Мера, равная 1, тогда и только тогда, когда указанный элемент находится в наборе
Диаграмма, показывающая все возможные подмножества трехточечного набора { x , y , z }. Мера Дирака δ x присваивает размер 1 всем наборам в верхней левой половине диаграммы и 0 всем наборам в нижней правой половине.
В математике мера Дирака присваивает размер множеству исключительно на основе того, содержит ли оно фиксированный элемент x или нет. Это один из способов формализовать идею дельта-функции Дирака , важного инструмента в физике и других технических областях.
Мера Дирака является вероятностной мерой и с точки зрения вероятности представляет собой почти верный результат x в выборочном пространстве X. Мы также можем сказать, что мерой является один атом в точке x ; однако рассматривать меру Дирака как атомарную меру неверно, если мы рассматриваем последовательное определение дельты Дирака как предела дельта-последовательности [ сомнительно – обсудить ] . Меры Дирака являются крайними точками выпуклого множества вероятностных мер на X .
Предполагая, что топология T достаточно тонкая, чтобы { x } была замкнутой, что имеет место в большинстве приложений, носителем δ x является { x } . (Иначе, supp( δ x ) является замыканием { x } в ( X , T ) .) Кроме того, δ x является единственной вероятностной мерой, носителем которой является { x } .
Если X — n -мерное евклидово пространство Rn с его обычной σ - алгеброй и n -мерной мерой Лебега λn , то δx — сингулярная мера относительно λn : просто разложим Rn как A = Rn \ { x } и B = { x } и заметьте, что δ x ( A ) = λ n ( B ) = 0 .
Дискретная мера аналогична мере Дирака, за исключением того, что она сосредоточена не в одной точке, а в счетном числе точек. Более формально мера на вещественной прямой называется дискретной мерой (относительно меры Лебега ), если ее носитель не более чем счетное множество .