Соответствующий фильтр

Фильтры, используемые при обработке сигналов, в некотором смысле оптимальны.

При обработке сигналов выходные данные согласованного фильтра получаются путем корреляции известного задержанного сигнала или шаблона с неизвестным сигналом для обнаружения присутствия шаблона в неизвестном сигнале. ^{[1] [2]} Это эквивалентно свертке неизвестного сигнала с сопряженной версией шаблона, обращенной во времени. Согласованный фильтр является оптимальным линейным фильтром для максимизации отношения сигнал/шум (SNR) в присутствии аддитивного стохастического шума .

Согласованные фильтры обычно используются в радарах , в которых отправляется известный сигнал, а отраженный сигнал исследуется на наличие общих элементов исходящего сигнала. Сжатие импульсов является примером согласованной фильтрации. Он назван так потому, что импульсная характеристика согласована с входными импульсными сигналами. Двумерные согласованные фильтры обычно используются при обработке изображений , например, для улучшения отношения сигнал/шум рентгеновских наблюдений.

Согласованная фильтрация — это метод демодуляции с использованием фильтров LTI (линейно-инвариантных во времени) для максимизации отношения сигнал-шум. ^[3] Первоначально он также был известен как фильтр Норта . ^[4]

Вывод

Вывод с помощью матричной алгебры

В следующем разделе выводится согласованный фильтр для системы дискретного времени . Вывод для системы с непрерывным временем аналогичен, с заменой суммирования интегралами.

Согласованный фильтр — это линейный фильтр , который максимизирует отношение выходного сигнала к шуму . ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[n-k]x[k],}$

где вход как функция независимой переменной и отфильтрованный выход. Хотя мы чаще всего выражаем фильтры как импульсную характеристику систем свертки, как указано выше (см. Теорию систем LTI ), проще всего думать о согласованном фильтре в контексте внутреннего продукта , который мы вскоре увидим. ${\displaystyle x[k]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle y[n]}$

Мы можем получить линейный фильтр, который максимизирует отношение выходного сигнала к шуму, используя геометрический аргумент. Интуиция согласованного фильтра основана на корреляции полученного сигнала (вектора) с фильтром (другим вектором), который параллелен сигналу, максимизируя внутренний продукт. Это усиливает сигнал. Когда мы рассматриваем аддитивный стохастический шум, перед нами возникает дополнительная проблема: минимизировать выходной сигнал из-за шума путем выбора фильтра, ортогонального шуму.

Дадим формальное определение задачи. Мы ищем фильтр , такой, чтобы максимизировать отношение выходного сигнала к шуму, где выходной сигнал является внутренним произведением фильтра и наблюдаемого сигнала . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle x}$

Наш наблюдаемый сигнал состоит из полезного сигнала и аддитивного шума : ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \ x=s+v.\,}$

Давайте определим матрицу автокорреляции шума, напоминая себе, что эта матрица обладает эрмитовой симметрией — свойством, которое пригодится при выводе:

${\displaystyle \ R_{v}=E\{vv^{\mathrm {H} }\}\,}$

где обозначает сопряженное транспонирование и обозначает математическое ожидание (обратите внимание, что в случае, если шум имеет нулевое среднее, его матрица автокорреляции равна его ковариационной матрице ). ${\displaystyle v^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle R_{v}}$

Назовем наш выход , внутренним продуктом нашего фильтра и наблюдаемым сигналом так, что ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \ y=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h^{*}[k]x[k]=h^{\mathrm {H} }x=h^{\mathrm {H} }s+h^{\mathrm {H} }v=y_{s}+y_{v}.}$

Теперь мы определяем отношение сигнал/шум, которое является нашей целевой функцией, как отношение выходной мощности, обусловленной полезным сигналом, к выходной мощности, обусловленной шумом:

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|y_{s}|^{2}}{E\{|y_{v}|^{2}\}}}.}$

Перепишем вышесказанное:

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|h^{\mathrm {H} }s|^{2}}{E\{|h^{\mathrm {H} }v|^{2}\}}}.}$

Мы хотим максимизировать это количество, выбрав . Раскладывая знаменатель нашей целевой функции, мы имеем ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \ E\{|h^{\mathrm {H} }v|^{2}\}=E\{(h^{\mathrm {H} }v){(h^{\mathrm {H} }v)}^{\mathrm {H} }\}=h^{\mathrm {H} }E\{vv^{\mathrm {H} }\}h=h^{\mathrm {H} }R_{v}h.\,}$

Теперь наш становится ${\displaystyle \mathrm {SNR} }$

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|h^{\mathrm {H} }s|^{2}}{h^{\mathrm {H} }R_{v}h}}.}$

Мы перепишем это выражение, проделав некоторые матричные манипуляции. Причина этой, казалось бы, контрпродуктивной меры вскоре станет очевидна. Используя эрмитову симметрию матрицы автокорреляции , мы можем написать ${\displaystyle R_{v}}$

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}},}$

Нам хотелось бы найти верхнюю границу этого выражения. Для этого мы сначала распознаем форму неравенства Коши – Шварца :

${\displaystyle \ |a^{\mathrm {H} }b|^{2}\leq (a^{\mathrm {H} }a)(b^{\mathrm {H} }b),\,}$

то есть квадрат внутреннего произведения двух векторов может быть равен произведению отдельных внутренних произведений векторов. Эта концепция возвращает нас к интуиции, лежащей в основе согласованного фильтра: эта верхняя граница достигается, когда два вектора и параллельны. Мы возобновляем наш вывод, выразив верхнюю оценку нашей в свете приведенного выше геометрического неравенства: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathrm {SNR} }$

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}}\leq {\frac {\left[{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)\right]\left[{(R_{v}^{-1/2}s)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)\right]}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}}.}$

Наши доблестные манипуляции с матрицей теперь окупились. Мы видим, что выражение для нашей верхней границы можно значительно упростить:

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}}\leq s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s.}$

Мы можем достичь этой верхней границы, если захотим:

${\displaystyle \ R_{v}^{1/2}h=\alpha R_{v}^{-1/2}s}$

где – произвольное действительное число. Чтобы убедиться в этом, мы подключаем наше выражение для вывода : ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathrm {SNR} }$

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}}={\frac {\alpha ^{2}|{(R_{v}^{-1/2}s)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{\alpha ^{2}{(R_{v}^{-1/2}s)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)}}={\frac {|s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s|^{2}}{s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}=s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s.}$

Таким образом, наш оптимальный согласованный фильтр имеет вид

${\displaystyle \ h=\alpha R_{v}^{-1}s.}$

Мы часто предпочитаем нормализовать ожидаемое значение мощности выходного сигнала фильтра из-за шума к единице. То есть мы ограничиваем

${\displaystyle \ E\{|y_{v}|^{2}\}=1.\,}$

Это ограничение подразумевает значение , для которого мы можем решить: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \ E\{|y_{v}|^{2}\}=\alpha ^{2}s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s=1,}$

уступчивость

${\displaystyle \ \alpha ={\frac {1}{\sqrt {s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}},}$

давая нам наш нормализованный фильтр,

${\displaystyle \ h={\frac {1}{\sqrt {s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}}R_{v}^{-1}s.}$

Если мы хотим записать импульсную характеристику фильтра для системы свертки, это просто комплексно- сопряженное обращение времени входных данных . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle s}$

Хотя мы получили согласованный фильтр в дискретном времени, мы можем распространить эту концепцию на системы с непрерывным временем, если заменим автокорреляционной функцией шума с непрерывным временем , предполагая непрерывный сигнал , непрерывный шум и непрерывный фильтр . ${\displaystyle R_{v}}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle v(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$

Вывод через лагранжиан

В качестве альтернативы мы можем найти согласованный фильтр, решив нашу задачу максимизации с помощью лагранжиана. Опять же, согласованный фильтр пытается максимизировать отношение выходного сигнала к шуму ( ) отфильтрованного детерминированного сигнала в стохастическом аддитивном шуме. Наблюдаемая последовательность, опять же, ${\displaystyle \mathrm {SNR} }$

${\displaystyle \ x=s+v,\,}$

с матрицей автокорреляции шума,

${\displaystyle \ R_{v}=E\{vv^{\mathrm {H} }\}.\,}$

Отношение сигнал/шум

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|y_{s}|^{2}}{E\{|y_{v}|^{2}\}}},}$

где и . ${\displaystyle y_{s}=h^{\mathrm {H} }s}$ ${\displaystyle y_{v}=h^{\mathrm {H} }v}$

Оценивая выражение в числителе, имеем

${\displaystyle \ |y_{s}|^{2}={y_{s}}^{\mathrm {H} }y_{s}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h.\,}$

и в знаменателе

${\displaystyle \ E\{|y_{v}|^{2}\}=E\{{y_{v}}^{\mathrm {H} }y_{v}\}=E\{h^{\mathrm {H} }vv^{\mathrm {H} }h\}=h^{\mathrm {H} }R_{v}h.\,}$

Отношение сигнал/шум становится

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h}{h^{\mathrm {H} }R_{v}h}}.}$

Если теперь мы ограничим знаменатель равным 1, проблема максимизации сведется к максимизации числителя. Затем мы можем сформулировать задачу, используя множитель Лагранжа : ${\displaystyle \mathrm {SNR} }$

${\displaystyle \ h^{\mathrm {H} }R_{v}h=1}$

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h+\lambda (1-h^{\mathrm {H} }R_{v}h)}$

${\displaystyle \ \nabla _{h^{*}}{\mathcal {L}}=ss^{\mathrm {H} }h-\lambda R_{v}h=0}$

${\displaystyle \ (ss^{\mathrm {H} })h=\lambda R_{v}h}$

которую мы признаем как обобщенную проблему собственных значений

${\displaystyle \ h^{\mathrm {H} }(ss^{\mathrm {H} })h=\lambda h^{\mathrm {H} }R_{v}h.}$

Поскольку он имеет единичный ранг, он имеет только одно ненулевое собственное значение. Можно показать, что это собственное значение равно ${\displaystyle ss^{\mathrm {H} }}$

${\displaystyle \ \lambda _{\max }=s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s,}$

что дает следующий оптимальный согласованный фильтр

${\displaystyle \ h={\frac {1}{\sqrt {s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}}R_{v}^{-1}s.}$

Это тот же результат, что и в предыдущем подразделе.

Интерпретация как метод наименьших квадратов

Вывод

Согласованную фильтрацию также можно интерпретировать как метод наименьших квадратов для оптимального местоположения и масштабирования данной модели или шаблона. Еще раз пусть наблюдаемая последовательность определяется как

${\displaystyle \ x_{k}=s_{k}+v_{k},\,}$

где – некоррелированный нулевой средний шум. Предполагается, что сигнал представляет собой масштабированную и сдвинутую версию известной модельной последовательности : ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle \ s_{k}=\mu _{0}\cdot f_{k-j_{0}}}$

Мы хотим найти оптимальные оценки неизвестного сдвига и масштабирования путем минимизации остатка по методу наименьших квадратов между наблюдаемой последовательностью и «зондирующей последовательностью» : ${\displaystyle j^{*}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle j_{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle h_{j-k}}$

${\displaystyle \ j^{*},\mu ^{*}=\arg \min _{j,\mu }\sum _{k}\left(x_{k}-\mu \cdot h_{j-k}\right)^{2}}$

Соответствующим позже окажется согласованный фильтр, но он пока не определен. Расширяя и квадрат в сумме дает ${\displaystyle h_{j-k}}$ ${\displaystyle x_{k}}$

${\displaystyle \ j^{*},\mu ^{*}=\arg \min _{j,\mu }\left[\sum _{k}(s_{k}+v_{k})^{2}+\mu ^{2}\sum _{k}h_{j-k}^{2}-2\mu \sum _{k}s_{k}h_{j-k}-2\mu \sum _{k}v_{k}h_{j-k}\right].}$

Первое слагаемое в скобках является константой (поскольку наблюдаемый сигнал задан) и не влияет на оптимальное решение. Последний член имеет постоянное ожидаемое значение, поскольку шум некоррелирован и имеет нулевое среднее. Поэтому мы можем исключить оба члена оптимизации. После изменения знака мы получаем эквивалентную задачу оптимизации

${\displaystyle \ j^{*},\mu ^{*}=\arg \max _{j,\mu }\left[2\mu \sum _{k}s_{k}h_{j-k}-\mu ^{2}\sum _{k}h_{j-k}^{2}\right].}$

Установка производной относительно нуля дает аналитическое решение для : ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$

${\displaystyle \ \mu ^{*}={\frac {\sum _{k}s_{k}h_{j-k}}{\sum _{k}h_{j-k}^{2}}}.}$

Вставка этого в нашу целевую функцию дает уменьшенную задачу максимизации всего за : ${\displaystyle j^{*}}$

${\displaystyle \ j^{*}=\arg \max _{j}{\frac {\left(\sum _{k}s_{k}h_{j-k}\right)^{2}}{\sum _{k}h_{j-k}^{2}}}.}$

Числитель может быть ограничен сверху с помощью неравенства Коши – Шварца :

${\displaystyle \ {\frac {\left(\sum _{k}s_{k}h_{j-k}\right)^{2}}{\sum _{k}h_{j-k}^{2}}}\leq {\frac {\sum _{k}s_{k}^{2}\cdot \sum _{k}h_{j-k}^{2}}{\sum _{k}h_{j-k}^{2}}}=\sum _{k}s_{k}^{2}={\text{constant}}.}$

Задача оптимизации предполагает максимум, когда в этом выражении сохраняется равенство. Согласно свойствам неравенства Коши–Шварца это возможно только при условии, что

${\displaystyle \ h_{j-k}=\nu \cdot s_{k}=\kappa \cdot f_{k-j_{0}}.}$

для произвольных ненулевых констант или и оптимальное решение получается при желаемом. Таким образом, наша «последовательность зондирования» должна быть пропорциональна модели сигнала , а удобный выбор дает согласованный фильтр. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle j^{*}=j_{0}}$ ${\displaystyle h_{j-k}}$ ${\displaystyle f_{k-j_{0}}}$ ${\displaystyle \kappa =1}$

${\displaystyle \ h_{k}=f_{-k}.}$

Обратите внимание, что фильтр представляет собой модель зеркального сигнала. Это гарантирует, что операция, которую необходимо применить для поиска оптимума, действительно представляет собой свертку между наблюдаемой последовательностью и согласованным фильтром . Отфильтрованная последовательность принимает максимум в позиции, где наблюдаемая последовательность лучше всего соответствует (в смысле наименьших квадратов) модели сигнала . ${\displaystyle \sum _{k}x_{k}h_{j-k}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle h_{k}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle f_{k}}$

Подразумеваемое

Согласованный фильтр может быть получен различными способами, ^[2] но как частный случай процедуры наименьших квадратов его также можно интерпретировать как метод максимального правдоподобия в контексте (цветной) модели гауссовского шума и связанной с ней модели. Минимальная вероятность . ^[5] Если передаваемый сигнал не имеет неизвестных параметров (таких как время прибытия, амплитуда и т. д.), то согласованный фильтр, согласно лемме Неймана-Пирсона , минимизирует вероятность ошибки. Однако, поскольку точный сигнал обычно определяется неизвестными параметрами, которые эффективно оцениваются (или подбираются ) в процессе фильтрации, согласованный фильтр представляет собой обобщенную статистику максимального правдоподобия (тестовую). ^[6] Отфильтрованный временной ряд затем можно интерпретировать как (пропорциональный) вероятности профиля , максимальное условное правдоподобие как функцию временного параметра. ^[7] Это подразумевает, в частности, что вероятность ошибки (в смысле Неймана и Пирсона, т.е. относительно максимизации вероятности обнаружения для заданной вероятности ложной тревоги ^[8] ) не обязательно оптимальна. То, что обычно называют отношением сигнал/шум (SNR) , которое должно быть максимизировано согласованным фильтром, в этом контексте соответствует , где (условно) максимизированное отношение правдоподобия. ^{[7] [№ 1]} ${\displaystyle {\sqrt {2\log({\mathcal {L}})}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Построение согласованного фильтра основано на известном спектре шума . В действительности, однако, спектр шума обычно оценивается на основе данных и, следовательно, известен только с ограниченной точностью. В случае неопределенного спектра согласованный фильтр можно обобщить до более устойчивой итеративной процедуры с благоприятными свойствами также в условиях негауссовского шума. ^[7]

Интерпретация частотной области

При рассмотрении в частотной области очевидно, что согласованный фильтр применяет наибольший вес к спектральным компонентам, демонстрирующим наибольшее отношение сигнал/шум (т. е. большой вес там, где шум относительно низкий, и наоборот). В целом для этого требуется неплоская частотная характеристика, но связанные с этим «искажения» не являются поводом для беспокойства в таких ситуациях, как радар и цифровая связь , где исходная форма сигнала известна и целью является обнаружение этого сигнала на фоне фонового шума. . С технической стороны согласованный фильтр представляет собой взвешенный метод наименьших квадратов , основанный на ( гетероскедастических ) данных в частотной области (где «веса» определяются через спектр шума, см. также предыдущий раздел) или, что эквивалентно, метод наименьших квадратов . Метод квадратов , примененный к забеленным данным.

Примеры

Радар и гидролокатор

Согласованные фильтры часто используются при обнаружении сигналов . ^[1] В качестве примера предположим, что мы хотим оценить расстояние до объекта, отражая от него сигнал. Мы можем выбрать передачу чистотоновой синусоиды с частотой 1 Гц. Мы предполагаем, что наш принятый сигнал представляет собой ослабленную и сдвинутую по фазе форму передаваемого сигнала с добавленным шумом.

Чтобы судить о расстоянии до объекта, мы коррелируем полученный сигнал с согласованным фильтром, который в случае белого (некоррелированного) шума представляет собой еще одну чистотоновую синусоиду с частотой 1 Гц. Когда выходной сигнал системы согласованного фильтра превышает определенный порог, мы с высокой вероятностью делаем вывод, что полученный сигнал был отражен от объекта. Используя скорость распространения и время, когда мы впервые наблюдаем отраженный сигнал, мы можем оценить расстояние до объекта. Если мы изменим форму импульса специально разработанным способом, то соотношение сигнал/шум и разрешение по расстоянию можно даже улучшить после согласованной фильтрации: это метод, известный как сжатие импульса .

Кроме того, согласованные фильтры можно использовать в задачах оценки параметров (см. теорию оценки ). Возвращаясь к нашему предыдущему примеру, мы можем захотеть оценить скорость объекта в дополнение к его положению. Чтобы использовать эффект Доплера , мы хотели бы оценить частоту принимаемого сигнала. Для этого мы можем соотнести полученный сигнал с несколькими согласованными фильтрами синусоид на разных частотах. Согласованный фильтр с наивысшей выходной мощностью с высокой вероятностью выявит частоту отраженного сигнала и поможет нам определить радиальную скорость объекта, т.е. относительную скорость либо непосредственно по направлению к наблюдателю, либо от него. Этот метод, по сути, является простой версией дискретного преобразования Фурье (ДПФ) . ДПФ принимает комплексный входной сигнал со знаком и сопоставляет его с согласованными фильтрами, соответствующими комплексным экспонентам на разных частотах, для получения комплексных чисел, соответствующих относительным амплитудам и фазам синусоидальных составляющих (см. Индикация движущейся цели ). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Цифровые коммуникации

Согласованный фильтр также используется в средствах связи. В контексте системы связи, которая отправляет двоичные сообщения от передатчика к приемнику по зашумленному каналу, можно использовать согласованный фильтр для обнаружения переданных импульсов в зашумленном принятом сигнале.

Представьте, что мы хотим отправить последовательность «0101100100», закодированную в неполярном формате без возврата к нулю (NRZ), через определенный канал.

Математически последовательность в коде NRZ можно описать как последовательность единичных импульсов или сдвинутых прямоугольных функций , при этом каждый импульс взвешивается на +1, если бит равен «1», и на -1, если бит равен «0». Формально масштабный коэффициент для бита равен: ${\displaystyle k^{\mathrm {th} }}$

${\displaystyle \ a_{k}={\begin{cases}+1,&{\text{if bit }}k{\text{ is }}1,\\-1,&{\text{if bit }}k{\text{ is }}0.\end{cases}}}$

Мы можем представить наше сообщение как сумму сдвинутых единичных импульсов: ${\displaystyle M(t)}$

${\displaystyle \ M(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}\times \Pi \left({\frac {t-kT}{T}}\right).}$

где – длительность одного бита и – прямоугольная функция . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Pi (x)}$

Таким образом, сигнал, который должен быть отправлен передатчиком,

Если мы моделируем наш шумный канал как канал AWGN , к сигналу добавляется белый гауссов шум. На стороне приемника для отношения сигнал/шум 3 дБ это может выглядеть так:

Первый взгляд не покажет исходную передаваемую последовательность. Имеется высокая мощность шума по сравнению с мощностью полезного сигнала (т. е. имеется низкое отношение сигнал/шум ). Если бы приемник опробовал этот сигнал в правильные моменты, результирующее двоичное сообщение могло бы быть неверным.

Чтобы увеличить соотношение сигнал/шум, мы пропускаем полученный сигнал через согласованный фильтр. В этом случае фильтр должен быть согласован с импульсом NRZ (эквивалентным «1», закодированному в коде NRZ). Точнее, импульсная характеристика идеального согласованного фильтра, если предположить, что белый (некоррелированный) шум должен быть обращенной во времени комплексно-сопряженной масштабированной версией сигнала, который мы ищем. Мы выбираем

${\displaystyle \ h(t)=\Pi \left({\frac {t}{T}}\right).}$

В этом случае, из-за симметрии, обращенное по времени комплексное сопряжение фактически равно , что позволяет нам вызвать импульсную характеристику нашей системы свертки согласованного фильтра. ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$

После свертки с правильным согласованным фильтром результирующий сигнал имеет вид: ${\displaystyle M_{\mathrm {filtered} }(t)}$

${\displaystyle \ M_{\mathrm {filtered} }(t)=(M*h)(t)}$

где обозначает свертку. ${\displaystyle *}$

Теперь получатель может безопасно отбирать данные в правильные моменты выборки и сравнивать их с соответствующим порогом, что приводит к правильной интерпретации двоичного сообщения.

Гравитационно-волновая астрономия

Согласованные фильтры играют центральную роль в гравитационно-волновой астрономии . ^[9] Первое наблюдение гравитационных волн было основано на крупномасштабной фильтрации выходного сигнала каждого детектора для сигналов, напоминающих ожидаемую форму, с последующим скринингом на предмет совпадающих и когерентных триггеров между обоими инструментами. ^[10] Частота ложных тревог , а также статистическая значимость обнаружения были затем оценены с использованием методов повторной выборки . ^{[11] [12]} Выводы о параметрах астрофизического источника были выполнены с использованием байесовских методов , основанных на параметризованных теоретических моделях формы сигнала и (опять же) на вероятности Уиттла . ^{[13] [14]}

Биология

Животные, живущие в относительно статичной среде, будут иметь относительно фиксированные характеристики окружающей среды для восприятия. Это позволяет создавать фильтры, которые соответствуют ожидаемому сигналу с самым высоким отношением сигнал/шум, — согласованный фильтр. ^[15] Сенсоры, которые воспринимают мир «через такой «согласованный фильтр», жестко ограничивают объем информации, которую мозг может получить из внешнего мира, но освобождают мозг от необходимости выполнять более сложные вычисления для окончательного извлечения информации. необходимо для выполнения конкретной задачи». ^[16]

Смотрите также

• Периодограмма
• Фильтрованная обратная проекция (преобразование Радона)
• Цифровой фильтр
• Статистическая обработка сигналов
• Вероятность Уиттла
• Вероятность профиля
• Теория обнаружения
• Проблема множественных сравнений
• Пропускная способность канала
• Теорема о кодировании зашумленного канала
• Оценка спектральной плотности
• Фильтр наименьших средних квадратов (LMS)
• фильтр Винера
• Классификация множественных сигналов (MUSIC), популярный параметрический метод сверхразрешения.
• САМВ

Примечания

1. Общая ссылка на SNR на самом деле подверглась критике как несколько вводящая в заблуждение: « Интересная особенность этого подхода заключается в том, что теоретическое совершенство достигается без сознательного стремления к максимальному соотношению сигнал/шум. Что касается совершенно случайного интереса, случается, что операция [...] действительно максимизирует пиковое соотношение сигнал/шум, но этот факт не играет никакой роли в настоящей теории. Отношение сигнал/шум не является мерой информации [...]. » ( Вудворд , 1953; ^[1] Раздел 5.1).

Рекомендации

1. Вудворд, премьер-министр (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радиолокации . Лондон: Пергамон Пресс .
2. Турин, GL (1960). «Введение в согласованные фильтры». IRE Транзакции по теории информации . 6 (3): 311–329. дои : 10.1109/TIT.1960.1057571. S2CID  5128742.
3. «Демодуляция». OpenStax CNX . Проверено 18 апреля 2017 г.
4. В честь Д.О. Норта, который был одним из первых, кто представил эту концепцию: Норт, Д.О. (1943). «Анализ факторов, определяющих различение сигнала/шума в системах с импульсной несущей». Отчет PPR-6C, RCA Laboratories, Принстон, Нью-Джерси .
   Перепечатка: Норт, DO (1963). «Анализ факторов, определяющих различение сигнала/шума в системах с импульсной несущей». Труды IEEE . 51 (7): 1016–1027. дои : 10.1109/PROC.1963.2383.
   См. также: Джейнс, ET (2003). «14.6.1 Классический согласованный фильтр ». Теория вероятностей: Логика науки . Кембридж: Издательство Кембриджского университета .
5. Чоудхури, Н.; Госал, С.; Рой, А. (2004). «Непрерывность меры Уиттла для гауссовского временного ряда». Биометрика . 91 (4): 211–218. дои : 10.1093/biomet/91.1.211 .
6. Настроение, AM; Грейбилл, ФА; Боес, округ Колумбия (1974). «IX. Проверка гипотез ». Введение в теорию статистики (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
7. Röver, C. (2011). «Фильтр на основе студента для надежного обнаружения сигнала». Физический обзор D . 84 (12): 122004. arXiv : 1109.0442 . Бибкод : 2011PhRvD..84l2004R. doi :10.1103/PhysRevD.84.122004.
8. Нейман, Дж.; Пирсон, ES (1933). «К проблеме наиболее эффективной проверки статистических гипотез». Философские труды Лондонского королевского общества А. 231 (694–706): 289–337. Бибкод : 1933RSPTA.231..289N. дои : 10.1098/rsta.1933.0009 .
9. Шутц, Б.Ф. (1999). «Гравитационно-волновая астрономия». Классическая и квантовая гравитация . 16 (12А): А131–А156. arXiv : gr-qc/9911034 . Бибкод : 1999CQGra..16A.131S. дои : 10.1088/0264-9381/16/12A/307. S2CID  19021009.
10. «LIGO: Как мы искали слияние черных дыр и нашли GW150914» . Метод, известный как согласованная фильтрация, используется для проверки наличия каких-либо сигналов в наших данных. Цель сопоставленной фильтрации — увидеть, содержат ли данные какие-либо сигналы, похожие на член банка шаблонов. Поскольку наши шаблоны должны описывать формы гравитационных волн для диапазона различных сливающихся систем, которые мы ожидаем увидеть, любой достаточно громкий сигнал должен быть найден этим методом.
11. Усман, Саманта А. (2016). «PyCBC ищет гравитационные волны в результате компактного бинарного слияния». Сорт. Квантовая гравитация . 33 (21): 215004. arXiv : 1508.02357 . Бибкод : 2016CQGra..33u5004U. дои : 10.1088/0264-9381/33/21/215004. S2CID  53979477.
12. Эбботт, BP; и другие. (Научное сотрудничество LIGO, Коллаборация Virgo) (2016). «GW150914: Первые результаты поиска слияния двойных черных дыр с помощью Advanced LIGO». Физический обзор D . 93 (12): 122003. arXiv : 1602.03839 . Бибкод : 2016PhRvD..93l2003A. doi : 10.1103/PhysRevD.93.122003. ПМЦ 7430253 . ПМИД  32818163. 
13. Эбботт, BP; и другие. (Научное сотрудничество LIGO, Коллаборация Virgo) (2016). «Свойства слияния бинарных черных дыр GW150914». Письма о физических отзывах . 116 (24): 241102. arXiv : 1602.03840 . Бибкод : 2016PhRvL.116x1102A. doi :10.1103/PhysRevLett.116.241102. PMID  27367378. S2CID  217406416.
14. Мейер, Р.; Кристенсен, Н. (2016). «Гравитационные волны: статистическое вскрытие слияния черных дыр». Значение . 13 (2): 20–25. дои : 10.1111/j.1740-9713.2016.00896.x .
15. Ордер, Эрик Дж. (октябрь 2016 г.). «Сенсорно согласованные фильтры». Современная биология . 26 (20): 976–980 р. дои : 10.1016/j.cub.2016.05.042 . ISSN  0960-9822. ПМИД  27780072.
16. Венер, Рюдигер (1987). «Согласованные фильтры: нейронные модели внешнего мира». Журнал сравнительной физиологии А. 161 (4): 511–531. дои : 10.1007/bf00603659. ISSN  0340-7594. S2CID  32779686.

дальнейшее чтение

• Турин, Г.Л. (1960). «Введение в согласованные фильтры». IRE Транзакции по теории информации . 6 (3): 311–329. дои : 10.1109/TIT.1960.1057571. S2CID  5128742.
• Вайнштейн, Луизиана; Зубаков В.Д. (1962). Выделение сигналов из шума . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл .
• Мелвин, WL (2004). «Обзор СТАП». Журнал IEEE по аэрокосмическим и электронным системам . 19 (1): 19–35. дои : 10.1109/MAES.2004.1263229. S2CID  31133715.
• Рёвер, К. (2011). «Фильтр на основе студента для надежного обнаружения сигнала». Физический обзор D . 84 (12): 122004. arXiv : 1109.0442 . Бибкод : 2011PhRvD..84l2004R. doi :10.1103/PhysRevD.84.122004.
• Фиш, А.; Гуревич С.; Хадани, Р.; Саид, А.; Шварц, О. (декабрь 2011 г.). «Вычисление согласованного фильтра за линейное время». arXiv : 1112.4883 [cs.IT].