число Бернулли

Рациональная числовая последовательность

В математике числа Бернулли B _n представляют собой последовательность рациональных чисел , которые часто встречаются в анализе . Числа Бернулли появляются (и могут быть определены) в разложениях в ряд Тейлора касательных и гиперболических касательных функций, в формуле Фаульхабера для суммы m -ых степеней первых n положительных целых чисел, в формуле Эйлера-Маклорена и в выражениях для некоторых значений дзета-функции Римана .

Значения первых 20 чисел Бернулли приведены в соседней таблице. В литературе используются два соглашения, обозначенные здесь и ; они различаются только для n = 1 , где и . Для каждого нечетного n > 1 B n ₌ 0 . Для каждого четного n > 0 B _n является отрицательным, если n делится на 4, и положительным в противном случае. Числа Бернулли представляют собой специальные значения полиномов Бернулли с и . ^[1] ${\displaystyle B_{n}^{-{}}}$ ${\displaystyle B_{n}^{+{}}}$ ${\displaystyle B_{1}^{-{}}=-1/2}$ ${\displaystyle B_{1}^{+{}}=+1/2}$ ${\displaystyle B_{n}(x)}$ ${\displaystyle B_{n}^{-{}}=B_{n}(0)}$ ${\displaystyle B_{n}^{+}=B_{n}(1)}$

Числа Бернулли были открыты примерно в то же время швейцарским математиком Якобом Бернулли , в честь которого они названы, и независимо японским математиком Секи Такакадзу . Открытие Секи было посмертно опубликовано в 1712 году ^{[2] [3] [4]} в его работе «Кацуё Санпо» ; Бернулли, также посмертно, в его Ars Conjectandi 1713 года . В заметке G Ады Лавлейс об аналитической машине от 1842 года описан алгоритм , подготовленный Бэббиджем для генерации чисел Бернулли с помощью машины Бэббиджа . ^[5] В результате числа Бернулли стали предметом первой опубликованной сложной компьютерной программы .

Обозначения

Надстрочный индекс ±, используемый в этой статье, различает два соглашения о знаках чисел Бернулли. Затрагивается только член n = 1 :

• Б⁻
  _п с Б⁻
  ₁= −1/2 ( OEIS : A027641 / OEIS : A027642 ) — это соглашение о знаках, предписанное NIST и большинством современных учебников. ^[6]
• Б⁺
  _нс Б⁺
  ₁= +1/2 ( OEIS : A164555 / OEIS : A027642 ) использовался в более старой литературе ^[1] и (с 2022 года) Дональдом Кнутом ^[7] после «Манифеста Бернулли» Питера Лушни. ^[8]

В приведенных ниже формулах можно переключаться с одного соглашения о знаках на другое с помощью отношения или для целого числа n = 2 или больше просто игнорировать его. ${\displaystyle B_{n}^{+}=(-1)^{n}B_{n}^{-}}$

Поскольку B _n = 0 для всех нечетных n > 1 и во многих формулах используются только числа Бернулли с четным индексом, некоторые авторы пишут « B _n » вместо B _{2 n}  . Эта статья не соответствует этому обозначению.

История

История ранних веков

Числа Бернулли уходят корнями в раннюю историю вычисления сумм целых степеней, которые интересовали математиков с античных времен.

Страница из « Кацуё Санпо » Секи Такакадзу (1712 г.), в которой представлены таблицы биномиальных коэффициентов и чисел Бернулли.

Были известны методы вычисления суммы первых n натуральных чисел, суммы квадратов и кубов первых n натуральных чисел, но настоящих «формул» не существовало, а были только описания, полностью даваемые словами. Среди великих математиков древности, занимавшихся этой проблемой, были Пифагор (ок. 572–497 до н. э., Греция), Архимед (287–212 до н. э., Италия), Ариабхата (р. 476, Индия), Абу Бакр аль-Караджи (ум. 1019, Персия) и Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хасан ибн аль-Хайсам (965–1039, Ирак).

В конце шестнадцатого и начале семнадцатого веков математики добились значительных успехов. На Западе важную роль сыграли Томас Харриот (1560–1621) из Англии, Иоганн Фаульхабер (1580–1635) из Германии, Пьер де Ферма (1601–1665) и французский математик Блез Паскаль (1623–1662).

Томас Хэрриот, кажется, был первым, кто вывел и записал формулы для сумм степеней, используя символическую запись, но даже он вычислял только до суммы четвертых степеней. Иоганн Фаульхабер дал формулы для сумм степеней до 17-й степени в своей «Академии алгебры» 1631 года , что намного выше, чем кто-либо до него, но он не дал общей формулы.

Блез Паскаль в 1654 году доказал тождество Паскаля , связывающее суммы p -х степеней первых n натуральных чисел для p = 0, 1, 2, ..., k .

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1654–1705) был первым, кто осознал существование единой последовательности констант B ₀ , B ₁ , B ₂ ,... которые обеспечивают единую формулу для всех сумм степеней. ^[9]

Радость, которую испытал Бернулли, когда он наткнулся на шаблон, необходимый для быстрого и легкого вычисления коэффициентов его формулы для суммы c -х степеней для любого положительного целого числа c , можно увидеть из его комментария. Он написал:

«С помощью этой таблицы мне потребовалось менее половины четверти часа, чтобы найти, что сложенные вместе десятые степени первых 1000 чисел дадут сумму 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500».

Результат Бернулли был опубликован посмертно в Ars Conjectandi в 1713 году. Секи Такакадзу независимо открыл числа Бернулли, и его результат был опубликован годом ранее, также посмертно, в 1712 году. ^[2] Однако Секи не представил свой метод как формулу, основанную на последовательность констант.

Формула Бернулли для суммы степеней — наиболее полезная и обобщающая формулировка на сегодняшний день. Коэффициенты в формуле Бернулли теперь называются числами Бернулли, следуя предложению Абрахама де Муавра .

Формулу Бернулли иногда называют формулой Фаульхабера в честь Иоганна Фаульхабера, который нашел замечательные способы вычисления суммы степеней, но никогда не формулировал формулу Бернулли. Согласно Кнуту ^[9], строгое доказательство формулы Фаульхабера было впервые опубликовано Карлом Якоби в 1834 году. ^[10] Углубленное исследование формулы Фаульхабера, проведенное Кнутом, завершается (нестандартные обозначения в левой части шкалы объясняются далее):

«Фаульхабер никогда не открывал числа Бернулли; т. е. он никогда не осознавал, что одна последовательность констант B ₀ , B ₁ , B ₂ , ... обеспечит равномерное

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}-{\binom {m+1}{1}}B_{1}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}-\cdots +(-1)^{m}{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)}$

для всех сумм степеней. Он ни разу не упомянул, например, о том, что почти половина коэффициентов оказалась нулевой после того, как он превратил свои формулы для Σn m ^из полиномов от N в полиномы от n » ^[11] .

Выше Кнут имел в виду ; вместо этого использование формулы позволяет избежать вычитания: ${\displaystyle B_{1}^{-}}$ ${\displaystyle B_{1}^{+}}$

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}+{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{+}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}+\cdots +{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right).}$

Реконструкция «Суммае Потестатум».

«Summae Potestatum» Якоба Бернулли, 1713 г. ^[а]

Числа Бернулли OEIS : A164555 (n)/ OEIS : A027642 (n) были введены Якобом Бернулли в книге Ars Conjectandi , опубликованной посмертно в 1713 году, стр. 97. Основную формулу можно увидеть во второй половине соответствующего факсимиле. Постоянные коэффициенты, обозначенные Бернулли A , B , C и D, преобразуются в обозначения, которые сейчас распространены как A = B ₂ , B = B ₄ , C = B ₆ , D = B ₈ . Выражение c · c -1· c -2· c -3 означает c ·( c -1)·( c -2)·( c -3) – маленькие точки используются в качестве символов группировки. Используя сегодняшнюю терминологию, эти выражения представляют собой падающие факториальные степени c ^k . Факториальная запись k ! как сокращение для 1 × 2 × ... × k было введено только 100 лет спустя. Интегральный символ слева восходит к Готфриду Вильгельму Лейбницу в 1675 году, который использовал его как длинную букву S для обозначения «summa» (сумма). ^[b] Буква n слева не является индексом суммирования , но указывает верхний предел диапазона суммирования, который следует понимать как 1, 2, ..., n . Если сложить все вместе, то для положительного c сегодня математик, скорее всего, запишет формулу Бернулли так:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.}$

Эта формула предлагает положить B ₁ =1/2при переходе от так называемого «архаичного» перечисления, в котором используются только четные индексы 2, 4, 6..., к современной форме (подробнее о различных соглашениях в следующем параграфе). Наиболее поразительным в этом контексте является тот факт, что падающий факториал c ^{k −1} имеет при k = 0 значение1/с + 1. ^[12] Таким образом, формулу Бернулли можно записать

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}=\sum _{k=0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}}$

если B ₁ = 1/2 , возвращая значение, которое Бернулли придал коэффициенту в этой позиции.

Формула для первой половины приведенной выше цитаты Бернулли содержит ошибку в последнем члене; это должно быть вместо . ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {3}{20}}n^{2}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}n^{2}}$

Определения

За последние 300 лет было найдено множество характеристик чисел Бернулли, и каждую из них можно было использовать для представления этих чисел. Здесь упомянуты только четыре наиболее полезных из них:

• рекурсивное уравнение,
• явная формула,
• производящая функция,
• целое выражение.

Для доказательства эквивалентности четырех подходов. ^[13]

Рекурсивное определение

Числа Бернулли подчиняются формулам сумм ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=\delta _{m,0}\\\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=m+1\end{aligned}}}$

где и δ обозначает дельту Кронекера . Решение for дает рекурсивные формулы ${\displaystyle m=0,1,2...}$ ${\displaystyle B_{m}^{\mp {}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\delta _{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{-{}}}{m-k+1}}\\B_{m}^{+}&=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}.\end{aligned}}}$

Явное определение

В 1893 году Луи Заальшюц перечислил в общей сложности 38 явных формул для чисел Бернулли ^[14] , обычно давая ссылки на более раннюю литературу. Один из них (для ): ${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\sum _{k=0}^{m}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{\binom {k}{v}}{\frac {v^{m}}{k+1}}\\B_{m}^{+}&=\sum _{k=0}^{m}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{\binom {k}{v}}{\frac {(v+1)^{m}}{k+1}}.\end{aligned}}}$

Генерирующая функция

Экспоненциальные производящие функции :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {t}{e^{t}-1}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}-1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}}\\{\frac {t}{1-e^{-t}}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}.\end{alignedat}}}$

где замена . Если мы позволим и тогда ${\displaystyle t\to -t}$ ${\displaystyle F(t)=\sum _{i=1}^{\infty }f_{i}t^{i}}$ ${\displaystyle G(t)=1/(1+F(t))=\sum _{i=0}^{\infty }g_{i}t^{i}}$

${\displaystyle G(t)=1-F(t)G(t).}$

Тогда и для m-го ^члена ряда for будет: ${\displaystyle g_{0}=1}$ ${\displaystyle m>0}$ ${\displaystyle G(t)}$

${\displaystyle g_{m}t^{i}=-\sum _{j=0}^{m-1}f_{m-j}g_{j}t^{m}}$

Если

${\displaystyle F(t)={\frac {e^{t}-1}{t}}-1=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {t^{i}}{(i+1)!}}}$

тогда мы находим это

${\displaystyle G(t)=t/(e^{t}-1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m!g_{m}&=-\sum _{j=0}^{m-1}{\frac {m!}{j!}}{\frac {j!g_{j}}{(m-j+1)!}}\\&=-{\frac {1}{m+1}}\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {m+1}{j}}j!g_{j}\\\end{aligned}}}$

показывая, что значения подчиняются рекурсивной формуле для чисел Бернулли . ${\displaystyle i!g_{i}}$ ${\displaystyle B_{i}^{-}}$

(Обычная) производящая функция

${\displaystyle z^{-1}\psi _{1}(z^{-1})=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}^{+}z^{m}}$

есть асимптотический ряд . Он содержит тригамма-функцию ψ ₁ .

Интегральное выражение

Из производящих функций, приведенных выше, можно получить следующую интегральную формулу для четных чисел Бернулли:

${\displaystyle B_{2n}=4n(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n-1}}{e^{2\pi t}-1}}\mathrm {d} t}$

Числа Бернулли и дзета-функция Римана

Числа Бернулли, заданные дзета-функцией Римана.

Числа Бернулли можно выразить через дзета-функцию Римана :

Б⁺
_нзнак равно - nζ (1 - п )           для п ≥ 1  .

Здесь аргумент дзета-функции равен 0 или отрицателен.

С помощью уравнения дзета-функционала и формулы гамма-отражения можно получить следующее соотношение: ^[15]

${\displaystyle B_{2n}={\frac {(-1)^{n+1}2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n)\quad }$для n ≥ 1  .

Теперь аргумент дзета-функции положителен.

Тогда из ζ → 1 ( n → ∞ ) и формулы Стирлинга следует , что

${\displaystyle |B_{2n}|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}\quad }$для n → ∞  .

Эффективное вычисление чисел Бернулли

В некоторых приложениях полезно иметь возможность вычислять числа Бернулли от B ₀ до B _{p − 3} по модулю p , где p — простое число; например, чтобы проверить, верна ли гипотеза Вандивера для p , или даже просто определить, является ли p неправильным простым числом . Невозможно выполнить такое вычисление с использованием приведенных выше рекурсивных формул, поскольку потребуется по крайней мере (постоянное кратное) p ² арифметических операций. К счастью, были разработаны более быстрые методы ^[16] , которые требуют всего O ( p (log p ) ² ) операций (см. обозначение большого O ).

Дэвид Харви ^[17] описывает алгоритм вычисления чисел Бернулли путем вычисления Bn _по модулю p для многих маленьких простых чисел p , а затем восстановления Bn с помощью китайской _{теоремы} об остатках . Харви пишет, что асимптотическая временная сложность этого алгоритма равна O ( n ² log( n ) ^{2 + ε} ) , и утверждает, что эта реализация значительно быстрее, чем реализации, основанные на других методах. Используя эту реализацию, Харви вычислил B _n для n = 10 ⁸ . Реализация Харви включена в SageMath начиная с версии 3.1. До этого Бернд Келлнер ^[18] вычислил B _n с полной точностью для n = 10 ⁶ в декабре 2002 года и Александр Павлик ^[19] для n = 10 ⁷ с помощью Mathematica в апреле 2008 года.

* Под цифрами следует понимать показатель степени 10, когда B _n записано как действительное число в нормализованной научной записи .

Возможный алгоритм вычисления чисел Бернулли на языке программирования Джулия представлен в ^[14]

b = Array { Float64 }( undef , n + 1 ) b [ 1 ] = 1 b [ 2 ] = - 0,5 для m = 2 : n для k = 0 : m для v = 0 : k b [ m + 1 ] += ( - 1 ) ^ v * биномиальный ( k , v ) * v ^ ( m ) / ( k + 1 ) конец конец конец возврат b                         

Приложения чисел Бернулли

Асимптотический анализ

Возможно, наиболее важным применением чисел Бернулли в математике является их использование в формуле Эйлера-Маклорена . Предполагая, что f — достаточно часто дифференцируемая функция, формулу Эйлера–Маклорена можно записать в виде ^[20]

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).}$

Эта формулировка предполагает соглашение B⁻
₁= −1/2. Используя соглашение B⁺
₁= +1/2формула становится

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).}$

Здесь (т.е. производная нулевого порядка равна просто ). Кроме того , пусть обозначает первообразную . По основной теореме исчисления , ${\displaystyle f^{(0)}=f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{(-1)}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).}$

Таким образом, последнюю формулу можно дополнительно упростить до следующей краткой формы формулы Эйлера – Маклорена:

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).}$

Эта форма является, например, источником важного разложения Эйлера-Маклорена дзета-функции.

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{\overline {k-1}}+R(s,m)\\&={\frac {B_{0}}{0!}}s^{\overline {-1}}+{\frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{\overline {0}}+{\frac {B_{2}}{2!}}s^{\overline {1}}+\cdots +R(s,m)\\&={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}s+\cdots +R(s,m).\end{aligned}}}$

Здесь s ^k обозначает возрастающую факториальную степень . ^[21]

Числа Бернулли также часто используются в других видах асимптотических разложений . Следующий пример представляет собой классическое асимптотическое разложение дигамма- функции ψ типа Пуанкаре .

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}}$

Сумма полномочий

Числа Бернулли занимают видное место в выражении в замкнутой форме суммы m - х степеней первых n положительных целых чисел. Для m , n ≥ 0 определим

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}.}$

Это выражение всегда можно переписать в виде многочлена от n степени m + 1 . Коэффициенты этих многочленов связаны с числами Бернулли формулой Бернулли :

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k}=m!\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!}},}$

где (^{м +}
_1к) обозначаетбиномиальный коэффициент.

Например, если принять m за 1, получим треугольные числа 0, 1, 3, 6, ... OEIS : A000217 .

${\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1})={\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

Если принять m за 2, получим квадратно-пирамидальные числа 0, 1, 5, 14, ... OEIS : A000330 .

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}^{+}n^{2}+3B_{2}n^{1})={\tfrac {1}{3}}\left(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n\right).}$

Некоторые авторы используют альтернативное соглашение для чисел Бернулли и формулируют формулу Бернулли следующим образом:

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}n^{m+1-k}.}$

Формулу Бернулли иногда называют формулой Фаульхабера в честь Иоганна Фаульхабера , который также нашел замечательные способы вычисления сумм степеней .

Формула Фаульхабера была обобщена В. Го и Дж. Цзэном на q -аналог . ^[22]

Серия Тейлора

Числа Бернулли появляются в разложении в ряд Тейлора многих тригонометрических и гиперболических функций .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}.\\\cot x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\\\tanh x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&|x|<{\frac {\pi }{2}}.\\\coth x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\end{aligned}}}$$

Лоран серии

Числа Бернулли появляются в следующем ряду Лорана : ^[23]

Дигамма-функция : ${\displaystyle \psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}}$

Использование в топологии

Формула Кервера –Милнора для порядка циклической группы классов диффеоморфизмов экзотических (4 n − 1) -сфер , ограничивающих параллелизуемые многообразия, включает числа Бернулли. Пусть ES _n — количество таких экзотических сфер при n ≥ 2 , тогда

${\displaystyle {\textit {ES}}_{n}=(2^{2n-2}-2^{4n-3})\operatorname {Numerator} \left({\frac {B_{4n}}{4n}}\right).}$

Теорема о сигнатуре Хирцебруха для рода L гладкого ориентированного замкнутого многообразия размерности 4 n также включает числа Бернулли.

Связи с комбинаторными числами

Связь числа Бернулли с различными видами комбинаторных чисел основана на классической теории конечных разностей и на комбинаторной интерпретации чисел Бернулли как примера фундаментального комбинаторного принципа — принципа включения-исключения .

Связь с числами Ворпицкого

Определение, с которым следует продолжить, было разработано Юлиусом Ворпицким в 1883 году. Помимо элементарной арифметики, только факториальная функция n ! и используется степенная функция k ^m . Беззнаковые числа Ворпицкого определяются как

${\displaystyle W_{n,k}=\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v+k}(v+1)^{n}{\frac {k!}{v!(k-v)!}}.}$

Их также можно выразить через числа Стирлинга второго рода.

${\displaystyle W_{n,k}=k!\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}.}$

Затем число Бернулли вводится как сумма включения-исключения чисел Ворпицкого, взвешенных по гармонической последовательности 1, 1/2, 1/3, ...

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {W_{n,k}}{k+1}}\ =\ \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}(v+1)^{n}{k \choose v}\ .}$

Б ₀ = 1

Б ₁ = 1 −1/2

Б ₂ = 1 −3/2+2/3

Б ₃ = 1 −7/2+12/3−6/4

Б ₄ = 1 −15/2+50/3−60/4+24/5

Б ₅ = 1 −31/2+180/3−390/4+360/5−120/6

Б ₆ = 1 −63/2+602/3−2100/4+3360/5−2520/6+720/7

Это представление имеет B⁺
₁= +1/2.

_{Рассмотрим} последовательность sn , n ≥ 0 . Из чисел Ворпицкого OEIS : A028246 , OEIS : A163626 , _{примененных} к s0 _, s0 , _{s1 ,} s0 , _s1 , s2 , s0 , _s1 , _{s2 , s3} , ... _{идентично} Акияме . _ – Преобразование Танигавы, примененное к s _n (см. Связь с числами Стирлинга первого рода). Это можно увидеть через таблицу:

Первая строка представляет s0 _, s1 , s2 , s3 _, s4 _. _ _{_ _}

Следовательно, для вторых дробных чисел Эйлера OEIS : A198631 ( n )/ OEIS : A006519 ( n + 1 ):

Е ₀ = 1

Е ₁ = 1 −1/2

Е ₂ = 1 -3/2+2/4

Е ₃ = 1 −7/2+12/4−6/8

Е ₄ = 1 -15/2+50/4−60/8+24/16

Е ₅ = 1 −31/2+180/4−390/8+360/16−120/32

Е ₆ = 1 -63/2+602/4−2100/8+3360/16−2520/32+720/64

Вторая формула, представляющая числа Бернулли числами Ворпицкого, предназначена для n ≥ 1.

${\displaystyle B_{n}={\frac {n}{2^{n+1}-2}}\sum _{k=0}^{n-1}(-2)^{-k}\,W_{n-1,k}.}$

Упрощенное второе представление Ворпицкого вторых чисел Бернулли:

OEIS : A164555 ( n + 1 ) / OEIS : A027642 ( n + 1 ) =п + 1/2 ^{п + 2} - 2× OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 )

которое связывает вторые числа Бернулли со вторыми дробными числами Эйлера. Начало такое:

1/2,1/6, 0, −1/30, 0,1/42"="1/2,1/3,3/14,2/15,5/62,1/21, ...) × (1,1/2, 0, −1/4, 0,1/2, ...)

Числители первых скобок — OEIS : A111701 (см. Связь с числами Стирлинга первого рода).

Связь с числами Стирлинга второго рода

Если определить полиномы Бернулли B _k ( j ) как: ^[24]

${\displaystyle B_{k}(j)=k\sum _{m=0}^{k-1}{\binom {j}{m+1}}S(k-1,m)m!+B_{k}}$

где B _k при k = 0, 1, 2,... — числа Бернулли.

Для полиномов Бернулли также имеет место следующее: ^[24]

${\displaystyle B_{k}(j)=\sum _{n=0}^{k}{\binom {k}{n}}B_{n}j^{k-n}.}$

Коэффициент при j в (^Дж
_{м + 1}) является(−1) ^м/м + 1.

Сравнивая коэффициент при j в двух выражениях полиномов Бернулли, получаем:

${\displaystyle B_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}(-1)^{m}{\frac {m!}{m+1}}S(k-1,m)}$

(в результате B ₁ = +1/2), которая является явной формулой для чисел Бернулли и может использоваться для доказательства теоремы Фон-Штаудта Клаузена . ^{[25] [26] [27]}

Связь с числами Стирлинга первого рода

Две основные формулы, связывающие беззнаковые числа Стирлинга первого рода [^нм
_{_}] к числам Бернулли (при B ₁ = +1/2) являются

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{k}={\frac {1}{m+1}},}$

и обращение этой суммы (при n ≥ 0 , m ≥ 0 )

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{n+k}=A_{n,m}.}$

Здесь числа An _{, m — это рациональные числа Акиямы–Танигавы, первые несколько из} которых показаны в следующей таблице.

Числа Акиямы – Танигавы удовлетворяют простому рекуррентному соотношению, которое можно использовать для итеративного вычисления чисел Бернулли. Это приводит к алгоритму, показанному в разделе «алгоритмическое описание» выше. См. OEIS : A051714 / OEIS : A051715 .

Автопоследовательность — это последовательность , обратное биномиальное преобразование которой равно знаковой последовательности. Если главная диагональ равна нулям = OEIS : A000004 , автопоследовательность имеет первый вид. Пример: OEIS : A000045 , числа Фибоначчи. Если главная диагональ равна первой верхней диагонали, умноженной на 2, то она второго рода. Пример: OEIS : A164555 / OEIS : A027642 , вторые числа Бернулли (см. OEIS : A190339 ). Преобразование Акиямы-Танигавы, примененное к 2 ^{- n} = 1/ OEIS : A000079, приводит к OEIS : A198631 ( n )/ OEIS : A06519 ( n + 1). Следовательно:

См. OEIS : A209308 и OEIS : A227577 . OEIS : A198631 ( n )/ OEIS : A006519 ( n +1 ) — вторые (дробные) числа Эйлера и автопоследовательность второго рода.

(ОЭИС : A164555 ( n + 2 )/ОЭИС : A027642 ( n + 2 )"="1/6, 0, −1/30, 0,1/42, ... ) × (2 ^{п + 3} − 2/п + 2= 3,14/3,15/2,62/5, 21, ... ) =ОЭИС : A198631 ( n + 1 )/ОЭИС : A006519 ( n + 2 )"="1/2, 0, −1/4, 0,1/2, ... .

Также ценно для OEIS : A027641 / OEIS : A027642 (см. Связь с числами Ворпицкого).

Связь с треугольником Паскаля

Существуют формулы, связывающие треугольник Паскаля с числами Бернулли ^[c]

${\displaystyle B_{n}^{+}={\frac {|A_{n}|}{(n+1)!}}~~~}$

где - определитель части матрицы Хессенберга размером n×n треугольника Паскаля , элементами которой являются: ${\displaystyle |A_{n}|}$ ${\displaystyle a_{i,k}={\begin{cases}0&{\text{if }}k>1+i\\{i+1 \choose k-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Пример:

${\displaystyle B_{6}^{+}={\frac {\det {\begin{pmatrix}1&2&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0\\1&4&6&4&0&0\\1&5&10&10&5&0\\1&6&15&20&15&6\\1&7&21&35&35&21\end{pmatrix}}}{7!}}={\frac {120}{5040}}={\frac {1}{42}}}$

Связь с числами Эйлера

Существуют формулы, связывающие числа Эйлера ⟨^нм
_{_}⟩ к числам Бернулли:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle &=2^{n+1}(2^{n+1}-1){\frac {B_{n+1}}{n+1}},\\\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {\binom {n}{m}}^{-1}&=(n+1)B_{n}.\end{aligned}}}$

Обе формулы справедливы для n ≥ 0 , если для B ₁ установлено значение1/2. Если B ₁ установлен на —1/2они справедливы только для n ≥ 1 и n ≥ 2 соответственно.

Представление двоичного дерева

Полиномы Стирлинга σ _n ( x ) связаны с числами Бернулли соотношением B _n = n ! σ _н (1) . С.К. Вун описал алгоритм вычисления σ _n (1) в виде двоичного дерева: ^[28]

Рекурсивный алгоритм Вуна (для n ≥ 1 ) начинается с присвоения корневому узлу N = [1,2] . Учитывая узел N = [ a ₁ , a ₂ , ..., a _k ] дерева, левый дочерний элемент узла равен L ( N ) = [− a ₁ , a ₂ + 1, a ₃ , .. ., a _k ] и правый ребенок R ( N ) = [ a ₁ , 2, a ₂ , ..., a _k ] . Узел N = [ a ₁ , a ₂ , ..., a _k ] записывается как ±[ a ₂ , ..., a _k ] в начальной части дерева, представленного выше, где ± обозначает знак a _1. .

Учитывая узел N, факториал N определяется как

${\displaystyle N!=a_{1}\prod _{k=2}^{\operatorname {length} (N)}a_{k}!.}$

Ограниченная узлами N фиксированного уровня дерева n, сумма1/Н !является σ _n (1) , таким образом

${\displaystyle B_{n}=\sum _{\stackrel {N{\text{ node of}}}{{\text{ tree-level }}n}}{\frac {n!}{N!}}.}$

Например:

В ₁ = 1!(1/2!)

B ₂ = 2!(−1/3!+1/2!2!)

В ₃ = 3!(1/4!−1/2!3!−1/3!2!+1/2!2!2!)

Интегральное представление и продолжение

Интеграл _

${\displaystyle b(s)=2e^{si\pi /2}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}={\frac {s!}{2^{s-1}}}{\frac {\zeta (s)}{{}\pi ^{s}{}}}(-i)^{s}={\frac {2s!\zeta (s)}{(2\pi i)^{s}}}}$

имеет специальные значения b (2 n ) = B _{2 n} для n > 0 .

Например, б (3) =3/2ζ (3) π ⁻³ i и b (5) = −15/2ζ (5) π ⁻⁵ я . Здесь ζ — дзета-функция Римана , а i — мнимая единица . Леонард Эйлер ( «Опера Омния» , Сер. 1, Том 10, стр. 351) рассмотрел эти числа и вычислил

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {3}{2\pi ^{3}}}\left(1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \right)=0.0581522\ldots \\q&={\frac {15}{2\pi ^{5}}}\left(1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots \right)=0.0254132\ldots \end{aligned}}}$

Другое подобное интегральное представление:

${\displaystyle b(s)=-{\frac {e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{\sinh \pi t}}{\frac {dt}{t}}={\frac {2e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{\pi t}st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}.}$

Связь с числами Эйлера и π

Числа Эйлера представляют собой последовательность целых чисел, тесно связанную с числами Бернулли. Сравнение асимптотических разложений чисел Бернулли и чисел Эйлера показывает, что числа Эйлера E _{2 n} по величине примерно равны2/π(4 ^{2 n} − 2 ^{2 n} ) раз больше чисел Бернулли B _{2 n} . В результате:

${\displaystyle \pi \sim 2(2^{2n}-4^{2n}){\frac {B_{2n}}{E_{2n}}}.}$

Это асимптотическое уравнение показывает, что π находится в общем корне чисел Бернулли и Эйлера. Фактически, π можно вычислить на основе этих рациональных приближений.

Числа Бернулли выражаются через числа Эйлера и наоборот. Поскольку для нечетного n B _n = En ₌ 0 (за исключением B ₁ ), достаточно рассмотреть случай, когда n четное .

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}{\frac {n}{4^{n}-2^{n}}}E_{k}&n&=2,4,6,\ldots \\[6pt]E_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}{\frac {2^{k}-4^{k}}{k}}B_{k}&n&=2,4,6,\ldots \end{aligned}}}$

Эти формулы преобразования выражают связь между числами Бернулли и Эйлера. Но что еще более важно, существует глубокий арифметический корень, общий для обоих видов чисел, который можно выразить через более фундаментальную последовательность чисел, также тесно связанную с π . Эти числа определяются для n ≥ 1 как ^{[29] [30]}

${\displaystyle S_{n}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{kn}}{(2k+1)^{n}}}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\lim _{K\to \infty }\sum _{k=-K}^{K}(4k+1)^{-n}.}$

Магия этих чисел заключается в том, что они оказываются рациональными числами. Впервые это было доказано Леонардом Эйлером в знаковой статье De summis serierum reciprocarum («О суммах рядов обратных чисел») и с тех пор очаровывает математиков. ^[31] Первые несколько из этих чисел

${\displaystyle S_{n}=1,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {5}{24}},{\frac {2}{15}},{\frac {61}{720}},{\frac {17}{315}},{\frac {277}{8064}},{\frac {62}{2835}},\ldots }$( ОЕИС : A099612 / ОЕИС : A099617 )

Это коэффициенты разложения sec x + tan x .

Числа Бернулли и числа Эйлера можно понимать как особые виды этих чисел, выбранные из последовательности _Sn и масштабированные для использования в специальных приложениях.

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n!}{2^{n}-4^{n}}}\,S_{n}\ ,&n&=2,3,\ldots \\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]n!\,S_{n+1}&n&=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

Выражение [ neven ] имеет значение 1, если n четное, и 0 в противном случае ( скобка Айверсона ).

Эти тождества показывают, что частное чисел Бернулли и Эйлера в начале этого раздела является лишь частным случаем R _n =2 С _н/С _{н + 1}когда n четно. Rn являются рациональными аппроксимациями π _, и два последовательных члена всегда заключают в себе истинное значение π . Начиная с n = 1, начинается последовательность ( OEIS : A132049 / OEIS : A132050 ):

${\displaystyle 2,4,3,{\frac {16}{5}},{\frac {25}{8}},{\frac {192}{61}},{\frac {427}{136}},{\frac {4352}{1385}},{\frac {12465}{3968}},{\frac {158720}{50521}},\ldots \quad \longrightarrow \pi .}$

Эти рациональные числа также встречаются в последнем абзаце цитированной выше статьи Эйлера.

Рассмотрим преобразование Акиямы–Танигавы для последовательности OEIS : A046978 ( n + 2 )/ OEIS : A016116 ( n + 1 ):

Со второго числители первого столбца являются знаменателями формулы Эйлера. Первый столбец —1/2× ОЭИС : A163982 .

Алгоритмический взгляд: треугольник Зейделя

Последовательность Sn имеет еще одно неожиданное _{, но} важное свойство: знаменатели Sn ₊₁ делят факториал n ! . Другими словами: числа T _n  =  S _{n + 1} n ! , иногда называемые зигзагообразными числами Эйлера , являются целыми числами.

${\displaystyle T_{n}=1,\,1,\,1,\,2,\,5,\,16,\,61,\,272,\,1385,\,7936,\,50521,\,353792,\ldots \quad n=0,1,2,3,\ldots }$( ОЭИС : A000111 ). См. ( OEIS : A253671 ).

Их экспоненциальная производящая функция представляет собой сумму секущей и касательной функций .

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)=\sec x+\tan x}$.

Таким образом, приведенные выше представления чисел Бернулли и Эйлера можно переписать в терминах этой последовательности как

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n}{2^{n}-4^{n}}}\,T_{n-1}\ &n&\geq 2\\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]T_{n}&n&\geq 0\end{aligned}}}$

Эти тождества облегчают вычисление чисел Бернулли и Эйлера: числа Эйлера E _{2 n} непосредственно задаются T _{2 n} , а числа Бернулли B _{2 n} являются дробями, полученными из T _{2 n - 1} путем некоторого простого сдвига, избегая рациональной арифметики. .

Осталось найти удобный способ вычисления чисел T _n . Однако уже в 1877 году Филипп Людвиг фон Зейдель опубликовал остроумный алгоритм, упрощающий вычисление T _n . ^[32]

${\displaystyle {\begin{array}{crrrcc}{}&{}&{\color {red}1}&{}&{}&{}\\{}&{\rightarrow }&{\color {blue}1}&{\color {red}1}&{}\\{}&{\color {red}2}&{\color {blue}2}&{\color {blue}1}&{\leftarrow }\\{\rightarrow }&{\color {blue}2}&{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {red}5}\\{\color {red}16}&{\color {blue}16}&{\color {blue}14}&{\color {blue}10}&{\color {blue}5}&{\leftarrow }\end{array}}}$

Алгоритм Зейделя для T _n

1. Начните с помещения 1 в строку 0 и пусть k обозначает номер строки, заполняемой в данный момент.
2. Если k нечетно, то поместите число из левого конца строки k - 1 в первую позицию строки k и заполните строку слева направо, причем каждая запись представляет собой сумму чисел до влево и номер вверху
3. В конце ряда дублируем последнюю цифру.
4. Если k четное, действуйте аналогично в другом направлении.

Алгоритм Зейделя на самом деле гораздо более общий (см. изложение Доминика Дюмона ^[33] ) и впоследствии несколько раз переоткрывался.

Подобно подходу Зейделя, Д. Е. Кнут и Т. Дж. Бакгольц дали рекуррентное уравнение для чисел T _{2 n} и рекомендовали этот метод для вычисления B _{2 n} и E _{2 n} «на электронных компьютерах, используя только простые операции с целыми числами». ^[34]

В. И. Арнольд ^[35] заново открыл алгоритм Зейделя, а позже Миллар, Слоан и Янг популяризировали алгоритм Зейделя под названием « преобразование бустрофедона» .

Треугольная форма:

Только OEIS : A000657 с одной единицей и OEIS : A214267 с двумя единицами находятся в OEIS.

Распределение с дополнительной 1 и одним 0 в следующих строках:

Это OEIS : A239005 , подписанная версия OEIS : A008280 . Основная адиагональ — OEIS : A122045 . Основная диагональ — OEIS : A155585 . Центральный столбец — OEIS : A099023 . Суммы строк: 1, 1, −2, −5, 16, 61.... См. OEIS : A163747 . См. массив, начинающийся с 1, 1, 0, −2, 0, 16, 0 ниже.

Алгоритм Акиямы-Танигавы, примененный к OEIS : A046978 ( n + 1 )/ OEIS : A016116 ( n ), дает:

1. Первый столбец — OEIS : A122045 . Его биномиальное преобразование приводит к:

Первая строка этого массива — OEIS : A155585 . Абсолютные значения возрастающих антидиагоналей : OEIS : A008280 . Сумма антидиагоналей равна — OEIS : A163747 ( n + 1 ).

2. Второй столбец: 1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385... . Его биномиальное преобразование дает:

Первая строка этого массива: 1 2 2 −4 −16 32 272 544 −7936 15872 353792 −707584... . Абсолютные значения второго деления пополам в два раза превышают абсолютные значения первого деления пополам.

Рассмотрим алгоритм Акиямы-Танигавы, примененный к OEIS : A046978 ( n )/( OEIS : A158780 ( n + 1 ) = abs( OEIS : A117575 ( n )) + 1 = 1, 2, 2,3/2, 1,3/4,3/4,7/8, 1,17/16,17/16,33/32... .

Первый столбец, абсолютные значения которого равны OEIS : A000111, может быть числителем тригонометрической функции.

OEIS : A163747 — автопоследовательность первого рода (основная диагональ — OEIS : A000004 ). Соответствующий массив:

Первые две верхние диагонали равны −1 3 −24 402... = (−1) ^{n + 1}  ×  OEIS : A002832 . Сумма антидиагоналей равна 0 −2 0 10... = 2 ×  OEIS : A122045 ( n  + 1).

− OEIS : A163982 — это автопоследовательность второго рода, например OEIS : A164555 / OEIS : A027642 . Отсюда массив:

Главная диагональ, здесь 2 −2 8 −92... , равна двойной первой верхней диагонали, здесь OEIS : A099023 . Сумма антидиагоналей равна 2 0 −4 0... = 2 ×  OEIS : A155585 ( n + 1). OEIS : A163747  −  OEIS : A163982 = 2 ×  OEIS : A122045 .

Комбинаторный взгляд: чередующиеся перестановки

Примерно в 1880 году, через три года после публикации алгоритма Зейделя, Дезире Андре доказал ставший уже классическим результат комбинаторного анализа. ^{[36] [37]} Глядя на первые члены разложения Тейлора тригонометрических функций tan x и sec x , Андре сделал поразительное открытие.

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&=x+{\frac {2x^{3}}{3!}}+{\frac {16x^{5}}{5!}}+{\frac {272x^{7}}{7!}}+{\frac {7936x^{9}}{9!}}+\cdots \\[6pt]\sec x&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {5x^{4}}{4!}}+{\frac {61x^{6}}{6!}}+{\frac {1385x^{8}}{8!}}+{\frac {50521x^{10}}{10!}}+\cdots \end{aligned}}}$

Коэффициенты представляют собой числа Эйлера нечетного и четного индекса соответственно. В результате обычное разложение tan x + sec x имеет в качестве коэффициентов рациональные числа S _n .

${\displaystyle \tan x+\sec x=1+x+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {2}{15}}x^{5}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots }$

Затем Андре удалось с помощью аргумента рекуррентности показать, что чередующиеся перестановки нечетного размера нумеруются числами Эйлера нечетного индекса (также называемыми касательными числами), а чередующиеся перестановки четного размера - числами Эйлера четного индекса (также называемыми числами Эйлера). секущие числа).

Связанные последовательности

Среднее арифметическое первого и второго чисел Бернулли являются ассоциированными числами Бернулли: B ₀ = 1 , B ₁ = 0 , B ₂ =1/6, B ₃ знак равно 0 , B ₄ знак равно -1/30, OEIS : A176327 / OEIS : A027642 . Через вторую строку обратного преобразования Акиямы-Танигавы OEIS : A177427 они приводят к ряду Бальмера OEIS : A061037 / OEIS : A061038 .

Алгоритм Акиямы-Танигавы, примененный к OEIS : A060819 ( n + 4 ) / OEIS : A145979 ( n ), приводит к числам Бернулли OEIS : A027641 / OEIS : A027642 , OEIS : A164555 / OEIS : A027642 или OEIS : A176327 OE ЕСТЬ : A176289 без B ₁ , называемые внутренними числами Бернулли B _i ( n ) .

Отсюда еще одна связь между внутренними числами Бернулли и рядом Бальмера через OEIS : A145979 ( n ).

OEIS : A145979 ( n − 2 ) = 0, 2, 1, 6,... — это перестановка неотрицательных чисел.

Члены первой строки: f(n) =1/2+1/п + 2. 2, f(n) — автопоследовательность второго рода. 3/2, f(n) путем обратного биномиального преобразования приводит к 3/2 −1/2 1/3 −1/4 1/5 ... = 1/2 + log 2.

Рассмотрим g(n) = 1/2 – 1/(n+2) = 0, 1/6, 1/4, 3/10, 1/3. Преобразования Акиямы-Танагивы дают:

0, g(n), является автопоследовательностью второго рода.

Эйлер OEIS : A198631 ( n )/ OEIS : A006519 ( n +1 ) без второго члена (1/2) — дробные внутренние числа Эйлера E _i ( n ) = 1, 0, −1/4, 0,1/2, 0, −17/8, 0, ... Соответствующее преобразование Акиямы:

Первая строка — Eu ( n ) . Eu ( n ) , которому предшествует ноль, является автопоследовательностью первого рода. Это связано с числами Орема. Числители второй строки: OEIS : A069834, перед которым стоит 0. Таблица различий:

Арифметические свойства чисел Бернулли

Числа Бернулли можно выразить через дзета-функцию Римана как B _n = − nζ (1 − n ) для целых чисел n ≥ 0, при условии, что для n = 0 выражение − nζ (1 − n ) понимается как предельное значение и соглашение B ₁ =1/2используется. Это тесно связывает их со значениями дзета-функции для отрицательных целых чисел. Таким образом, можно было бы ожидать, что они будут иметь и имеют глубокие арифметические свойства. Например, гипотеза Аго-Джуги постулирует, что p является простым числом тогда и только тогда, когда pB _{p − 1} конгруэнтно −1 по модулю p . Свойства делимости чисел Бернулли связаны с идеальными группами классов круговых полей теоремой Куммера и ее усилением в теореме Эрбрана-Рибе , а также с числами классов вещественных квадратичных полей Анкени -Артина-Чоулы .

Теоремы Куммера

Числа Бернулли связаны с Великой теоремой Ферма (FLT) теоремой Куммера [ ^38] , которая гласит:

Если нечетное простое число p не делит ни один из числителей чисел Бернулли B ₂ , B ₄ , ..., B _{p − 3} , то x ^p + y ^p + z ^p = 0 не имеет решений в ненулевых целых числах.

Простые числа, обладающие этим свойством, называются правильными простыми числами . Другим классическим результатом Куммера являются следующие сравнения . ^[39]

Пусть p — нечетное простое число, а b — четное число такое, что p  − 1 не делит b . Тогда для любого целого неотрицательного k

${\displaystyle {\frac {B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b}}\equiv {\frac {B_{b}}{b}}{\pmod {p}}.}$

Обобщение этих сравнений носит название p -адической непрерывности.

p -адическая непрерывность

Если b , m и n — целые положительные числа такие, что m и n не делятся на p − 1 и m ≡ n (mod p ^{b − 1} ( p − 1)) , то

${\displaystyle (1-p^{m-1}){\frac {B_{m}}{m}}\equiv (1-p^{n-1}){\frac {B_{n}}{n}}{\pmod {p^{b}}}.}$

Поскольку B _n = − nζ (1 − n ) , это также можно записать

${\displaystyle \left(1-p^{-u}\right)\zeta (u)\equiv \left(1-p^{-v}\right)\zeta (v){\pmod {p^{b}}},}$

где u = 1 - m и v = 1 - n , так что u и v неположительны и не конгруэнтны 1 по модулю p - 1 . Это говорит нам о том, что дзета-функция Римана с 1 − p ^{− s} , вынесенными из формулы произведения Эйлера, непрерывна в p -адических числах для нечетных отрицательных целых чисел, совпадающих по модулю p − 1 с конкретным a ≢ 1 mod ( p − 1) и поэтому может быть расширена до непрерывной функции ζ _p ( s ) для всех p -адических целых чисел p - адической дзета-функции . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$

Сравнения Рамануджана

Следующие соотношения, созданные Рамануджаном , предоставляют метод вычисления чисел Бернулли, который более эффективен, чем тот, который дается их исходным рекурсивным определением:

${\displaystyle {\binom {m+3}{m}}B_{m}={\begin{cases}{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 0{\pmod {6}};\\{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-2}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 2{\pmod {6}};\\-{\frac {m+3}{6}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-4}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 4{\pmod {6}}.\end{cases}}}$

Теорема фон Штаудта – Клаузена

Теорема фон Штаудта–Клаузена была сформулирована Карлом Георгом Кристианом фон Штаудтом ^[40] и Томасом Клаузеном ^[41] независимо друг от друга в 1840 году . Теорема утверждает, что для каждого n > 0

${\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)\,\mid \,2n}{\frac {1}{p}}}$

является целым числом. Сумма распространяется на все простые числа p , для которых p − 1 делит 2 n .

Следствием этого является то, что знаменатель B _{2 n} равен произведению всех простых чисел p , для которых p − 1 делит 2 n . В частности, эти знаменатели не содержат квадратов и делятся на 6.

Почему нечетные числа Бернулли исчезают?

Сумма

${\displaystyle \varphi _{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}i^{k}-{\frac {n^{k}}{2}}}$

может быть оценен для отрицательных значений индекса n . Это покажет, что это нечетная функция для четных значений k , а это означает, что в сумме есть только члены нечетного индекса. Отсюда и из формулы суммы Бернулли следует, что B _{2 k + 1 − m} равно 0 для четного m и 2 k + 1 − m > 1 ; и что член для B ₁ отменяется вычитанием. Теорема фон Штаудта – Клаузена в сочетании с представлением Ворпицкого также дает комбинаторный ответ на этот вопрос (справедлив для n > 1).

Из теоремы фон Штаудта–Клаузена известно, что при нечетном n > 1 число 2 B _n является целым числом. Это кажется тривиальным, если заранее знать, что рассматриваемое целое число равно нулю. Однако, применяя представление Ворпицкого, получаем

${\displaystyle 2B_{n}=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\frac {2}{m+1}}m!\left\{{n+1 \atop m+1}\right\}=0\quad (n>1{\text{ is odd}})}$

как сумму целых чисел , что нетривиально. Здесь на поверхность выходит комбинаторный факт, объясняющий исчезновение чисел Бернулли при нечетном индексе. Пусть S _{n , m} — количество сюръективных отображений из {1, 2, ..., n } в {1, 2, ..., m }, тогда S _{n , m} = m ! {^нм
_{_}} . Последнее уравнение может выполняться только в том случае, если

${\displaystyle \sum _{{\text{odd }}m=1}^{n-1}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}=\sum _{{\text{even }}m=2}^{n}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}\quad (n>2{\text{ is even}}).}$

Это уравнение можно доказать по индукции. Первые два примера этого уравнения:

п = 4: 2 + 8 = 7 + 3 ,

п = 6: 2 + 120 + 144 = 31 + 195 + 40 .

Таким образом, числа Бернулли обращаются в нуль по нечетному индексу, поскольку в числах Бернулли воплощаются некоторые неочевидные комбинаторные тождества.

Повторная формулировка гипотезы Римана

Связь между числами Бернулли и дзета-функцией Римана достаточно сильна, чтобы обеспечить альтернативную формулировку гипотезы Римана (RH), в которой используются только числа Бернулли. Фактически Марсель Рис доказал, что RH эквивалентен следующему утверждению: ^[42]

Для каждого ε >1/4существует константа Cε > 0 (зависящая от ε ) такая, _что | р ( Икс ) | < C _ε Икс ^ε при Икс → ∞ .

Здесь R ( x ) — функция Рисса

${\displaystyle R(x)=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\left({\frac {B_{2k}}{2k}}\right)}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\beta _{2k}}}.}$

nk обозначает возрастающую факториальную степень ^в обозначениях Д.Е. Кнута . Числа β _n =Б _н/нчасто встречаются при изучении дзета-функции и имеют важное значение, поскольку β _n является p -целым числом для простых чисел p , где p − 1 не делит n . β n называются разделенными числами _{Бернулли} .

Обобщенные числа Бернулли

Обобщенные числа Бернулли — это некоторые алгебраические числа , определенные аналогично числам Бернулли , которые связаны со специальными значениями L -функций Дирихле так же, как числа Бернулли связаны со специальными значениями дзета-функции Римана.

Пусть х — характер Дирихле по модулю f . Обобщенные числа Бернулли, присоединенные к χ , определяются формулой

${\displaystyle \sum _{a=1}^{f}\chi (a){\frac {te^{at}}{e^{ft}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k,\chi }{\frac {t^{k}}{k!}}.}$

Помимо исключительного B _1,1 =1/2, для любого характера Дирихле χ имеем B _{k , χ} = 0 , если χ (−1) ≠ (−1) ^k .

Обобщая связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана для неположительных целых чисел, для всех целых чисел k ≥ 1 :

${\displaystyle L(1-k,\chi )=-{\frac {B_{k,\chi }}{k}},}$

где L ( s , χ ) — L -функция Дирихле от χ . ^[43]

Число Эйзенштейна – Кронекера

Числа Эйзенштейна–Кронекера являются аналогом обобщенных чисел Бернулли для мнимых квадратичных полей . ^{[44] [45]} Они связаны с критическими L -значениями характеров Гекке . ^[45]

Приложение

Ассорти идентичностей

• Теневое исчисление дает компактную форму формулы Бернулли, используя абстрактный символ B :

  ${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}((\mathbf {B} +n)^{m+1}-B_{m+1})}$

  где символ B ^k , появляющийся при биномиальном разложении члена в скобках, заменяется числом Бернулли B _k (и B ₁ = +1/2). Более наводяще и мнемонически это можно записать как определенный интеграл:

  ${\displaystyle S_{m}(n)=\int _{0}^{n}(\mathbf {B} +x)^{m}\,dx}$

  С помощью этого символа можно компактно записать многие другие тождества Бернулли, например

  ${\displaystyle (1-2\mathbf {B} )^{m}=(2-2^{m})B_{m}}$

• Пусть n неотрицательно и даже

  ${\displaystyle \zeta (n)={\frac {(-1)^{{\frac {n}{2}}-1}B_{n}(2\pi )^{n}}{2(n!)}}}$

• n - й кумулянт равномерного распределения вероятностей на интервале [−1, 0] равен Б _н/н.
• Пусть н ? "="1/н !и п ≥ 1 . Тогда Bn _— это следующий ( n + 1) × ( n + 1) определитель: ^[46]

  ${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=n!{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &0&1\\2?&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\n?&(n-1)?&\cdots &1&0\\(n+1)?&n?&\cdots &2?&0\end{vmatrix}}\\[8pt]&=n!{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &0&1\\{\frac {1}{2!}}&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {1}{n!}}&{\frac {1}{(n-1)!}}&\cdots &1&0\\{\frac {1}{(n+1)!}}&{\frac {1}{n!}}&\cdots &{\frac {1}{2!}}&0\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

  Таким образом, определителем является σ _n (1) , полином Стирлинга при x = 1 .
• Для четных чисел Бернулли B _{2 p} определяется определителем ( p + 1) × ( p + 1) :: ^[46]

  ${\displaystyle B_{2p}=-{\frac {(2p)!}{2^{2p}-2}}{\begin{vmatrix}1&0&0&\cdots &0&1\\{\frac {1}{3!}}&1&0&\cdots &0&0\\{\frac {1}{5!}}&{\frac {1}{3!}}&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {1}{(2p+1)!}}&{\frac {1}{(2p-1)!}}&{\frac {1}{(2p-3)!}}&\cdots &{\frac {1}{3!}}&0\end{vmatrix}}}$

• Пусть n ≥ 1 . Тогда ( Леонард Эйлер )

  ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}B_{n-k}+B_{n-1}=-B_{n}}$

• Пусть n ≥ 1 . Тогда ^[47]

  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n+1}{k}}(n+k+1)B_{n+k}=0}$

• Пусть n ≥ 0 . Тогда ( Леопольд Кронекер 1883)

  ${\displaystyle B_{n}=-\sum _{k=1}^{n+1}{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {n+1}{k}}\sum _{j=1}^{k}j^{n}}$

• Пусть n ≥ 1 и m ≥ 1 . Тогда ^[48]

  ${\displaystyle (-1)^{m}\sum _{r=0}^{m}{\binom {m}{r}}B_{n+r}=(-1)^{n}\sum _{s=0}^{n}{\binom {n}{s}}B_{m+s}}$

• Пусть n ≥ 4 и

  ${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{-1}}$

  номер гармоники . Тогда (Х. Мики, 1978)

  ${\displaystyle {\frac {n}{2}}\sum _{k=2}^{n-2}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}{\frac {B_{k}}{k}}-\sum _{k=2}^{n-2}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}B_{k}=H_{n}B_{n}}$

• Пусть n ≥ 4 . Найден Юрий Матиясевич (1997)

  ${\displaystyle (n+2)\sum _{k=2}^{n-2}B_{k}B_{n-k}-2\sum _{l=2}^{n-2}{\binom {n+2}{l}}B_{l}B_{n-l}=n(n+1)B_{n}}$

• тождество Фабера- Пандхарипанде - Загира -Гесселя : для n ≥ 1

  ${\displaystyle {\frac {n}{2}}\left(B_{n-1}(x)+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {B_{k}(x)}{k}}{\frac {B_{n-k}(x)}{n-k}}\right)-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}B_{k}(x)=H_{n-1}B_{n}(x).}$

  Выбор x = 0 или x = 1 приводит к тождеству числа Бернулли в том или ином соглашении.
• Следующая формула верна при n ≥ 0 , если B ₁ = B ₁ (1) =1/2, но только для n ≥ 1 , если B ₁ = B ₁ (0) = −1/2.

  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{k}}{n-k+2}}={\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$

• Пусть n ≥ 0 . Затем

  ${\displaystyle -1+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {2^{n-k+1}}{n-k+1}}B_{k}(1)=2^{n}}$

  и

  ${\displaystyle -1+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {2^{n-k+1}}{n-k+1}}B_{k}(0)=\delta _{n,0}}$

• Отношение взаимности М. Б. Гельфанда: ^[49]

  ${\displaystyle (-1)^{m+1}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {B_{m+1+j}}{m+1+j}}+(-1)^{k+1}\sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}{\frac {B_{k+1+j}}{k+1+j}}={\frac {k!m!}{(k+m+1)!}}}$

Смотрите также

• Полином Бернулли
• Полиномы Бернулли второго рода
• Бернулли тень
• Номер звонка
• число Эйлера
• Число Генокки
• Сравнения Куммера
• Число Поли-Бернулли
• Дзета-функция Гурвица
• суммирование Эйлера
• Полином Стирлинга
• Суммы степеней

Примечания

1. Перевод текста: «... И если [кто-то будет] шаг за шагом продвигаться вперед к высшим степеням, можно без особого труда составить следующий список:
   Суммы степеней
   ${\displaystyle \textstyle \int n=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n}$
   

   ⋮

   ${\displaystyle \textstyle \int n^{10}=\sum _{k=1}^{n}k^{10}={\frac {1}{11}}n^{11}+{\frac {1}{2}}n^{10}+{\frac {5}{6}}n^{9}-1n^{7}+1n^{5}-{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {5}{66}}n}$
   В самом деле, [если] кто-то тщательно исследует там закон арифметической прогрессии, он также сможет продолжить то же самое без этих окольных вычислений: ибо [если] принимается за показатель какой-либо степени, то получается сумма всех или и так далее, показатель степени его мощности постоянно уменьшается на 2, пока не достигнет или . Заглавные буквы и т. д. обозначают по порядку коэффициенты последних членов для и т. д., а именно ». [Примечание: текст иллюстрации содержит некоторые опечатки: ensperexit следует читать inspexerit , ambabimus следует читать ambagabibus , quosque следует читать quousque , а в В оригинальном тексте Бернулли Sumtâ следует читать Sumptâ или Sumptam .] ${\displaystyle \textstyle c}$ ${\displaystyle \textstyle n^{c}}$
   ${\displaystyle \textstyle \int n^{c}=\sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {1}{c+1}}n^{c+1}+{\frac {1}{2}}n^{c}+{\frac {c}{2}}An^{c-1}+{\frac {c(c-1)(c-2)}{2\cdot 3\cdot 4}}Bn^{c-3}+{\frac {c(c-1)(c-2)(c-3)(c-4)}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}}Cn^{c-5}+{\frac {c(c-1)(c-2)(c-3)(c-4)(c-5)(c-6)}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8}}Dn^{c-7}+\cdots }$
   ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle A,B,C,D,}$ ${\displaystyle \textstyle \int n^{2},\int n^{4},\int n^{6},\int n^{8}}$
   ${\displaystyle \textstyle A={\frac {1}{6}},B=-{\frac {1}{30}},C={\frac {1}{42}},D=-{\frac {1}{30}}}$
   
   • Смит, Дэвид Юджин (1929), «Жак (I) Бернулли: о« числах Бернулли »», Справочник по математике , Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co., стр. 85–90.
   • Бернулли, Якоб (1713), Ars Conjectandi (на латыни), Базель: Impensis Thurnisiorum, Fratrum, стр. 97–98, doi : 10.5479/sil.262971.39088000323931
2. Проект «Математическая генеалогия» (nd) показывает Лейбница как научного руководителя Якоба Бернулли. См. также Миллер (2017).
3. эта формула была открыта (или, возможно, переоткрыта) Джорджио Пьетроколой. Его демонстрация доступна на итальянском языке (Pietrocola 2008).

Рекомендации

1. Weisstein, Эрик В. , «Число Бернулли», MathWorld
2. Селин, Хелейн , изд. (1997), Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах , Энциклопедия истории науки, Springer, стр. 819 (стр. 891), Bibcode : 2008ehst.book.....S, ISBN 0-7923-4066-3
3. Смит, Дэвид Юджин; Миками, Ёсио (1914), История японской математики, издательство Open Court, стр. 108, ISBN 9780486434827
4. Китагава, Томоко Л. (23 июля 2021 г.), «Происхождение чисел Бернулли: математика в Базеле и Эдо в начале восемнадцатого века», The Mathematical Intelligencer , 44 : 46–56, doi : 10.1007/s00283- 021-10072-у , ISSN  0343-6993
5. Менабреа, LF (1842), «Очерк аналитической машины, изобретенной Чарльзом Бэббиджем, с примечаниями к мемуарам переводчика Ады Августы, графини Лавлейс», Bibliothèque Universelle de Genève , 82 , см. примечание G.
6. Арфкен (1970), с. 278.
7. Дональд Кнут (2022), Последние новости (2022): Конкретная математика и Бернулли.

   Но в прошлом году я внимательно изучил манифест Бернулли Питера Лушни, где он приводит более дюжины веских причин, почему значение $B_1$ на самом деле должно быть плюс половина. Он объясняет, что некоторые математики начала 20-го века в одностороннем порядке изменили соглашения, потому что некоторые из их формул выглядели немного лучше, когда использовалось отрицательное значение. Именно их благие намерения, но в конечном итоге неудачный выбор привели к тому, чему меня учили в 1950-х годах. […] К настоящему времени, к сожалению, написаны сотни книг, в которых используется условность «минус половина». Хуже того, во всех основных системах программного обеспечения для символьной математики глубоко укоренилась эта аберрация 20-го века. И все же Лушний убедил меня, что мы все ошибались и что пришло время вернуться к правильному определению, прежде чем ситуация станет еще хуже.

8. Питер Лушний (2013), Манифест Бернулли
9. Кнут (1993).
10. Якоби, CGJ (1834), «De usu legitimo Formulas summatoriae Maclaurinianae», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 12 : 263–272
11. Кнут (1993), с. 14.
12. Грэм, Кнут и Паташник (1989), раздел 2.51.
13. См. Ирландию и Розен (1990) или Конвей и Гай (1996).
14. Saalschütz, Луи (1893), Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, ihren Zusammenhang mit den Secanten-Coefficienten und ihre wichtigeren Anwendungen, Берлин: Юлиус Шпрингер.
15. Арфкен (1970), с. 279.
16. Бюлер, Дж.; Крэндалл, Р.; Эрнвалл, Р.; Метсанкюла, Т.; Шокроллахи, М. (2001), «Неправильные простые числа и циклотомические инварианты до 12 миллионов», Журнал символических вычислений , 31 (1–2): 89–96, doi : 10.1006/jsco.1999.1011
17. Харви, Дэвид (2010), «Многомодульный алгоритм вычисления чисел Бернулли», Math. Вычислить. , 79 (272): 2361–2370, arXiv : 0807.1347 , doi : 10.1090/S0025-5718-2010-02367-1, S2CID  11329343, Zbl  1215.11016
18. Келлнер, Бернд (2002), Программа Calcbn - Программа для расчета чисел Бернулли..
19. Павлик, Александр (29 апреля 2008 г.), «Сегодня мы побили рекорд Бернулли: от аналитической машины к математике», Wolfram News.
20. Грэм, Кнут и Паташник (1989), 9,67.
21. Грэм, Кнут и Паташник (1989), 2.44, 2.52.
22. Го, Виктор JW; Цзэн, Цзян (30 августа 2005 г.), «q-аналог формулы Фаульхабера для сумм степеней», Электронный журнал комбинаторики , 11 (2), arXiv : math/0501441 , Bibcode : 2005math...... 1441G , doi : 10.37236/1876, S2CID  10467873
23. Арфкен (1970), с. 463.
24. Радемахер, Х. (1973), Аналитическая теория чисел , Нью-Йорк: Springer-Verlag.
25. Буль, Г. (1880), Трактат по исчислению конечных разностей (3-е изд.), Лондон: Macmillan.
26. Гулд, Генри В. (1972), «Явные формулы для чисел Бернулли», Amer. Математика. Ежемесячно , 79 (1): 44–51, номер номера : 10.2307/2978125, JSTOR  2978125.
27. Апостол, Том М. (2010), Введение в аналитическую теорию чисел , Springer-Verlag, p. 197
28. Вун, SC (1997), «Дерево для генерации чисел Бернулли», Math. Маг. , 70 (1): 51–56, номер документа : 10.2307/2691054, JSTOR  2691054.
29. Стэнли, Ричард П. (2010), «Обзор чередующихся перестановок», Комбинаторика и графики , Современная математика, том. 531, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 165–196, arXiv : 0912.4240 , doi : 10.1090/conm/531/10466, MR  2757798.
30. Элкис, Н.Д. (2003), «О суммах Sum_(k=-infinity...infinity) (4k+1)^(-n)», Amer. Математика. Monthly , 110 (7): 561–573, arXiv : math.CA/0101168 , doi : 10.2307/3647742, JSTOR  3647742.
31. Эйлер, Леонард (1735), "De summis serierum reciprocarum", Opera Omnia , I.14, E 41: 73–86, arXiv : math/0506415 , Bibcode : 2005math...... 6415E
32. Зайдель, Л. (1877), "Über eine einfache Entstehungsweise der Bernoullischen Zahlen und einiger verwandten Reihen", Sitzungsber. Жевать. Акад. , 4 : 157–187
33. Дюмон, Д. (1981), "Матрицы Эйлера-Зейделя", Séminaire Lotharingien de Combinatoire , B05c
34. Кнут, DE ; Бакхольц, Т.Дж. (1967), «Вычисление чисел тангенса, Эйлера и Бернулли», Математика вычислений , Американское математическое общество, 21 (100): 663–688, doi : 10.2307/2005010 , JSTOR  2005010
35. Арнольд, VI (1991), «Перевернутые числа Бернулли-Эйлера, связанные с особенностями функций, их комбинаторика и арифметика», Duke Math. Дж. , 63 (2): 537–555, номер документа : 10.1215/s0012-7094-91-06323-4
36. Андре, Д. (1879), "Развития сек x и загара x", CR Acad. наук. , 88 : 965–967
37. Андре, Д. (1881), «Mémoire sur les permutations alternées», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 7 : 167–184
38. Куммер, Э.Э. (1850), «Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung xλ + yλ = zλ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponen λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten ( λ-3)/2 Бернуллиевский Зален als Factoren nicht vorkommen", Дж. Рейн Ангью. Математика. , 40 : 131–138
39. Куммер, Э.Э. (1851), «Über eine allgemeine Eigenschaft der Racialen Entwicklungscoefficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen», Дж. Рейн Ангью. Математика. , 1851 (41): 368–372.
40. фон Штаудт, KG Ch. (1840), «Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 21 : 372–374
41. Клаузен, Томас (1840), "Lehrsatz aus einer Abhandlung über die Bernoullischen Zahlen", Astron. Нахр. , 17 (22): 351–352, дои :10.1002/asna.18400172205
42. Рис, М. (1916), «Sur l'hypothèse de Riemann», Acta Mathematica , 40 : 185–90, doi : 10.1007/BF02418544
43. Нойкирх, Юрген (1999), Algebraische Zahlentheorie , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften , vol. 322, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65399-8, МР  1697859, Збл  0956.11021§VII.2.
44. Шароллуа, Пьер; Щех, Роберт (2016), «Эллиптические функции согласно Эйзенштейну и Кронекеру: обновление», Информационный бюллетень EMS , 2016–9 (101): 8–14, doi : 10.4171/NEWS/101/4 , ISSN  1027-488X, S2CID  54504376
45. Баннаи, Кеничи; Кобаяши, Шиничи (2010), «Алгебраические тета-функции и p-адическая интерполяция чисел Эйзенштейна-Кронекера», Duke Mathematical Journal , 153 (2), arXiv : math/0610163 , doi : 10.1215/00127094-2010-024, ISSN  0012-7094, S2CID  9262012
46. Маленфант, Джером (2011), «Конечные выражения в замкнутой форме для статистической суммы и чисел Эйлера, Бернулли и Стирлинга», arXiv : 1103.1585 [math.NT]
47. фон Эттингсхаузен, А. (1827), Vorlesungen über die höhere Mathematik , vol. 1, Вена: Карл Герольд
48. Карлитц, Л. (1968), «Числа Бернулли», Fibonacci Quarterly , 6 : 71–85
49. Ага, Такаши; Дилчер, Карл (2008), «Отношения взаимности для чисел Бернулли», American Mathematical Monthly , 115 (3): 237–244, doi : 10.1080/00029890.2008.11920520, JSTOR  27642447, S2CID  43614118

Библиография

• Абрамовиц, М.; Стегун, И.А. (1972), «§23.1: Полиномы Бернулли и Эйлера и формула Эйлера-Маклорена», Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (9-е печатное издание), Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 804–806.
• Арфкен, Джордж (1970), Математические методы для физиков (2-е изд.), Academic Press, ISBN 978-0120598519
• Арлеттаз, Д. (1998), "Ди Бернулли-Зален: eine Beziehung zwischen Topologie und Gruppentheorie", Math. Семестр , 45 : 61–75, doi : 10.1007/s005910050037, S2CID  121753654.
• Аюб, А. (1981), «Эйлер и дзета-функция», Amer. Математика. Ежемесячно , 74 (2): 1067–1086, номер номера : 10.2307/2319041, JSTOR  2319041..
• Конвей, Джон ; Гай, Ричард (1996), Книга чисел , Springer-Verlag.
• Дилчер, К.; Скула, Л.; Славутский, И.Ш. (1991), «Числа Бернулли. Библиография (1713–1990)», « Документы Королевы по чистой и прикладной математике» , Кингстон, Онтарио (87).
• Дюмон, Д.; Вьенно, Г. (1980), «Комбинаторная интерпретация генерации Зейделя чисел Генокки», Ann. Дискретная математика. , Анналы дискретной математики, 6 : 77–87, doi : 10.1016/S0167-5060(08)70696-4, ISBN 978-0-444-86048-4.
• Энтрингер, Р.К. (1966), «Комбинаторная интерпретация чисел Эйлера и Бернулли», Nieuw. Арх. В. Вискунде , 14 : 241–6..
• Плата, Г.; Плуфф, С. (2007), «Эффективный алгоритм вычисления чисел Бернулли», arXiv : math/0702300.
• Грэм, Р .; Кнут, Делавэр ; Паташник, О. (1989), Конкретная математика (2-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-55802-5
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97329-Х
• Джордан, Чарльз (1950), Исчисление конечных разностей , Нью-Йорк: Chelsea Publ. Ко..
• Канеко, М. (2000), «Алгоритм Акиямы-Танигавы для чисел Бернулли», Журнал целочисленных последовательностей , 12 : 29, Bibcode : 2000JIntS...3...29K.
• Кнут, DE (1993), «Иоганн Фаульхабер и суммы степеней», Математика вычислений , Американское математическое общество, 61 (203): 277–294, arXiv : math/9207222 , doi : 10.2307/2152953, JSTOR  2152953
• Лучный, Питер (2007), Включение чисел Бернулли.
• Лучный, Питер (8 октября 2011 г.), "TheLostBernoulliNumbers", OeisWiki , получено 11 мая 2019 г..
• Проект математической генеалогии, Фарго: факультет математики, Государственный университет Северной Дакоты, дата, заархивировано из оригинала 10 мая 2019 г. , получено 11 мая 2019 г..
• Миллер, Джефф (23 июня 2017 г.), «Самое раннее использование символов исчисления», « Самое раннее использование различных математических символов» , получено 11 мая 2019 г..
• Милнор, Джон В .; Сташефф, Джеймс Д. (1974), «Приложение B: Числа Бернулли», Характеристические классы , Анналы математических исследований, том. 76, Издательство Принстонского университета и Издательство Токийского университета, стр. 281–287..
• Пьетрокола, Джорджио (31 октября 2008 г.), «Esplorando un antico Sentiero: teoremi sulla somma di potenze di interi Successivi (Corollario 2b)», Maecla (на итальянском языке) , получено 8 апреля 2017 г..
• Славутский, Илья Ш. (1995), «Штаудт и арифметические свойства чисел Бернулли», Historia Scientiarum , 2 : 69–74..
• фон Штаудт, KG Ch. (1845), «De numeris Bernoullianis, commentationem alteram», Эрланген.
• Сунь, Чжи-Вэй (2005–2006 гг.), Некоторые любопытные результаты по полиномам Бернулли и Эйлера, заархивировано из оригинала 31 октября 2001 г..
• Вун, SC (1998), «Обобщение связи между дзета-функцией Римана и числами Бернулли», arXiv : math.NT/9812143.
• Ворпицкий, Дж. (1883), «Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 94 : 203–232..

Внешние ссылки

• «Числа Бернулли», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Первые 498 чисел Бернулли из проекта Гутенберг
• Мультимодульный алгоритм вычисления чисел Бернулли
• Страница чисел Бернулли
• Числовые программы Бернулли в LiteratePrograms
• П. Лущный, Вычисление неправильных простых чисел
• П. Лущный, Вычисление и асимптотика чисел Бернулли
• Готфрид Хелмс, Числа Бернуллина в контексте (биномиальной) матрицы Паскаля (PDF) , заархивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
• Готфрид Хелмс, суммирование одинаковых степеней в контексте с матрицей Паскаля/Бернулли (PDF) , заархивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
• Готфрид Хелмс, Некоторые особые свойства, суммы чисел Бернулли и связанных с ними чисел (PDF) , заархивировано (PDF) из оригинала 09 октября 2022 г.