабирование

Тогда простая замена переменных показывает, что ηε также имеет целое 1 . Можно показать, что ( 5 ) выполняется для всех непрерывных функций f с компактным носителем , [54] и, следовательно, ηε слабо сходится к δ в смысле меры.

Построенные таким образом ηε известны как приближение к тождеству . [55] Эта терминология связана с тем, что пространство L 1 ( R ) абсолютно интегрируемых функций замкнуто относительно операции свертки функций: fgL 1 ( R ) , когда f и g находятся в L 1 ( R ) . Однако в L 1 ( R ) нет тождества для произведения свертки: нет элемента h такого, что fh = f для всех f . Тем не менее последовательность ηε приближает такое тождество в том смысле, что

Этот предел имеет место в смысле сходимости в среднем (сходимости в L 1 ). Для обеспечения поточечной сходимости почти всюду необходимы дополнительные условия на ηε , например, чтобы она была смягчающим фактором, ассоциированным с функцией с компактным носителем [56] .

Если исходная последовательность η = η 1 сама по себе гладкая и с компактным носителем, то последовательность называется смягчающим . Стандартный смягчитель получается путем выбора η в качестве подходящей нормализованной функции рельефа , например

В некоторых ситуациях, таких как численный анализ , желательно кусочно-линейное приближение к тождеству. Этого можно добиться, взяв η 1 в качестве шляпной функции . При таком выборе η 1 имеем

которые все непрерывны и компактно поддерживаются, хотя и не являются гладкими и, следовательно, не являются смягчающими.

Вероятностные соображения

В контексте теории вероятностей естественно наложить дополнительное условие, согласно которому начальное η 1 в приближении к тождеству должно быть положительным, поскольку такая функция тогда представляет собой распределение вероятностей . Свертка с распределением вероятностей иногда бывает выгодна, поскольку она не приводит к перерегулированию или недорегулированию, поскольку выходные данные представляют собой выпуклую комбинацию входных значений и, таким образом, попадают между максимумом и минимумом входной функции. Если принять η 1 за любое распределение вероятностей и положить η ε ( x ) = η 1 ( x / ε )/ ε , как указано выше, это приведет к приближению к тождеству. В общем, это быстрее сходится к дельта-функции, если, кроме того, η имеет среднее значение 0 и имеет небольшие высшие моменты. Например, если η 1равномерное распределение на , также известное как прямоугольная функция , то: [57]

Другой пример — распределение полукруга Вигнера.

Это непрерывно и компактно поддерживается, но не является смягчающим фактором, поскольку не является гладким.

Полугруппы

Возникающие дельта-функции часто возникают как полугруппы свертки . [58] Это сводится к дополнительному ограничению, согласно которому свертка η ε с η δ должна удовлетворять

для всех ε , δ > 0 . Полугруппы свертки в L 1 , образующие возникающую дельта-функцию, всегда являются приближением к тождеству в указанном выше смысле, однако условие полугруппы является довольно сильным ограничением.

На практике полугруппы, аппроксимирующие дельта-функцию, возникают как фундаментальные решения или функции Грина физически мотивированных эллиптических или параболических уравнений в частных производных . В контексте прикладной математики полугруппы возникают как результат линейной стационарной системы . Абстрактно, если A — линейный оператор, действующий на функции от x , то полугруппа свертки возникает в результате решения начальной задачи

в котором предел, как обычно, понимается в слабом смысле. Установка η ε ( x ) = η ( ε , x ) дает соответствующую возникающую дельта-функцию.

Некоторые примеры физически важных полугрупп свертки, возникающих в результате такого фундаментального решения, включают следующее.

Тепловое ядро

Тепловое ядро , определяемое формулой

представляет температуру в бесконечной проволоке в момент времени t > 0 , если единица тепловой энергии сохраняется в начале проволоки в момент времени t = 0 . Эта полугруппа развивается согласно одномерному уравнению теплопроводности :

В теории вероятностей ηε ( x ) является нормальным распределением дисперсии ε и среднего значения 0 . Он представляет собой плотность вероятности в момент времени t = ε положения частицы, начиная с начала координат, следующей за стандартным броуновским движением . В этом контексте условие полугруппы является выражением марковского свойства броуновского движения.

В многомерном евклидовом пространстве R n тепловое ядро ​​имеет вид

mutatis mutandisη εδε → 0

Ядро Пуассона

Ядро Пуассона

является фундаментальным решением уравнения Лапласа в верхней полуплоскости. [59] Он представляет собой электростатический потенциал в полубесконечной пластине, потенциал которой вдоль края зафиксирован на уровне дельта-функции. Ядро Пуассона также тесно связано с распределением Коши и функциями ядра Епанечникова и Гаусса . [60] Эта полугруппа развивается согласно уравнению

где оператор строго определен как множитель Фурье

Осциллирующие интегралы

В таких областях физики, как распространение волн и волновая механика , используемые уравнения являются гиперболическими и поэтому могут иметь более сингулярные решения. В результате возникающие дельта-функции, которые возникают как фундаментальные решения связанных проблем Коши , обычно представляют собой осциллирующие интегралы . Примером, полученным из решения уравнения Эйлера-Трикоми трансзвуковой газовой динамики , [ 61] является перемасштабированная функция Эйри

Несмотря на использование преобразования Фурье, легко увидеть, что оно в некотором смысле порождает полугруппу — оно не является абсолютно интегрируемым и поэтому не может определять полугруппу в указанном выше сильном смысле. Многие зарождающиеся дельта-функции, построенные как осциллирующие интегралы, сходятся только в смысле распределений (примером является ядро ​​Дирихле ниже), а не в смысле мер.

Другой пример — задача Коши для волнового уравнения в R 1+1 : [62]

Решение u представляет собой смещение от равновесия бесконечной упругой струны с начальным возмущением в начале координат.

Другие приближения к тождеству такого рода включают функцию sinc (широко используемую в электронике и телекоммуникациях)

и функция Бесселя

Разложение плоской волны

Один подход к исследованию линейного уравнения в частных производных

где Lдифференциальный оператор в Rn , заключается в поиске сначала фундаментального решения, которое является решением уравнения

Когда L особенно прост, эту проблему часто можно решить напрямую с помощью преобразования Фурье (как в случае с уже упомянутым ядром Пуассона и тепловым ядром). Для более сложных операторов иногда проще сначала рассмотреть уравнение вида

где hплоская волновая функция, то есть она имеет вид

для некоторого вектора ξ . Такое уравнение можно решить (если коэффициенты L являются аналитическими функциями ) с помощью теоремы Коши–Ковалевской или (если коэффициенты L постоянны) с помощью квадратуры. Итак, если дельта-функцию можно разложить на плоские волны, то в принципе можно решать линейные уравнения в частных производных.

Такое разложение дельта-функции на плоские волны было частью общей методики, впервые предложенной по существу Иоганном Радоном , а затем развитой в этой форме Фрицем Джоном (1955). [63] Выберите k так, чтобы n + k было четным целым числом, и для действительного числа s положите

Тогда δ получается применением степени лапласиана к интегралу по единичной сферной мере функции g ( x · ξ ) для ξ в единичной сфере S n −1 :

Лапласиан здесь интерпретируется как слабая производная, так что это уравнение означает, что для любой пробной функции φ

Результат следует из формулы для ньютоновского потенциала (фундаментального решения уравнения Пуассона). По сути, это форма формулы обращения для преобразования Радона , поскольку она восстанавливает значение φ ( x ) из его интегралов по гиперплоскостям. Например, если n нечетно и k = 1 , то интеграл в правой части равен

где ( ξ , p ) — преобразование Радона φ :

Альтернативное эквивалентное выражение разложения плоской волны: [64]

Ядра Фурье

При изучении рядов Фурье основной вопрос состоит в определении того, сходится ли и в каком смысле ряд Фурье, связанный с периодической функцией, к этой функции. n - я частичная сумма ряда Фурье функции f периода определяется сверткой (на интервале [−π,π] ) с ядром Дирихле :

[−π,π],N → ∞
гладкойf
[−π,π]

Несмотря на это, результат справедлив не для всех непрерывных функций с компактным носителем: то есть DN не сходится слабо в смысле меры. Отсутствие сходимости ряда Фурье привело к введению множества методов суммирования для достижения сходимости. Метод суммирования Чезаро приводит к ядру Фейера [65]

Ядра Фейера стремятся к дельта-функции в более сильном смысле, что [66]

для каждой непрерывной функции f с компактным носителем . Отсюда следует, что ряд Фурье любой непрерывной функции суммируется по Чезаро со значением функции в каждой точке.

Теория гильбертового пространства

Дельта-распределение Дирака — это плотно определенный неограниченный линейный функционал в гильбертовом пространстве L2 функций , интегрируемых с квадратом . Действительно, гладкие функции с компактным носителем плотны в L2 , и действие дельта-распределения на такие функции корректно определено . Во многих приложениях можно идентифицировать подпространства L 2 и дать более сильную топологию , в которой дельта-функция определяет ограниченный линейный функционал .

Соболевские пространства

Из теоремы вложения Соболева для пространств Соболева на вещественной прямой R следует, что любая интегрируемая с квадратом функция f такая, что

автоматически непрерывен и удовлетворяет, в частности,

Таким образом, δ — ограниченный линейный функционал в пространстве Соболева H 1 . Эквивалентно, δ является элементом непрерывного двойственного пространства H −1 к H 1 . В более общем смысле, в n измерениях имеем δH s ( Rn ) при условии, что s >н/2.

Пространства голоморфных функций

В комплексный анализ дельта-функция входит через интегральную формулу Коши , которая утверждает, что если D — область на комплексной плоскости с гладкой границей, то

для всех голоморфных функций f в D , непрерывных на замыкании D . В результате дельта-функция δ z представляется в этом классе голоморфных функций интегралом Коши:

Более того, пусть H 2 (∂ D )пространство Харди , состоящее из замыкания в L 2 (∂ D ) всех голоморфных функций в D , непрерывных вплоть до границы D . Тогда функции из H 2 (∂ D ) однозначно продолжаются до голоморфных функций из D и интегральная формула Коши продолжает выполняться. В частности, для zD дельта-функция δ z является непрерывным линейным функционалом на H 2 (∂ D ) . Это частный случай ситуации с несколькими комплексными переменными , когда для гладких областей D ядро ​​Сегё играет роль интеграла Коши. [67]

Резолюции личности

Учитывая полный ортонормированный базис функций { φ n } в сепарабельном гильбертовом пространстве, например, нормализованные собственные векторы компактного самосопряженного оператора , любой вектор f можно выразить как

n
обозначения брекета[68]fдвоичную[69]

Обозначая I тождественный оператор в гильбертовом пространстве, выражение

называется разрешением тождества . Когда гильбертово пространство представляет собой пространство L 2 ( D ) функций, интегрируемых с квадратом в области D , величина:

является интегральным оператором, и выражение для f можно переписать

Правая часть сходится к f в смысле L2 . Оно не обязательно должно выполняться в поточечном смысле, даже если f — непрерывная функция. Тем не менее, принято злоупотреблять обозначениями и писать

что приводит к представлению дельта-функции: [70]

При наличии подходящего оснащенного гильбертова пространства (Φ, L 2 ( D ), Φ*) , где Φ ⊂ L 2 ( D ) содержит все гладкие функции с компактным носителем, это суммирование может сходиться в Φ* , в зависимости от свойств базиса φ n . В большинстве случаев, представляющих практический интерес, ортонормированный базис получается из интегрального или дифференциального оператора, и в этом случае ряд сходится в смысле распределения . [71]

Бесконечно малые дельта-функции

Коши использовал бесконечно малую α , чтобы записать единичный импульс, бесконечно высокую и узкую дельта-функцию типа Дирака δ α , удовлетворяющую требованиям в ряде статей в 1827 году . последовательность, стремящаяся к нулю. А именно, такая нулевая последовательность становится бесконечно малой в терминологии Коши и Лазара Карно .

Нестандартный анализ позволяет строго относиться к бесконечно малым. Статья Ямашиты (2007) содержит библиографию современных дельта-функций Дирака в контексте бесконечно малого континуума, обеспечиваемого гиперреальными объектами . Здесь дельта Дирака может быть задана реальной функцией, обладающей тем свойством, которое имеет каждая действительная функция F, как и предполагали Фурье и Коши.

Гребень Дирака

Гребень Дирака — это бесконечная серия дельта-функций Дирака, расположенных с интервалом T

Так называемая равномерная «последовательность импульсов» дельта-мер Дирака, известная как гребенка Дирака или распределение Ша , создает функцию выборки , часто используемую в цифровой обработке сигналов (DSP) и анализе сигналов в дискретном времени. Гребенка Дирака задается как бесконечная сумма , предел которой понимается в смысле распределения:

который представляет собой последовательность точечных масс для каждого из целых чисел.

С точностью до общей нормализующей константы гребенка Дирака равна собственному преобразованию Фурье. Это важно, потому что если f любая функция Шварца , то периодизация f задается сверткой

формула суммирования Пуассона[73] [74]f

Теорема Сохоцкого–Племеля.

Теорема Сохоцкого -Племеля , важная в квантовой механике, связывает дельта-функцию с распределением pv1/Икс, главное значение Коши функции1/Икс, определяется

Формула Сохоцкого утверждает, что [75]

Здесь предел понимается в смысле распределения, что для всех гладких функций f с компактным носителем

Связь с дельтой Кронекера

Дельта Кронекера δ ij это величина, определяемая формулой

для всех целых чисел i , j . Тогда эта функция удовлетворяет следующему аналогу свойства просеивания: если a i (для i в множестве всех целых чисел) — любая дважды бесконечная последовательность , то

Аналогично, для любой действительной или комплекснозначной непрерывной функции f на R дельта Дирака удовлетворяет свойству просеивания

Это демонстрирует дельта-функцию Кронекера как дискретный аналог дельта-функции Дирака. [76]

Приложения

Теория вероятности

В теории вероятностей и статистике дельта-функция Дирака часто используется для представления дискретного распределения или частично дискретного, частично непрерывного распределения с использованием функции плотности вероятности (которая обычно используется для представления абсолютно непрерывных распределений). Например, функция плотности вероятности f ( x ) дискретного распределения, состоящего из точек x = { x1 , ..., xn } , с соответствующими вероятностями p1 , ..., pn , может быть записана как

В качестве другого примера рассмотрим распределение, в котором 6/10 времени возвращает стандартное нормальное распределение , а 4/10 времени возвращает ровно значение 3,5 (т.е. частично непрерывное, частично дискретное смешанное распределение ). Функцию плотности этого распределения можно записать как

Дельта-функция также используется для представления результирующей функции плотности вероятности случайной величины, которая преобразуется непрерывно дифференцируемой функцией. Если Y = g( X ) — непрерывная дифференцируемая функция, то плотность Y можно записать как

Дельта-функция также используется совершенно другим способом для представления локального времени диффузионного процесса (например, броуновского движения ). Локальное время случайного процесса B ( t ) определяется выражением

x
индикаторная функция

Квантовая механика

Дельта-функция целесообразна в квантовой механике . Волновая функция частицы дает амплитуду вероятности обнаружения частицы в данной области пространства. Предполагается, что волновые функции являются элементами гильбертова пространства L 2 функций , интегрируемых с квадратом , а полная вероятность найти частицу в пределах заданного интервала равна интегралу от величины волновой функции, возведенной в квадрат по интервалу. Набор { | φ n } волновых функций ортонормированы, если они нормированы формулой

где δ — дельта Кронекера. Набор ортонормированных волновых функций является полным в пространстве функций, интегрируемых с квадратом, если любая волновая функция |ψ⟩ может быть выражена как линейная комбинация { | φ n } с комплексными коэффициентами:

с c п знак равно φ п | ψ . Полные ортонормированные системы волновых функций естественным образом возникают как собственные функции гамильтониана ( связанной системы ) в квантовой механике, измеряющей уровни энергии, которые называются собственными значениями. Набор собственных значений в этом случае известен как спектр гамильтониана. В обозначениях бра-кета , как указано выше, это равенство подразумевает разрешение тождества:

Здесь предполагается, что собственные значения дискретны, но набор собственных значений наблюдаемой может быть непрерывным, а не дискретным. Примером может служить наблюдаемая позиция( x ) = ( x ) . Спектр положения (в одном измерении) представляет собой всю действительную линию и называется непрерывным спектром . Однако, в отличие от гамильтониана, оператор положения не имеет собственных собственных функций. Традиционный способ преодолеть этот недостаток — расширить класс доступных функций, допустив также распределения: то есть заменить гильбертово пространство квантовой механики соответствующим оснащенным гильбертовым пространством . [77] В этом контексте оператор положения имеет полный набор собственных распределений, отмеченных точками y реальной линии, заданными формулой

Собственные функции положения обозначаются φ y = | y в обозначениях Дирака и известны как собственные состояния положения.

Аналогичные соображения применимы к собственным состояниям оператора импульса или любого другого самосопряженного неограниченного оператора P в гильбертовом пространстве при условии, что спектр P непрерывен и нет вырожденных собственных значений. В этом случае существует набор Ω действительных чисел (спектр) и набор φy распределений, индексированных элементами Ω , такие, что

То есть φ y — собственные векторы P . Если собственные векторы нормированы так, что

в смысле распределения, то для любой пробной функции ψ ,

где c ( y ) знак равно ψ , φ y . То есть, как и в дискретном случае, имеет место разрешение тождества

где операторный интеграл снова понимается в слабом смысле. Если спектр P имеет как непрерывную, так и дискретную части, то разрешение идентичности включает суммирование по дискретному спектру и интеграл по непрерывному спектру.

Дельта-функция также имеет множество более специализированных приложений в квантовой механике, таких как модели дельта-потенциала для одинарной и двойной потенциальной ямы.

Строительная механика

Дельта-функция может использоваться в строительной механике для описания переходных или точечных нагрузок, действующих на конструкции. Основное уравнение простой системы масса-пружина, возбуждаемой внезапным импульсом силы I в момент времени t = 0, можно записать

где m — масса, ξ — прогиб, а kжесткость пружины .

В качестве другого примера, уравнение, управляющее статическим прогибом тонкой балки , согласно теории Эйлера – Бернулли :

где EIизгибная жесткость балки, wпрогиб , x — пространственная координата, q ( x ) — распределение нагрузки. Если балка нагружена точечной силой F в точке x = x 0 , распределение нагрузки запишется

Поскольку интегрирование дельта-функции приводит к ступенчатой ​​функции Хевисайда , из этого следует, что статическое отклонение тонкой балки, подверженной множественным точечным нагрузкам, описывается набором кусочных полиномов .

Также точечный момент , действующий на балку, можно описать дельта-функциями. Рассмотрим две противоположные точечные силы F , находящиеся на расстоянии d друг от друга. Затем они создают момент M = Fd , действующий на балку. Теперь пусть расстояние d приближается к предельному нулю, а M остается постоянным. Распределение нагрузки, предполагая, что момент, действующий по часовой стрелке при x = 0 , записывается

Таким образом, точечные моменты могут быть представлены производной дельта -функции. Интегрирование уравнения балки снова приводит к кусочно- полиномиальному отклонению.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ atis 2013, единичный импульс.
  2. ^ Арфкен и Вебер 2000, стр. 84.
  3. ^ ab Дирак 1930, §22 δ - функция.
  4. ^ Гельфанд и Шилов 1966–1968, Том I, §1.1.
  5. ^ Чжао, Цзи-Чэн (5 мая 2011 г.). Методы определения фазовых диаграмм. Эльзевир. ISBN 978-0-08-054996-5.
  6. ^ Фурье, JB (1822). Аналитическая теория тепла (английский перевод Александра Фримена, изд. 1878 г.). Университетское издательство. п. [1]., ср. https://books.google.com/books?id=-N8EAAAAYAAJ&pg=PA449 и стр. 546–551. Оригинальный французский текст.
  7. ^ Комацу, Хикосабуро (2002). «Гиперфункции Фурье и псевдодифференциальные операторы Хевисайда». В Такахиро Каваи ; Кейко Фудзита (ред.). Микролокальный анализ и комплексный анализ Фурье . Всемирная научная. п. [2]. ISBN 978-981-238-161-3.
  8. ^ Мьинт-У., Тын; Дебнат, Локенат (2007). Линейные дифференциальные уравнения в частных производных для ученых и инженеров (4-е изд.). Спрингер. п. [3]. ISBN 978-0-8176-4393-5.
  9. ^ Дебнат, Локенат; Бхатта, Дамбару (2007). Интегральные преобразования и их приложения (2-е изд.). ЦРК Пресс . п. [4]. ISBN 978-1-58488-575-7.
  10. ^ Граттан-Гиннесс, Айвор (2009). Свертки во французской математике, 1800–1840: от исчисления и механики к математическому анализу и математической физике, том 2 . Биркхойзер. п. 653. ИСБН 978-3-7643-2238-0.
  11. ^ См., например, Коши, Огюстен-Луи (1789–1857), Auteur du texte (1882–1974). «Des intégrales doubles qui se presentent sous une formme indeterminèe». Завершены произведения Огюстена Коши. Серия 1, том 1 / publiées sous la science de l'Académie des Sciences et sous les auspices de M. le ministre de l'Instruction publique...{{cite book}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
  12. ^ Митрович, Драгиша; Зубринич, Дарко (1998). Основы прикладного функционального анализа: распределения, пространства Соболева. ЦРК Пресс. п. 62. ИСБН 978-0-582-24694-2.
  13. ^ Крахт, Манфред; Крейциг, Эрвин (1989). «О сингулярных интегральных операторах и обобщениях». В Фемистокле М. Рассиасе (ред.). Темы математического анализа: Том, посвященный памяти А. Л. Коши . Всемирная научная. п. https://books.google.com/books?id=xIsPrSiDlZIC&pg=PA553 553]. ISBN 978-9971-5-0666-7.
  14. ^ Лаугвиц 1989, с. 230.
  15. ^ Более полный исторический отчет можно найти в van der Pol & Bremmer 1987, §V.4.
  16. ^ Дирак, PAM (январь 1927 г.). «Физическая интерпретация квантовой динамики». Труды Лондонского королевского общества. Серия А, содержащая статьи математического и физического характера . 113 (765): 621–641. Бибкод : 1927RSPSA.113..621D. дои : 10.1098/rspa.1927.0012 . ISSN  0950-1207. S2CID  122855515.
  17. ^ Гельфанд и Шилов 1966–1968, Том I, §1.1, с. 1.
  18. ^ Дирак 1930, с. 63.
  19. ^ Рудин 1966, §1.20
  20. ^ Хьюитт и Стромберг 1963, §19.61.
  21. ^ Дриггерс 2003, с. 2321 См. также Bracewell 1986, Глава 5 для другой интерпретации. Существуют и другие соглашения о присвоении значения функции Хевисайда в нуле, и некоторые из них не согласуются с тем, что изложено ниже.
  22. ^ Хьюитт и Стромберг 1963, §9.19.
  23. ^ Хазевинкель 2011, с. 41.
  24. ^ Стрихарц 1994, §2.2.
  25. ^ Хёрмандер 1983, Теорема 2.1.5.
  26. ^ Брейсвелл 1986, Глава 5.
  27. ^ Хёрмандер 1983, §3.1.
  28. ^ Стрихарц 1994, §2.3.
  29. ^ Хёрмандер 1983, §8.2.
  30. ^ Рудин 1966, §1.20.
  31. ^ Дьедонне 1972, §17.3.3.
  32. ^ Кранц, Стивен Г.; Паркс, Гарольд Р. (15 декабря 2008 г.). Геометрическая теория интегрирования. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4679-0.
  33. ^ Федерер 1969, §2.5.19.
  34. ^ Стрихарц 1994, Задача 2.6.2.
  35. ^ Владимиров 1971, Глава 2, Пример 3 (d).
  36. ^ Ротвитт, Карстен; Тайдеманд-Лихтенберг, Питер (11 декабря 2014 г.). Нелинейная оптика: принципы и приложения. ЦРК Пресс. п. [5] 276. ISBN 978-1-4665-6583-8.
  37. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Просеивание собственности». Математический мир .
  38. ^ Каррис, Стивен Т. (2003). Сигналы и системы с приложениями MATLAB. Садовые публикации. п. 15. ISBN 978-0-9709511-6-8.
  39. ^ Роден, Мартин С. (17 мая 2014 г.). Введение в теорию коммуникации. Эльзевир. п. [6]. ISBN 978-1-4831-4556-3.
  40. ^ Гельфанд и Шилов 1966–1968, Том. 1, §II.2.5.
  41. ^ Возможны дальнейшие уточнения, а именно погружения , хотя они требуют более сложной формулы замены переменных.
  42. ^ Хёрмандер 1983, §6.1.
  43. ^ Ланге 2012, стр. 29–30.
  44. ^ Гельфанд и Шилов 1966–1968, с. 212.
  45. ^ Числовые коэффициенты зависят от соглашений о преобразовании Фурье.
  46. ^ Брейсвелл 1986.
  47. ^ Гельфанд и Шилов 1966–1968, с. 26.
  48. ^ Гельфанд и Шилов 1966–1968, §2.1.
  49. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Функция дублета». Математический мир .
  50. ^ Брейсвелл 2000, стр. 86.
  51. ^ "Комментарий Gugo82 о распределительной производной дельты Дирака" . matematicamente.it . 12 сентября 2010 г.
  52. ^ abc Хёрмандер 1983, с. 56.
  53. ^ Рудин 1991, Теорема 6.25.
  54. ^ Штейн и Вайс 1971, Теорема 1.18.
  55. ^ Рудин 1991, §II.6.31.
  56. ^ В более общем смысле, нужно только η = η 1 , чтобы иметь интегрируемую радиально-симметричную убывающую перестановку.
  57. ^ Саичев и Войчинский 1997, §1.1 «Дельта-функция» глазами физика и инженера, с. 3.
  58. ^ Милованович, Градимир В.; Рассиас, Майкл Т. (8 июля 2014 г.). Аналитическая теория чисел, теория приближения и специальные функции: в честь Хари М. Шриваставы. Спрингер. п. 748. ИСБН 978-1-4939-0258-3.
  59. ^ Штейн и Вайс 1971, §I.1.
  60. ^ Мадер, Хейди М. (2006). Статистика в вулканологии. Геологическое общество Лондона. п. 81. ИСБН 978-1-86239-208-3.
  61. ^ Валле и Соарес 2004, §7.2.
  62. ^ Хёрмандер 1983, §7.8.
  63. ^ Курант и Гильберт 1962, §14.
  64. ^ Гельфанд и Шилов 1966–1968, I, §3.10.
  65. ^ Ланг 1997, с. 312.
  66. ^ В терминологии Ланга (1997) ядро ​​Фейера является последовательностью Дирака, а ядро ​​Дирихле - нет.
  67. ^ Хазевинкель 1995, с. 357.
  68. ^ Развитие этого раздела в обозначениях бра-кет можно найти в (Левин 2002, Волновые функции и полнота координатного пространства, стр. = 109 и далее ) .
  69. ^ Дэвис и Томсон 2000, Совершенные операторы, стр.344.
  70. ^ Дэвис и Томсон 2000, уравнение 8.9.11, стр. 344.
  71. ^ де ла Мадрид, Бом и Гаделла 2002.
  72. ^ Лаугвиц 1989.
  73. ^ Кордова 1988.
  74. ^ Хёрмандер 1983, §7.2.
  75. ^ Владимиров 1971, §5.7.
  76. ^ Хартманн 1997, стр. 154–155.
  77. ^ Ишам 1995, §6.2.

Рекомендации

Внешние ссылки