Логистическая функция или логистическая кривая — это обычная S-образная кривая ( сигмовидная кривая ) с уравнением
где
Для значений в области действительных чисел от до получена S-кривая, показанная справа, с графиком приближения при приближении и приближения к нулю при приближении .
Логистическая функция находит применение в ряде областей, включая биологию (особенно экологию ), биоматематику , химию , демографию , экономику , геонауки , математическую психологию , теорию вероятности , социологию , политологию , лингвистику , статистику и искусственные нейронные сети . Обобщением логистической функции является гиперболатическая функция типа I.
Стандартную логистическую функцию, где иногда называют просто сигмоидой . [2] Его также иногда называют выходом , поскольку он является инверсией логита . [3] [4]
Логистическая функция была введена в серии из трех статей Пьером Франсуа Верхюльстом между 1838 и 1847 годами, который разработал ее как модель роста населения путем корректировки модели экспоненциального роста под руководством Адольфа Кетле . [5] Ферхюльст впервые разработал эту функцию в середине 1830-х годов, опубликовав краткую заметку в 1838 году, [1] затем представил расширенный анализ и назвал функцию в 1844 году (опубликовано в 1845 году); [a] [6] третий документ скорректировал поправочный член в своей модели роста населения Бельгии. [7]
Начальная стадия роста примерно экспоненциальная (геометрическая); затем, когда начинается насыщение, рост замедляется до линейного (арифметического), а при достижении зрелости рост прекращается.
Ферхюльст не объяснил выбор термина «логистический» (франц.: Logistic ), но он предположительно противоположен логарифмической кривой [8] [б] и по аналогии с арифметической и геометрической. Его модели роста предшествует обсуждение арифметического роста и геометрического роста (кривую которого он называет логарифмической кривой вместо современного термина «экспоненциальная кривая »), и поэтому «логистический рост», предположительно, назван по аналогии, термин « логистика» происходит от древнегреческого : λογῐστῐκός , латинизированное : логистикос , традиционный раздел греческой математики . [с]
Этот термин не имеет отношения к военному и управленческому термину «логистика » , который вместо этого происходит от французского языка : logis «жилье», хотя некоторые полагают, что греческий термин также повлиял на логистику ; подробности см. в разделе «Логистика § Происхождение» . [ нужна цитата ]
The стандартная логистическая функция – это логистическая функция с параметрами,,, которая дает
На практике из-за характера экспоненциальной функции часто бывает достаточно вычислить стандартную логистическую функцию для небольшого диапазона действительных чисел, например диапазона, содержащегося в [−6, +6], поскольку она очень быстро сходится. близко к значениям насыщения 0 и 1.
Логистическая функция обладает свойством симметрии, которое
Таким образом, – нечетная функция .
Логистическая функция представляет собой функцию смещения и масштабированного гиперболического тангенса :
Это следует из
Стандартная логистическая функция имеет легко вычисляемую производную . Производная известна как плотность логистического распределения :
И наоборот, ее первообразную можно вычислить заменой , так как , так (отбрасывая константу интегрирования )
В искусственных нейронных сетях это известно как функция softplus и (с масштабированием) представляет собой плавную аппроксимацию функции линейного изменения , точно так же, как логистическая функция (с масштабированием) является плавной аппроксимацией ступенчатой функции Хевисайда .
Уникальная стандартная логистическая функция является решением простого нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
с граничным условием . Это уравнение представляет собой непрерывную версию логистической карты . Обратите внимание, что обратная логистическая функция является решением простого линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. [9]
Качественное поведение легко понять с точки зрения фазовой линии : производная равна 0, когда функция равна 1; и производная положительна для значений от 0 до 1 и отрицательна для значений выше 1 или меньше 0 (хотя отрицательные популяции обычно не соответствуют физической модели). Это приводит к неустойчивому равновесию при 0 и устойчивому равновесию при 1, и, таким образом, для любого значения функции больше 0 и меньше 1 оно возрастает до 1.
Логистическое уравнение является частным случаем дифференциального уравнения Бернулли и имеет следующее решение:
Выбор константы интегрирования дает другую хорошо известную форму определения логистической кривой:
В более количественном отношении, как видно из аналитического решения, логистическая кривая показывает ранний экспоненциальный рост для отрицательного аргумента, который достигает линейного роста наклона 1/4 для аргумента, близкого к 0, затем приближается к 1 с экспоненциально затухающим разрывом.
Логистическая функция является обратной натуральной логит -функцией .
и таким образом преобразует логарифм шансов в вероятность . Преобразование логарифмического отношения правдоподобия двух альтернатив также принимает форму логистической кривой.
Дифференциальное уравнение, полученное выше, является частным случаем общего дифференциального уравнения, которое моделирует только сигмовидную функцию для . Во многих приложениях моделирования более общая форма [10]
Отношение гиперболического тангенса приводит к другой форме производной логистической функции:
который связывает логистическую функцию с логистическим распределением .
Сумма логистической функции и ее отражения относительно вертикальной оси равна
Таким образом, логистическая функция вращательно-симметрична относительно точки (0, 1/2). [11]
Линк [12] создал расширение теории последовательного анализа Уолда для накопления случайных величин без распределения до тех пор, пока положительная или отрицательная граница не будет сначала равна или превышена. Линк [13] выводит вероятность первого достижения положительной границы или ее превышения как логистическую функцию. Это первое доказательство того, что логистическая функция может иметь в своей основе случайный процесс. Линк [14] приводит столетие примеров «логистических» экспериментальных результатов и недавно полученную связь между этой вероятностью и временем поглощения на границах.
Типичным применением логистического уравнения является распространенная модель роста населения (см. также динамику населения ), первоначально предложенная Пьером-Франсуа Верхюльстом в 1838 году, где скорость воспроизводства пропорциональна как существующему населению, так и количеству доступных ресурсов. при прочих равных условиях. Уравнение Ферхюльста было опубликовано после того, как Ферхюльст прочитал « Очерк принципа народонаселения » Томаса Мальтуса , в котором описывается мальтузианская модель роста простого (неограниченного) экспоненциального роста. Ферхюльст вывел свое логистическое уравнение, описывающее самоограничивающийся рост биологической популяции . Уравнение было заново открыто в 1911 году А. Г. Маккендриком для роста бактерий в бульоне и экспериментально проверено с использованием метода нелинейной оценки параметров. [15] Это уравнение также иногда называют уравнением Ферхюльста-Перла после его повторного открытия в 1920 году Рэймондом Перлом (1879–1940) и Лоуэллом Ридом (1888–1966) из Университета Джонса Хопкинса . [16] Другой учёный, Альфред Дж. Лотка , снова вывел это уравнение в 1925 году, назвав его законом роста населения .
Если представить размер популяции ( вместо этого часто используется в экологии) и время, эта модель формализуется дифференциальным уравнением :
где константа определяет скорость роста и является пропускной способностью .
В уравнении ранний беспрепятственный темп роста моделируется первым членом . Значение показателя представляет собой пропорциональный прирост населения за одну единицу времени. Позже, по мере роста населения, модуль второго члена (который умножается на ) становится почти таким же большим, как и первый, поскольку некоторые члены населения мешают друг другу, конкурируя за какой-то критический ресурс, например, еду или жизненное пространство. . Этот антагонистический эффект называется узким местом и моделируется значением параметра . Конкуренция снижает совокупный темп роста до тех пор, пока стоимость не перестанет расти (это называется зрелостью населения). Решение уравнения (с исходной популяцией) равно
где
где - предельное значение , наивысшее значение, которого популяция может достичь за бесконечное время (или приблизиться к достижению за конечное время). Важно подчеркнуть, что пропускная способность асимптотически достигается независимо от начального значения , а также в том случае, когда .
В экологии виды иногда называют -стратегами или -стратегами в зависимости от процессов отбора , которые сформировали стратегии их жизненного цикла .Выбор переменных размерностей так, чтобы численность населения измерялась в единицах пропускной способности, а время измерялось в единицах , дает безразмерное дифференциальное уравнение.
Первообразную экологической формы логистической функции можно вычислить заменой , так как
Поскольку условия окружающей среды влияют на пропускную способность, как следствие, она может меняться во времени, причем , что приводит к следующей математической модели:
Особенно важным случаем является случай пропускной способности, которая периодически меняется в зависимости от периода :
Можно показать [17] , что в таком случае независимо от начального значения будет стремиться к единственному периодическому решению , период которого равен .
Типичное значение составляет один год: в этом случае могут отражаться периодические изменения погодных условий.
Еще одно интересное обобщение состоит в том, чтобы принять во внимание, что пропускная способность является функцией популяции в более раннее время, отражая задержку в том, как популяция изменяет свою окружающую среду. Это приводит к уравнению логистической задержки [18] , которое имеет очень богатое поведение, с бистабильностью в некотором диапазоне параметров, а также монотонным спадом до нуля, плавным экспоненциальным ростом, прерывистым неограниченным ростом (т. е. множественными S-образными формами), прерывистый рост или чередование до стационарного уровня, колебательный подход к стационарному уровню, устойчивые колебания, сингулярности с конечным временем, а также смерть с конечным временем.
Логистические функции используются в статистике в нескольких целях. Например, они представляют собой кумулятивную функцию распределения логистического семейства распределений , и они, немного упрощенно, используются для моделирования шанса, который шахматист имеет, чтобы победить своего противника в рейтинговой системе Эло . Далее следуют более конкретные примеры.
Логистические функции используются в логистической регрессии для моделирования того, как на вероятность события могут влиять одна или несколько независимых переменных : примером может служить модель
где – объясняющая переменная, – параметры модели, которые необходимо подобрать, и – стандартная логистическая функция.
Логистическая регрессия и другие лог-линейные модели также широко используются в машинном обучении . Обобщением логистической функции на несколько входных данных является функция активации softmax , используемая в полиномиальной логистической регрессии .
Другое применение логистической функции находится в модели Раша , используемой в теории реагирования на предмет . В частности, модель Раша формирует основу для оценки максимального правдоподобия местоположений объектов или людей в континууме на основе набора категориальных данных , например, способностей людей в континууме на основе ответов, которые были отнесены к категории правильных и неправильно.
Логистические функции часто используются в искусственных нейронных сетях для введения нелинейности в модель или ограничения сигналов в пределах заданного интервала . Популярный элемент нейронной сети вычисляет линейную комбинацию своих входных сигналов и применяет к результату ограниченную логистическую функцию в качестве функции активации ; эту модель можно рассматривать как «сглаженный» вариант классического порогового нейрона .
Распространенный выбор функций активации или «сжатия», используемых для ограничения больших величин, чтобы ограничить реакцию нейронной сети [19] :
что является логистической функцией.
Эти отношения приводят к упрощенным реализациям искусственных нейронных сетей с искусственными нейронами . Практики предупреждают, что сигмоидальные функции, которые антисимметричны относительно начала координат (например, гиперболический тангенс ), приводят к более быстрой сходимости при обучении сетей с обратным распространением ошибки . [20]
Логистическая функция сама по себе является производной от другой предлагаемой функции активации — softplus .
Другое применение логистической кривой находится в медицине, где логистическое дифференциальное уравнение используется для моделирования роста опухолей. Это приложение можно считать расширением вышеупомянутого использования в рамках экологии (см. также Обобщенную логистическую кривую , учитывающую больше параметров). Обозначая размер опухоли во времени , ее динамика определяется
который относится к типу
где скорость пролиферации опухоли.
Если химиотерапия начинается с логарифмическим эффектом, уравнение можно пересмотреть следующим образом:
где уровень смертности, вызванной терапией. В идеализированном случае очень длительной терапии ее можно смоделировать как периодическую функцию (периода ) или (в случае непрерывной инфузионной терапии) как постоянную функцию, и получается, что
т.е. если средний уровень смертности, вызванный терапией, превышает базовый уровень пролиферации, то происходит ликвидация заболевания. Конечно, это упрощенная модель как роста, так и терапии (например, она не учитывает явление клональной резистентности).
Новый инфекционный патоген, к которому у населения нет иммунитета, обычно распространяется экспоненциально на ранних стадиях, пока количество восприимчивых людей велико. Вирус SARS-CoV-2, вызывающий COVID-19, демонстрировал экспоненциальный рост на ранних стадиях заражения в нескольких странах в начале 2020 года. [21] Факторы, включая отсутствие восприимчивых хозяев (за счет продолжающегося распространения инфекции до тех пор, пока она не преодолеет порог для коллективного иммунитета ) или снижение доступности потенциальных хозяев посредством мер физического дистанцирования может привести к экспоненциальному виду эпидемических кривых, сначала линеаризующихся (воспроизводя «логарифмический» к «логистическому» переход, впервые отмеченный Пьером- Франсуа Верхюльстом , как отмечалось выше) и затем достижение максимального предела. [22]
Логистическая функция или связанные с ней функции (например, функция Гомпертца ) обычно используются в описательной или феноменологической манере, поскольку они хорошо подходят не только для раннего экспоненциального роста, но и для возможного выравнивания пандемии по мере развития у населения коллективного иммунитета. . Это контрастирует с реальными моделями пандемий, которые пытаются сформулировать описание, основанное на динамике пандемии (например, коэффициенте заражения, инкубационном времени, социальном дистанцировании и т. д.). Однако были разработаны некоторые простые модели, которые дают логистическое решение. [23] [24] [25]
Обобщенная логистическая функция , также называемая кривой роста Ричардса, была применена для моделирования ранней фазы вспышки COVID-19 . [26] Авторы подгоняют обобщенную логистическую функцию к совокупному числу инфицированных случаев, называемому здесь траекторией заражения . В литературе встречаются различные параметризации обобщенной логистической функции . Одной из часто используемых форм является
где – действительные числа, а – положительное действительное число. Гибкость кривой обусловлена параметром : (i) если затем кривая сводится к логистической функции, и (ii) при приближении к нулю кривая сходится к функции Гомпертца . В эпидемиологическом моделировании , и обозначают окончательный размер эпидемии, уровень заражения и лаг-фазу соответственно. На правой панели приведен пример траектории заражения, когда установлено значение .
Одним из преимуществ использования функции роста, такой как обобщенная логистическая функция, в эпидемиологическом моделировании является ее относительно простое применение в рамках многоуровневой модели , где можно объединить информацию из разных географических регионов.
Концентрация реагентов и продуктов автокаталитических реакций подчиняется логистической функции. Разложение катализатора реакции восстановления кислорода (ORR) без металлов платиновой группы (без металлов платиновой группы) в катодах топливных элементов следует логистической функции распада, [27] предполагая автокаталитический механизм разложения.
Логистическая функция определяет статистическое распределение фермионов по энергетическим состояниям системы, находящейся в тепловом равновесии. В частности, это распределение вероятностей того, что каждый возможный энергетический уровень занят фермионом, согласно статистике Ферми-Дирака .
Логистическая функция также находит применение в оптике, особенно при моделировании таких явлений, как миражи . При определенных условиях, таких как наличие градиента температуры или концентрации из-за диффузии и баланса силы тяжести, может возникнуть поведение логистической кривой. [28] [29]
Мираж, возникающий в результате температурного градиента, который изменяет показатель преломления, связанный с плотностью/концентрацией материала на расстоянии, можно смоделировать с использованием жидкости с градиентом показателя преломления из-за градиента концентрации. Этот механизм можно приравнять к модели ограничения роста населения, в которой концентрированный регион пытается диффундировать в регион с более низкой концентрацией, одновременно стремясь к равновесию с гравитацией, что дает кривую логистической функции. [28]
См. Диффузионная сварка .
В лингвистике логистическая функция может использоваться для моделирования языковых изменений : [30] нововведение, которое сначала является маргинальным, со временем начинает распространяться быстрее, а затем медленнее по мере того, как оно становится более универсальным.
Логистическую S-кривую можно использовать для моделирования реакции сельскохозяйственных культур на изменения факторов роста. Существует два типа функций отклика: положительные и отрицательные кривые роста. Например, урожайность сельскохозяйственных культур может увеличиваться с увеличением значения фактора роста до определенного уровня (положительная функция) или уменьшаться с увеличением значения фактора роста (отрицательная функция из-за отрицательного фактора роста), что требует обратной S-образная кривая.
Логистическую функцию можно использовать для иллюстрации хода распространения инновации на протяжении ее жизненного цикла.
В «Законах подражания» (1890) Габриэль Тард описывает возникновение и распространение новых идей через цепочки подражания. В частности, Тард выделяет три основных этапа распространения инноваций: первый соответствует трудным начинаниям, во время которых идее приходится бороться во враждебной среде, полной противоположных привычек и убеждений; второй соответствует собственно экспоненциальному взлету идеи, при ; наконец, третий этап – логарифмический, с , и соответствует моменту, когда импульс идеи постепенно замедляется и одновременно появляются новые идеи оппонента. Сложившаяся ситуация останавливает или стабилизирует прогресс инновации, приближающийся к асимптоте.
В суверенном государстве субнациональные единицы (составляющие штаты или города) могут использовать кредиты для финансирования своих проектов. Однако этот источник финансирования обычно подчиняется строгим правовым правилам, а также ограничениям экономического дефицита , особенно ресурсов, которые банки могут кредитовать (из-за их собственного капитала или ограничений Базельского соглашения ). Эти ограничения, которые представляют собой уровень насыщения, наряду с экспоненциальным натиском экономической конкуренции за деньги, создают распространение государственных финансов по кредитным просьбам, и совокупный национальный ответ представляет собой сигмовидную кривую . [33]
В истории экономики, когда появляются новые продукты, проводятся интенсивные исследования и разработки , которые приводят к значительному улучшению качества и снижению затрат. Это приводит к периоду быстрого роста промышленности. Некоторые из наиболее известных примеров: железные дороги, лампы накаливания, электрификация , автомобили и воздушные перевозки. В конце концов, возможности радикального улучшения и снижения затрат исчерпаны, продукт или процесс широко используются, при этом остается мало потенциальных новых клиентов, и рынки насыщаются.
Логистический анализ использовался в работах нескольких исследователей из Международного института прикладного системного анализа ( IIASA ). Эти статьи посвящены распространению различных инноваций, инфраструктур и замене источников энергии, а также роли труда в экономике, а также длительному экономическому циклу. Длинные экономические циклы исследовал Роберт Эйрес (1989). [34] Чезаре Маркетти опубликовал работы о длинных экономических циклах и распространении инноваций. [35] [36] Книга Арнульфа Грюблера (1990) дает подробный отчет о распространении инфраструктур, включая каналы, железные дороги, автомагистрали и авиалинии, показывая, что их распространение следовало кривым логистической формы. [37]
Карлота Перес использовала логистическую кривую, чтобы проиллюстрировать долгий ( Кондратьев ) деловой цикл со следующими обозначениями: начало технологической эры как вторжение , подъем как безумие , быстрое развитие как синергия и завершение как зрелость . [38]
Nous donnerons le nom de
logistic
à la courbe [Мы дадим
кривой
логистическое название]
Диаграмма убедила меня: там две кривые с надписью «Логистика» и «Логарифмия» нарисованы на одних и тех же осях, и видно, что есть область, где они почти точно совпадают, а затем расходятся.
Я пришел к выводу, что намерение Ферхюльста, назвав кривую, действительно состояло в том, чтобы предложить такое сравнение, и что слово «логистика» должно было передать «логарифмическое» качество кривой.
{{cite journal}}
: CS1 maint: numeric names: authors list (link){{cite book}}
: |work=
игнорируется ( помощь )