Фундаментальное решение

В математике фундаментальное решение для линейного оператора в частных производных $L$ представляет собой формулировку на языке теории распределения старой идеи функции Грина (хотя, в отличие от функций Грина, фундаментальные решения не учитывают граничные условия).

В терминах дельта-функции Дирака $δ (x)$ фундаментальное решение $F$ является решением неоднородного уравнения

LF знак равно δ (Икс)

Здесь $F$ априори только предполагается распределением .

Эта концепция уже давно используется для лапласиана в двух и трех измерениях. Он был исследован для всех измерений лапласиана Марселем Риссом .

Существование фундаментального решения для любого оператора с постоянными коэффициентами — важнейший случай, напрямую связанный с возможностью использования свертки для решения произвольной правой части — было показано Бернаром Мальгранжем и Леоном Эренпрейсом . В контексте функционального анализа фундаментальные решения обычно разрабатываются с помощью альтернативы Фредгольма и исследуются в теории Фредгольма .

Пример

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение $Lf = sin(x)$ с

L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}.

Фундаментальные решения могут быть получены путем решения $LF = δ (x)$ в явном виде:

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}F (x)=\delta (x)\,.

Поскольку для функции единичного шага (также известной как функция Хевисайда ) $H$ имеем

{\frac {d}{dx}}H (x)=\delta (x)\,,

{\frac {d}{dx}}F(x)=H(x)+C\,.

C

C = -1/2

После интегрирования и выбора новой константы интегрирования равной нулю, имеем ${\frac {dF}{dx}}$

F(x)=xH(x)-{\frac {1}{2}}x={\frac {1}{2}}|x|~.

Мотивация

Как только фундаментальное решение найдено, найти решение исходного уравнения несложно путем свертки фундаментального решения и желаемой правой части.

Фундаментальные решения играют важную роль также при численном решении уравнений в частных производных методом граничных элементов .

Приложение к примеру

Рассмотрим оператор $L$ и дифференциальное уравнение, упомянутое в примере:

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=\sin(x)\,.

Решение исходного уравнения можно найти путем свертки (обозначена звездочкой) правой части с фундаментальным решением : ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle \ грех (х)}$ ${\textstyle F(x)={\frac {1}{2}}|x|}$

f(x)=(F*\sin)(x):=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2}}|xy|\sin(y) \,ди\,.

Это показывает, что необходимо соблюдать некоторую осторожность при работе с функциями, которые не имеют достаточной регулярности (например, компактный носитель, интегрируемость L ¹ ), поскольку мы знаем, что искомое решение есть $f (x) = -sin(x)$ , в то время как приведенное выше интеграл расходится для всех $x$ . Однако оба выражения для $f$ равны как распределения.

Пример, который более наглядно работает

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=I(x)\,,

I

характеристическая (показательная) функция

[0,1]

I

F (x) = | х |/2

(I*F)(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}x+{\frac {1 }{4}},&0\leq x\leq 1\\|{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{4}}|,&{\text{иначе}}\end {случаи}}

I

Доказательство того, что свертка является решением

Обозначим свертку функций $F$ и $g$ как $F * g$ . Скажем, мы пытаемся найти решение $Lf = g (x)$ . Мы хотим доказать, что $F * g$ является решением предыдущего уравнения, т. е. мы хотим доказать, что $L (F * g) = g$ . При применении дифференциального оператора $L$ к свертке известно, что

L(F*g)=(LF)*g\,,

L

Если $F$ является фундаментальным решением, правая часть уравнения сводится к

\delta *g~.

Но поскольку дельта-функция является единичным элементом для свертки, это просто $g (x)$ . Подводя итоги,

{\ displaystyle L (F * g) = (LF) * g = \ delta (x) * g (x) = \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty } \ delta (xy) g (y) \ ,dy=g(x)\,.}

Следовательно, если $F$ является фундаментальным решением, свертка $F * g$ является одним решением $Lf = g (x)$ . Это не значит, что это единственное решение. Можно найти несколько решений для разных начальных условий.