Неправильный интеграл

Концепция в математическом анализе

Несобственный интеграл Римана первого рода, где область на плоскости, подразумеваемая интегралом, бесконечна по горизонтали. Площадь такой области, которую представляет интеграл, может быть конечной (как здесь) или бесконечной.

Несобственный интеграл Римана второго рода, где подразумеваемая область бесконечна по вертикали. Область может иметь как конечную (как здесь), так и бесконечную площадь.

В математическом анализе несобственный интеграл является расширением понятия определенного интеграла на случаи, которые нарушают обычные предположения для этого вида интеграла. ^[1] В контексте интегралов Римана (или, что эквивалентно, интегралов Дарбу ) это обычно подразумевает неограниченность либо множества, по которому берется интеграл, либо подынтегрального выражения (интегрируемой функции), либо и того, и другого. Он также может включать ограниченные, но не замкнутые множества или ограниченные, но не непрерывные функции . Хотя несобственный интеграл обычно записывается символически так же, как стандартный определенный интеграл, на самом деле он представляет собой предел определенного интеграла или сумму таких пределов; таким образом, говорят, что несобственные интегралы сходятся или расходятся. ^{[2] [1]} Если регулярный определенный интеграл (который можно ретронимически назвать собственным интегралом ) вычисляется так, как если бы он был несобственным, то получится тот же ответ.

В простейшем случае действительной функции одной переменной, проинтегрированной по Риману (или Дарбу) на одном интервале, несобственные интегралы могут иметь любую из следующих форм:

1. ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$
2. ${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx}$
3. ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}$
4. ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$, где не определено или прерывисто где-то на ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Первые три формы являются неправильными, поскольку интегралы берутся по неограниченному интервалу. (Они могут быть неправильными и по другим причинам, как объясняется ниже.) Такой интеграл иногда описывается как интеграл «первого» типа или вида, если подынтегральное выражение в остальном удовлетворяет предположениям интегрирования. ^[2] Интегралы в четвертой форме, которые являются неправильными, поскольку имеют вертикальную асимптоту где-то на интервале, могут быть описаны как интегралы «второго» типа или вида. ^[2] Интегралы, которые сочетают в себе аспекты обоих типов, иногда описываются как интегралы «третьего» типа или вида. ^[2] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

В каждом из приведенных выше случаев несобственный интеграл должен быть переписан с использованием одного или нескольких пределов, в зависимости от того, что заставляет интеграл быть несобственным. Например, в случае 1, если непрерывен на всем интервале , то ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,\infty )}$

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Предел справа принимается за определение интегральной записи слева.

Если непрерывен только на , но не на самом себе, то обычно это переписывается как ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle (a,\infty )}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to a^{+}}\int _{t}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}$

для любого выбора . Здесь оба предела должны сходиться к конечному значению для того, чтобы можно было сказать, что несобственный интеграл сходится. Это требование позволяет избежать неоднозначного случая сложения положительных и отрицательных бесконечностей (т. е. неопределенной формы " " ). В качестве альтернативы можно использовать итерированный предел или один предел, основанный на главном значении Коши . ${\displaystyle c>a}$ ${\displaystyle \infty -\infty }$

Если непрерывна на и , с разрывом любого вида при , то ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,d)}$ ${\displaystyle (d,\infty )}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to d^{-}}\int _{a}^{t}f(x)\,dx+\lim _{u\to d^{+}}\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}$

для любого выбора . Предыдущие замечания о неопределенных формах, повторных пределах и главном значении Коши также применимы здесь. ${\displaystyle c>d}$

Функция может иметь больше разрывов, и в этом случае потребуется еще больше пределов (или более сложное выражение главного значения). ${\displaystyle f(x)}$

Аналогично обрабатываются случаи 2–4. Смотрите примеры ниже.

Несобственные интегралы также могут быть оценены в контексте комплексных чисел, в более высоких измерениях и в других теоретических рамках, таких как интегрирование Лебега или интегрирование Хенстока–Курцвейля . Интегралы, которые считаются несобственными в одной структуре, могут не считаться таковыми в других.

Примеры

Первоначальное определение интеграла Римана не применимо к функции, например, на интервале [1, ∞) , поскольку в этом случае область интегрирования неограниченна . Однако интеграл Римана часто можно расширить по непрерывности , определив несобственный интеграл вместо этого как предел ${\displaystyle 1/{x^{2}}}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\left(-{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{1}}\right)=1.}$

Узкое определение интеграла Римана также не охватывает функцию на интервале [0, 1] . Проблема здесь в том, что подынтегральное выражение неограничено в области интегрирования. Другими словами, определение интеграла Римана требует, чтобы и область интегрирования, и подынтегральное выражение были ограничены . Однако несобственный интеграл существует, если понимать его как предел ${\textstyle 1/{\sqrt {x}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\left(2-2{\sqrt {a}}\right)=2.}$

Несобственный интеграл имеет неограниченные интервалы как для области определения, так и для диапазона.
${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi }$

Иногда интегралы могут иметь две особенности, где они являются несобственными. Рассмотрим, например, функцию 1/(( x + 1) √ x ), проинтегрированную от 0 до ∞ (показано справа). На нижней границе области интегрирования, когда x стремится к 0, функция стремится к ∞ , а верхняя граница сама по себе равна ∞ , хотя функция стремится к 0. Таким образом, это дважды несобственный интеграл. Проинтегрировав, скажем, от 1 до 3, обычной суммы Римана достаточно, чтобы получить результат π /6. Чтобы проинтегрировать от 1 до ∞ , сумма Римана невозможна. Однако любая конечная верхняя граница, скажем t (при t > 1 ), дает хорошо определенный результат, 2 arctan( √ t ) − π/2 . Это имеет конечный предел, когда t стремится к бесконечности, а именно π /2. Аналогично, интеграл от 1/3 до 1 также допускает сумму Римана, что по совпадению снова дает π /6. Замена 1/3 произвольным положительным значением s (с s < 1 ) столь же безопасна, давая π/2 − 2 arctan( √ s ) . Это также имеет конечный предел, когда s стремится к нулю, а именно π /2. Объединяя пределы двух фрагментов, результат этого несобственного интеграла равен

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}&{}=\lim _{s\to 0^{+}}\int _{s}^{1}{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}+\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0^{+}}\left({\frac {\pi }{2}}-2\arctan {\sqrt {s}}\right)+\lim _{t\to \infty }\left(2\arctan {\sqrt {t}}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}+\left(\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}=\pi .\end{aligned}}}$

Этот процесс не гарантирует успеха; предел может не существовать или быть бесконечным. Например, на ограниченном интервале от 0 до 1 интеграл 1/ x не сходится; а на неограниченном интервале от 1 до ∞ интеграл 1/ √ x не сходится.

Несобственный интеграл сходится, поскольку существуют как левый, так и правый пределы, хотя подынтегральное выражение неограничено вблизи внутренней точки.
${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}=6}$

Может также случиться, что подынтегральное выражение не ограничено вблизи внутренней точки, в этом случае интеграл должен быть разделен в этой точке. Для того, чтобы интеграл в целом сходился, предельные интегралы с обеих сторон должны существовать и быть ограниченными. Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}&{}=\lim _{s\to 0^{-}}\int _{-1}^{s}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}+\lim _{t\to 0^{+}}\int _{t}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0^{-}}3\left(1-{\sqrt[{3}]{s}}\right)+\lim _{t\to 0^{+}}3\left(1-{\sqrt[{3}]{t}}\right)\\&{}=3+3\\&{}=6.\end{aligned}}}$

Но аналогичный интеграл

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}}$

не может быть присвоено значение таким образом, поскольку интегралы выше и ниже нуля в области интеграла не сходятся независимо. (Однако см. главное значение Коши .)

Сходимость интеграла

Несобственный интеграл сходится, если предел, определяющий его, существует. Так, например, говорят, что несобственный интеграл

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\ dx}$

существует и равен L, если интегралы под пределом существуют для всех достаточно больших t , а значение предела равно L.

Также возможно, что несобственный интеграл будет расходиться к бесконечности. В этом случае можно присвоить интегралу значение ∞ (или −∞). Например

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\infty .}$

Однако другие несобственные интегралы могут просто расходиться ни в каком направлении, например

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}x\sin(x)\,dx,}$

которого не существует, даже как расширенного действительного числа . Это называется расхождением по осцилляции.

Ограничением метода несобственной интеграции является то, что предел должен быть взят относительно одной конечной точки за раз. Так, например, несобственный интеграл вида

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}$

можно определить, взяв два отдельных предела; к которым

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

при условии, что двойной предел конечен. Его также можно определить как пару различных несобственных интегралов первого рода:

${\displaystyle \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx}$

где c — любая удобная точка, с которой можно начать интегрирование. Это определение также применимо, когда один из этих интегралов бесконечен, или оба, если они имеют одинаковый знак.

Примером несобственного интеграла, где обе конечные точки бесконечны, является гауссовский интеграл . Примером, который оценивается как бесконечность, является . Но нельзя даже однозначно определить другие интегралы такого рода, такие как , поскольку двойной предел бесконечен, а метод двух интегралов ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$ ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{x}\,dx}$ ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx}$

${\displaystyle \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}x\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}x\,dx}$

дает неопределенную форму , . В этом случае, однако, можно определить несобственный интеграл в смысле главного значения Коши : ${\displaystyle \infty -\infty }$

${\displaystyle \operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{-b}^{b}x\,dx=0.}$

При определении несобственного интеграла необходимо ответить на следующие вопросы:

• Существует ли предел?
• Можно ли вычислить предел?

Первый вопрос — это проблема математического анализа . Второй вопрос можно решить с помощью методов исчисления, а в некоторых случаях — с помощью контурного интегрирования , преобразований Фурье и других более продвинутых методов.

Виды интегралов

Существует более одной теории интегрирования . С точки зрения исчисления интегральная теория Римана обычно принимается как теория по умолчанию. При использовании несобственных интегралов может иметь значение, какая теория интегрирования задействована.

• Для интеграла Римана (или эквивалентного ему интеграла Дарбу ) несобственное интегрирование необходимо как для неограниченных интервалов (так как нельзя разбить интервал на конечное число подынтервалов конечной длины) , так и для неограниченных функций с конечным интегралом (так как, предположив, что он неограничен сверху, верхний интеграл будет бесконечным, а нижний — конечным).
• Интеграл Лебега по-разному относится к неограниченным областям и неограниченным функциям, так что часто интеграл, который существует только как несобственный интеграл Римана, будет существовать как (собственный) интеграл Лебега, такой как . С другой стороны, существуют также интегралы, которые имеют несобственный интеграл Римана, но не имеют (собственного) интеграла Лебега, такой как . Теория Лебега не видит в этом недостатка: с точки зрения теории меры , и не может быть определена удовлетворительно. В некоторых ситуациях, однако, может быть удобно использовать несобственные интегралы Лебега, как это имеет место, например, при определении главного значения Коши . Интеграл Лебега более или менее существенен в теоретической обработке преобразования Фурье с повсеместным использованием интегралов по всей действительной прямой. ${\textstyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}}$ ${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx}$ ${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\infty -\infty }$
• Для интеграла Хенстока–Курцвейля несобственное интегрирование не является необходимым , и это рассматривается как сильная сторона теории: она охватывает все интегрируемые по Лебегу и несобственные интегрируемые по Риману функции.

Несобственные интегралы Римана и интегралы Лебега

Рисунок 1

Рисунок 2

В некоторых случаях интеграл

${\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\ dx}$

может быть определен как интеграл ( например, интеграл Лебега ) без ссылки на предел

${\displaystyle \lim _{b\to c^{-}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

но не может быть вычислена иным удобным способом. Это часто случается, когда функция f , интегрируемая от a до c, имеет вертикальную асимптоту в точке c или если c  = ∞ (см. рисунки 1 и 2). В таких случаях несобственный интеграл Римана позволяет вычислить интеграл Лебега функции. В частности, справедлива следующая теорема (Apostol 1974, теорема 10.33):

• Если функция f интегрируема по Риману на [ a , b ] для любого b  ≥  a , и частичные интегралы

${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}$

ограничены при b  → ∞, то несобственные интегралы Римана

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx,\quad {\mbox{and }}\int _{a}^{\infty }|f(x)|\,dx}$

существуют оба. Более того, f интегрируема по Лебегу на [ a , ∞), а ее интеграл Лебега равен ее несобственному интегралу Римана.

Например, интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}}$

можно интерпретировать альтернативно как несобственный интеграл

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\arctan {b}={\frac {\pi }{2}},}$

или его можно интерпретировать как интеграл Лебега по множеству (0, ∞). Поскольку оба эти вида интеграла согласуются, можно свободно выбрать первый метод для вычисления значения интеграла, даже если в конечном итоге хочется рассматривать его как интеграл Лебега. Таким образом, несобственные интегралы, очевидно, являются полезными инструментами для получения фактических значений интегралов.

В других случаях, однако, интеграл Лебега между конечными конечными точками может даже не быть определен, поскольку интегралы положительной и отрицательной частей f оба бесконечны, но несобственный интеграл Римана все еще может существовать. Такие случаи являются «собственно несобственными» интегралами, т.е. их значения не могут быть определены, кроме как в качестве таких пределов. Например,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$

не может быть интерпретирована как интеграл Лебега, поскольку

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\,dx=\infty .}$

Но тем не менее интегрируема между любыми двумя конечными точками, и ее интеграл между 0 и ∞ обычно понимается как предел интеграла: ${\displaystyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

Сингулярности

Можно говорить об особенностях несобственного интеграла, имея в виду те точки расширенной числовой прямой, в которых используются пределы.

Главное значение Коши

Рассмотрим разницу в значениях двух пределов:

${\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=0,}$

${\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{2a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=-\ln 2.}$

Первое значение является главным значением Коши для иначе плохо определенного выражения

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).}$

Аналогично, у нас есть

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=0,}$

но

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=-\ln 4.}$

Первое является основным значением иначе плохо определенного выражения

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).}$

Все вышеперечисленные пределы являются случаями неопределенной формы . ${\displaystyle \infty -\infty }$

Эти патологии не затрагивают «интегрируемые по Лебегу» функции, то есть функции, интегралы которых по абсолютной величине конечны.

Суммируемость

Несобственный интеграл может расходиться в том смысле, что определяющий его предел может не существовать. В этом случае существуют более сложные определения предела, которые могут дать сходящееся значение для несобственного интеграла. Они называются методами суммирования .

Одним из методов суммирования, популярных в анализе Фурье , является метод суммирования Чезаро . Интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$

суммируема по Чезаро (C, α), если

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f(x)\ dx}$

существует и конечен (Титчмарш 1948, §1.15). Значение этого предела, если он существует, равно сумме (C, α) интеграла.

Интеграл (C, 0) суммируем в точности тогда, когда он существует как несобственный интеграл. Однако существуют интегралы, которые (C, α) суммируемы при α > 0, но не сходятся как несобственные интегралы (в смысле Римана или Лебега). Одним из примеров является интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin x\,dx}$

который не существует как несобственный интеграл, но является (C, α ) суммируемым для любого α  > 0. Это интегральная версия ряда Гранди .

Многомерные несобственные интегралы

Несобственный интеграл также может быть определен для функций нескольких переменных. Определение немного отличается в зависимости от того, требуется ли интегрирование по неограниченной области, например , , или интегрируется функция с особенностями, например , . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f(x,y)=\log \left(x^{2}+y^{2}\right)}$

Несобственные интегралы по произвольным областям

Если — неотрицательная функция, интегрируемая по Риману по любому компактному кубу вида , для , то несобственный интеграл от f по определяется как предел ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [-a,a]^{n}}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{[-a,a]^{n}}f,}$

при условии, что он существует.

Функция на произвольной области A в расширяется до функции на нулем вне A : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\begin{cases}f(x)&x\in A\\0&x\not \in A\end{cases}}}$

Интеграл Римана функции по ограниченной области A тогда определяется как интеграл расширенной функции по кубу, содержащему A : ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle [-a,a]^{n}}$

${\displaystyle \int _{A}f=\int _{[-a,a]^{n}}{\tilde {f}}.}$

В более общем случае, если A неограничено, то несобственный интеграл Римана по произвольной области в определяется как предел: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{A}f=\lim _{a\to \infty }\int _{A\cap [-a,a]^{n}}f=\lim _{a\to \infty }\int _{[-a,a]^{n}}{\tilde {f}}.}$

Несобственные интегралы с особенностями

Если f — неотрицательная функция, которая не ограничена в области A , то несобственный интеграл f определяется путем усечения f на некоторой точке M , интегрирования полученной функции и последующего взятия предела при стремлении M к бесконечности. То есть для , положим . Затем определим ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle f_{M}=\min\{f,M\}}$

${\displaystyle \int _{A}f=\lim _{M\to \infty }\int _{A}f_{M}}$

при условии, что этот предел существует.

Функции с положительными и отрицательными значениями

Эти определения применимы к функциям, которые неотрицательны. Более общая функция f может быть разложена как разность ее положительной части и отрицательной части , так что ${\displaystyle f_{+}=\max\{f,0\}}$ ${\displaystyle f_{-}=\max\{-f,0\}}$

${\displaystyle f=f_{+}-f_{-}}$

с и обе неотрицательные функции. Функция f имеет несобственный интеграл Римана, если каждый из и имеет один, в этом случае значение этого несобственного интеграла определяется как ${\displaystyle f_{+}}$ ${\displaystyle f_{-}}$ ${\displaystyle f_{+}}$ ${\displaystyle f_{-}}$

${\displaystyle \int _{A}f=\int _{A}f_{+}-\int _{A}f_{-}.}$

Чтобы существовать в этом смысле, несобственный интеграл обязательно сходится абсолютно, поскольку

${\displaystyle \int _{A}|f|=\int _{A}f_{+}+\int _{A}f_{-}.}$^{[3] [4]}

Примечания

1. Buck, R. Creighton (1965). Advanced Calculus (2-е изд.). McGraw-Hill. стр. 133–134.
2. Шпигель, Мюррей Р. (1963). Очерк теории и проблем продвинутого исчисления Шаума . McGraw-Hill. стр. 260. ISBN 0-07-060229-8.
3. Купер 2005, стр. 538: «Нам необходимо дать более строгое определение сходимости в терминах | f ( x )|, поскольку сокращение в интегралах может происходить многими различными способами в более высоких измерениях».
4. Ghorpade & Limaye 2010, стр. 448: «Здесь уместно использовать понятие безусловной сходимости». ... «На самом деле, для несобственных интегралов таких функций безусловная сходимость оказывается эквивалентной абсолютной сходимости».

Библиография

• Апостол, Т (1974), Математический анализ , Эддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-00288-1.
• Апостол, Т. (1967), Исчисление, т. 1 (2-е изд.), Jon Wiley & Sons.
• Аутар Кау, Эгву Калу (2008), Численные методы и их применение (1-е изд.), autarkaw.com
• Титчмарш, Э. (1948), Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Chelsea Pub. Co. (опубликовано в 1986 г.), ISBN 978-0-8284-0324-5.
• Купер, Джеффри (2005), Рабочий анализ , Gulf Professional
• Горпаде, Судхир; Лимайе, Балмохан (2010), Курс многомерного исчисления и анализа , Springer

Внешние ссылки

• Численные методы решения несобственных интегралов в Институте целостных численных методов