Дискретный выбор

Выбор между двумя или более дискретными альтернативами

В экономике модели дискретного выбора или качественные модели выбора описывают, объясняют и предсказывают выбор между двумя или более дискретными альтернативами, такими как выход на рынок труда или не выход на него или выбор между видами транспорта . Такой выбор контрастирует со стандартными моделями потребления, в которых количество каждого потребляемого товара предполагается непрерывной переменной . В непрерывном случае методы исчисления (например, условия первого порядка) могут использоваться для определения оптимального выбранного количества, а спрос может быть смоделирован эмпирически с использованием регрессионного анализа . С другой стороны, анализ дискретного выбора изучает ситуации, в которых потенциальные результаты являются дискретными, так что оптимум не характеризуется стандартными условиями первого порядка. Таким образом, вместо изучения «сколько», как в задачах с непрерывными переменными выбора, анализ дискретного выбора изучает «какой». Однако анализ дискретного выбора также может использоваться для изучения выбранного количества, когда необходимо выбрать только из нескольких отдельных количеств, таких как количество транспортных средств, которые домохозяйство выбирает для владения ^[1] , и количество минут телекоммуникационных услуг, которые клиент решает приобрести. ^[2] Такие методы, как логистическая регрессия и пробит-регрессия, можно использовать для эмпирического анализа дискретного выбора.

Модели дискретного выбора теоретически или эмпирически моделируют выбор, сделанный людьми среди конечного набора альтернатив. Модели использовались для изучения, например, выбора, какую машину купить, ^{[1] [3]} куда пойти в колледж, ^[4] какой вид транспорта (автомобиль, автобус, поезд) использовать для работы ^[5] среди множества других приложений. Модели дискретного выбора также используются для изучения выбора организаций, таких как фирмы или государственные учреждения. В обсуждении ниже предполагается, что единицей принятия решений является человек, хотя эти концепции применимы в более общем плане. Дэниел Макфадден получил Нобелевскую премию в 2000 году за свою новаторскую работу по разработке теоретической основы дискретного выбора.

Модели дискретного выбора статистически связывают выбор, сделанный каждым человеком, с его характеристиками и характеристиками альтернатив, доступных человеку. Например, выбор автомобиля, который покупает человек, статистически связан с доходом и возрастом человека, а также с ценой, топливной экономичностью , размером и другими характеристиками каждого доступного автомобиля. Модели оценивают вероятность того, что человек выберет определенную альтернативу. Модели часто используются для прогнозирования того, как изменится выбор людей при изменении демографических показателей и/или характеристик альтернатив.

Модели дискретного выбора определяют вероятность того, что индивидуум выберет вариант из набора альтернатив. Вероятностное описание поведения дискретного выбора используется не для отражения индивидуального поведения, которое рассматривается как по сути вероятностное. Скорее, именно отсутствие информации заставляет нас описывать выбор вероятностным образом. На практике мы не можем знать все факторы, влияющие на индивидуальные решения по выбору, поскольку их детерминанты частично наблюдаются или несовершенно измеряются. Поэтому модели дискретного выбора опираются на стохастические предположения и спецификации для учета ненаблюдаемых факторов, связанных с a) альтернативами выбора, b) вариациями вкусов у людей (межличностная неоднородность) и с течением времени (динамика внутрииндивидуального выбора) и c) неоднородными наборами выбора. Различные формулировки были обобщены и классифицированы в группы моделей. ^[6] Когда модель дискретного выбора объединяется с моделями структурных уравнений для интеграции психологических (латентных) переменных, они называются гибридными моделями выбора . ^[7]

Приложения

• Исследователи маркетинга используют дискретные модели выбора для изучения потребительского спроса и прогнозирования ответов конкурентного бизнеса, что позволяет разработчикам моделей выбора решать ряд бизнес-задач, таких как ценообразование , разработка продукта и проблемы оценки спроса . В маркетинговых исследованиях это обычно называется совместным анализом . ^[1]
• Планировщики транспорта используют модели дискретного выбора для прогнозирования спроса на планируемые транспортные системы, например, какой маршрут выберет водитель и воспользуется ли кто-то системами скоростного транспорта . ^{[5] [8]} Первые применения моделей дискретного выбора были в транспортном планировании, и большая часть самых передовых исследований в области моделей дискретного выбора проводится исследователями транспорта.
• Специалисты по планированию и инженеры по ликвидации последствий стихийных бедствий полагаются на модели дискретного выбора для прогнозирования решений, принимаемых домовладельцами или жильцами зданий при эвакуациях малого и большого масштаба, например, при пожарах в зданиях, лесных пожарах, ураганах и т. д. ^{[9] [10] [11]} Эти модели помогают разрабатывать надежные планы управления стихийными бедствиями и более безопасные проекты для застроенной среды .
• Прогнозисты и политики в области энергетики используют дискретные модели выбора для выбора домохозяйствами и фирмами систем отопления, уровней эффективности бытовых приборов и уровня топливной экономичности транспортных средств. ^{[12] [13]}
• Экологические исследования используют дискретные модели выбора для изучения выбора отдыхающими, например, мест для рыбалки или катания на лыжах, и для определения ценности удобств, таких как кемпинги, рыбные запасы и теплые домики, а также для оценки ценности улучшения качества воды. ^[14]
• Экономисты, изучающие труд, используют модели дискретного выбора для изучения участия в рабочей силе, выбора профессии, а также выбора колледжа и программ обучения. ^[4]
• Экологические исследования используют модели дискретного выбора для изучения параметров, которые управляют выбором среды обитания у животных. ^[15]

Общие черты моделей дискретного выбора

Модели дискретного выбора принимают множество форм, включая: Binary Logit, Binary Probit, Multinomial Logit, Conditional Logit, Multinomial Probit, Nested Logit, Generalized Extreme Value Models, Mixed Logit и Exploded Logit. Все эти модели имеют общие черты, описанные ниже.

Выбор набора

Набор выборов — это набор альтернатив, доступных человеку. Для модели дискретного выбора набор выборов должен соответствовать трем требованиям:

1. Набор альтернатив должен быть коллективно исчерпывающим , то есть набор должен включать все возможные альтернативы. Это требование подразумевает, что человек обязательно выбирает альтернативу из набора.
2. Альтернативы должны быть взаимоисключающими , то есть выбор одной альтернативы означает невыбор других альтернатив. Это требование подразумевает, что человек выбирает только одну альтернативу из набора.
3. Набор должен содержать конечное число альтернатив. Это третье требование отличает анализ дискретного выбора от форм регрессионного анализа, в которых зависимая переменная может (теоретически) принимать бесконечное число значений.

Например, набор вариантов для человека, решающего, какой вид транспорта использовать для поездки на работу, включает вождение в одиночку, совместное использование автомобилей, поездку на автобусе и т. д. Набор вариантов усложняется тем, что человек может использовать несколько видов транспорта для данной поездки, например, ехать на машине до железнодорожной станции, а затем ехать на поезде на работу. В этом случае набор вариантов может включать каждую возможную комбинацию видов транспорта. В качестве альтернативы выбор может быть определен как выбор «основного» вида транспорта, при этом набор состоит из автомобиля, автобуса, железной дороги и других (например, ходьбы, велосипедов и т. д.). Обратите внимание, что альтернатива «другое» включена для того, чтобы сделать набор вариантов исчерпывающим.

У разных людей могут быть разные наборы выбора в зависимости от обстоятельств. Например, автомобиль Scion не продавался в Канаде с 2009 года, поэтому покупатели новых автомобилей в Канаде столкнулись с другими наборами выбора, чем американские потребители. Такие соображения учитываются при формулировании моделей дискретного выбора.

Определение вероятностей выбора

Модель дискретного выбора определяет вероятность того, что человек выберет определенную альтернативу, причем вероятность выражается как функция наблюдаемых переменных, которые относятся к альтернативам и человеку. В общем виде вероятность того, что человек n выберет альтернативу i, выражается как:

${\displaystyle P_{ni}\equiv \Pr({\text{Person }}n{\text{ chooses alternative }}i)=G(x_{ni},\;x_{nj,j\neq i},\;s_{n},\;\beta ),}$

где

${\displaystyle x_{ni}}$— вектор атрибутов альтернативы i, с которой сталкивается человек n ,

${\displaystyle x_{nj,j\neq i}}$— вектор атрибутов других альтернатив (кроме i ), с которыми сталкивается человек n ,

${\displaystyle s_{n}}$— вектор характеристик человека n , а

${\displaystyle \beta }$представляет собой набор параметров, задающих влияние переменных на вероятности, которые оцениваются статистически.

В приведенном выше примере с видом транспорта атрибуты видов транспорта ( x _ni ), такие как время в пути и стоимость, и характеристики потребителя ( s _n ), такие как годовой доход, возраст и пол, могут использоваться для расчета вероятностей выбора. Атрибуты альтернатив могут различаться у разных людей; например, стоимость и время поездки на работу на машине, автобусе и поезде различны для каждого человека в зависимости от местонахождения дома и работы этого человека.

Характеристики:

• P _ni находится в диапазоне от 0 до 1
• ${\displaystyle \forall n:\;\sum _{j=1}^{J}P_{nj}=1,}$ где J — общее количество альтернатив.
• (Ожидаемая доля людей, выбирающих i ), где N — количество людей, делающих выбор. ${\displaystyle ={1 \over N}{\sum _{n=1}^{N}P_{ni}},}$

Различные модели (т. е. модели, использующие другую функцию G) имеют разные свойства. Наиболее известные модели представлены ниже.

Потребительская полезность

Модели дискретного выбора могут быть выведены из теории полезности . Этот вывод полезен по трем причинам:

1. Это дает точное значение вероятностям P _ni
2. Он мотивирует и различает альтернативные спецификации модели, например , выбор функциональной формы для G.
3. Он обеспечивает теоретическую основу для расчета изменений потребительского излишка (компенсирующей вариации) в зависимости от изменений свойств альтернатив.

U _ni — это полезность (или чистая выгода или благополучие), которую получает человек n от выбора альтернативы i . Поведение человека — максимизация полезности: человек n выбирает альтернативу, которая обеспечивает наибольшую полезность. Выбор человека обозначается фиктивными переменными, y _ni , для каждой альтернативы:

${\displaystyle y_{ni}={\begin{cases}1&U_{ni}>U_{nj}\quad \forall j\neq i\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Теперь рассмотрим исследователя, который изучает выбор. Выбор человека зависит от многих факторов, некоторые из которых исследователь наблюдает, а некоторые — нет. Полезность, которую человек получает от выбора альтернативы, разлагается на часть, которая зависит от переменных, которые исследователь наблюдает, и часть, которая зависит от переменных, которые исследователь не наблюдает. В линейной форме это разложение выражается как

${\displaystyle U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}}$

где

• ${\displaystyle z_{ni}}$ представляет собой вектор наблюдаемых переменных, относящихся к альтернативе i для человека n , который зависит от атрибутов альтернативы x _ni , возможно, взаимодействующих с атрибутами человека s _n , так что его можно выразить как для некоторой числовой функции z , ${\displaystyle z_{ni}=z(x_{ni},s_{n})}$
• ${\displaystyle \beta }$— соответствующий вектор коэффициентов наблюдаемых переменных, а
• ${\displaystyle \varepsilon _{ni}}$учитывает влияние всех ненаблюдаемых факторов, влияющих на выбор человека.

Вероятность выбора тогда равна

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{ni}&=\Pr(y_{ni}=1)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}>U_{nj},\right)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj},\right)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\varepsilon _{nj}-\varepsilon _{ni}<\beta z_{ni}-\beta z_{nj},\right)\end{aligned}}}$

При заданном β вероятность выбора — это вероятность того, что случайные члены ε _nj − ε _ni (которые являются случайными с точки зрения исследователя, поскольку исследователь их не наблюдает) окажутся ниже соответствующих величин. Различные модели выбора (т.е. различные спецификации G) возникают из-за различных распределений ε _ni для всех i и различных подходов к β . ${\displaystyle \forall j\neq i:\beta z_{ni}-\beta z_{nj}.}$

Свойства моделей дискретного выбора, вытекающие из теории полезности

Имеют значение только различия

Вероятность того, что человек выберет определенную альтернативу, определяется путем сравнения полезности выбора этой альтернативы с полезностью выбора других альтернатив:

${\displaystyle P_{ni}=\Pr(y_{ni}=1)=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}>U_{nj}\right)=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}-U_{nj}>0\right)}$

Как показывает последний термин, вероятность выбора зависит только от разницы в полезности между альтернативами, а не от абсолютного уровня полезности. Эквивалентно, добавление константы к полезности всех альтернатив не изменяет вероятности выбора.

Масштаб должен быть нормализован

Поскольку полезность не имеет единиц измерения, необходимо нормализовать шкалу полезности. Шкала полезности часто определяется дисперсией члена ошибки в моделях дискретного выбора. Эта дисперсия может различаться в зависимости от характеристик набора данных, таких как время или место сбора данных. Таким образом, нормализация дисперсии влияет на интерпретацию параметров, оцененных в различных наборах данных.

Известные типы моделей дискретного выбора

Модели дискретного выбора можно сначала классифицировать по количеству доступных альтернатив.

* Модели биномиального выбора (дихотомические): 2 доступные альтернативы

* Модели полиномиального выбора ( политомические ): 3 или более доступных альтернатив

Модели полиномиального выбора можно дополнительно классифицировать в соответствии со спецификацией модели:

* Модели, такие как стандартная логит-модель, которые не предполагают корреляции ненаблюдаемых факторов с альтернативами.

* Модели, которые допускают корреляцию ненаблюдаемых факторов среди альтернатив

Кроме того, доступны специальные формы моделей для изучения рейтингов альтернатив (т. е. первый выбор, второй выбор, третий выбор и т. д.) и рейтинговых данных.

Подробная информация о каждой модели представлена ​​в следующих разделах.

Двоичный выбор

A. Логит с атрибутами человека, но без атрибутов альтернатив

U _n — это полезность (или чистая выгода), которую человек n получает от совершения действия (в отличие от несовершения действия). Полезность, которую человек получает от совершения действия, зависит от характеристик человека, некоторые из которых наблюдаются исследователем, а некоторые — нет. Человек совершает действие, y _n = 1 , если U _n > 0. Предполагается, что ненаблюдаемый член, ε _n , имеет логистическое распределение . Спецификация записывается кратко как:

${\displaystyle {\begin{cases}U_{n}=\beta s_{n}+\varepsilon _{n}\\y_{n}={\begin{cases}1&U_{n}>0\\0&U_{n}\leqslant 0\end{cases}}\\\varepsilon \sim {\text{Logistic}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}={\frac {1}{1+\exp(-\beta s_{n})}}}$

B. Пробит с атрибутами человека, но без атрибутов альтернатив

Описание модели такое же, как и у модели A, за исключением того, что ненаблюдаемые члены распределены по стандартному нормальному закону, а не по логистическому .

${\displaystyle {\begin{cases}U_{n}=\beta s_{n}+\varepsilon _{n}\\y_{n}={\begin{cases}1&U_{n}>0\\0&U_{n}\leqslant 0\end{cases}}\\\varepsilon \sim {\text{Standard normal}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}=\Phi (\beta s_{n}),}$

где - кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения . ${\displaystyle \Phi }$

C. Логит с переменными, которые изменяются в зависимости от альтернатив

U _ni — это полезность, которую получает человек n от выбора альтернативы i . Полезность каждой альтернативы зависит от атрибутов альтернатив, возможно, взаимодействующих с атрибутами человека. Предполагается, что ненаблюдаемые термины имеют экстремальное распределение значений . ^{[nb 1]}

${\displaystyle {\begin{cases}U_{n1}=\beta z_{n1}+\varepsilon _{n1}\\U_{n2}=\beta z_{n2}+\varepsilon _{n2}\\\varepsilon _{n1},\varepsilon _{n2}\sim {\text{iid extreme value}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}={\frac {\exp(\beta z_{n1})}{\exp(\beta z_{n1})+\exp(\beta z_{n2})}}}$

Мы можем связать эту спецификацию с моделью A выше, которая также является двоичным логитом. В частности, P _{n 1} также может быть выражена как

${\displaystyle P_{n1}={\frac {1}{1+\exp(-\beta (z_{n1}-z_{n2}))}}}$

Обратите внимание, что если два члена ошибки имеют экстремальное значение , ^{[nb 1]} их разность распределена логистически , что является основой эквивалентности двух спецификаций.

D. Пробит с переменными, которые изменяются в зависимости от альтернатив

Описание модели такое же, как у модели C, за исключением того, что разность двух ненаблюдаемых членов распределена по стандартному нормальному закону, а не по логистическому .

Тогда вероятность совершения действия равна

${\displaystyle P_{n1}=\Phi (\beta (z_{n1}-z_{n2})),}$

где Φ — кумулятивная функция стандартного нормального распределения .

Многочленный выбор без корреляции между альтернативами

E. Логит с атрибутами человека, но без атрибутов альтернатив

Полезность для всех альтернатив зависит от одних и тех же переменных, s _n , но коэффициенты различны для разных альтернатив:

• U _ni = β _is n + ε _ni ,_​
• Поскольку имеют значение только различия в полезности, необходимо нормализовать для одной альтернативы. Предполагая , что , ${\displaystyle \beta _{i}=0}$ ${\displaystyle \beta _{1}=0}$
• ε _ni — это экстремальное значение ^{[nb 1]}

Вероятность выбора принимает вид

${\displaystyle P_{ni}={\exp(\beta _{i}s_{n}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta _{j}s_{n})},}$

где J — общее количество альтернатив.

F. Логит с переменными, которые изменяются в зависимости от альтернатив (также называется условным логитом)

Полезность каждой альтернативы зависит от ее свойств, возможно, взаимодействующих с свойствами человека:

${\displaystyle {\begin{cases}U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}\\\varepsilon _{ni}\sim {\text{iid extreme value}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{ni}={\exp(\beta z_{ni}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})},}$

где J — общее количество альтернатив.

Обратите внимание, что модель E может быть выражена в той же форме, что и модель F, путем соответствующей переопределения переменных. Определим, где дельта Кронекера и s n _взяты из модели E. Затем модель F получается с помощью ${\displaystyle w_{nj}^{k}=s_{n}\delta _{jk}}$ ${\displaystyle \delta _{jk}}$

${\displaystyle z_{nj}=\left\{w_{nj}^{1},\cdots ,w_{nj}^{J}\right\}\quad {\text{and}}\quad \beta =\left\{\beta _{1},\cdots ,\beta _{J}\right\},}$

где J — общее количество альтернатив.

Многочленный выбор с корреляцией между альтернативами

Стандартная логит-модель не всегда подходит, поскольку она предполагает, что не существует корреляции между ненаблюдаемыми факторами и альтернативами. Это отсутствие корреляции приводит к определенному шаблону замены среди альтернатив, который не всегда может быть реалистичным в данной ситуации. Этот шаблон замены часто называют свойством независимости нерелевантных альтернатив (IIA) стандартных логит-моделей. ^{[16] [17]} Было предложено несколько моделей, чтобы разрешить корреляцию между альтернативами и более общие шаблоны замены:

• Вложенная логит-модель — фиксирует корреляции между альтернативами путем разбиения набора вариантов на «гнезда».
  • Перекрестно-гнездовая логит-модель ^[18] (CNL) — альтернативы могут принадлежать более чем к одному гнезду
  • Модель C-logit ^[19] — фиксирует корреляции между альтернативами с использованием «фактора общности».
  • Парная комбинаторная логит-модель ^[20] — подходит для задач выбора маршрута.
• Обобщенная модель экстремальной ценности ^[21] - общий класс моделей, полученный из модели случайной полезности ^[17] , к которой относятся мультиномиальный логит и вложенный логит.
• Условный пробит ^{[22] [23]} — допускает полную ковариацию между альтернативами, используя совместное нормальное распределение.
• Смешанная логит-модель ^{[13] [14] [23]} — допускает любые формы корреляционных и подстановочных моделей. ^[24] Когда смешанная логит-модель имеет совместно нормальные случайные члены, модель иногда называется «мультиномиальной пробит-моделью с логит-ядром». ^{[17] [25]} Может применяться для выбора маршрута. ^[26]

В следующих разделах подробно описываются модели Nested Logit, GEV, Probit и Mixed Logit.

G. Модели вложенной логит-модели и обобщенной экстремальной стоимости (GEV)

Модель такая же, как и модель F, за исключением того, что ненаблюдаемый компонент полезности коррелирует с альтернативами, а не является независимым от альтернатив.

• U _ni = βz _ni + ε _ni ,
• Предельное распределение каждого ε _ni имеет экстремальное значение , ^{[nb 1],} но их совместное распределение допускает корреляцию между ними.
• Вероятность принимает множество форм в зависимости от заданной модели корреляции. См. Обобщенное экстремальное значение .

H. Мультиномиальный пробит

Модель такая же, как и модель G, за исключением того, что ненаблюдаемые члены распределены совместно нормально , что допускает любую схему корреляции и гетероскедастичности :

${\displaystyle {\begin{cases}U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}\\\varepsilon _{n}\equiv (\varepsilon _{n1},\cdots ,\varepsilon _{nJ})\sim N(0,\Omega )\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{ni}=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj}\right)=\int I\left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj}\right)\phi (\varepsilon _{n}|\Omega )\;d\varepsilon _{n},}$

где — совместная нормальная плотность со средним значением нулевым и ковариацией . ${\displaystyle \phi (\varepsilon _{n}|\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$

Интеграл для этой вероятности выбора не имеет замкнутой формы, поэтому вероятность аппроксимируется квадратурой или моделированием.

Когда матрица тождественна (такая, что нет корреляции или гетероскедастичности ), модель называется независимой пробит. ${\displaystyle \Omega }$

I. Смешанный логит

Смешанные модели Logit становятся все более популярными в последние годы по нескольким причинам. Во-первых, модель позволяет быть случайной в дополнение к . Случайность в учитывает случайные вариации вкуса у людей и корреляцию между альтернативами, что генерирует гибкие шаблоны замещения. Во-вторых, достижения в моделировании сделали аппроксимацию модели довольно простой. Кроме того, Макфадден и Трейн показали, что любая истинная модель выбора может быть аппроксимирована с любой степенью точности смешанной логикой с соответствующей спецификацией объясняющих переменных и распределением коэффициентов. ^[24] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \beta }$

• U _ni = βz _ni + ε _ni ,
• ${\displaystyle \beta \sim f(\beta |\theta )}$для любого распределения , где — набор параметров распределения (например, среднее значение и дисперсия), которые необходимо оценить, ${\displaystyle {\it {f}}}$ ${\displaystyle \theta }$
• ε _ni ~ iid экстремальное значение , ^{[nb 1]}

Вероятность выбора равна

${\displaystyle P_{ni}=\int _{\beta }L_{ni}(\beta )f(\beta |\theta )\,d\beta ,}$

где

${\displaystyle L_{ni}(\beta )={\exp(\beta z_{ni}) \over {\sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}}}$

— это логарифмическая вероятность, оцененная по общему числу альтернатив. ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle J}$

Интеграл для этой вероятности выбора не имеет замкнутой формы, поэтому вероятность аппроксимируется путем моделирования. ^[27]

Оценка по выбору

Модели дискретного выбора часто оцениваются с использованием оценки максимального правдоподобия . Логит-модели можно оценить с помощью логистической регрессии , а пробит-модели можно оценить с помощью пробит-регрессии . Были предложены непараметрические методы, такие как оценка максимальной оценки . ^{[28] [29]} Оценка таких моделей обычно выполняется с помощью параметрических, полупараметрических и непараметрических методов максимального правдоподобия, ^[30] но также может быть выполнена с помощью подхода моделирования пути с использованием частичных наименьших квадратов . ^[31]

Оценка по рейтингам

Во многих ситуациях наблюдается ранжирование альтернатив человеком, а не просто выбранная им альтернатива. Например, человека, купившего новую машину, могут спросить, что бы он купил, если бы эта машина не была предложена, что дает информацию о втором выборе человека в дополнение к его первому выбору. Или, в опросе, респонденту могут задать вопрос:

Пример : Расположите следующие тарифные планы сотовой связи в порядке от наиболее предпочтительного к наименее предпочтительному.

* 60 долларов США в месяц за неограниченное количество минут в любое время, двухлетний контракт со сбором за досрочное расторжение в размере 100 долларов США

* 30 долларов в месяц за 400 минут в любое время, 3 цента в минуту после 400 минут, годовой контракт со сбором за досрочное расторжение в размере 125 долларов

* 35 долларов в месяц за 500 минут в любое время, 3 цента в минуту после 500 минут, без контракта или платы за досрочное расторжение

* 50 долларов в месяц за 1000 минут в любое время, 5 центов в минуту после 1000 минут, двухлетний контракт с комиссией за досрочное расторжение в размере 75 долларов

Модели, описанные выше, можно адаптировать для учета рейтингов за пределами первого выбора. Наиболее известная модель для данных рейтингов — это взрывной логит и его смешанная версия.

J. Разорванный логит

При тех же предположениях, что и для стандартной логит-модели (модель F), вероятность ранжирования альтернатив является произведением стандартных логит-моделей. Модель называется «разорванной логит-моделью», поскольку ситуация выбора, которая обычно представлена ​​как одна логит-формула для выбранной альтернативы, расширяется («разорвана»), чтобы иметь отдельную логит-формулу для каждой ранжированной альтернативы. Разорванная логит-модель является произведением стандартных логит-моделей, в которой набор вариантов выбора уменьшается по мере ранжирования каждой альтернативы и оставляет набор доступных вариантов в последующем выборе.

Без потери общности альтернативы можно переименовать, чтобы отразить рейтинг человека, например, альтернатива 1 будет первым выбором, 2 — вторым выбором и т. д. Тогда вероятность выбора при ранжировании J альтернатив как 1, 2, ..., J равна

${\displaystyle \Pr({\text{ranking }}1,2,\ldots ,J)={\exp(\beta z_{1}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}{\exp(\beta z_{2}) \over \sum _{j=2}^{J}\exp(\beta z_{nj})}\ldots {\exp(\beta z_{J-1}) \over \sum _{j=J-1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}}$

Как и в случае со стандартным логитом, модель взрывного логита не предполагает никакой корреляции в ненаблюдаемых факторах по альтернативам. Разорванный логит может быть обобщен, так же как и стандартный логит, для учета корреляций между альтернативами и случайной вариации вкуса. Модель «смешанного взрывного логита» получается с помощью вероятности ранжирования, приведенного выше, для L _ni в смешанной модели логита (модель I).

Эта модель также известна в эконометрике как ранговая логит-модель , и была введена в этой области Беггсом, Карделлом и Хаусманом в 1981 году. ^{[32] [33]} Одним из приложений является статья Комбса и др., объясняющая рейтинг кандидатов на должность профессора. ^[33] Она также известна как модель Плакетта–Льюса в биомедицинской литературе. ^{[33] [34] [35]}

Заказанные модели

В опросах респондентов часто просят дать оценки, например:

Пример : Пожалуйста, дайте оценку деятельности президента.

1: Очень плохо

2: Плохо

3: Хорошо

4: Ну

5: Очень хорошо

Или,

Пример : По шкале от 1 до 5, где 1 означает полное несогласие, а 5 означает полное согласие, насколько вы согласны со следующим утверждением. «Федеральное правительство должно делать больше, чтобы помочь людям, столкнувшимся с проблемой лишения права выкупа своих домов».

Мультиномиальная модель дискретного выбора может исследовать ответы на эти вопросы (модель G, модель H, модель I). Однако эти модели выводятся в соответствии с концепцией, что респондент получает некоторую полезность для каждого возможного ответа и дает ответ, который обеспечивает наибольшую полезность. Возможно, было бы более естественно думать, что респондент имеет некоторую скрытую меру или индекс, связанный с вопросом, и отвечает в ответ на то, насколько высока эта мера. Упорядоченные логит- и упорядоченные пробит-модели выводятся в соответствии с этой концепцией.

К. Упорядоченный логит

Пусть U _n представляет силу чувств или мнения респондента опроса n по поводу предмета опроса. Предположим, что существуют пороговые значения уровня мнения при выборе конкретного ответа. Например, в примере с помощью людям, столкнувшимся с потерей права выкупа, человек выбирает

• 1, если U _н < а
• 2, если а < U _n < b
• 3, если b < U _n < c
• 4, если с < U _n < d
• 5, если U _n > d,

для некоторых действительных чисел a , b , c , d .

Если определить логистику , то вероятность каждого возможного ответа равна: ${\displaystyle U_{n}=\beta z_{n}+\varepsilon ,\;\varepsilon \sim }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr({\text{choosing }}1)&=\Pr(U_{n}<a)=\Pr(\varepsilon <a-\beta z_{n})={1 \over 1+\exp(-(a-\beta z_{n}))}\\\Pr({\text{choosing }}2)&=\Pr(a<U_{n}<b)=\Pr(a-\beta z_{n}<\varepsilon <b-\beta z_{n})={1 \over 1+\exp(-(b-\beta z_{n}))}-{1 \over 1+\exp(-(a-\beta z_{n}))}\\&\cdots \\\Pr({\text{choosing }}5)&=\Pr(U_{n}>d)=\Pr(\varepsilon >d-\beta z_{n})=1-{1 \over 1+\exp(-(d-\beta z_{n}))}\end{aligned}}}$

Параметрами модели являются коэффициенты β и точки отсечения a − d , одна из которых должна быть нормализована для идентификации. Когда есть только два возможных ответа, упорядоченный логит тот же самый, что и бинарный логит (модель A), с одной точкой отсечения, нормализованной к нулю.

L. Упорядоченный пробит

Описание модели такое же, как и у модели K, за исключением того, что ненаблюдаемые члены имеют нормальное распределение , а не логистическое .

Вероятности выбора равны ( — кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения): ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr({\text{choosing }}1)&=\Phi (a-\beta z_{n})\\\Pr({\text{choosing }}2)&=\Phi (b-\beta z_{n})-\Phi (a-\beta z_{n})\\&\cdots \end{aligned}}}$

Смотрите также

• Бинарная регрессия
• Динамический дискретный выбор

Примечания

1. Плотность и кумулятивная функция распределения экстремальных значений определяются как и Это распределение также называется распределением Гумбеля или распределением экстремальных значений типа I, особым типом обобщенного распределения экстремальных значений . ${\displaystyle f(\varepsilon _{nj})=\exp(-\varepsilon _{nj})\exp(-\exp(-\varepsilon _{nj}))}$ ${\displaystyle F(\varepsilon _{nj})=\exp(-\exp(-\varepsilon _{nj})).}$

Ссылки

1. Train, K. (1986). Качественный анализ выбора: теория, эконометрика и применение к спросу на автомобили . MIT Press. ISBN 9780262200554.Глава 8.
2. Трейн, К.; Макфадден, Д.; Бен-Акива, М. (1987). «Спрос на местную телефонную связь: полностью дискретная модель схем вызовов для населения и выбора услуг». RAND Journal of Economics . 18 (1): 109–123. doi :10.2307/2555538. JSTOR  2555538.
3. Трейн, К.; Уинстон, К. (2007). «Поведение при выборе транспортных средств и снижение доли рынка автопроизводителей США». International Economic Review . 48 (4): 1469–1496. doi :10.1111/j.1468-2354.2007.00471.x. S2CID  13085087.
4. Fuller, WC; Manski, C .; Wise, D. (1982). «Новые данные об экономических детерминантах выбора послесреднего образования». Журнал человеческих ресурсов . 17 (4): 477–498. doi :10.2307/145612. JSTOR  145612.
5. Train, K. (1978). "A Validation Test of a Disaggregate Mode Choice Model" (PDF) . Transportation Research . 12 (3): 167–174. doi :10.1016/0041-1647(78)90120-x. Архивировано из оригинала (PDF) 2010-06-22 . Получено 2009-02-16 .
6. Балтас, Джордж; Дойл, Питер (2001). «Случайные модели полезности в маркетинговых исследованиях: обзор». Журнал бизнес-исследований . 51 (2): 115–125. doi :10.1016/S0148-2963(99)00058-2.
7. Бен-Акива, Моше; Макфадден, Дэниел; Трейн, Кеннет; Уокер, Джоан; Бхат, Чандра; Бирлер, Мишель; Болдук, Денис; Берш-Супан, Аксель; Браунстоун, Дэвид; Банч, Дэвид С.; Дейли, Эндрю; Де Пальма, Андре; Гопинат, Динеш; Карлстром, Андерс; Мунизага, Марсела А. (2002-08-01). «Модели гибридного выбора: прогресс и проблемы». Marketing Letters . 13 (3): 163–175. doi :10.1023/A:1020254301302. ISSN  1573-059X.
8. Ramming, MS (2001). Знание сети и выбор маршрута (диссертация). Неопубликованная докторская диссертация, Массачусетский технологический институт. Каталог MIT. hdl :1721.1/49797.
9. Меса-Аранго, Родриго; Хасан, Самиул; Уккусури, Сатиш В.; Мюррей-Туите, Памела (февраль 2013 г.). «Модель на уровне домохозяйств для выбора типа пункта назначения эвакуации при урагане с использованием данных об урагане Иван». Обзор природных опасностей . 14 (1): 11–20. doi :10.1061/(ASCE)NH.1527-6996.0000083. ISSN  1527-6988.
10. Wibbenmeyer, Matthew J.; Hand, Michael S.; Calkin, David E.; Venn, Tyron J.; Thompson, Matthew P. (июнь 2013 г.). «Предпочтения в отношении риска при принятии стратегических решений по лесным пожарам: эксперимент по выбору с участием менеджеров по лесным пожарам в США». Анализ рисков . 33 (6): 1021–1037. doi :10.1111/j.1539-6924.2012.01894.x. ISSN  0272-4332.
11. Lovreglio, Ruggiero; Borri, Dino; dell'Olio, Luigi; Ibeas, Angel (2014-02-01). «Дискретная модель выбора на основе случайных полезностей для выбора выхода при экстренной эвакуации». Safety Science . 62 : 418–426. doi :10.1016/j.ssci.2013.10.004. ISSN  0925-7535.
12. Гётт, Эндрю; Хадсон, Кэтлин; Трейн, Кеннет Э. (2002). «Выбор потребителя среди розничных поставщиков энергии». Energy Journal . 21 (4): 1–28.
13. Revelt, David; Train, Kenneth E. (1998). «Смешанный логит с повторным выбором: выбор домохозяйствами уровня эффективности бытовой техники». Review of Economics and Statistics . 80 (4): 647–657. doi :10.1162/003465398557735. JSTOR  2646846. S2CID  10423121.
14. Train, Kenneth E. (1998). «Модели спроса на отдых с вариацией вкуса». Land Economics . 74 (2): 230–239. CiteSeerX 10.1.1.27.4879 . doi :10.2307/3147053. JSTOR  3147053. 
15. Купер, AB; Миллспо, JJ (1999). «Применение моделей дискретного выбора к исследованиям выбора ресурсов дикой природы». Экология . 80 (2): 566–575. doi :10.1890/0012-9658(1999)080[0566:TAODCM]2.0.CO;2.
16. Бен-Акива, М.; Лерман, С. (1985). Анализ дискретного выбора: теория и применение к спросу на поездки . Транспортные исследования. Массачусетс: MIT Press.
17. Бен-Акива, М.; Бирлер, М. (1999). "Методы дискретного выбора и их применение к решениям о краткосрочных поездках" (PDF) . В Холле, Р. В. (ред.). Справочник по транспортной науке .
18. Vovsha, P. (1997). «Применение модели Cross-Nested Logit для выбора режима в Тель-Авиве, Израиль, столичном районе». Transportation Research Record . 1607 : 6–15. doi :10.3141/1607-02. S2CID  110401901. Архивировано из оригинала 29.01.2013.
19. Cascetta, E.; Nuzzolo, A.; Russo, F.; Vitetta, A. (1996). «Модифицированная логит-модель выбора маршрута, преодолевающая проблемы перекрытия путей: спецификация и некоторые результаты калибровки для междугородных сетей» (PDF) . В Lesort, JB (ред.). Теория транспорта и дорожного движения. Труды Тринадцатого международного симпозиума по теории транспорта и дорожного движения . Лион, Франция: Pergamon. стр. 697–711.
20. Чу, К. (1989). «Парная комбинаторная логит-модель для анализа спроса на поездки». Труды 5-й Всемирной конференции по транспортным исследованиям . Том 4. Вентура, Калифорния. С. 295–309.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
21. Макфадден, Д. (1978). «Моделирование выбора места проживания» (PDF) . В Карлквист, А.; и др. (ред.). Теория пространственного взаимодействия и место проживания . Амстердам: Северная Голландия. стр. 75–96.
22. Хаусман, Дж.; Вайс, Д. (1978). «Условная пробит-модель для качественного выбора: дискретные решения, распознающие взаимозависимость и неоднородные предпочтения». Econometrica . 48 (2): 403–426. doi :10.2307/1913909. JSTOR  1913909.
23. Train, K. (2003). Методы дискретного выбора с моделированием . Массачусетс: Cambridge University Press.
24. McFadden, D. ; Train, K. (2000). "Смешанные модели MNL для дискретного отклика" (PDF) . Журнал прикладной эконометрики . 15 (5): 447–470. CiteSeerX 10.1.1.68.2871 . doi :10.1002/1099-1255(200009/10)15:5<447::AID-JAE570>3.0.CO;2-1. 
25. Бен-Акива, М.; Болдук, Д. (1996). «Мультиномиальный пробит с логит-ядром и общей параметрической спецификацией ковариационной структуры» (PDF) . Рабочий документ .
26. Bekhor, S.; Ben-Akiva, M.; Ramming, MS (2002). «Адаптация ядра логита к ситуации выбора маршрута». Transportation Research Record . 1805 : 78–85. doi : 10.3141/1805-10. S2CID  110895210. Архивировано из оригинала 2012-07-17.
27. [1]. Также см. Смешанный логит для получения более подробной информации.
28. Мански, Чарльз Ф. (1975). «Оценка максимальной оценки стохастической модели полезности выбора». Журнал эконометрики . 3 (3). Elsevier BV: 205–228. doi :10.1016/0304-4076(75)90032-9. ISSN  0304-4076.
29. Хоровиц, Джоэл Л. (1992). «Сглаженная максимальная оценка для модели бинарного отклика». Econometrica . 60 (3). JSTOR: 505–531. doi :10.2307/2951582. ISSN  0012-9682. JSTOR  2951582.
30. Пак, Бён У.; Симар, Леопольд; Зеленюк, Валентин (2017). «Непараметрическая оценка динамических моделей дискретного выбора для данных временных рядов» (PDF) . Вычислительная статистика и анализ данных . 108 : 97–120. doi :10.1016/j.csda.2016.10.024.
31. Hair, JF; Ringle, CM; Gudergan, SP; Fischer, A.; Nitzl, C.; Menictas, C. (2019). «Моделирование дискретного выбора на основе структурного уравнения с использованием частичных наименьших квадратов: иллюстрация в моделировании выбора розничного торговца» (PDF) . Business Research . 12 : 115–142. doi : 10.1007/s40685-018-0072-4 .
32. Беггс, С.; Карделл, С.; Хаусман, Дж. (1981). «Оценка потенциального спроса на электромобили». Журнал эконометрики . 17 (1): 1–19. doi :10.1016/0304-4076(81)90056-7.
33. Комб, Пьер-Филипп; Линнемер, Лоран; Виссер, Майкл (2008). «Публикация или сверстники? Роль навыков и сетей в найме профессоров экономики». Labour Economics . 15 (3): 423–441. doi :10.1016/j.labeco.2007.04.003.
34. Плакетт, Р. Л. (1975). «Анализ перестановок». Журнал Королевского статистического общества, серия C. 24 ( 2): 193–202. doi :10.2307/2346567. JSTOR  2346567.
35. Люс, РД (1959). Индивидуальный выбор поведения: теоретический анализ . Wiley.

Дальнейшее чтение

• Андерсон, С., А. де Пальма и Ж.-Ф. Тисс (1992), Теория дискретного выбора дифференциации продукта , MIT Press,
• Бен-Акива, М.; Лерман, С. (1985). Анализ дискретного выбора: теория и применение к спросу на поездки . MIT Press.
• Грин, Уильям Х. (2012). Эконометрический анализ (седьмое изд.). Upper Saddle River: Pearson Prentice-Hall. стр. 770–862. ISBN 978-0-13-600383-0.
• Хеншер, Д.; Роуз, Дж.; Грин, В. (2005). Прикладной анализ выбора: учебник . Cambridge University Press.
• Маддала, Г. (1983). Ограниченно-зависимые и качественные переменные в эконометрике . Cambridge University Press.
• Макфадден, Дэниел Л. (1984). Эконометрический анализ моделей качественного отклика . Справочник по эконометрике, том II. Том. Глава 24. Elsevier Science Publishers BV.
• Трейн, К. (2009) [2003]. Методы дискретного выбора с моделированием . Cambridge University Press.