Осциллирующий интеграл

Тип распределения в математическом анализе

В математическом анализе осциллирующий интеграл — это тип распределения . Осциллирующие интегралы делают строгими многие аргументы, которые на наивном уровне кажутся основанными на расходящихся интегралах. Операторы приближенного решения многих дифференциальных уравнений можно представить в виде осциллирующих интегралов.

Определение

Осциллирующий интеграл формально записывается как ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)=\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi ,}$

где и — функции, определенные со следующими свойствами: ${\displaystyle \phi (x,\xi )}$ ${\displaystyle a(x,\xi )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N}}$

1. Функция вещественна, положительно однородна степени 1 и бесконечно дифференцируема от . Также будем считать, что не имеет критических точек по поддержке . Такую функцию обычно называют фазовой функцией . В некоторых контекстах рассматриваются более общие функции, которые до сих пор называются фазовыми функциями. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \{\xi =0\}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \phi }$
2. Функция принадлежит одному из классов символов для некоторых . Интуитивно эти классы символов обобщают понятие положительно однородных функций степени . Как и в случае с фазовой функцией , в некоторых случаях функция относится к более общим или просто разным классам. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle a}$

Когда формальное определение интеграла сходится для всех и нет необходимости в дальнейшем обсуждении определения . Однако при осциллирующий интеграл по-прежнему определяется как распределение по , хотя интеграл может и не сходиться. В этом случае распределение определяется с использованием того факта, что его можно аппроксимировать функциями, имеющими экспоненциальное затухание по . Один из возможных способов сделать это — установить ${\displaystyle m<-N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle m\geq -N}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle a(x,\xi )\in S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})}$ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle f(x)=\lim \limits _{\epsilon \to 0^{+}}\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x,\xi )e^{-\epsilon |\xi |^{2}/2}\,\mathrm {d} \xi ,}$

где предел взят в смысле умеренных распределений . Используя интегрирование по частям, можно показать, что этот предел корректно определен и что существует дифференциальный оператор такой, что результирующее распределение , действующее на любое пространство Шварца, имеет вид ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \langle f,\psi \rangle =\int e^{i\phi (x,\xi )}L{\big (}a(x,\xi )\,\psi (x){\big )}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} \xi ,}$

где этот интеграл сходится абсолютно. Оператор не определен однозначно, но может быть выбран таким образом, который зависит только от фазовой функции , порядка символа и . Фактически, для любого целого числа можно найти такой оператор, чтобы указанное выше подынтегральное выражение было ограничено при достаточно большом значении . Это основная цель определения классов символов. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C(1+|\xi |)^{-M}}$ ${\displaystyle |\xi |}$

Примеры

Многие знакомые распределения можно записать в виде осциллирующих интегралов.

Теорема обращения Фурье подразумевает, что дельта -функция равна ${\displaystyle \delta (x)}$

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }\,\mathrm {d} \xi .}$

Если мы применим первый метод определения этого осциллирующего интеграла сверху, а также преобразование Фурье гауссианы , мы получим хорошо известную последовательность функций , аппроксимирующих дельта-функцию:

${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }e^{-\varepsilon |\xi |^{2}/2}\mathrm {d} \xi =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{({\sqrt {2\pi \varepsilon }})^{n}}}e^{-|x|^{2}/(2\varepsilon )}.}$

Оператор в этом случае задается, например, ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L={\frac {(1-\Delta _{x})^{k}}{(1+|\xi |^{2})^{k}}},}$

где – лапласиан по переменным, и – любое целое число, большее . Действительно, при этом мы имеем ${\displaystyle \Delta _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (n-1)/2}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \langle \delta ,\psi \rangle =\psi (0)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }L(\psi )(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} x,}$

и этот интеграл сходится абсолютно.

Ядро Шварца любого дифференциального оператора можно записать в виде осциллирующего интеграла. Действительно, если

${\displaystyle L=\sum \limits _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)D^{\alpha },}$

где , то ядро ​​имеет вид ${\displaystyle D^{\alpha }=\partial _{x}^{\alpha }/i^{|\alpha |}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\xi \cdot (x-y)}\sum \limits _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)\,\xi ^{\alpha }\,\mathrm {d} \xi .}$

Связь с лагранжевыми распределениями

Любое лагранжево распределение ^{[ необходимы пояснения ]} может быть локально представлено осциллирующими интегралами, см. Хёрмандер (1983). И наоборот, любой осциллирующий интеграл представляет собой лагранжево распределение. Это дает точное описание типов распределений, которые могут быть представлены в виде осциллирующих интегралов.

Смотрите также

• Лемма Римана – Лебега.
• лемма Ван дер Корпута

Рекомендации

• Хёрмандер , Ларс (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных IV , Springer-Verlag, ISBN 0-387-13829-3
• Хёрмандер , Ларс (1971), «Интегральные операторы Фурье I», Acta Math. , 127 : 79–183, doi : 10.1007/bf02392052