Теорема Сохоцкого–Племеля.

Теорема комплексного анализа

Теорема Сохоцкого -Племеля (по-польски Sochocki ) — теорема комплексного анализа , которая помогает в вычислении некоторых интегралов. Его реальная версия (см. ниже) часто используется в физике, хотя редко упоминается по имени. Теорема названа в честь Юлиана Сохоцкого , который доказал ее в 1868 году, и Иосипа Племеля , который заново открыл ее как основной ингредиент своего решения проблемы Римана-Гильберта в 1908 году.

Формулировка теоремы

Пусть C — гладкая замкнутая простая кривая на плоскости и аналитическая функция на C. Заметим, что интеграл типа Коши ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \phi (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},}$

не может быть вычислено ни для какого z на кривой C. Однако внутри и снаружи кривой интеграл дает аналитические функции, которые будут обозначаться внутри C и снаружи. Формулы Сохоцкого–Племеля связывают предельные граничные значения этих двух аналитических функций в точке z на C и главное значение Коши интеграла: ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle \phi _{e}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle \lim _{w\to z}\phi _{i}(w)={\frac {1}{2\pi i}}{\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}+{\frac {1}{2}}\varphi (z),}$

${\displaystyle \lim _{w\to z}\phi _{e}(w)={\frac {1}{2\pi i}}{\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}-{\frac {1}{2}}\varphi (z).}$

Последующие обобщения ослабляют требования гладкости к кривой C и функции φ .

Версия для реальной линии

Особенно важен вариант для интегралов по прямой.

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\mp i\pi \delta (x)+{\mathcal {P}}{{\Big (}{\frac {1}{x}}{\Big )}}.}$

где – дельта-функция Дирака . Это следует интерпретировать как интегральное равенство следующим образом. ${\displaystyle \delta (x)}$

Пусть f — комплексная функция, определенная и непрерывная на действительной прямой, и пусть a и b — вещественные константы с . Затем ${\displaystyle a<0<b}$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx,}$

где обозначает главное значение Коши . (Обратите внимание, что в этой версии аналитичность не используется.) ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Доказательство реальной версии

Простое доказательство состоит в следующем.

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}f(x)\,dx+\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,{\frac {f(x)}{x}}\,dx.}$

Для первого члена отметим, что ε ⁄ π ( x ²  +  ε ² ) является возникающей дельта-функцией и, следовательно, в пределе приближается к дельта-функции Дирака . Следовательно, первый член равен ∓ i π  f (0).

Для второго члена отметим, что коэффициент x ² ⁄ ( x ²  +  ε ² ) приближается к 1 при | х | ≫  ε приближается к 0 для | х | ≪ ε и точно симметричен относительно 0. Поэтому в пределе он превращает интеграл в интеграл главного значения Коши .

Приложение по физике

В квантовой механике и квантовой теории поля часто приходится вычислять интегралы вида

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E)\exp(-iEt)}$

где E — некоторая энергия, а t — время. Это выражение в том виде, в каком оно написано, является неопределенным (поскольку интеграл по времени не сходится), поэтому его обычно модифицируют, добавляя отрицательный действительный член к -iEt в экспоненте, а затем принимая его к нулю, т.е.:

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E)\exp(-iEt-\varepsilon t)=-i\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E-i\varepsilon }}\,dE=\pi f(0)-i{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E}}\,dE,}$

где на последнем этапе используется реальная версия теоремы.

Функция Гейтлера

В теоретической квантовой оптике для вывода главного уравнения в форме Линдблада часто требуется следующая интегральная функция, ^[1] которая является прямым следствием теоремы Сохоцкого-Племеля и часто называется функцией Гейтлера :

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }d\tau \,\exp(-i(\omega \pm \nu )\tau )=\pi \delta (\omega \pm \nu )-i{\mathcal {P}}{\Big (}{\frac {1}{\omega \pm \nu }}{\Big )}}$

Смотрите также

• Сингулярные интегральные операторы на замкнутых кривых (учет теоремы Сохоцкого–Племеля для единичной окружности и замкнутой жордановой кривой)
• Отношения Крамерса – Кронига
• Преобразование Гильберта

Рекомендации

1. Брейер, Хайнц-Петер; Петруччионе, Франческо (2002). Теория открытых квантовых систем . Издательство Оксфордского университета. п. 145. дои :10.1093/acprof:oso/9780199213900.001.0001. ISBN 978-0-19-852063-4.

Литература

• Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей, Том 1: Основы . Кембриджский университет. Нажимать. ISBN 0-521-55001-7.Глава 3.1.
• Мерцбахер, Ойген (1998). Квантовая механика . ISBN Wiley, John & Sons, Inc. 0-471-88702-1.Приложение А, уравнение (П.19).
• Хенрици, Питер (1986). Прикладной и вычислительный комплексный анализ. 3 . Уилли, Джон и сыновья, Inc.
• Племель, Иосип (1964). Проблемы в смысле Римана и Клейна . Нью-Йорк: Издательство Interscience.
• Гахов Ф.Д. (1990), Краевые задачи. Перепечатка перевода 1966 года , Dover Publications, ISBN 0-486-66275-6
• Мусхелишвили, Н. И. (1949). Сингулярные интегральные уравнения, краевые задачи теории функций и их приложение к математической физике . Мельбурн: Департамент снабжения и развития, лаборатории авиационных исследований.
• Бланшар, Брюнинг: Математические методы в физике (Биркхаузер, 2003), пример 3.3.1 4
• Сохоцкий Ю.В. (1873). Об определенных интегралах и функциях, используемых при разложении в ряд . Санкт-Петербург.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)