Ступенчатая функция Хевисайда , или единичная ступенчатая функция , обычно обозначаемая H или θ (но иногда u , 1 или 𝟙 ), представляет собой ступенчатую функцию , названную в честь Оливера Хевисайда , значение которой равно нулю для отрицательных аргументов и единице для положительных аргументов. . Используются различные соглашения относительно значения H (0) . Это пример общего класса ступенчатых функций, все из которых могут быть представлены как линейные комбинации преобразований этой функции.
Функция изначально была разработана в операционном исчислении для решения дифференциальных уравнений , где она представляет собой сигнал, который включается в определенное время и остается включенным неопределенное время. Оливер Хевисайд , разработавший операционное исчисление как инструмент анализа телеграфных сообщений, представил функцию как 1 .
Приняв соглашение, что H (0) = 0 , функцию Хевисайда можно определить как:
Аппроксимации ступенчатой функции Хевисайда используются в биохимии и нейробиологии , где логистические аппроксимации ступенчатых функций (такие как уравнения Хилла и Михаэлиса-Ментен ) могут использоваться для аппроксимации бинарных клеточных переключателей в ответ на химические сигналы.
Эти пределы справедливы поточечно и в смысле распределений . Однако в целом поточечная сходимость не обязательно влечет за собой сходимость по распределению, и наоборот, сходимость по распределению не обязательно влечет за собой поточечную сходимость. (Однако если все члены поточечно сходящейся последовательности функций равномерно ограничены некоторой «хорошей» функцией, то сходимость имеет место и в смысле распределений .)
Часто бывает полезно интегральное представление ступенчатой функции Хевисайда:
где второе представление легко вывести из первого, учитывая, что ступенчатая функция действительна и, следовательно, является своей собственной комплексно-сопряженной.
Нулевой аргумент
Поскольку при интегрировании обычно используется H , а значение функции в отдельной точке не влияет на ее интеграл, редко имеет значение, какое именно значение выбрано из H (0) . Действительно, когда H рассматривается как распределение или элемент L ∞ (см. пространство L p ), даже не имеет смысла говорить о значении в нуле, поскольку такие объекты определены только почти везде . Если используется какое-то аналитическое приближение (как в примерах выше), то часто используется соответствующий предел в нуле.
Существуют различные причины для выбора того или иного значения.
Ч (0) =1/2часто используется, поскольку тогда граф обладает вращательной симметрией; другими словами, H —1/2тогда это нечетная функция . В этом случае для всех x справедливо следующее соотношение со знаковой функцией :
H (0) = 0 используется, когда H должен быть непрерывным слева . В этом случае H является индикаторной функцией открытого полубесконечного интервала:
В контексте функционального анализа из оптимизации и теории игр часто полезно определить функцию Хевисайда как многозначную функцию , чтобы сохранить непрерывность предельных функций и гарантировать существование определенных решений. В этих случаях функция Хевисайда возвращает целый интервал возможных решений H (0) = [0,1] .
Дискретная форма
Альтернативная форма единичного шага, определяемая вместо этого как функция (то есть принимающая дискретную переменную n ), выглядит так:
или используя соглашение о полувысоте: [2]
где n — целое число . Если n — целое число, то n < 0 должно означать, что n ≤ −1 , а n > 0 должно означать, что функция достигает единицы при n = 1 . Следовательно, «ступенчатая функция» демонстрирует линейное поведение в области [-1, 1] и не может быть подлинно ступенчатой функцией, используя соглашение о полувысоте.
В отличие от непрерывного случая, определение H [0] существенно.
Единичный импульс дискретного времени - это первая разность шага дискретного времени.
Эта функция представляет собой совокупное суммирование дельты Кронекера :
Преобразование Фурье ступенчатой функции Хевисайда представляет собой распределение. Используя один выбор констант для определения преобразования Фурье, мы имеем
Здесь пв1/с— это распределение , которое переводит тестовую функцию φ в главное значение Коши . Предел, входящий в интеграл, также понимается в смысле (умеренных) распределений.
Одностороннее преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа ступенчатой функции Хевисайда является мероморфной функцией . Используя одностороннее преобразование Лапласа, имеем:
При использовании двустороннего преобразования интеграл можно разделить на две части, и результат будет одинаковым.