Треугольная функция

Функция палатки, часто используемая при обработке сигналов

Пример треугольной функции

Треугольная функция (также известная как функция треугольника , функция шляпы или функция палатки ) — это функция, график которой имеет форму треугольника. Часто это равнобедренный треугольник с высотой 1 и основанием 2, и в этом случае его называют треугольной функцией. Треугольные функции полезны при разработке систем обработки сигналов и связи как представления идеализированных сигналов, а треугольные функции особенно полезны в качестве функции ядра интегрального преобразования , из которой могут быть получены более реалистичные сигналы, например, при оценке плотности ядра . Он также находит применение в импульсно-кодовой модуляции в качестве формы импульса для передачи цифровых сигналов и в качестве согласованного фильтра для приема сигналов. Он также используется для определения треугольного окна, иногда называемого окном Бартлетта .

Определения

Наиболее распространенное определение - это кусочная функция:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)=\Lambda (x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-|x|,&|x|<1;\\0&{\text{otherwise}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

Эквивалентно, его можно определить как свертку двух идентичных единичных прямоугольных функций :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)&=\operatorname {rect} (x)*\operatorname {rect} (x)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (x-\tau )\cdot \operatorname {rect} (\tau )\,d\tau .\\\end{aligned}}}$

Треугольную функцию также можно представить как произведение прямоугольной функции и функции абсолютного значения :

${\displaystyle \operatorname {tri} (x)=\operatorname {rect} (x/2){\big (}1-|x|{\big )}.}$

Альтернативная функция треугольника

Обратите внимание, что некоторые авторы вместо этого определяют функцию треугольника так, чтобы ее основание имело ширину 1 вместо ширины 2:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (2x)=\Lambda (2x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-2|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-2|x|,&|x|<{\tfrac {1}{2}};\\0&{\text{otherwise}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

В наиболее общей форме треугольная функция — это любой линейный B-сплайн : ^[1]

${\displaystyle \operatorname {tri} _{j}(x)={\begin{cases}(x-x_{j-1})/(x_{j}-x_{j-1}),&x_{j-1}\leq x<x_{j};\\(x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_{j}),&x_{j}\leq x<x_{j+1};\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Принимая во внимание, что определение вверху является особым случаем

${\displaystyle \Lambda (x)=\operatorname {tri} _{j}(x),}$

где , , и . ${\displaystyle x_{j-1}=-1}$ ${\displaystyle x_{j}=0}$ ${\displaystyle x_{j+1}=1}$

Линейный B-сплайн — это то же самое, что и непрерывная кусочно-линейная функция , и эту общую треугольную функцию полезно формально определить как ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{j}y_{j}\cdot \operatorname {tri} _{j}(x),}$

где для всех целых чисел . Кусочно-линейная функция проходит через каждую точку, выраженную в виде координат с упорядоченной парой , то есть ${\displaystyle x_{j}<x_{j+1}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$

${\displaystyle f(x_{j})=y_{j}}$.

Масштабирование

По любому параметру : ${\displaystyle a\neq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\tfrac {1}{|a|}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {\tau }{a}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-\tau }{a}}\right)\,d\tau \\&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|;\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$

преобразование Фурье

Преобразование легко определяется с использованием свойства свертки преобразований Фурье и преобразования Фурье прямоугольной функции :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} (t)\}&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\cdot {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^{2}(f),\end{aligned}}}$

где – нормированная функция sinc . ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)}$

Смотрите также

• Функция Каллина , также известная как функция треугольника
• Карта палаток
• Треугольное распределение
• Треугольная волна , кусочно-линейная периодическая функция
• Тригонометрические функции

Рекомендации

1. «Основные свойства сплайнов и B-сплайнов» (PDF) . INF-MAT5340 Конспекты лекций. п. 38.