Ядро Бергмана

В математическом исследовании нескольких комплексных переменных ядро ​​Бергмана , названное в честь ^{Стефана} Бергмана , является воспроизводящим ядром для гильбертова пространства ( RKHS ) всех интегрируемых с квадратом голоморфных функций в области D в  Cn .

Подробно, пусть L2 ( D ) — гильбертово пространство суммируемых с квадратом функций на D , и пусть L2 ^{, h} ( D ) обозначают подпространство, состоящее из голоморфных функций в L2 ( ^D ) : т.е.

${\displaystyle L^{2,h}(D)=L^{2}(D)\cap H(D)}$

где H ( D ) — пространство голоморфных функций в D. Тогда L2 ^{, h} ( D ) — гильбертово пространство: это замкнутое линейное подпространство в L2 ( D ) и, следовательно, ^полное само по себе. Это следует из фундаментальной оценки, что для голоморфной интегрируемой с квадратом функции ƒ в D

для любого компактного подмножества K в D . Таким образом ^, из сходимости последовательности голоморфных функций в L2 ( D ) следует и компактная сходимость , а значит, предельная функция также голоморфна.

Другое следствие ( 1 ) состоит в том, что для каждого z  ∈  D оценка

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}:f\mapsto f(z)}$

— непрерывный линейный функционал на L ^{2, h} ( D ). По теореме о представлении Рисса этот функционал можно представить как скалярное произведение с элементом из L2 ^{, h} ( D ), то есть

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}f=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,d\mu (\zeta ).}$

Ядро Бергмана K определяется формулой

${\displaystyle K(z,\zeta )={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}.}$

Ядро K ( z , ζ) голоморфно по z и антиголоморфно по ζ и удовлетворяет условию

${\displaystyle f(z)=\int _{D}K(z,\zeta )f(\zeta )\,d\mu (\zeta ).}$

Одним из ключевых наблюдений по поводу этой картины является то, что L ^{2, h} ( D ) можно отождествить с пространством голоморфных (n,0)-форм на D посредством умножения на . Поскольку скалярное произведение в этом пространстве явно инвариантно относительно биголоморфизмов D, ядро ​​Бергмана и связанная с ним метрика Бергмана автоматически инвариантны относительно группы автоморфизмов области. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle dz^{1}\wedge \cdots \wedge dz^{n}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Смотрите также

• Метрика Бергмана
• пространство Бергмана
• Ядро Сегё

Рекомендации

• Кранц, Стивен Г. (2002), Теория функций нескольких комплексных переменных , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2724-6.
• Чирка, Э.М. (2001) [1994], «Ядерная функция Бергмана», Математическая энциклопедия , EMS Press.