Интеграл Дарбу

Интеграл, построенный с использованием сумм Дарбу.

В разделе математики , известном как реальный анализ , интеграл Дарбу строится с использованием сумм Дарбу и является одним из возможных определений интеграла функции . Интегралы Дарбу эквивалентны интегралам Римана , что означает, что функция интегрируема по Дарбу тогда и только тогда, когда она интегрируема по Риману, а значения двух интегралов, если они существуют, равны. ^[1] Преимущество определения интеграла Дарбу заключается в том, что его легче применять в вычислениях и доказательствах, чем определение интеграла Римана. Следовательно, вводные учебники по математическому анализу и реальному анализу часто развивают интегрирование Римана с использованием интеграла Дарбу, а не истинного интеграла Римана. ^[2] Более того, это определение легко расширить до определения интегрирования Римана–Стилтьеса . ^[3] Интегралы Дарбу названы в честь их изобретателя Гастона Дарбу (1842–1917).

Определение

Определение интеграла Дарбу рассматривает верхний и нижний интегралы (Дарбу) , которые существуют для любой ограниченной действительной функции на интервале . Интеграл Дарбу существует тогда и только тогда, когда верхний и нижний интегралы равны. Верхний и нижний интегралы, в свою очередь, являются нижней и верхней границей соответственно верхней и нижней сумм (Дарбу) , которые завышают и недооценивают соответственно «площадь под кривой». В частности, для данного разбиения интервала интегрирования верхняя и нижняя суммы суммируют площади прямоугольных срезов, высоты которых являются верхней и нижней границей соответственно f в каждом подинтервале разбиения. Эти идеи конкретизированы ниже: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b].}$

Суммы Дарбу

Нижняя (зеленый) и верхняя (зеленый плюс лавандовый) суммы Дарбу для четырех подинтервалов

Разбиение интервала — это конечная последовательность значений такая, что ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b.}$

Каждый интервал называется подинтервалом разбиения. Пусть – ограниченная функция, и пусть ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})}$

быть разделом . Позволять ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x),\\m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).\end{aligned}}}$

Верхняя сумма Дарбу по равна ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})M_{i}.\,\!}$

Нижняя сумма Дарбу по отношению равна ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})m_{i}.\,\!}$

Нижнюю и верхнюю суммы Дарбу часто называют нижней и верхней суммами.

Интегралы Дарбу

Верхний интеграл Дарбу от f равен

${\displaystyle U_{f}=\inf\{U_{f,P}\colon P{\text{ is a partition of }}[a,b]\}.}$

Нижний интеграл Дарбу от f равен

${\displaystyle L_{f}=\sup\{L_{f,P}\colon P{\text{ is a partition of }}[a,b]\}.}$

В некоторой литературе символ интеграла с подчеркиванием и надчеркиванием обозначает нижний и верхний интегралы Дарбу соответственно:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}L_{f}\equiv {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x,\\&{}U_{f}\equiv {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x,\end{aligned}}}$

и, как и суммы Дарбу, их иногда называют просто нижним и верхним интегралами .

Если U _f  =  L _f , то общее значение мы называем интегралом Дарбу . ^[4] Мы также говорим, что f интегрируемо по Дарбу или просто интегрируемо , и полагаем

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(t)\,dt}=U_{f}=L_{f}.}$

Эквивалентный и иногда полезный критерий интегрируемости f состоит в том, чтобы показать, что _для каждого ε > 0 существует разбиение Pε из [ a ,  b ] такое, что ^[5]

${\displaystyle U_{f,P_{\epsilon }}-L_{f,P_{\epsilon }}<\varepsilon .}$

Характеристики

• Для любого данного разбиения верхняя сумма Дарбу всегда больше или равна нижней сумме Дарбу. Кроме того, нижняя сумма Дарбу ограничена снизу прямоугольником ширины ( b − a ) и высоты inf( f ), взятого из [ a ,  b ]. Аналогично, верхняя сумма ограничена сверху прямоугольником ширины ( b − a ) и высоты sup ( f ).

  ${\displaystyle (b-a)\inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (b-a)\sup _{x\in [a,b]}f(x)}$

• Нижний и верхний интегралы Дарбу удовлетворяют

  ${\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx}$

• Учитывая любой c в ( a ,  b )

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

• Нижний и верхний интегралы Дарбу не обязательно линейны. Предположим, что g :[ a ,  b ] → R также является ограниченной функцией, тогда верхний и нижний интегралы удовлетворяют следующим неравенствам:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\end{aligned}}}$

• Для константы c ≥ 0 имеем

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

• Для константы c ≤ 0 имеем

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

• Рассмотрим функцию

  ${\displaystyle {\begin{aligned}&{}F:[a,b]\to \mathbb {R} \\&{}F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(t)\,dt,\end{aligned}}}$

тогда F липшицево непрерывно . Идентичный результат имеет место, если F определяется с использованием верхнего интеграла Дарбу.

Примеры

Функция, интегрируемая по Дарбу.

Предположим, мы хотим показать, что функция интегрируема по Дарбу на интервале , и определить ее значение. Для этого мы разбиваем подинтервалы одинакового размера, каждый длиной . Обозначим разбиение подинтервалов одинакового размера как . ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{n}}$

Теперь, поскольку строго возрастает по , нижняя грань на любом конкретном подинтервале задается его начальной точкой. Точно так же верхняя грань любого конкретного подинтервала определяется его конечной точкой. Начальная точка -го подинтервала — это , а конечная точка — . Таким образом, нижняя сумма Дарбу на разбиении определяется выражением ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle (k-1)/n}$ ${\displaystyle k/n}$ ${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}[k-1]\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n-1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}$

аналогично верхняя сумма Дарбу определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}$

С

${\displaystyle U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}={\frac {1}{n}}}$

Таким образом, для данного любого мы имеем, что любой раздел с удовлетворяет ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n>{\frac {1}{\varepsilon }}}$

${\displaystyle U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}<\varepsilon }$

что показывает, что уравнение интегрируемо по Дарбу. Чтобы найти значение интеграла, заметим, что ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=\lim _{n\to \infty }U_{f,P_{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P_{n}}={\frac {1}{2}}}$

Суммы Дарбу

Неинтегрируемая функция

Предположим, у нас есть функция Дирихле, определенная как ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}0&{\text{if }}x{\text{ is rational}}\\1&{\text{if }}x{\text{ is irrational}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Поскольку рациональные и иррациональные числа являются плотными подмножествами , отсюда следует, что оно принимает значения 0 и 1 на каждом подинтервале любого раздела. Таким образом, для любого раздела мы имеем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=1\end{aligned}}}$

откуда видно, что нижний и верхний интегралы Дарбу неравны.

Уточнение разбиения и связь с интегрированием по Риману.

При переходе к уточнению нижняя сумма увеличивается, а верхняя уменьшается.

Уточнение разбиения — это такое разбиение , что для всех i = 0, …, n существует целое число r ( i ) такое, что ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$

${\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}.}$

Другими словами, чтобы сделать уточнение, разрежьте подинтервалы на более мелкие части и не удаляйте существующие разрезы.

Если это уточнение, то ${\displaystyle P'=(y_{0},\ldots ,y_{m})}$ ${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n}),}$

${\displaystyle U_{f,P}\geq U_{f,P'}}$

и

${\displaystyle L_{f,P}\leq L_{f,P'}.}$

Если P1 , P2 — два разбиения одного и того же интервала (одно _{не обязательно является} уточнением другого), то

${\displaystyle L_{f,P_{1}}\leq U_{f,P_{2}},}$

и отсюда следует, что

${\displaystyle L_{f}\leq U_{f}.}$

Суммы Римана всегда лежат между соответствующими нижней и верхней суммами Дарбу. Формально, если и вместе сделать тегированный раздел ${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle T=(t_{1},\ldots ,t_{n})}$

${\displaystyle x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}}$

(как в определении интеграла Римана ), и если сумма Римана равна R , соответствующему P и T , то ${\displaystyle f}$

${\displaystyle L_{f,P}\leq R\leq U_{f,P}.}$

Из предыдущего факта следует, что интегралы Римана по крайней мере так же сильны, как интегралы Дарбу: если интеграл Дарбу существует, то верхняя и нижняя суммы Дарбу, соответствующие достаточно тонкому разбиению, будут близки к значению интеграла, поэтому любая сумма Римана по это же разбиение также будет близко к значению интеграла. Существует (см. ниже) размеченное разбиение, которое сколь угодно близко к значению верхнего интеграла Дарбу или нижнего интеграла Дарбу, и, следовательно, если интеграл Римана существует, то должен существовать и интеграл Дарбу.

Смотрите также

• Регулируемый интеграл
• Интеграция Лебега
• Минимальный ограничивающий прямоугольник

Примечания

1. Дэвид Дж. Фулис; Мустафа А. Мунем (1989). После исчисления: анализ. Издательская компания Деллен. п. 396. ИСБН 978-0-02-339130-9.
2. Спивак, М. (1994). Исчисление (3-е издание) . Хьюстон, Техас: Publish Or Perish, Inc., стр. 253–255. ISBN 0-914098-89-6.
3. Рудин, В. (1976). Принципы математического анализа (3-е издание) . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 120–122. ISBN 007054235X.
4. Вольфрам MathWorld
5. Спивак 2008, глава 13.

Рекомендации

• «Дарбу Интеграл». Вольфрам Математический мир . Проверено 8 января 2013 г.
• Интеграл Дарбу в Математической энциклопедии
• «Сумма Дарбу», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Спивак, Майкл (2008), Исчисление (4-е изд.), Опубликуй или погибни, ISBN 978-0914098911
• «Эквивалентность интеграла Дарбу и Римана».^{[ мертвая ссылка на YouTube ]}