Бета-функция Дирихле В математике бета -функция Дирихле (также известная как бета-функция Каталана ) — это специальная функция , тесно связанная с дзета-функцией Римана . Это частная L-функция Дирихле , L-функция для знакопеременного характера периода четыре.
Определение Бета-функция Дирихле определяется как
β ( с ) = ∑ н = 0 ∞ ( − 1 ) н ( 2 н + 1 ) с , {\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},} или, что то же самое,
β ( с ) = 1 Г ( с ) ∫ 0 ∞ х с − 1 е − х 1 + е − 2 х г х . {\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.} В каждом случае предполагается, что Re( s ) > 0.
В качестве альтернативы, следующее определение, в терминах дзета-функции Гурвица , справедливо во всей комплексной s -плоскости: [1]
β ( с ) = 4 − с ( ζ ( с , 1 4 ) − ζ ( с , 3 4 ) ) . {\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).} Другое эквивалентное определение, в терминах трансцендента Лерха , таково:
β ( с ) = 2 − с Ф ( − 1 , с , 1 2 ) , {\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),} что снова справедливо для всех комплексных значений s .
Бета-функцию Дирихле можно также записать через функцию полилогарифма :
β ( с ) = я 2 ( Ли с ( − я ) − Ли с ( я ) ) . {\displaystyle \beta (s)={\frac {i}{2}}\left({\text{Li}}_{s}(-i)-{\text{Li}}_{s}(i)\right).} Также представление ряда бета-функции Дирихле может быть сформировано в терминах полигамма-функции
β ( с ) = 1 2 с ∑ н = 0 ∞ ( − 1 ) н ( н + 1 2 ) с = 1 ( − 4 ) с ( с − 1 ) ! [ ψ ( с − 1 ) ( 1 4 ) − ψ ( с − 1 ) ( 3 4 ) ] {\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{2^{s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{s}}}={\frac {1}{(-4)^{s}(s-1)!}}\left[\psi ^{(s-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)-\psi ^{(s-1)}\left({\frac {3}{4}}\right)\right]} но эта формула верна только при положительных целых значениях . с {\displaystyle с}
Формула произведения Эйлера Это также простейший пример ряда, не связанного напрямую с , который также может быть разложен на множители как произведение Эйлера , что приводит к идее характера Дирихле, определяющего точное множество рядов Дирихле, имеющих разложение по простым числам . ζ ( с ) {\displaystyle \дзета (с)}
По крайней мере для Re( s ) ≥ 1:
β ( с ) = ∏ п ≡ 1 м о г 4 1 1 − п − с ∏ п ≡ 3 м о г 4 1 1 + п − с {\displaystyle \beta (s)=\prod _{p\equiv 1\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\prod _{p\equiv 3\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1+p^{-s}}}} где p ≡1 mod 44 n +1 (5,13,17,...) и p ≡3 mod 44 n +3 (3,7,11,...). Это можно записать компактно как
β ( с ) = ∏ п > 2 п основной 1 1 − ( − 1 ) п − 1 2 п − с . {\displaystyle \beta (s)=\prod _{p>2 \atop p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-\,\scriptstyle (-1)^{\frac {p -1}{2}}\textstyle p^{-s}}}.}
Функциональное уравнение Функциональное уравнение расширяет бета-функцию на левую сторону комплексной плоскости Re( s ) ≤ 0. Оно задается как
β ( 1 − с ) = ( π 2 ) − с грех ( π 2 с ) Г ( с ) β ( с ) {\displaystyle \beta (1-s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\Гамма (s)\beta (s)} где Γ( s ) — гамма-функция . Она была выдвинута Эйлером в 1749 году и доказана Мальмстеном в 1842 году. [2]
Конкретные ценности
Положительные целые числа Для каждого нечетного положительного целого числа справедливо следующее уравнение: [3] 2 н + 1 {\displaystyle 2n+1}
β ( 2 н + 1 ) = ( − 1 ) н Э 2 н 2 ( 2 н ) ! ( π 2 ) 2 н + 1 {\displaystyle \beta (2n+1)\;=\;{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{2(2n)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2n+1}} где — n-ое число Эйлера . Это дает: E n {\displaystyle E_{n}}
β ( 1 ) = π 4 , {\displaystyle \beta (1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},} β ( 3 ) = π 3 32 , {\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},} β ( 5 ) = 5 π 5 1536 , {\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},} β ( 7 ) = 61 π 7 184320 {\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}}} Для значений бета-функции Дирихле при четных положительных целых числах неизвестна элементарная замкнутая форма, и пока не найдено метода для определения арифметической природы четных бета-значений (аналогично дзета-функции Римана при нечетных целых числах, больших 3). Это число известно как константа Каталана . β ( 2 ) = G {\displaystyle \beta (2)=G}
Доказано, что существует бесконечно много чисел вида [4] и хотя бы одно из них иррационально. [5] β ( 2 n ) {\displaystyle \beta (2n)} β ( 2 ) , β ( 4 ) , β ( 6 ) , . . . , β ( 12 ) {\displaystyle \beta (2),\beta (4),\beta (6),...,\beta (12)}
Четные значения бета могут быть заданы через полигамма-функции и числа Бернулли : [6]
β ( 2 n ) = ψ ( 2 n − 1 ) ( 1 / 4 ) 4 2 n − 1 ( 2 n ) ! n − π 2 n ( 2 2 n − 1 ) | B 2 n | 2 ( 2 n ) ! {\displaystyle \beta (2n)={\frac {\psi ^{(2n-1)}(1/4)}{4^{2n-1}(2n)!}}n-{\frac {\pi ^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{2(2n)!}}} Мы также можем выразить бета-функцию для положительных чисел через интеграл арктангенса : n {\displaystyle n}
β ( n ) = Ti n ( 1 ) {\displaystyle \beta (n)={\text{Ti}}_{n}(1)} β ( 1 ) = arctan ( 1 ) {\displaystyle \beta (1)=\arctan(1)} Для каждого положительного целого числа k : [ требуется ссылка
β ( 2 k ) = 1 2 ( 2 k − 1 ) ! ∑ m = 0 ∞ ( ( ∑ l = 0 k − 1 ( 2 k − 1 2 l ) ( − 1 ) l A 2 k − 2 l − 1 2 l + 2 m + 1 ) − ( − 1 ) k − 1 2 m + 2 k ) A 2 m ( 2 m ) ! ( π 2 ) 2 m + 2 k , {\displaystyle \beta (2k)={\frac {1}{2(2k-1)!}}\sum _{m=0}^{\infty }\left(\left(\sum _{l=0}^{k-1}{\binom {2k-1}{2l}}{\frac {(-1)^{l}A_{2k-2l-1}}{2l+2m+1}}\right)-{\frac {(-1)^{k-1}}{2m+2k}}\right){\frac {A_{2m}}{(2m)!}}{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}^{2m+2k},} где - число зигзага Эйлера . A k {\displaystyle A_{k}}
Отрицательные целые числа Для отрицательных нечетных целых чисел функция равна нулю:
β ( − 2 n − 1 ) = 0 {\displaystyle \beta (-2n-1)\;=\;0} Для каждого отрицательного четного целого числа справедливо: [3]
β ( − 2 n ) = 1 2 E 2 n {\displaystyle \beta (-2n)\;=\;{\frac {1}{2}}E_{2n}} Далее следует:
β ( 0 ) = 1 2 {\displaystyle \beta (0)\;=\;{\frac {1}{2}}}
Производный У нас есть: [3]
β ′ ( − 1 ) = 2 G π {\displaystyle \beta '(-1)={\frac {2G}{\pi }}}
β ′ ( 0 ) = 2 ln Γ ( 1 4 ) − ln π − 3 2 ln 2 {\displaystyle \beta '(0)=2\ln \Gamma ({\tfrac {1}{4}})-\ln \pi -{\tfrac {3}{2}}\ln 2}
β ′ ( 1 ) = π 4 ( γ + 2 ln 2 + 3 ln π − 4 ln Γ ( 1 4 ) ) {\displaystyle \beta '(1)={\tfrac {\pi }{4}}(\gamma +2\ln 2+3\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {1}{4}}))}
где - постоянная Эйлера и - постоянная Каталана. Последнее тождество было выведено Мальмстеном в 1842 году. [2] γ {\displaystyle \gamma } G {\displaystyle G}
Смотрите также
Ссылки ^ Соотношение бета Дирихле – дзета Гурвица, Инженерная математика ^ ab Blagouchine, Iaroslav V. (2014-10-01). "Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные с этим результаты". The Ramanujan Journal . 35 (1): 21–110. doi :10.1007/s11139-013-9528-5. ISSN 1572-9303. ^ abc Weisstein, Eric W. "Бета-функция Дирихле". mathworld.wolfram.com . Получено 2024-08-08 . ^ Ривоал, Т.; Зудилин, В. (1 августа 2003 г.). «Диофантовы свойства чисел, связанные с константой Каталана». Математические Аннален . 326 (4): 705–721. дои : 10.1007/s00208-003-0420-2. ISSN 1432-1807. ^ Зудилин, Вадим (31 мая 2019 г.). «Арифметика каталонской константы и ее родственников». Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 89 (1): 45–53. дои : 10.1007/s12188-019-00203-w . ISSN 0025-5858. ^ Кёльбиг, КС (1996-11-12). "Полигамма-функция ψ(k)(x) для x=14 и x=34". Журнал вычислительной и прикладной математики . 75 (1): 43–46. doi :10.1016/S0377-0427(96)00055-6. ISSN 0377-0427. Glasser, ML (1972). "Оценка решетчатых сумм. I. Аналитические процедуры". J. Math. Phys . 14 (3): 409. Bibcode :1973JMP....14..409G. doi :10.1063/1.1666331. Дж. Спаниер и К. Б. Олдхэм, Атлас функций , (1987) Hemisphere, Нью-Йорк. 
![{\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{2^{s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{s}}}={\frac {1}{(-4)^{s}(s-1)!}}\left[\psi ^{(s-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)-\psi ^{(s-1)}\left({\frac {3}{4}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09f27a4ce08a90fdb18971866d5de5dd75fe26b6)
