Метод граничных элементов

Метод решения линейных уравнений в частных производных

Метод граничных элементов ( МГЭ ) — это численный вычислительный метод решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных , которые были сформулированы как интегральные уравнения (т.е. в граничной интегральной форме), включая механику жидкости , акустику , электромагнетизм (где этот метод известен как метод моментов или сокращенно МОМ ), ^[1] механика разрушения , ^[2] и контактная механика . ^{[3] [4]}

Математическая основа

Интегральное уравнение можно рассматривать как точное решение основного уравнения в частных производных. Метод граничных элементов пытается использовать заданные граничные условия для соответствия граничным значениям интегральному уравнению, а не значениям во всем пространстве, определенном уравнением в частных производных. Как только это будет сделано, на этапе постобработки интегральное уравнение можно будет снова использовать для численного расчета решения непосредственно в любой желаемой точке внутри области решения.

БЭМ применим к задачам, для которых можно вычислить функции Грина . Обычно речь идет о полях в линейных однородных средах. Это накладывает значительные ограничения на круг и общность задач, к которым можно с пользой применять граничные элементы. Нелинейности могут быть включены в формулировку, хотя они обычно вводят объемные интегралы , которые затем требуют дискретизации объема, прежде чем можно будет попытаться найти решение, устраняя одно из наиболее часто упоминаемых ^{преимуществ БЭМ .} Полезным методом обработки интеграла объема без дискретизации объема является метод двойной взаимности. Этот метод аппроксимирует часть подынтегрального выражения с использованием радиальных базисных функций (локальных интерполяционных функций) и преобразует интеграл объема в граничный интеграл после сопоставления в выбранных точках, распределенных по всей области объема (включая границу). В БЭМ с двойной взаимностью, хотя нет необходимости дискретизировать объем на сетки, неизвестные в выбранных точках внутри области решения участвуют в линейных алгебраических уравнениях, аппроксимирующих рассматриваемую задачу.

Элементы функции Грина, соединяющие пары участков источника и поля, определенные сеткой, образуют матрицу, которая решается численно. Если функция Грина не ведет себя хорошо, по крайней мере, для пар участков, расположенных рядом друг с другом, функция Грина должна быть интегрирована по одному или обоим исходным участкам и полевым участкам. Форма метода, в которой интегралы по участкам источника и поля совпадают, называется « методом Галеркина ». Метод Галёркина является очевидным подходом к решению задач, симметричных относительно замены точек источника и поля. В электромагнетике частотной области это обеспечивается электромагнитной взаимностью . Стоимость вычислений, связанных с наивными реализациями Галёркина, обычно весьма высока. Необходимо перебрать каждую пару элементов (таким образом, мы получаем n ² взаимодействий), и для каждой пары элементов мы перебираем точки Гаусса в элементах, создавая мультипликативный коэффициент, пропорциональный числу квадратов точек Гаусса. Кроме того, требуемые оценки функций обычно довольно дороги и включают вызовы тригонометрических/гиперболических функций. Тем не менее, основным источником вычислительных затрат является двойной цикл по элементам, создающий полностью заполненную матрицу.

Функции Грина или фундаментальные решения часто проблематично интегрировать, поскольку они основаны на решении системных уравнений, подверженных сингулярной нагрузке (например, электрическому полю, возникающему из-за точечного заряда). Интегрировать такие сингулярные поля непросто. Для простых геометрий элементов (например, плоских треугольников) можно использовать аналитическое интегрирование. Для более общих элементов можно разработать чисто численные схемы, адаптирующиеся к сингулярности, но с большими вычислительными затратами. Конечно, когда исходная точка и целевой элемент (где выполняется интегрирование) находятся далеко друг от друга, локальный градиент, окружающий точку, не требует точного количественного определения, и становится возможным легко интегрировать благодаря плавному затуханию фундаментального решения. Именно эта особенность обычно используется в схемах, предназначенных для ускорения расчета задач на граничных элементах.

Вывод функций Грина в замкнутой форме представляет особый интерес в методе граничных элементов, особенно в электромагнетике. В частности, при анализе слоистых сред вывод функции Грина в пространственной области требует обращения аналитически выводимой функции Грина в спектральной области через интеграл по траектории Зоммерфельда. Этот интеграл не может быть вычислен аналитически, а его численное интегрирование является дорогостоящим из-за его колебательного и медленно сходящегося поведения. Для надежного анализа пространственные функции Грина аппроксимируются комплексными экспонентами с помощью таких методов, как метод Прони или обобщенный пучок функций , а интеграл оценивается с помощью тождества Зоммерфельда . ^{[5] [6] [7] [8]} Этот метод известен как метод дискретного комплексного изображения. ^{[7] [8]}

Сравнение с другими методами

Метод граничных элементов часто более эффективен, чем другие методы, включая конечные элементы, с точки зрения вычислительных ресурсов для задач, где имеется небольшое соотношение поверхности/объема. ^[9] Концептуально, это работает путем создания « сетки » поверх моделируемой поверхности. Однако для многих задач методы граничных элементов существенно менее эффективны, чем методы объемной дискретизации ( метод конечных элементов , метод конечных разностей , метод конечных объемов ). Хорошим примером применения метода граничных элементов является эффективный расчет собственных частот плесков жидкости в резервуарах. ^{[10] [11] [12]} Метод граничных элементов является одним из наиболее эффективных методов численного моделирования контактных задач, ^[13] в частности, для моделирования клеевых контактов. ^[14]

Формулировки граничных элементов обычно приводят к полностью заполненным матрицам. Это означает, что требования к памяти и время вычислений будут расти пропорционально квадрату размера задачи. Напротив, матрицы конечных элементов обычно являются полосовыми (элементы связаны только локально), и требования к памяти для системных матриц обычно растут довольно линейно с размером задачи. Методы сжатия (например, мультипольное расширение или адаптивная перекрестная аппроксимация/ иерархические матрицы ) могут использоваться для решения этих проблем, хотя и за счет дополнительной сложности и с вероятностью успеха, которая сильно зависит от характера решаемой проблемы и используемой геометрии. .

Смотрите также

• Метод аналитического элемента
• Вычислительная электромагнетика
• Бессеточные методы
• Метод погруженных границ
• Метод растянутой сетки
• Модифицированный метод радиального интегрирования ^{[15] [16]}

Рекомендации

1. В электромагнетике более традиционный термин «метод моментов» часто используется, хотя и не всегда, как синоним «метода граничных элементов»: дополнительную информацию по этому вопросу см. (Gibson 2008).
2. Метод граничных элементов хорошо подходит для анализа трещин в твердых телах. Существует несколько подходов к решению проблем с граничными элементами. Один из таких подходов заключается в формулировке условий существования трещин в терминах гиперсингулярных граничных интегральных уравнений, см. (Ang 2013).
3. Порт, Р.; Ли, К. (01 октября 2014 г.). «Полная формулировка граничных элементов для задач нормального и тангенциального контакта». Физическая мезомеханика . 17 (4): 334–340. дои : 10.1134/S1029959914040109. ISSN  1029-9599. S2CID  137494525.
4. «Учебное пособие по расчету контактного давления на основе BEM» . www.tribonet.org . 9 ноября 2017 г.
5. Чоу, YL; Ян, Джей-Джей; Фанг, Д.Г.; Ховард, GE (март 1991 г.). «Пространственная функция Грина замкнутой формы для толстой микрополосковой подложки». Транзакции IEEE по теории и технике микроволнового излучения . 39 (3): 588–592. Бибкод : 1991ITMTT..39..588C. дои : 10.1109/22.75309.
6. Аксун, Мичиган (февраль 2003 г.). «Надежный подход к выводу функций Грина в замкнутой форме». Транзакции IEEE по теории и технике микроволнового излучения . 44 (5): 651–658. дои : 10.1109/22.493917. hdl : 11693/10779 .
7. Тео, Суи-Энн (2000). «Метод дискретного комплексного изображения для функций Грина общих многослойных сред». IEEE СВЧ и направляющие волны . 10 (10): 400–402. дои : 10.1109/75.877225.
8. Тео, Суи-Энн; Чу, Сиу-Тек; Леонг, Мук-Сенг (февраль 2003 г.). «Анализ ошибок метода дискретных комплексных изображений и извлечения полюсов». Транзакции IEEE по теории и технике микроволнового излучения . 51 (2): 406–412. Бибкод : 2003ITMTT..51..406T. дои : 10.1109/TMTT.2002.807834.
9. См. (Кацикаделис, 2002).
10. Колаи, Амир; Ракхеджа, Субхаш; Ричард, Марк Дж. (01 сентября 2015 г.). «Трехмерное динамическое выплескивание жидкости в частично заполненных горизонтальных резервуарах, подверженных одновременным продольным и боковым возбуждениям». Европейский журнал механики Б. 53 : 251–263. Бибкод : 2015EJMF...53..251K. doi :10.1016/j.eurotechflu.2015.06.001.
11. Колаи, Амир; Ракхеджа, Субхаш; Ричард, Марк Дж. (31 января 2015 г.). «Совместный мультимодальный метод и метод граничных элементов для анализа эффективности защиты от выплескивания частичных перегородок в частично заполненном контейнере». Компьютеры и жидкости . 107 : 43–58. doi : 10.1016/j.compfluid.2014.10.013.
12. Колаи, Амир; Ракхеджа, Субхаш; Ричард, Марк Дж. (14 ноября 2014 г.). Том 4А: Динамика, вибрация и управление . стр. V04AT04A067. doi : 10.1115/IMECE2014-37271. ISBN 978-0-7918-4647-6.
13. Попов, Валентин (2017). Контактная механика и трение - Физические основы и (глава 19). Спрингер. стр. 337–341. ISBN 9783662530801.
14. Порт, Роман; Попов, Валентин Л. (9 апреля 2015 г.). «Моделирование адгезионного контакта упругих твердых тел с использованием локального критерия отрыва, зависящего от сетки, в методе граничных элементов». Facta Universitatis, Серия: Машиностроение . 13 (1): 3–10.
15. Наджарзаде Л., Мовахедян Б. и Ажари М., 2022. Численное решение задач распространения водных волн в переменных батиметриях с использованием модифицированного метода граничных элементов радиального интегрирования. Океанское машиностроение, 257, стр.111613.
16. Наджарзаде Л., Мовахедян Б. и Ажари М., 2019. Численное решение скалярного волнового уравнения с помощью модифицированного метода граничных элементов радиального интегрирования. Инженерный анализ с граничными элементами, 105, стр. 267–278.

Библиография

• Анг, Уай-Теонг (2007), Курс для начинающих по методам граничных элементов , Бока-Ратон, Флорида: Universal Publishers , ISBN 978-1-58112-974-8.
• Анг, Уай-Теонг (2013), Гиперсингулярные интегральные уравнения в анализе разрушения, Оксфорд: Woodhead Publishing , ISBN 978-0-85709-479-7.
• Банерджи, Прасанта Кумар (1994), Методы граничных элементов в инженерии (2-е изд.), Лондон и др.: McGraw-Hill , ISBN. 978-0-07-707769-3.
• Пиво, Гернот; Смит, Ян; Дуэнсер, Кристиан (8 апреля 2008 г.), Метод граничных элементов с программированием: для инженеров и ученых , Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. XIV + 494, ISBN 978-3-211-71574-1
• Ченг, Александр Х.-Д.; Ченг, Дейзи Т. (2005), «Наследие и ранняя история метода граничных элементов», Инженерный анализ с граничными элементами , 29 (3): 268–302, doi : 10.1016/j.enganabound.2004.12.001, Zbl  1182.65005, доступно также здесь.
• Гибсон, Уолтон С. (2008), Метод моментов в электромагнетике , Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC Press , стр. xv+272, ISBN 978-1-4200-6145-1, МР  2503144, Збл  1175.78002.
• Кацикаделис, Джон Т. (2002), Теория и приложения граничных элементов , Амстердам: Elsevier , стр. XIV + 336, ISBN 978-0-080-44107-8.
• Врубель, ЛК; Алиабади, М.Х. (2002), Метод граничных элементов , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , стр. 1066, ISBN 978-0-470-84139-6(в двух томах).

дальнейшее чтение

• Констанда, Кристиан; Доти, Дейл; Хэмилл, Уильям (2016). Методы граничных интегральных уравнений и численные решения: тонкие пластины на упругом основании . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-3-319-26307-6.

Внешние ссылки

• Интернет-ресурс по граничным элементам
• Что лежит под поверхностью? Руководство по методу граничных элементов и функциям Грина для студентов и специалистов.
• Вводный курс БЭМ (с главой о функциях Грина)
• Граничные элементы для задач о плоских трещинах
• Веб-сайт по электромагнитному моделированию в Университете Клемсона (включая список доступного на данный момент программного обеспечения)
• Программное обеспечение Concept Analyst для анализа граничных элементов
• Климпке, Брюс. Гибридный решатель магнитного поля, использующий комбинированный решатель полей конечных элементов и граничных элементов, Конференция Британского общества магнетиков, 2003 г., на которой сравниваются методы FEM и BEM, а также гибридные подходы.

Бесплатно программное обеспечение

• Bembel Трехмерное изогеометрическое программное обеспечение БЭМ более высокого порядка с открытым исходным кодом для задач Лапласа, Гельмгольца и Максвелла, использующее метод быстрых мультиполей для сжатия и снижения вычислительных затрат.
• border-element-method.com Программное обеспечение БЭМ с открытым исходным кодом для решения задач акустики / Гельмгольца и Лапласа.
• Puma-EM Высокопроизводительная параллельная программа «Метод моментов» с открытым исходным кодом / «Многоуровневый быстрый многополюсный метод».
• AcouSTO Acoustics Simulation Tool, бесплатный параллельный БЭМ-решатель с открытым исходным кодом для интегрального уравнения Кирхгофа-Гельмгольца (KHIE)
• FastBEM Бесплатные программы быстрых мультипольных граничных элементов для решения 2D/3D задач потенциала, упругости, стоксова течения и акустических задач.
• ParaFEM Включает в себя бесплатный параллельный БЭМ-решатель с открытым исходным кодом для задач упругости, описанный в книге Гернот Бир, Ян Смит, Кристиан Дуэнсер, « Метод граничных элементов с программированием: для инженеров и ученых» , Springer, ISBN 978-3-211-71574-1 ( 2008) 
• Библиотека шаблонов граничных элементов (BETL). Программная библиотека C++ общего назначения для дискретизации граничных интегральных операторов.
• Nemoh Программное обеспечение BEM для гидродинамики с открытым исходным кодом, предназначенное для расчета волновых нагрузок первого порядка на морские конструкции (добавленная масса, радиационное демпфирование, силы дифракции).
• Bempp, программное обеспечение БЭМ с открытым исходным кодом для решения 3D-задач Лапласа, Гельмгольца и Максвелла.
• MNPBEM, набор инструментов Matlab с открытым исходным кодом для решения уравнений Максвелла для наноструктур произвольной формы.
• Симулятор контактной механики и трибологии, бесплатное программное обеспечение на базе БЭМ
• MultiFEBE, решатель BEM-FEM для вычислительной механики, позволяющий связывать 2D и 3D вязкоупругие или пороупругие среды с элементами конструкции балки и оболочки (например, для задач динамического взаимодействия грунта и конструкции).