Основная ценность Коши

Метод присвоения значений некоторым несобственным интегралам, которые в противном случае были бы неопределенными.

В математике главное значение Коши , названное в честь Огюстена Луи Коши , представляет собой метод присвоения значений некоторым неправильным интегралам , которые в противном случае были бы неопределенными. В этом методе сингулярность на целом интервале можно избежать путем ограничения целого интервала неособой областью.

Формулировка

В зависимости от типа особенности подынтегрального выражения f главное значение Коши определяется по следующим правилам:

Для особенности при конечном числе b

$${\displaystyle \lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\left[\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x~+~\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right]}$$

с и где b — трудная точка, в которой поведение функции f таково, что ${\displaystyle a<b<c}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty \quad }$$

для любого и ${\displaystyle a<b}$

$${\displaystyle \int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty \quad }$$

для любого ( точное использование обозначений ± и ∓ см. в плюсе или минусе .) ${\displaystyle b<c.}$

Для особенности на бесконечности ( ) ${\displaystyle \infty }$

$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\,\int _{-a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x}$$

где

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{0}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty }$$

и

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty .}$$

В некоторых случаях приходится одновременно иметь дело с особенностями как на конечном числе b , так и на бесконечности. Обычно это делается пределом вида

$${\displaystyle \lim _{\;\eta \to 0^{+}}\,\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}}\,\left[\,\int _{b-{\frac {1}{\eta }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,~+~\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\eta }}}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right].}$$

$${\displaystyle \lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\left|\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty }$$

$${\displaystyle \lim _{\;\eta \to 0^{+}}\;\left|\,\int _{b+\eta }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty ,}$$

контурные интегралыCεε^[1] ${\displaystyle f(z):z=x+i\,y\;,}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} \;,}$ ${\displaystyle C(\varepsilon )}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle C(\varepsilon )}$

$${\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \int _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{C(\varepsilon )}f(z)\,\mathrm {d} z.}$$

, интегрируемых по Лебегуабсолютной величинетеорема Сохоцкого-ПлемеляCктеорему о вычетахпреобразований Гильберта^[2] ${\displaystyle f(z)}$

Теория распределения

Пусть – множество бамп-функций , т. е. пространство гладких функций с компактным носителем на вещественной прямой . Тогда карта ${\displaystyle {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }$$

$${\displaystyle \left[\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\right](u)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\mathbb {R} \setminus [-\varepsilon ,\varepsilon ]}{\frac {u(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\varepsilon }^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad {\text{for }}u\in {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}$$

распределениеглавным значениемpvпреобразовании Фурьефункцииступенчатой ​​функции Хевисайда

Четкая определенность как распределение

Чтобы доказать существование предела

$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\varepsilon }^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}$$

функции Шварца ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle {\frac {u(x)-u(-x)}{x}}}$ ${\displaystyle [0,\infty ),}$

$${\displaystyle \lim _{\,x\searrow 0\,}\;{\Bigl [}u(x)-u(-x){\Bigr ]}~=~0~}$$

$${\displaystyle \lim _{x\searrow 0}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}~=~\lim _{\,x\searrow 0\,}\,{\frac {u'(x)+u'(-x)}{1}}~=~2u'(0)~,}$$

правило Лопиталя ${\displaystyle u'(x)}$

Следовательно, существует, и, применив теорему о среднем значении , мы получаем : ${\displaystyle \int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}$ ${\displaystyle u(x)-u(-x),}$

${\displaystyle \left|\,\int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;\int _{0}^{1}{\frac {{\bigl |}u(x)-u(-x){\bigr |}}{x}}\,\mathrm {d} x\;\leq \;\int _{0}^{1}\,{\frac {\,2x\,}{x}}\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}\,\mathrm {d} x\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}~.}$

И, кроме того:

${\displaystyle \left|\,\int _{1}^{\infty }{\frac {\;u(x)-u(-x)\;}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~\cdot \;\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\,x^{2}\,}}\;=\;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~,}$

отметим, что карта

$${\displaystyle \operatorname {p.v.} \;\left({\frac {1}{\,x\,}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }$$

функций Шварцапространстве Шварцаумеренное распределение ${\displaystyle u}$

Обратите внимание, что доказательство должно быть просто непрерывно дифференцируемым в окрестности 0 и быть ограниченным до бесконечности. Таким образом, главное значение определяется при еще более слабых предположениях, таких как интегрируемость с компактным носителем и дифференцируемость в точке 0. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x\,u}$ ${\displaystyle u}$

Более общие определения

Главное значение является обратным распределением функции и является практически единственным распределением, обладающим этим свойством: ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle xf=1\quad \Leftrightarrow \quad \exists K:\;\;f=\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)+K\delta ,}$$

${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \delta }$

В более широком смысле главное значение можно определить для широкого класса сингулярных целых ядер в евклидовом пространстве . Если имеет изолированную особенность в начале координат, но в остальном является «хорошей» функцией, то распределение главного значения определяется на гладких функциях с компактным носителем формулой ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle [\operatorname {p.\!v.} (K)](f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\varepsilon }(0)}f(x)K(x)\,\mathrm {d} x.}$$

однородной функциейпреобразованиями Рисса ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle -n}$

Примеры

Рассмотрим значения двух пределов:

$${\displaystyle \lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=0,}$$

Это главное значение Коши неправильно определенного выражения.

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.}$$

Также:

$${\displaystyle \lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-2a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=\ln 2.}$$

Аналогично, мы имеем

$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=0,}$$

Это основное значение неправильно определенного выражения.

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.}$$

$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=-\ln 4.}$$

Обозначения

Разные авторы используют , среди прочего, разные обозначения для главного значения Коши функции : ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle PV\int f(x)\,\mathrm {d} x,}$$

$${\displaystyle \mathrm {p.v.} \int f(x)\,\mathrm {d} x,}$$

$${\displaystyle \int _{L}^{*}f(z)\,\mathrm {d} z,}$$

$${\displaystyle -\!\!\!\!\!\!\int f(x)\,\mathrm {d} x,}$$

${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle P_{v},}$ ${\displaystyle (CPV),}$

Смотрите также

• Интеграл конечной части Адамара
• Преобразование Гильберта
• Теорема Сохоцкого–Племеля.

Рекомендации

1. Канвал, Рам П. (1996). Линейные интегральные уравнения: Теория и техника (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. п. 191. ИСБН 0-8176-3940-3– через Google Книги.
2. Кинг, Фредерик В. (2009). Преобразования Гильберта . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88762-5.