L-функция Дирихле

В математике L -ряд Дирихле — это функция вида

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

где — характер Дирихле , а s — комплексная переменная с действительной частью больше 1. Это частный случай ряда Дирихле . Аналитическим продолжением ее можно расширить до мероморфной функции на всей комплексной плоскости , и тогда она называется L -функцией Дирихле и также обозначается L ( s , χ ). ${\displaystyle \chi }$

Эти функции названы в честь Питера Густава Лежена Дирихле , который ввел их в (Дирихле, 1837) для доказательства теоремы о простых числах в арифметических прогрессиях , которая также носит его имя. В ходе доказательства Дирихле показывает, что L ( s , χ ) отлична от нуля в точке s = 1. Более того, если χ главная, то соответствующая L -функция Дирихле имеет простой полюс в точке s = 1. В противном случае L - функция целая .

произведение Эйлера

Поскольку характер Дирихле χ вполне мультипликативен , его L -функция также может быть записана как произведение Эйлера в полуплоскости абсолютной сходимости :

${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-\chi (p)p^{-s}\right)^{-1}{\text{ for }}{\text{Re}}(s)>1,}$

где произведение находится по всем простым числам . ^[1]

Примитивные персонажи

Результаты, касающиеся L -функций, часто излагаются проще, если предполагается, что иероглиф примитивен, хотя результаты обычно можно распространить на импримитивные иероглифы с небольшими осложнениями. ^[2] Это происходит из-за связи между импримитивным символом и примитивным символом , который его вызывает: ^[3] ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi ^{\star }}$

${\displaystyle \chi (n)={\begin{cases}\chi ^{\star }(n),&\mathrm {if} \gcd(n,q)=1\\0,&\mathrm {if} \gcd(n,q)\neq 1\end{cases}}}$

(Здесь q — модуль х .) Применение произведения Эйлера дает простую связь между соответствующими L -функциями: ^{[4] [5]}

${\displaystyle L(s,\chi )=L(s,\chi ^{\star })\prod _{p\,|\,q}\left(1-{\frac {\chi ^{\star }(p)}{p^{s}}}\right)}$

(Эта формула верна для всех s , в силу аналитического продолжения, даже несмотря на то, что произведение Эйлера действительно только тогда, когда Re( s ) > 1.) Формула показывает, что L -функция х равна L -функции примитивного характера что индуцирует χ , умноженное только на конечное число множителей. ^[6]

В частном случае L -функция главного характера по модулю q может быть выражена через дзета-функцию Римана : ^{[7] [8]} ${\displaystyle \chi _{0}}$

${\displaystyle L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\prod _{p\,|\,q}(1-p^{-s})}$

Функциональное уравнение

L -функции Дирихле удовлетворяют функциональному уравнению , которое позволяет аналитически продолжить их по всей комплексной плоскости. Функциональное уравнение связывает значение со значением . Пусть χ — примитивный характер по модулю q , где q > 1. Один из способов выразить функциональное уравнение: ^[9] ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle L(1-s,{\overline {\chi }})}$

${\displaystyle L(s,\chi )=\varepsilon (\chi )2^{s}\pi ^{s-1}q^{1/2-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}(s+a)\right)\Gamma (1-s)L(1-s,{\overline {\chi }}).}$

В этом уравнении Γ обозначает гамма-функцию ; a равно 0, если χ (−1) = 1, или 1, если χ (−1) = −1; и

${\displaystyle \varepsilon (\chi )={\frac {\tau (\chi )}{i^{a}{\sqrt {q}}}}}$

где τ  (  χ ) — сумма Гаусса :

${\displaystyle \tau (\chi )=\sum _{n=1}^{q}\chi (n)\exp(2\pi in/q).}$

Это свойство сумм Гаусса, что | τ  (  χ ) | знак равно q ^1/2 , поэтому | ɛ  (  χ ) | = 1. ^{[10] [11]}

Другой способ сформулировать функциональное уравнение — через

${\displaystyle \xi (s,\chi )=\left({\frac {q}{\pi }}\right)^{(s+a)/2}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {s+a}{2}}\right)L(s,\chi ).}$

Функциональное уравнение можно выразить как: ^{[9] [11]}

${\displaystyle \xi (s,\chi )=\varepsilon (\chi )\xi (1-s,{\overline {\chi }}).}$

Функциональное уравнение подразумевает, что (и ) являются целыми функциями от s . (Опять же, это предполагает, что χ является примитивным характером по модулю q с q > 1. Если q = 1, то имеет полюс в точке s = 1.) ^{[9] [11]} ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle \xi (s,\chi )}$ ${\displaystyle L(s,\chi )=\zeta (s)}$

Обобщения см.: Функциональное уравнение (L-функция) .

Нули

L -функция Дирихле L ( s , χ ) = 1 − 3 ^{− s} + 5 ^{− s} − 7 ^{− s} + ⋅⋅⋅ (иногда дается специальное название бета-функция Дирихле ), с тривиальными нулями в отрицательных нечетных целых числах

Пусть χ — примитивный характер по модулю q , причем q > 1.

Не существует нулей L ( s , χ ) с Re( s ) > 1. Для Re( s ) < 0 существуют нули в некоторых отрицательных целых числах s :

• Если χ (−1) = 1, единственные нули L ( s , χ ) с Re( s ) < 0 являются простыми нулями в точках -2, -4, -6, .... (Существует также нуль в точке s = 0.) Они соответствуют полюсам . ^[12] ${\displaystyle \textstyle \Gamma ({\frac {s}{2}})}$
• Если χ (−1) = −1, то единственные нули L ( s , χ ) с Re( s ) < 0 являются простыми нулями в точках −1, −3, −5, .... Они соответствуют полюсам из . ^[12] ${\displaystyle \textstyle \Gamma ({\frac {s+1}{2}})}$

Их называют тривиальными нулями. ^[9]

Остальные нули лежат в критической полосе 0 ⩽ Re( s ) ⩽ 1 и называются нетривиальными нулями. Нетривиальные нули симметричны относительно критической линии Re( s ) = 1/2. То есть если и то тоже из-за функционального уравнения. Если χ — вещественный характер, то нетривиальные нули также симметричны относительно вещественной оси, но не в том случае, если χ — комплексный характер. Обобщенная гипотеза Римана — это гипотеза о том, что все нетривиальные нули лежат на критической прямой Re( s ) = 1/2. ^[9] ${\displaystyle L(\rho ,\chi )=0}$ ${\displaystyle L(1-{\overline {\rho }},\chi )=0}$

Вплоть до возможного существования нуля Зигеля , как известно, для всех L -функций Дирихле существуют области без нуля, включающие и за пределами прямой Re( s ) = 1, аналогичные области дзета-функции Римана : например, для χ a невещественный характер модуля q , имеем

${\displaystyle \beta <1-{\frac {c}{\log \!\!\;{\big (}q(2+|\gamma |){\big )}}}\ }$

для β + iγ невещественный нуль. ^[13]

Связь с дзета-функцией Гурвица

L -функции Дирихле можно записать как линейную комбинацию дзета- функции Гурвица при рациональных значениях. Зафиксировав целое число k ≥ 1, L -функции Дирихле для персонажей по модулю k представляют собой линейные комбинации с постоянными коэффициентами ζ ( s , a ), где a = r / k и r = 1, 2, ..., k . Это означает, что дзета-функция Гурвица для рационального a обладает аналитическими свойствами, тесно связанными с L -функциями Дирихле. В частности, пусть χ — характер по модулю k . Тогда мы можем записать ее L -функцию Дирихле как: ^[14]

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{r=1}^{k}\chi (r)\operatorname {\zeta } \left(s,{\frac {r}{k}}\right).}$

Смотрите также

• Обобщенная гипотеза Римана
• L-функция
• Теорема модульности
• Гипотеза Артина
• Специальные значения L-функций

Примечания

1. Апостол 1976, Теорема 11.7.
2. Давенпорт 2000, глава 5.
3. Давенпорт 2000, глава 5, уравнение (2)
4. Давенпорт 2000, глава 5, уравнение (3)
5. Монтгомери и Воган 2006, с. 282
6. Апостол 1976, с. 262
7. Ирландия и Розен 1990, глава 16, раздел 4
8. Монтгомери и Воган 2006, с. 121
9. Montgomery & Vaughan 2006, стр. 333
10. Монтгомери и Воган 2006, с. 332
11. Иванец и Ковальски 2004, с. 84
12. Давенпорт 2000, глава 9
13. Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о стыке аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. Том. 84. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 163. ИСБН 0-8218-0737-4. Збл  0814.11001.
14. Апостол 1976, с. 249

Рекомендации

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, МР  0434929, Збл  0335.10001
• Апостол, ТМ (2010), «L-функция Дирихле», Олвер , Фрэнк В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
• Давенпорт, Х. (2000). Мультипликативная теория чисел (3-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-95097-4.
• Дирихле, ПГЛ (1837). «Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält». Абханд. Ак. Висс. Берлин . 48 .
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990). Классическое введение в современную теорию чисел (2-е изд.). Спрингер-Верлаг.
• Монтгомери, Хью Л .; Воган, Роберт С. (2006). Мультипликативная теория чисел. I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Том. 97. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Иванец, Хенрик ; Ковальски, Эммануэль (2004). Аналитическая теория чисел . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том. 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
• «L-функция Дирихле», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]