Функция Эйри

В физических науках функция Эйри (или функция Эйри первого рода ) $Ai(x)$ — это специальная функция, названная в честь британского астронома Джорджа Бидделла Эйри (1801–1892). Функция $Ai(x)$ и связанная с ней функция $Bi(x)$ являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения, известного как уравнение Эйри или уравнение Стокса . ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-xy=0,$

Поскольку решение линейного дифференциального уравнения является колебательным при $k$ $< 0$ и экспоненциальным при $k$ $> 0$ , функции Эйри являются колебательными при $x$ $< 0$ и экспоненциальными при $x$ $> 0.$ Фактически, уравнение Эйри является простейшим линейным дифференциальным уравнением второго порядка с точкой поворота (точкой, в которой характер решений меняется с колебательного на экспоненциальный). ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-ky=0$

Определения

Для действительных значений $x$ функция Эйри первого рода может быть определена несобственным интегралом Римана : который сходится по тесту Дирихле . Для любого действительного числа $x$ существует положительное действительное число $M$ такое, что функция возрастает, неограниченна и выпукла с непрерывной и неограниченной производной на интервале Сходимость интеграла на этом интервале может быть доказана по тесту Дирихле после подстановки $\operatorname {Ai} (x)={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt\equiv {\dfrac {1}{\pi }}\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt,$ ${\textstyle {\tfrac {t^{3}}{3}}+xt}$ $[M,\infty ).$ ${\textstyle u={\tfrac {t^{3}}{3}}+xt.}$

$y = Ai(x)$ удовлетворяет уравнению Эйри Это уравнение имеет два линейно независимых решения. С точностью до скалярного умножения $Ai($ $x$ $)$ является решением, подчиненным условию $y$ $\to 0$ при $x$ $\to \infty$ . Стандартный выбор для другого решения — функция Эйри второго рода, обозначаемая Bi( x ). Она определяется как решение с той же амплитудой колебания, что и $Ai($ $x$ $)$ при $x$ $\to -\infty$ , которая отличается по фазе на $π$ $/2$ : $y''-xy=0.$

$\operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]dt.$

Характеристики

Значения $Ai(x)$ и $Bi(x)$ и их производные при $x = 0$ определяются как Здесь $Γ$ обозначает гамма-функцию . Отсюда следует, что вронскиан Ai $($ $x$ $)$ и $Bi($ $x$ $)$ равен $1/$ $π$ . ${\begin{aligned}\operatorname {Ai} (0)&{}={\frac {1}{3^{2/3}\,\Gamma \!\left({\frac {2}{3}}\right)}},&\quad \operatorname {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{3^{1/3}\,\Gamma \!\left({\frac {1}{3}}\right)}},\\\operatorname {Bi} (0)&{}={\frac {1}{3^{1/6}\,\Gamma \!\left({\frac {2}{3}}\right)}},&\quad \operatorname {Bi} '(0)&{}={\frac {3^{1/6}}{\Gamma \!\left({\frac {1}{3}}\right)}}.\end{aligned}}$

Когда $x$ положительный, $Ai(x)$ положительный, выпуклый и убывающий экспоненциально к нулю, в то время как $Bi(x)$ положительный, выпуклый и увеличивающийся экспоненциально. Когда $x$ отрицательный, $Ai(x)$ и $Bi(x)$ колеблются вокруг нуля с постоянно увеличивающейся частотой и постоянно уменьшающейся амплитудой. Это подтверждается асимптотическими формулами ниже для функций Эйри.

Функции Эйри ортогональны ^[1] в том смысле, что снова используется несобственный интеграл Римана. $\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (t+x)\operatorname {Ai} (t+y)dt=\delta (x-y)$

Действительные нули $Ai(x)$ и ее производной $Ai'(x)$

Ни $Ai(x)$ , ни ее производная $Ai'(x)$ не имеют положительных действительных нулей. "Первые" действительные нули (т.е. ближайшие к x=0) это: ^[2]

«Первые» нули $Ai(x)$ находятся при $x \approx -2,33811, -4,08795, -5,52056, -6,78671, ...$
«первые» нули ее производной $Ai'(x)$ находятся при $x \approx -1,01879, -3,24820, -4,82010, -6,16331, ...$

Асимптотические формулы

Как объясняется ниже, функции Эйри можно расширить до комплексной плоскости, что даст целые функции . Асимптотическое поведение функций Эйри при $| z |,$ стремящемся к бесконечности при постоянном значении $arg (z),$ зависит от $arg(z)$ : это называется явлением Стокса . Для $| arg(z) | < π$ мы имеем следующую асимптотическую формулу для $Ai(z)$ : ^[3]

$\operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {1}{2{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].$ или где В частности, первые несколько членов равны ^[4] Аналогичное уравнение существует для $Bi($ $z$ $)$ , но оно применимо только при $|$ $arg($ $z$ $)$ $| <$ $π$ $/3$ : $\operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {e^{-\zeta }}{4\pi ^{3/2}\,z^{1/4}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)}{n!(-2\zeta )^{n}}}\right].$ $\zeta ={\tfrac {2}{3}}z^{3/2}.$ $\operatorname {Ai} (z)={\frac {e^{-\zeta }}{2\pi ^{1/2}z^{1/4}}}\left(1-{\frac {5}{72\zeta }}+{\frac {385}{10368\zeta ^{2}}}+O(\zeta ^{-3})\right)$

$\operatorname {Bi} (z)\sim {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\exp \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].$ Более точная формула для $Ai(z)$ и формула для $Bi(z)$ при $π /3 < | arg(z) | < π$ или, что эквивалентно, для $Ai(- z)$ и $Bi(- z)$ при $| arg(z) | < 2 π /3,$ но не равно нулю, следующие: ^[3]^[5] ${\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-z)\sim &{}\ {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} (-z)\sim &{}{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}+{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right].\end{aligned}}$

Когда $| arg(z) | = 0,$ это хорошие приближения, но не асимптотические, поскольку отношение между $Ai(- z)$ или $Bi(- z)$ и приведенным выше приближением стремится к бесконечности, когда синус или косинус стремится к нулю. Асимптотические разложения для этих пределов также доступны. Они перечислены в (Abramowitz and Stegun, 1983) и (Olver, 1974).

Также можно получить асимптотические выражения для производных $Ai'(z)$ и $Bi'(z)$ . Аналогично ранее, когда $| arg(z) | < π$ : ^[5]

$\operatorname {Ai} '(z)\sim -{\dfrac {z^{1/4}}{2{\sqrt {\pi }}\,}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].$

Когда $| arg(z) | < π /3$ имеем: ^[5]

$\operatorname {Bi} '(z)\sim {\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\exp \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].$

Аналогично, выражение для $Ai'(- z)$ и $Bi'(- z)$ при $| arg(z) | < 2 π /3$ , но не равно нулю, равно ^[5]

${\begin{aligned}\operatorname {Ai} '(-z)\sim &{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} '(-z)\sim &{}\ {\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\\end{aligned}}$

Сложные аргументы

Мы можем расширить определение функции Эйри на комплексную плоскость, где интеграл берется по пути C, начинающемуся в точке на бесконечности с аргументом $-$ $π$ $/3$ и заканчивающемуся в точке на бесконечности с аргументом π / 3. В качестве альтернативы мы можем использовать дифференциальное уравнение $y$ $'' -$ $xy$ $= 0,$ чтобы расширить $Ai($ $x$ $)$ и $Bi($ $x$ $)$ до целых функций на комплексной плоскости. $\operatorname {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\tfrac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,$

Асимптотическая формула для $Ai(x)$ по-прежнему верна в комплексной плоскости, если взять главное значение $x 2/3$ $и x$ отдалить от отрицательной вещественной оси. Формула для $Bi(x)$ верна при условии, что $x$ находится в секторе для некоторого положительного δ. Наконец, формулы для $Ai(-$ $x$ $)$ и $Bi(-$ $x$ $)$ верны, если $x$ находится в секторе $x\in \mathbb {C} :\left|\arg(x)\right|<{\tfrac {\pi }{3}}-\delta$ $x\in \mathbb {C} :\left|\arg(x)\right|<{\tfrac {2\pi }{3}}-\delta .$

Из асимптотического поведения функций Эйри следует, что как $Ai(x)$ , так и $Bi(x)$ имеют бесконечное множество нулей на отрицательной действительной оси. Функция $Ai(x)$ не имеет других нулей в комплексной плоскости, в то время как функция $Bi(x)$ также имеет бесконечно много нулей в секторе $z\in \mathbb {C} :{\tfrac {\pi }{3}}<\left|\arg(z)\right|<{\tfrac {\pi }{2}}.$

Участки

Связь с другими специальными функциями

Для положительных аргументов функции Эйри связаны с модифицированными функциями Бесселя : Здесь $I$ $\pm1/3$ и $K$ $1/3$ являются решениями ${\begin{aligned}\operatorname {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {\frac {x}{3}}}\,K_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right),\\\operatorname {Bi} (x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[I_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right].\end{aligned}}$ $x^{2}y''+xy'-\left(x^{2}+{\tfrac {1}{9}}\right)y=0.$

Первая производная функции Эйри равна $\operatorname {Ai'} (x)=-{\frac {x}{\pi {\sqrt {3}}}}\,K_{2/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right).$

Функции $K 1/3$ и $K 2/3$ могут быть представлены в терминах быстро сходящихся интегралов ^[6] (см. также модифицированные функции Бесселя )

Для отрицательных аргументов функции Эйри связаны с функциями Бесселя : Здесь $J$ $\pm1/3$ являются решениями ${\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{9}}}\left[J_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right],\\\operatorname {Bi} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[J_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right].\end{aligned}}$ $x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-{\frac {1}{9}}\right)y=0.$

Функции Скорера Hi $(x)$ и $-Gi(x)$ решают уравнение $y'' - xy = 1/π$ . Их также можно выразить через функции Эйри: ${\begin{aligned}\operatorname {Gi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\operatorname {Ai} (t)\,dt+\operatorname {Ai} (x)\int _{0}^{x}\operatorname {Bi} (t)\,dt,\\\operatorname {Hi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Ai} (t)\,dt-\operatorname {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}$

преобразование Фурье

Используя определение функции Эйри Ai( x ), легко показать, что ее преобразование Фурье задается как Это можно получить, взяв преобразование Фурье уравнения Эйри. Пусть , тогда , которое тогда имеет решения Существует только одно измерение решений, поскольку преобразование Фурье требует, чтобы $y$ достаточно быстро затухал до нуля, а $Bi$ растет до бесконечности экспоненциально быстро, поэтому его нельзя получить с помощью преобразования Фурье. ${\mathcal {F}}(\operatorname {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (x)\ e^{-2\pi ikx}\,dx=e^{{\frac {i}{3}}(2\pi k)^{3}}.$ ${\textstyle {\hat {y}}={\frac {1}{2\pi i}}\int ye^{-ikx}dx}$ $i{\hat {y}}'+k^{2}{\hat {y}}=0$ ${\hat {y}}=Ce^{ik^{3}/3}.$

Приложения

Квантовая механика

Функция Эйри является решением уравнения Шредингера, не зависящего от времени , для частицы, заключенной в треугольной потенциальной яме , и для частицы в одномерном постоянном силовом поле. По той же причине она также служит для обеспечения равномерных полуклассических приближений вблизи точки поворота в приближении ВКБ , когда потенциал может быть локально аппроксимирован линейной функцией положения. Решение для треугольной потенциальной ямы имеет непосредственное отношение к пониманию электронов, захваченных в полупроводниковых гетеропереходах .

Оптика

Поперечно-асимметричный оптический луч, где профиль электрического поля задается функцией Эйри, обладает интересным свойством, заключающимся в том, что его максимальная интенсивность ускоряется в одну сторону, а не распространяется по прямой линии, как в случае симметричных лучей. Это происходит за счет того, что хвост с низкой интенсивностью распространяется в противоположном направлении, поэтому общий импульс луча, конечно, сохраняется.

Каустики

Функция Эйри лежит в основе формы интенсивности вблизи оптической направленной каустики , такой как радуги ( называемой сверхштатной радугой). Исторически это была математическая проблема, которая привела Эйри к разработке этой специальной функции. В 1841 году Уильям Хэлоуз Миллер экспериментально измерил аналог сверхштатной радуги, пропуская свет через тонкий цилиндр с водой, а затем наблюдая через телескоп. Он наблюдал до 30 полос. ^[7]

Вероятность

В середине 1980-х годов было обнаружено, что функция Эйри тесно связана с распределением Чернова . ^[8]

Функция Эйри также появляется в определении распределения Трейси–Уидома , которое описывает закон наибольших собственных значений в случайной матрице . Благодаря тесной связи теории случайных матриц с уравнением Кардара–Паризи–Чжана , существуют центральные процессы, построенные в KPZ, такие как процесс Эйри . ^[9]

История

Функция Эйри названа в честь британского астронома и физика Джорджа Бидделла Эйри (1801–1892), который столкнулся с ней в своем раннем изучении оптики в физике (Эйри 1838). Обозначение Ai( x ) было введено Гарольдом Джеффрисом . Эйри стал британским королевским астрономом в 1835 году и занимал этот пост до своей отставки в 1881 году.

Смотрите также

Дзета-функция Эйри

Примечания

^ Дэвид Э. Аспнес, Physical Review, 147 , 554 (1966)
^ "Эйри и родственная функция". dlmf.nist.gov . Получено 9 октября 2022 г. .
^ ab Abramowitz & Stegun (1983, стр. 448), уравнения 10.4.59, 10.4.61.
^ "DLMF: §9.7 Асимптотические разложения ‣ Функции Эйри ‣ Глава 9 Функции Эйри и родственные функции". dlmf.nist.gov . Получено 2023-05-11 .
^ abcd Абрамовиц и Стиган (1983, стр. 448), уравнения 10.4.60 и 10.4.64
^ М. Х. Хоконов. Каскадные процессы потери энергии при излучении жестких фотонов // ЖЭТФ, Т.99, №4, с. 690-707 \ (2004).
↑ Миллер, Уильям Хэллоуз. «О ложных радугах». Труды Кембриджского философского общества 7 (1848): 277.
^ Гроенбум, Пит; Лэлли, Стивен; Темме, Нико (2015). «Распределение Чернова и дифференциальные уравнения параболического и типа Эйри». Журнал математического анализа и приложений . 423 (2): 1804–1824. arXiv : 1305.6053 . doi : 10.1016/j.jmaa.2014.10.051 . S2CID 119173815.
^ Quastel, Jeremy; Remenik, Daniel (2014). "Процессы Эйри и вариационные задачи". Темы в Percolative and Unordered Systems . Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Vol. 69. pp. 121–171. arXiv : 1301.0750 . doi :10.1007/978-1-4939-0339-9_5. ISBN 978-1-4939-0338-2. S2CID 118241762.

Ссылки

Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 10". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 448. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
Эйри (1838), «Об интенсивности света вблизи каустики», Труды Кембриджского философского общества , 6 , University Press: 379–402, Bibcode : 1838TCaPS...6..379A
Фрэнк Уильям Джон Олвер (1974). Асимптотика и специальные функции, Глава 11. Academic Press, Нью-Йорк.
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Раздел 6.6.3. Функции Эйри», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, архивировано из оригинала 2011-08-11 , извлечено 2011-08-09
Валле, Оливье; Соарес, Мануэль (2004), Функции Эйри и их применение в физике, Лондон: Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-478-9, MR 2114198, архивировано из оригинала 2010-01-13 , извлечено 2010-05-14

Внешние ссылки

«Функции Эйри», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Функции Эйри». MathWorld .
Страницы функций Wolfram для функций Ai и Bi. Включает формулы, оценщик функций и калькулятор построения графиков.
Olver, FWJ (2010), «Функции Эйри и родственные функции», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н 2723248.