Когда параметр местоположения μ равен 0, а параметр масштаба s равен 1, тогда функция плотности вероятности логистического распределения определяется выражением
Логистическое распределение получило свое название от своей кумулятивной функции распределения , которая является экземпляром семейства логистических функций. Кумулятивная функция распределения логистического распределения также является масштабированной версией гиперболического тангенса .
Обратная кумулятивная функция распределения ( функция квантиля ) логистического распределения является обобщением логит- функции. Ее производная называется функцией плотности квантиля. Они определяются следующим образом:
Альтернативная параметризация
Альтернативную параметризацию логистического распределения можно получить, выразив параметр масштаба , через стандартное отклонение, используя замену , где . Альтернативные формы вышеупомянутых функций достаточно просты.
Одним из наиболее распространенных приложений является логистическая регрессия , которая используется для моделирования категориальных зависимых переменных (например, выбор «да-нет» или выбор из 3 или 4 возможностей), так же, как стандартная линейная регрессия используется для моделирования непрерывных переменных (например, доход или численность населения). В частности, модели логистической регрессии можно сформулировать как модели скрытых переменных , в которых переменные ошибок следуют логистическому распределению. Эта формулировка распространена в теории моделей дискретного выбора , где логистическое распределение играет ту же роль в логистической регрессии, что и нормальное распределение в пробит-регрессии . Действительно, логистическое и нормальное распределения имеют весьма схожую форму. Однако логистическое распределение имеет более тяжелые хвосты , что часто повышает надежность основанного на нем анализа по сравнению с использованием нормального распределения.
Физика
PDF этого распределения имеет ту же функциональную форму, что и производная функции Ферми . В теории свойств электронов в полупроводниках и металлах эта производная устанавливает относительный вес различных энергий электронов в их вкладе в электронный транспорт. Те уровни энергии, энергии которых наиболее близки к «среднему» распределению ( уровню Ферми ), доминируют в таких процессах, как электронная проводимость, с некоторым размытием, вызванным температурой. [3] : 34 Однако обратите внимание, что соответствующее распределение вероятностей в статистике Ферми – Дирака на самом деле представляет собой простое распределение Бернулли с коэффициентом вероятности, определяемым функцией Ферми.
Логистическое распределение возникает как предельное распределение затухающего случайного движения с конечной скоростью, описываемого телеграфным процессом, в котором случайные моменты времени между последовательными изменениями скорости имеют независимые экспоненциальные распределения с линейно возрастающими параметрами. [4]
Гидрология
В гидрологии распределение долговременного речного стока и осадков (например, месячные и годовые суммы, состоящие из суммы 30 или 360 дневных значений) часто считается почти нормальным в соответствии с центральной предельной теоремой . [5] Однако нормальное распределение нуждается в числовом приближении . Поскольку логистическое распределение, которое можно решить аналитически, похоже на нормальное распределение, его можно использовать вместо него. Синее изображение иллюстрирует пример подбора логистического распределения к ранжированным октябрьским осадкам, которые распределяются почти нормально, и показывает 90% доверительный интервал , основанный на биномиальном распределении . Данные об осадках представлены в виде координат на графике в рамках кумулятивного частотного анализа .
Шахматные рейтинги
Федерация шахмат США и ФИДЕ переключили свою формулу расчета шахматных рейтингов с нормального распределения на логистическое; см. статью о рейтинговой системе Эло (которая сама основана на нормальном распределении).
Металогическое распределение представляет собой обобщение логистического распределения, в котором логистические параметры и меняются в степенные ряды по . Полученная металог-квантильная функция обладает высокой гибкостью формы, имеет простую замкнутую форму и может быть адаптирована к данным с помощью линейного метода наименьших квадратов.
Выводы
Моменты высшего порядка
Центральный момент n -го порядка можно выразить через функцию квантиля:
Этот интеграл хорошо известен [6] и может быть выражен через числа Бернулли :
^ Нортон, Мэтью; Хохлов, Валентин; Урясев, Стэн (2019). «Расчет CVaR и bPOE для распространенных распределений вероятностей с применением для оптимизации портфеля и оценки плотности» (PDF) . Анналы исследования операций . Спрингер. 299 (1–2): 1281–1315. дои : 10.1007/s10479-019-03373-1 . Проверено 27 февраля 2023 г.
^ Джонсон, Коц и Балакришнан (1995, стр.116).
^ Дэвис, Джон Х. (1998). Физика низкоразмерных полупроводников: Введение . Издательство Кембриджского университета. ISBN9780521484916.
^ А. Ди Крещенцо, Б. Мартинуччи (2010) «Затухающий телеграфный случайный процесс с логистическим стационарным распределением», J. Appl. Проб. , том. 47, стр. 84–96.
^ Ритзема, HP, изд. (1994). Частотный и регрессионный анализ. Глава 6 в: Принципы и применение дренажа, Публикация 16, Международный институт мелиорации и улучшения земель (ILRI), Вагенинген, Нидерланды. стр. 175–224. ISBN90-70754-33-9.
^ ОЭИС : A001896
Рекомендации
Викискладе есть медиафайлы, связанные с логистическим распределением .
Джон С. деКани и Роберт А. Стайн (1986). «Заметка о получении информационной матрицы логистического распределения». Американский статистик . Американская статистическая ассоциация. 40 : 220–222. дои : 10.2307/2684541.
Н., Балакришнан (1992). Справочник по логистическому распределению . Марсель Деккер, Нью-Йорк. ISBN 0-8247-8587-8.
Модис, Теодор (1992) Предсказания: характерные черты общества раскрывают прошлое и предсказывают будущее , Саймон и Шустер, Нью-Йорк. ISBN 0-671-75917-5