Ядро Сегё

При математическом исследовании нескольких комплексных переменных ядро ​​Сегё представляет собой интегральное ядро , которое порождает воспроизводящее ядро ​​в естественном гильбертовом пространстве голоморфных функций . Он назван в честь своего первооткрывателя, венгерского математика Габора Сегё .

Пусть Ω — ограниченная область в C ⁿ с границей C ² и пусть A (Ω) обозначает пространство всех голоморфных функций в Ω, непрерывных на . Определим пространство Харди H ² (∂ ) как замыкание в L ² (∂ ) ограничений элементов A ( ) на границу. Интеграл Пуассона означает, что каждый элемент ƒ из H ² (∂Ω) продолжается до голоморфной функции Pƒ в Ω. Более того, для каждого z  ∈ Ω отображение ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$

${\displaystyle f\mapsto Pf(z)}$

определяет непрерывный линейный функционал на H ² (∂Ω). По теореме о представлении Рисса этот линейный функционал представляется ядром k _z , то есть

${\displaystyle Pf(z)=\int _{\partial \Omega }f(\zeta ){\overline {k_{z}(\zeta )}}\,d\sigma (\zeta ).}$

Ядро Сегё определяется формулой

${\displaystyle S(z,\zeta )={\overline {k_{z}(\zeta )}},\quad z\in \Omega ,\zeta \in \partial \Omega .}$

Как и его близкий родственник, ядро ​​Бергмана , ядро ​​Сегё голоморфно по z . В самом деле, если φ _i — ортонормированный базис H ² (∂Ω), полностью состоящий из ограничений функций из A (Ω), то рассуждение теоремы Рисса–Фишера показывает, что

${\displaystyle S(z,\zeta )=\sum _{i=1}^{\infty }\phi _{i}(z){\overline {\phi _{i}(\zeta )}}.}$

Рекомендации

• Кранц, Стивен Г. (2002), Теория функций нескольких комплексных переменных , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2724-6