Дифференциальное уравнение Бернулли

Тип обыкновенного дифференциального уравнения

В математике обыкновенное дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением Бернулли, если оно имеет вид

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n},}$

где действительное число . Некоторые авторы допускают любое действительное число , ^{[1] [2]} , тогда как другие требуют, чтобы оно не было 0 или 1. ^{[3] [4]} Уравнение впервые обсуждалось в работе 1695 года Якоба Бернулли , в честь которого оно названо. Однако самое раннее решение было предложено Готфридом Лейбницем , который опубликовал свой результат в том же году и чей метод используется до сих пор. ^[5] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Уравнения Бернулли особенные, поскольку представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения с известными точными решениями. Заметным частным случаем уравнения Бернулли является логистическое дифференциальное уравнение .

Преобразование к линейному дифференциальному уравнению

Когда дифференциальное уравнение является линейным . Когда , оно отделимо . В этих случаях могут быть применены стандартные методы решения уравнений такого вида. При и замена сводит любое уравнение Бернулли к линейному дифференциальному уравнению ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n\neq 0}$ ${\displaystyle n\neq 1}$ ${\displaystyle u=y^{1-n}}$

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}-(n-1)P(x)u=-(n-1)Q(x).}$

Например, в случае замена в дифференциальном уравнении приводит к уравнению , которое является линейным дифференциальным уравнением. ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle u=y^{-1}}$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {du}{dx}}-{\frac {1}{x}}u=-x}$

Решение

Пусть и ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$

${\displaystyle {\begin{cases}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty ),&{\text{if }}\alpha \in \mathbb {R} \smallsetminus \{1,2\},\\[4pt]z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \smallsetminus \{0\},&{\text{if }}\alpha =2,\end{cases}}}$

быть решением линейного дифференциального уравнения

${\displaystyle z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x).}$

Тогда мы имеем, что это решение ${\displaystyle y(x):=[z(x)]^{1/(1-\alpha )}}$

${\displaystyle y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{1/(1-\alpha )}.}$

И для каждого такого дифференциального уравнения, для всего, что мы имеем в качестве решения для . ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle y\equiv 0}$ ${\displaystyle y_{0}=0}$

Пример

Рассмотрим уравнение Бернулли

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}$

(в данном случае, точнее, уравнение Риккати ). Постоянная функция является решением. Разделение по доходности ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y^{2}}$

${\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}}$

Замена переменных дает уравнения

${\displaystyle {\begin{aligned}u={\frac {1}{y}}\;&,~u'={\frac {-y'}{y^{2}}}\\[5pt]-u'-{\frac {2}{x}}u&=-x^{2}\\[5pt]u'+{\frac {2}{x}}u&=x^{2}\end{aligned}}}$

которое можно решить с помощью интегрирующего множителя

${\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}\,dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.}$

Умножив на , ${\displaystyle M(x)}$

${\displaystyle u'x^{2}+2xu=x^{4}.}$

Левую часть можно представить как производную , обратив правило произведения . Применение цепного правила и интегрирование обеих частей относительно результатов в уравнениях ${\displaystyle ux^{2}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \left(ux^{2}\right)'dx&=\int x^{4}\,dx\\[5pt]ux^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\\[5pt]{\frac {1}{y}}x^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\end{aligned}}}$

Решение для ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.}$

Примечания

1. Зилл, Деннис Г. (2013). Первый курс дифференциальных уравнений с применением моделирования (10-е изд.). Бостон, Массачусетс: Cengage Learning . п. 73. ИСБН 9780357088364.
2. Стюарт, Джеймс (2015). Исчисление: ранние трансценденталисты (8-е изд.). Бостон, Массачусетс: Cengage Learning . п. 625. ИСБН 9781305482463.
3. Розов, Н.Х. (2001) [1994], «Уравнение Бернулли», Математическая энциклопедия , EMS Press
4. Тешль, Джеральд (2012). «1.4. Поиск явных решений» (PDF) . Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Аспирантура по математике . Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество . п. 15. eISSN  2376-9203. ISBN 978-0-8218-8328-0. ISSN  1065-7339. Збл  1263.34002.
5. Паркер, Адам Э. (2013). «Кто решил дифференциальное уравнение Бернулли и как они это сделали?» (PDF) . Математический журнал колледжа . 44 (2): 89–97. ISSN  2159-8118 – через Математическая ассоциация Америки .

Рекомендации

• Бернулли, Якоб (1695), «Объяснения, аннотации и дополнения к еа, что в Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica и Velaria, hinc inde memorata и paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum Directionum, Alliisque Novis», Акта Эрудиторум. Цитируется в Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
• Хайрер, Эрнст; Норсетт, Сиверт Пол; Ваннер, Герхард (1993), Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: Нежесткие задачи , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0.

Внешние ссылки

• Указатель дифференциальных уравнений