Интеграл Римана

Основной интеграл в элементарном исчислении

Интеграл как площадь области под кривой.

Последовательность сумм Римана по регулярному разбиению интервала. Число сверху — это общая площадь прямоугольников, которая сходится к интегралу функции.

Раздел не обязательно должен быть обычным, как показано здесь. Аппроксимация работает до тех пор, пока ширина каждого подразделения стремится к нулю.

В разделе математики , известном как реальный анализ , интеграл Римана , созданный Бернхардом Риманом , был первым строгим определением интеграла функции на интервале . Он был представлен преподавателям Геттингенского университета в 1854 году, но не публиковался в журнале до 1868 года. ^[1] Для многих функций и практических приложений интеграл Римана можно вычислить с помощью фундаментальной теоремы исчисления или аппроксимировать путем численного интегрирования. или смоделировано с использованием интеграции Монте-Карло .

Обзор

Пусть f — неотрицательная вещественная функция на интервале [ a , b ] , и пусть S — область плоскости под графиком функции f и над интервалом [ a , b ] . См. рисунок вверху справа. Эту область можно выразить в обозначениях построителя множеств как

$${\displaystyle S=\left\{(x,y)\,:\,a\leq x\leq b\,,\,0<y<f(x)\right\}.}$$

Нас интересует измерение площади S . После того, как мы ее измерили, мы обозначим площадь обычным способом через

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

Основная идея интеграла Римана заключается в использовании очень простых приближений для площади S . Принимая все лучшие и лучшие приближения, мы можем сказать, что «в пределе» мы получаем ровно площадь S под кривой.

Когда f ( x ) может принимать отрицательные значения, интеграл равен площади со знаком между графиком f и осью x : то есть площадь над осью x минус площадь под осью x .

Определение

Разбиения интервала

Разбиение интервала [ a , b ] представляет собой конечную последовательность чисел вида

$${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{i}<\dots <x_{n}=b}$$

Каждый [ x _i , x _{i + 1} ] называется подинтервалом разбиения. Сетка или норма раздела определяется как длина самого длинного подинтервала, то есть

$${\displaystyle \max \left(x_{i+1}-x_{i}\right),\quad i\in [0,n-1].}$$

Размеченное разбиение P ( x , t ) интервала [ a , b ] представляет собой разбиение вместе с выбором точки выборки внутри каждого подинтервала: то есть числа t ₀ , ..., t _{n − 1} с т _я ∈ [ Икс _я , Икс _{я + 1} ] для каждого я . Сетка тегированного раздела такая же, как и у обычного раздела.

Предположим, что два раздела P ( x , t ) и Q ( y , s ) являются разделами интервала [ a , b ] . Мы говорим, что Q ( y , s ) является уточнением P ( x , t ) , если для каждого целого числа i , при этом i ∈ [0, n ] , существует целое число r ( i ) такое, что x _i = y _{r ( i )} и такой, что t _i = s _j для некоторого j с j ∈ [ r ( i ), r ( i + 1)] . То есть помеченный раздел разбивает некоторые подинтервалы и добавляет точки выборки там, где это необходимо, «уточняя» точность разделения.

Мы можем превратить набор всех тегированных разделов в направленный набор , сказав, что один тегированный раздел больше или равен другому, если первый является уточнением второго.

сумма Римана

Пусть f — вещественная функция, определенная на интервале [ a , b ] . Сумма Римана f относительно помеченного разбиения x ₀ , ..., x n _вместе с t ₀ , ..., t _{n − 1} равна ^[2]

$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})\left(x_{i+1}-x_{i}\right).}$$

Каждый член суммы представляет собой произведение значения функции в данной точке на длину интервала. Следовательно, каждый терм представляет (со знаком) площадь прямоугольника с высотой f ( t _i ) и шириной x _{i + 1} − x _i . Сумма Римана — это площадь (со знаком) всех прямоугольников.

Близкими понятиями являются нижняя и верхняя суммы Дарбу . Они похожи на суммы Римана, но теги заменяются нижней и верхней границей (соответственно) f на каждом подинтервале:

$${\displaystyle {\begin{aligned}L(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\inf _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}),\\U(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\sup _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}).\end{aligned}}}$$

Если f непрерывно, то нижняя и верхняя суммы Дарбу для нетегированного раздела равны сумме Римана для этого раздела, где теги выбираются как минимум или максимум (соответственно) f на каждом подинтервале. (Когда f является разрывным на подинтервале, может не быть метки, которая достигает нижней или верхней границы на этом подинтервале.) Интеграл Дарбу , который аналогичен интегралу Римана, но основан на суммах Дарбу, эквивалентен интегралу Римана.

Интеграл Римана

Грубо говоря, интеграл Римана — это предел сумм Римана функции по мере того, как разбиения становятся тоньше. Если предел существует, то функция называется интегрируемой ( или, точнее, интегрируемой по Риману ). Сумма Римана может быть сколь угодно близкой к интегралу Римана, если сделать разбиение достаточно тонким. ^[3]

Одним из важных требований является то, что сетка разделов должна становиться все меньше и меньше, чтобы она имела нулевой предел. Если бы это было не так, то мы не получили бы хорошего приближения функции на определенных подинтервалах. На самом деле этого достаточно, чтобы определить интеграл. Точнее, мы говорим, что интеграл Римана от f существует и равен s , если выполняется следующее условие:

Для всех ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого помеченного разбиения x ₀ , ..., x _n и t ₀ , ..., t _{n − 1} , сетка которого меньше δ , мы имеем

$${\displaystyle \left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .}$$

К сожалению, это определение очень сложно использовать. Это помогло бы разработать эквивалентное определение интеграла Римана, с которым было бы легче работать. Теперь мы разовьем это определение, а затем докажем эквивалентность. Наше новое определение гласит, что интеграл Римана от f существует и равен s , если выполняется следующее условие:

Для всех ε > 0 существует разбиение с тегами y ₀ , ..., y _m и r ₀ , ..., r _{m − 1} такое, что для любого разбиения с тегами x ₀ , ..., x _n и t ₀ , ..., t _{n − 1} , которое является уточнением y ₀ , ..., y _m и r ₀ , ..., r _{m − 1} , мы имеем

$${\displaystyle \left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .}$$

Оба из них означают, что в конечном итоге сумма Римана f относительно любого разбиения оказывается в ловушке вблизи s . Поскольку это верно, независимо от того, насколько точно мы требуем, чтобы суммы были пойманы в ловушку, мы говорим, что суммы Римана сходятся к s . Эти определения на самом деле являются частным случаем более общей концепции — сети .

Как мы уже говорили ранее, эти два определения эквивалентны. Другими словами, s работает в первом определении тогда и только тогда, когда s работает во втором определении. Чтобы показать, что из первого определения следует второе, начните с ε и выберите δ , удовлетворяющее условию. Выберите любой тегированный раздел, сетка которого меньше δ . Его сумма Римана находится в пределах ε от s , и любое уточнение этого разбиения также будет иметь сетку меньше δ , поэтому сумма Римана уточнения также будет находиться в пределах ε от s .

Чтобы показать, что из второго определения следует первое, проще всего использовать интеграл Дарбу . Во-первых, показывается, что второе определение эквивалентно определению интеграла Дарбу; об этом см. статью об интеграле Дарбу . Теперь мы покажем, что интегрируемая по Дарбу функция удовлетворяет первому определению. Зафиксируйте ε и выберите разбиение y ₀ , ..., y _m такое, что нижняя и верхняя суммы Дарбу по этому разбиению находятся в пределах ε /2 от значения s интеграла Дарбу. Позволять

$${\displaystyle r=2\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|.}$$

Если r = 0 , то f — нулевая функция, которая, очевидно, интегрируется как по Дарбу, так и по Риману с целым нулем. Поэтому будем считать, что r > 0 . Если m > 1 , то выбираем δ такое, что

$${\displaystyle \delta <\min \left\{{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},\left(y_{1}-y_{0}\right),\left(y_{2}-y_{1}\right),\cdots ,\left(y_{m}-y_{m-1}\right)\right\}}$$

Если m = 1 , то мы выбираем δ меньше единицы. Выберите размеченный раздел x ₀ , ..., x _n и t ₀ , ..., t _{n − 1} с сеткой меньше δ . Мы должны показать, что сумма Римана находится в пределах ε от s .

Чтобы увидеть это, выберите интервал [ x _i , x _{i + 1} ] . _Если этот интервал содержится в пределах некоторого [ yj _, yj ₊₁ ] , то

$${\displaystyle m_{j}<f(t_{i})<M_{j}}$$

m _jM _jf[ yj _, yj _{+ 1} ] . sm = 1

Поэтому можно предположить, что m > 1 . В этом случае возможно, что одно из [ x _i , x _{i + 1} ] не содержится ни в одном из [ y _j , y _{j + 1} ] . Вместо этого он может растягиваться на два интервала, определяемых y ₀ , ..., y _m . (Он не может соответствовать трем интервалам, поскольку предполагается, что δ меньше длины любого одного интервала.) В символах может случиться, что

$${\displaystyle y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}<y_{j+2}.}$$

(Можно предположить, что все неравенства строгие, потому что в противном случае мы находимся в предыдущем случае в силу нашего предположения о длине δ .) Это может произойти не более m − 1 раз.

Чтобы справиться с этим случаем, мы оценим разницу между суммой Римана и суммой Дарбу, разделив разбиение x ₀ , ..., x _n на y _{j + 1} . Член f ( t _i )( x _{i + 1} − x _i ) в сумме Римана распадается на два члена:

$${\displaystyle f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-x_{i}\right)=f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)+f\left(t_{i}\right)\left(y_{j+1}-x_{i}\right).}$$

Предположим, без ограничения общности , что t _i ∈ [ yj _, yj _{+ 1} ] . Затем

$${\displaystyle m_{j}<f(t_{i})<M_{j},}$$

y _j

$${\displaystyle x_{i+1}-y_{j+1}<\delta <{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},}$$

Отсюда следует, что для некоторого (даже любого) t^*
_я∈ [ y _{j + 1} , Икс _{я + 1} ] ,

$${\displaystyle \left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i}^{*}\right)\right|\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)<{\frac {\varepsilon }{2(m-1)}}.}$$

Поскольку это происходит не более m − 1 раз, расстояние между суммой Римана и суммой Дарбу не превышает ε /2 . Следовательно, расстояние между суммой Римана и s не превосходит  ε .

Примеры

Пусть – функция, принимающая значение 1 в каждой точке. Любая сумма Римана f на [0, 1] будет иметь значение 1, поэтому интеграл Римана от f на [0, 1] равен 1. ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$

Пусть – индикаторная функция рациональных чисел в [0, 1] ; то есть принимает значение 1 для рациональных чисел и 0 для иррациональных чисел. Эта функция не имеет интеграла Римана. Чтобы доказать это, мы покажем, как строить разбиения с тегами, суммы Римана которых сколь угодно близки как к нулю, так и к единице. ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$

Для начала пусть x ₀ , ..., x _n и t ₀ , ..., t _{n − 1} будут тегированным разделом (каждый t _i находится между x _i и x _{i + 1} ). Выберите ε > 0 . t i уже выбрано _, и мы не можем изменить значение f в этих точках. Но если мы разрежем перегородку на мелкие кусочки вокруг каждого t _i , мы сможем минимизировать влияние t _i . Затем, тщательно выбирая новые теги, мы можем добиться того, чтобы значение суммы Римана оказалось в пределах ε от нуля или единицы.

Наш первый шаг — разрезать перегородку. Существует n t i , и мы хотим, _чтобы их общий эффект был меньше ε . Если ограничить каждый из них интервалом длины меньше ε / n , то вклад каждого t _i в сумму Римана будет не менее 0 · ε / n и не более 1 · ε / n . Это делает общую сумму не менее нуля и не более ε . Итак, пусть δ будет положительным числом, меньшим, чем ε / n . Если случится так, что два из t _i находятся в пределах δ друг от друга, выберите δ меньше. Если случается, что какой-то t _i находится в пределах δ от некоторого x _j и t _i не равен x _j , выберите δ меньше. Поскольку существует лишь конечное число ti и x _j , мы всегда можем выбрать _δ достаточно малым.

Теперь мы добавим два разреза в разбиение для каждого t _i . Один из разрезов будет в точке t _i − δ /2 , а другой — в точке t _i + δ /2 . Если один из них выходит за пределы интервала [0, 1], мы его опускаем. t _i будет тегом, соответствующим подинтервалу

$${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].}$$

Если t _i находится непосредственно над одним из x _j , то мы позволяем t _i быть тегом для обоих интервалов:

$${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},x_{j}\right],\quad {\text{and}}\quad \left[x_{j},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].}$$

Нам еще предстоит выбрать теги для остальных подинтервалов. Мы будем выбирать их двумя разными способами. Первый способ — всегда выбирать рациональную точку , чтобы сумма Римана была как можно больше. Это сделает значение суммы Римана не менее 1 − ε . Второй способ — всегда выбирать иррациональную точку, чтобы сумма Римана была как можно меньше. В результате значение суммы Римана не превысит ε .

Поскольку мы начали с произвольного разбиения и в итоге оказались настолько близки, насколько нам хотелось, к нулю или единице, неверно говорить, что мы в конечном итоге оказались в ловушке вблизи некоторого числа s , поэтому эта функция не интегрируема по Риману. Однако оно интегрируемо по Лебегу . В смысле Лебега ее интеграл равен нулю, так как функция почти всюду равна нулю . Но это факт, который находится за пределами интеграла Римана.

Есть и еще худшие примеры. эквивалентна (т. е. почти всюду равна) функции, интегрируемой по Риману, но существуют неинтегрируемые по Риману ограниченные функции, которые не эквивалентны ни одной интегрируемой по Риману функции. Например, пусть C — множество Смита–Вольтерры–Кантора , а I _C — его индикаторная функция. Поскольку C не измеримо по Жордану , I _C не интегрируемо по Риману. Более того, ни одна функция g, эквивалентная _IC, не является интегрируемой по Риману: g , как и I _C , должна быть нулевой на плотном множестве, так что, как и в предыдущем примере, любая сумма Римана g имеет уточнение, находящееся в пределах ε от 0 для любого положительное число  ε . Но если интеграл Римана от g существует, то он должен равняться интегралу Лебега от I _C , который равен 1/2 . Следовательно, g не интегрируема по Риману. ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$

Похожие концепции

Интеграл Римана принято определять как интеграл Дарбу . Это связано с тем, что интеграл Дарбу технически проще и потому, что функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она интегрируема по Дарбу.

В некоторых книгах по математическому анализу не используются общие разделы с тегами, а ограничиваются определенными типами разделов с тегами. Если тип разделения слишком сильно ограничен, некоторые неинтегрируемые функции могут оказаться интегрируемыми.

Одним из популярных ограничений является использование «левых» и «правых» сумм Римана. В левой сумме Римана t _i = x _i для всех i , а в правой сумме Римана t _i = x _{i + 1} для всех i . Само по себе это ограничение не создает проблемы: мы можем уточнить любое разбиение таким образом, чтобы оно стало левой или правой суммой, разделив его в каждый момент времени t _i . Говоря более формальным языком, набор всех левых сумм Римана и набор всех правых сумм Римана является конфинальным в наборе всех помеченных разбиений.

Еще одно популярное ограничение — использование регулярных подразделений интервала. Например, n - е регулярное подразделение [0, 1] состоит из интервалов

$${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{n}}\right],\left[{\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}}\right],\ldots ,\left[{\frac {n-1}{n}},1\right].}$$

Опять же, само по себе это ограничение не создает проблемы, но рассуждения, необходимые для того, чтобы увидеть этот факт, более сложны, чем в случае левых и правых сумм Римана.

Однако объединять эти ограничения так, чтобы использовать только левые или правые суммы Римана на правильно разделенных интервалах, опасно. Если заранее известно, что функция интегрируема по Риману, то этот метод даст правильное значение интеграла. Но при этих условиях индикаторная функция окажется интегрируемой на [0, 1] с интегралом, равным единице: каждая конечная точка каждого подинтервала будет рациональным числом, поэтому функция всегда будет оцениваться с рациональными числами, и, следовательно, она будет кажутся всегда равными единице. Проблема с этим определением становится очевидной, когда мы пытаемся разделить интеграл на две части. Следующее уравнение должно выполняться: ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$

$${\displaystyle \int _{0}^{{\sqrt {2}}-1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx+\int _{{\sqrt {2}}-1}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx=\int _{0}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx.}$$

Если мы используем регулярные подразделения и левые или правые суммы Римана, то два члена слева будут равны нулю, поскольку каждая конечная точка, кроме 0 и 1, будет иррациональной, но, как мы видели, член справа будет равен 1.

Как определено выше, интеграл Римана позволяет избежать этой проблемы, отказываясь от интегрирования. Интеграл Лебега определяется таким образом, что все эти интегралы равны 0. ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }.}$

Характеристики

Линейность

Интеграл Римана представляет собой линейное преобразование; то есть, если f и g интегрируемы по Риману на [ a , b ] , а α и β — константы, то

$${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$

Поскольку интеграл Римана от функции является числом, это делает интеграл Римана линейным функционалом в векторном пространстве функций, интегрируемых по Риману.

Интегрируемость

Ограниченная функция на компактном интервале [ a , b ] интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она непрерывна почти всюду (множество ее точек разрыва имеет нулевую меру в смысле меры Лебега ). ЭтоТеорема Лебега-Витали (о характеризации функций, интегрируемых по Риману). Это было независимо доказаноДжузеппе ВиталииАнри Лебегомв 1907 году и использует понятиенулевой меры, но не использует ни общую меру, ни интеграл Лебега.

Условие интегрируемости можно доказать различными способами, ^{[4] [5] [6] [7]} один из которых схематически показан ниже.

В частности, любое не более чем счетное множество имеет нулевую меру Лебега , и, следовательно, ограниченная функция (на компактном интервале) с конечным или счетным числом разрывов интегрируема по Риману. Другим достаточным критерием интегрируемости по Риману по [ a , b ] , но который не включает понятие меры, является существование правого (или левого) предела в каждой точке из [ a , b ) (или ( а , б ] ). ^[10]

Индикаторная функция ограниченного множества интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда это множество измеримо по Жордану . Интеграл Римана можно интерпретировать с точки зрения теории меры как интеграл по жордановой мере.

Если вещественная функция монотонна на интервале [ a , b ] , она интегрируема по Риману, поскольку ее набор разрывов не более чем счетен и, следовательно, имеет нулевую меру Лебега. Если вещественная функция на [ a , b ] интегрируема по Риману, она интегрируема по Лебегу . То есть интегрируемость по Риману является более сильным (то есть более трудным для выполнения) условием, чем интегрируемость по Лебегу. Обратное неверно; не все функции, интегрируемые по Лебегу, интегрируемы по Риману.

Теорема Лебега-Витали не подразумевает, что все типы разрывов имеют одинаковый вес на препятствии, что действительнозначная ограниченная функция может быть интегрируема по Риману на [ a , b ] . Фактически, некоторые разрывы совершенно не влияют на интегрируемость функции по Риману — следствие классификации разрывов функции. ^{[ нужна цитата ]}

Если fn _— равномерно сходящаяся последовательность на [ a , b ] с пределом f , то интегрируемость по Риману всех fn влечет интегрируемость по Риману _f , и

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dx=\int _{a}^{b}{\lim _{n\to \infty }{f_{n}}\,dx}=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx.}$$

Однако теорема Лебега о монотонной сходимости (о монотонном поточечном пределе) не справедлива для интегралов Римана. Таким образом, при интегрировании по Риману брать пределы под знаком интеграла гораздо труднее логически обосновать, чем при интегрировании по Лебегу. ^[11]

Обобщения

Интеграл Римана легко распространить на функции со значениями в евклидовом векторном пространстве для любого n . Интеграл определяется покомпонентно; другими словами, если f = ( f ₁ , ..., f _n ) , то ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \int \mathbf {f} =\left(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n}\right).}$$

В частности, поскольку комплексные числа представляют собой действительное векторное пространство , это позволяет интегрировать комплексные функции.

Интеграл Римана определяется только на ограниченных интервалах и плохо распространяется на неограниченные интервалы. Простейшим возможным расширением является определение такого интеграла как предела , другими словами, как несобственного интеграла :

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty \atop b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

Это определение несет в себе некоторые тонкости, например, тот факт, что оно не всегда эквивалентно вычислению главного значения Коши.

$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx.}$$

Например, рассмотрим знаковую функцию f ( x ) = sn( x ) , которая равна 0 при x = 0 , 1 для x > 0 и −1 для x < 0 . По симметрии,

$${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0}$$

от

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-a}^{2a}f(x)\,dx&=a,\\\int _{-2a}^{a}f(x)\,dx&=-a.\end{aligned}}}$$

В общем случае этот несобственный интеграл Римана не определен. Даже стандартизация способа приближения интервала к реальной линии не работает, поскольку приводит к тревожно противоречивым результатам. Если мы согласимся (например), что несобственный интеграл всегда должен быть равен

$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx,}$$

f ( x − 1)∞ − ∞

К сожалению, несобственный интеграл Римана недостаточно мощный. Самая серьезная проблема состоит в том, что не существует широко применимых теорем коммутации несобственных интегралов Римана с пределами функций. В таких приложениях, как ряд Фурье, важно иметь возможность аппроксимировать интеграл функции, используя интегралы аппроксимации функции. Для собственных интегралов Римана стандартная теорема утверждает, что если f _n — последовательность функций, сходящихся равномерно к f на компактном множестве [ a , b ] , то

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

На некомпактных интервалах, таких как реальная линия, это неверно. Например, возьмем f _n ( x ) равным n ⁻¹ на [0, n ] и нулю в другом месте. Для всех n имеем:

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx=1.}$$

Последовательность ( f _n ) равномерно сходится к нулевой функции, и, очевидно, интеграл от нулевой функции равен нулю. Следовательно,

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f\,dx\neq \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx.}$$

Это показывает, что для интегралов на неограниченных интервалах равномерная сходимость функции недостаточно сильна, чтобы можно было пройти предел через знак интеграла. Это делает интеграл Римана неработоспособным в приложениях (даже несмотря на то, что интеграл Римана присваивает обеим частям правильное значение), поскольку другого общего критерия замены предела и интеграла Римана не существует, а без такого критерия трудно аппроксимировать интегралы формулами аппроксимируя их подынтегральные выражения.

Лучшим путем является отказ от интеграла Римана в пользу интеграла Лебега . Определение интеграла Лебега не является очевидным обобщением интеграла Римана, но нетрудно доказать, что каждая интегрируемая по Риману функция интегрируема по Лебегу и что значения двух интегралов совпадают, когда они оба определены. Более того, функция f , определенная на ограниченном интервале, интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она ограничена и множество точек, в которых f разрывна, имеет нулевую меру Лебега.

Интеграл, который на самом деле является прямым обобщением интеграла Римана, — это интеграл Хенстока–Курцвейля .

Другой способ обобщения интеграла Римана — заменить множители x _{k + 1} − x _k в определении суммы Римана чем-то другим; грубо говоря, это дает интервалу интегрирования другое понятие длины. Именно этот подход использует интеграл Римана – Стилтьеса .

В исчислении многих переменных интегралы Римана для функций из являются кратными интегралами . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

Сравнение с другими теориями интеграции

Интеграл Римана непригоден для многих теоретических целей. Некоторые технические недостатки интегрирования Римана можно устранить с помощью интеграла Римана-Стилтьеса , а большинство из них исчезают с помощью интеграла Лебега , хотя последний не обеспечивает удовлетворительной обработки несобственных интегралов . Калибровочный интеграл представляет собой обобщение интеграла Лебега, которое сразу становится ближе к интегралу Римана. Эти более общие теории допускают интегрирование более «зубчатых» или «сильно осциллирующих» функций, интеграл Римана которых не существует; но теории дают то же значение, что и интеграл Римана, когда он действительно существует.

В образовательных учреждениях интеграл Дарбу предлагает более простое определение, с которым легче работать; его можно использовать для введения интеграла Римана. Интеграл Дарбу определяется всякий раз, когда определяется интеграл Римана, и всегда дает один и тот же результат. И наоборот, калибровочный интеграл является простым, но более мощным обобщением интеграла Римана и побудил некоторых преподавателей выступать за то, чтобы он заменил интеграл Римана во вводных курсах исчисления. ^[12]

Смотрите также

• Область
• Первообразная
• Интеграция Лебега

Примечания

1. Интеграл Римана был введен в статье Бернхарда Римана «Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe» (О представимости функции тригонометрическим рядом; т. е. когда функция может быть представлена ​​тригонометрическим рядом). Эта статья была представлена ​​в Геттингенский университет в 1854 году как Habilitationsschrift Римана (квалификация, позволяющая стать преподавателем). Он был опубликован в 1868 году в Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Труды Королевского философского общества в Геттингене), vol. 13, страницы 87–132. (Доступно онлайн здесь.) Определение интеграла, данное Риманом, см. в разделе 4 «Über den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit» (О понятии определенного интеграла и степени его применимости), страницы 101–103. .
2. Кранц, Стивен Г. (2005). Реальный анализ и основы. Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC. п. 173. ИСБН 1-58488-483-5. ОСЛК  56214595.
3. Тейлор, Майкл Э. (2006). Теория меры и интегрирование. Американское математическое общество. п. 1. ISBN 9780821872468.
4. Апостол 1974, стр. 169–172.
5. Браун, AB (сентябрь 1936 г.). «Доказательство условия Лебега интегрируемости по Риману». Американский математический ежемесячник . 43 (7): 396–398. дои : 10.2307/2301737. ISSN  0002-9890. JSTOR  2301737.
6. Базовый реальный анализ, Хушанг Х. Сохраб, раздел 7.3, Множества нулевой меры и условие интегрируемости Лебега, стр. 264–271
7. Введение в реальный анализ, обновлено в апреле 2010 г., Уильям Ф. Тренч, 3.5 «Более продвинутый взгляд на существование правильного интеграла Римана», стр. 171–177.
8. Условие Лебега, Джон Армстронг, 15 декабря 2009 г., Непримиримый математик.
9. Условие интеграции контента Джордана, Джон Армстронг, 9 декабря 2009 г., Непримиримый математик
10. Мецлер, RC (1971). «Об интегрируемости по Риману». Американский математический ежемесячник . 78 (10): 1129–1131. дои : 10.2307/2316325. ISSN  0002-9890. JSTOR  2316325.
11. Каннингем, Фредерик младший (1967). «Принимая пределы под знаком интеграла». Журнал «Математика» . 40 (4): 179–186. дои : 10.2307/2688673. JSTOR  2688673.
12. «Открытое письмо авторам книг по математическому анализу» . Проверено 27 февраля 2014 г.

Рекомендации

• Шилов Г.Е. и Гуревич Б.Л., 1978. Интеграл, мера и производная: единый подход , Ричард А. Сильверман, пер. Дуврские публикации. ISBN 0-486-63519-8 . 
• Апостол, Том (1974), Математический анализ , Аддисон-Уэсли

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с интегралом Римана, на Викискладе?
• «Интеграл Римана», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]